資源簡介

2020年高考數(shù)學大一輪復習
考點與題型歸納（文）

TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc12548365" 第一章 集合與常用邏輯用語 9
HYPERLINK \l "_Toc12548366" 第一節(jié) 集 合 9
HYPERLINK \l "_Toc12548367" 考點一　集合的基本概念 10
11
13
HYPERLINK \l "_Toc12548370" 第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件 18
19
20
HYPERLINK \l "_Toc12548373" 考點三　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍 21
HYPERLINK \l "_Toc12548374" 第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 26
HYPERLINK \l "_Toc12548375" 考點一　判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假 27
28
HYPERLINK \l "_Toc12548377" 考點三　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 29
HYPERLINK \l "_Toc12548378" 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 35
HYPERLINK \l "_Toc12548379" 第一節(jié) 函數(shù)及其表示 35
35
37
39
HYPERLINK \l "_Toc12548383" 第二節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值 47
48
50
52
HYPERLINK \l "_Toc12548387" 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 59
60
62
63
HYPERLINK \l "_Toc12548391" 第四節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 70
70
71
HYPERLINK \l "_Toc12548394" 考點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 72
HYPERLINK \l "_Toc12548395" 第五節(jié) 函數(shù)的圖象 80
81
83
85
HYPERLINK \l "_Toc12548399" 第六節(jié) 二次函數(shù) 92
93
95
HYPERLINK \l "_Toc12548402" 第七節(jié) 冪函數(shù) 103
103
105
HYPERLINK \l "_Toc12548405" 第八節(jié) 指數(shù)式、對數(shù)式的運算 109
110
112
HYPERLINK \l "_Toc12548408" 第九節(jié) 指數(shù)函數(shù) 116
117
118
HYPERLINK \l "_Toc12548411" 第十節(jié) 對數(shù)函數(shù) 125
126
127
HYPERLINK \l "_Toc12548414" 第十一節(jié) 函數(shù)與方程 133
134
136
HYPERLINK \l "_Toc12548417" 第十二節(jié) 函數(shù)模型及其應用 141
141
143
HYPERLINK \l "_Toc12548420" 第三章 導數(shù)及其應用 149
HYPERLINK \l "_Toc12548421" 第一節(jié) 導數(shù)的概念與運算 149
150
151
HYPERLINK \l "_Toc12548424" 第二節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 158
HYPERLINK \l "_Toc12548425" 考點一　利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 158
HYPERLINK \l "_Toc12548426" 考點二 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 160
161
HYPERLINK \l "_Toc12548428" 第三節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 169
HYPERLINK \l "_Toc12548429" 考點一　利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題 169
HYPERLINK \l "_Toc12548430" 考點二　利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題 172
HYPERLINK \l "_Toc12548431" 第四節(jié) 利用導數(shù)研究不等式證明問題 181
HYPERLINK \l "_Toc12548432" 考點一　作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式 181
HYPERLINK \l "_Toc12548433" 考點二　拆分法構(gòu)造函數(shù)證明不等式 182
HYPERLINK \l "_Toc12548434" 考點三　換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式 183
HYPERLINK \l "_Toc12548435" 第五節(jié) 利用導數(shù)研究不等式恒成立問題 189
HYPERLINK \l "_Toc12548436" 考點一　分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題 189
HYPERLINK \l "_Toc12548437" 考點二　等價轉(zhuǎn)化法解決不等式恒成立問題 190
HYPERLINK \l "_Toc12548438" 第六節(jié) 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題 195
195
HYPERLINK \l "_Toc12548440" 考點二　已知零點存在情況求參數(shù)范圍 197
HYPERLINK \l "_Toc12548441" 第四章 三角函數(shù)、解三角形 203
HYPERLINK \l "_Toc12548442" 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 203
204
206
207
HYPERLINK \l "_Toc12548446" 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 213
214
HYPERLINK \l "_Toc12548448" 考點二　同角三角函數(shù)的基本關系及應用 215
HYPERLINK \l "_Toc12548449" 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 223
HYPERLINK \l "_Toc12548450" 第一課時　三角函數(shù)的單調(diào)性 224
224
227
HYPERLINK \l "_Toc12548453" 考點三　根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù) 228
HYPERLINK \l "_Toc12548454" 第二課時　三角函數(shù)的周期性、奇偶性及對稱性 235
236
237
239
HYPERLINK \l "_Toc12548458" 第四節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用 248
HYPERLINK \l "_Toc12548459" 考點一　求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 249
HYPERLINK \l "_Toc12548460" 考點二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與變換 251
253
HYPERLINK \l "_Toc12548462" 第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 262
262
HYPERLINK \l "_Toc12548464" 考點二　三角函數(shù)公式的逆用與變形用 264
266
HYPERLINK \l "_Toc12548466" 第六節(jié) 簡單的三角恒等變換 274
274
275
278
HYPERLINK \l "_Toc12548470" 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理 286
HYPERLINK \l "_Toc12548471" 第一課時　正弦定理和余弦定理(一) 287
HYPERLINK \l "_Toc12548472" 考點一　利用正、余弦定理解三角形 287
289
HYPERLINK \l "_Toc12548474" 第二課時　正弦定理和余弦定理(二) 295
295
297
HYPERLINK \l "_Toc12548477" 考點三　三角形中的最值、范圍問題 300
HYPERLINK \l "_Toc12548478" 考點四　解三角形與三角函數(shù)的綜合應用 302
HYPERLINK \l "_Toc12548479" 第八節(jié) 解三角形的實際應用 310
310
312
313
HYPERLINK \l "_Toc12548483" 第五章 平面向量 317
HYPERLINK \l "_Toc12548484" 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運算 317
319
321
322
HYPERLINK \l "_Toc12548488" 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 329
HYPERLINK \l "_Toc12548489" 考點一　平面向量基本定理及其應用 330
331
332
HYPERLINK \l "_Toc12548492" 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 337
339
342
HYPERLINK \l "_Toc12548495" 第四節(jié) 平面向量的綜合應用 349
349
350
351
HYPERLINK \l "_Toc12548499" 第六章 數(shù)列 359
HYPERLINK \l "_Toc12548500" 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示 359
HYPERLINK \l "_Toc12548501" 考點一　由an與Sn的關系求通項an 360
HYPERLINK \l "_Toc12548502" 考點二　由遞推關系式求數(shù)列的通項公式 361
363
HYPERLINK \l "_Toc12548504" 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 370
371
372
373
HYPERLINK \l "_Toc12548508" 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 380
381
382
384
HYPERLINK \l "_Toc12548512" 第四節(jié) 數(shù)列求和 390
HYPERLINK \l "_Toc12548513" 考點一 分組轉(zhuǎn)化法求和 391
HYPERLINK \l "_Toc12548514" 考點二 裂項相消法求和 392
HYPERLINK \l "_Toc12548515" 考點三 錯位相減法 394
HYPERLINK \l "_Toc12548516" 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應用 401
HYPERLINK \l "_Toc12548517" 考點一　數(shù)列在實際問題與數(shù)學文化問題中的應用 401
HYPERLINK \l "_Toc12548518" 考點二　等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計算 403
HYPERLINK \l "_Toc12548519" 第七章 不等式 412
HYPERLINK \l "_Toc12548520" 第一節(jié) 不等式的性質(zhì) 412
413
414
HYPERLINK \l "_Toc12548523" 第二節(jié) 一元二次不等式及其解法 419
420
422
HYPERLINK \l "_Toc12548526" 第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 429
HYPERLINK \l "_Toc12548527" 考點一　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 429
432
434
HYPERLINK \l "_Toc12548530" 第四節(jié) 基本不等式 442
442
445
HYPERLINK \l "_Toc12548533" 第八章 立體幾何 451
HYPERLINK \l "_Toc12548534" 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖 451
453
453
455
HYPERLINK \l "_Toc12548538" 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 462
463
464
467
HYPERLINK \l "_Toc12548542" 第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系 475
476
477
HYPERLINK \l "_Toc12548545" 第四節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 483
HYPERLINK \l "_Toc12548546" 考點一　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 484
HYPERLINK \l "_Toc12548547" 考點二　平面與平面平行的判定與性質(zhì) 486
HYPERLINK \l "_Toc12548548" 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 494
HYPERLINK \l "_Toc12548549" 考點一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 495
497
HYPERLINK \l "_Toc12548551" 第六節(jié) 直線、平面平行與垂直的綜合問題 504
504
506
HYPERLINK \l "_Toc12548554" 第七節(jié) 空間角(視情況選用) 513
513
514
516
HYPERLINK \l "_Toc12548558" 第九章 平面解析幾何 522
HYPERLINK \l "_Toc12548559" 第一節(jié) 直線的傾斜角、斜率與直線的方程 522
523
524
526
HYPERLINK \l "_Toc12548563" 第二節(jié) 兩直線的位置關系 531
532
533
535
HYPERLINK \l "_Toc12548567" 第三節(jié) 圓的方程 541
541
544
HYPERLINK \l "_Toc12548570" 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關系 551
551
554
HYPERLINK \l "_Toc12548573" 第五節(jié) 直線與圓的綜合問題 561
561
563
HYPERLINK \l "_Toc12548576" 第六節(jié) 橢 圓 571
HYPERLINK \l "_Toc12548577" 第一課時　橢圓及其性質(zhì) 572
572
574
575
HYPERLINK \l "_Toc12548581" 第二課時　直線與橢圓的綜合問題 585
585
586
588
HYPERLINK \l "_Toc12548585" 第七節(jié) 雙曲線 597
598
600
602
HYPERLINK \l "_Toc12548589" 第八節(jié) 拋物線 611
612
613
615
HYPERLINK \l "_Toc12548593" 第九節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關系 624
HYPERLINK \l "_Toc12548594" 考點一　直線與圓錐曲線的位置關系 625
626
HYPERLINK \l "_Toc12548596" 第十節(jié) 圓錐曲線中的最值、范圍問題 638
638
640
HYPERLINK \l "_Toc12548599" 第十一節(jié) 圓錐曲線中的定點、定值與存在性問題 646
646
647
HYPERLINK \l "_Toc12548602" 考點三　假設存在定結(jié)論(探索性問題) 649
HYPERLINK \l "_Toc12548603" 第十章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 656
HYPERLINK \l "_Toc12548604" 第一節(jié) 隨機抽樣 656
657
658
659
HYPERLINK \l "_Toc12548608" 第二節(jié) 用樣本估計總體 665
666
667
669
HYPERLINK \l "_Toc12548612" 第三節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 679
HYPERLINK \l "_Toc12548613" 考點一　回歸分析 680
684
HYPERLINK \l "_Toc12548615" 第十一章 概　率 693
HYPERLINK \l "_Toc12548616" 第一節(jié) 隨機事件的概率 693
695
696
698
HYPERLINK \l "_Toc12548620" 第二節(jié) 古典概型 704
704
HYPERLINK \l "_Toc12548622" 考點二　古典概型與其他知識的交匯問題 706
HYPERLINK \l "_Toc12548623" 第三節(jié) 幾何概型 715
715
717
718
HYPERLINK \l "_Toc12548627" 第四節(jié) 概率與統(tǒng)計的綜合問題 726
726
727
729
730
HYPERLINK \l "_Toc12548632" 第十二章復數(shù)、算法、推理與證明 738
HYPERLINK \l "_Toc12548633" 第一節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 738
739
740
742
HYPERLINK \l "_Toc12548637" 第二節(jié) 算法與程序框圖 748
749
751
755
HYPERLINK \l "_Toc12548641" 第三節(jié) 合情推理與演繹推理 765
766
768
769
770
HYPERLINK \l "_Toc12548646" 第四節(jié) 直接證明與間接證明 776
777
778
HYPERLINK \l "_Toc12548649" 選修4－4 坐標系與參數(shù)方程 785
HYPERLINK \l "_Toc12548650" 第一節(jié) 坐標系 785
HYPERLINK \l "_Toc12548651" 考點一　平面直角坐標系下圖形的伸縮變換 786
787
789
HYPERLINK \l "_Toc12548654" 第二節(jié) 參數(shù)方程 795
796
797
799
HYPERLINK \l "_Toc12548658" 選修4－5 不等式選講 806
HYPERLINK \l "_Toc12548659" 第一節(jié) 絕對值不等式 806
807
809
809
HYPERLINK \l "_Toc12548663" 第二節(jié) 不等式的證明 816
816
817
818



第一章 集合與常用邏輯用語
第一節(jié) 集 合
一、基礎知識
1．集合的有關概念
(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．
元素互異性，即集合中不能出現(xiàn)相同的元素，此性質(zhì)常用于求解含參數(shù)的集合問題中．
(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(3)元素與集合的兩種關系：屬于，記為；不屬于，記為.
(4)五個特定的集合及其關系圖：

N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．

2．集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記作A?B或B?A.
A?B?既要說明A中任何一個元素都屬于B，也要說明B中存在一個元素不屬于A.
(3)集合相等：如果A?B，并且B?A，則A＝B.
兩集合相等：A＝B?A中任意一個元素都符合B中元素的特性，B中任意一個元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．記作?.
?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3．集合間的基本運算
(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.
二、常用結(jié)論
(1)子集的性質(zhì)：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B.
(2)交集的性質(zhì)：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.
(4)補集的性質(zhì)：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.
(5)含有n個元素的集合共有2n個子集，其中有2n－1個真子集，2n－1個非空子集．
(6)等價關系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.
考點一　集合的基本概念
[典例]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　)
A．3　　　　　　　　　 　B．2
C．1 D．0
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 019＋b2 019的值為(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析]　(1)因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2.
(2)由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案]　(1)B　(2)C
[提醒]　集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．
[題組訓練]
1．設集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選A　若x∈B，則－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，當0∈B時，1－0＝1∈A；當－1∈B時，1－(－1)＝2∈A；當－2∈B時，1－(－2)＝3∈A；當－3∈B時，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的個數(shù)為1.
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于(　　)
A. B.
C．0 D．0或
解析：選D　若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．
當a＝0時，x＝，符合題意．
當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的值為0或.
3.（2018·廈門模擬）已知P={x|2解析：因為P中恰有3個元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范圍為5答案：（5，6］

[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B?A　　　　　　　　 　B．A＝B
C．A?B D．B?A
(2)(2019·湖北八校聯(lián)考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，則滿足條件B?A的集合B的個數(shù)為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
(3)已知集合A＝{x|－1[解析]　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，比較A，B中的元素可知A?B，故選C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0(3)當m≤0時，B＝?，顯然B?A.
當m>0時，因為A＝{x|－1若B?A，在數(shù)軸上標出兩集合，如圖，

所以所以0綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1]．
[答案]　(1)C　(2)C　(3)(－∞，1]
[變透練清]
1.若本例(2)中A不變，C＝{x|0A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：選D　因為A＝{1,2}，由題意知C＝{1,2,3,4}，所以滿足條件的B可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.若本例(3)中，把條件“B?A”變?yōu)椤癆?B”，其他條件不變，則m的取值范圍為________．
解析：若A?B，由得m≥3，
∴m的取值范圍為[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2②若1∈B，則12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；
③若2∈B，則22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此時B＝，不合題意．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．
答案：[－2,2)

考法(一)　集合的運算
[典例]　(1)(2018·天津高考)設集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1,1}　　　　　　　 　B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為(　　)

A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依題意得A＝{x|x<－1或x>4}，
因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
[答案]　(1)C　(2)D
考法(二)　根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù)
[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，則a＝(　　)
A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
[解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B.
(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3，故選A.
[答案]　(1)B　(2)A
[題組訓練]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：選C　因為集合B＝{x|－12．(2019·重慶六校聯(lián)考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，則(?RA)∩B＝(　　)
A. B.
C. D．?
解析：選A　由題意得A＝，B＝(0,100)，則?RA＝(－∞，－1)∪，所以(?RA)∩B＝.

3．(2019·合肥質(zhì)量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：選A　因為A∩B≠?，
所以解得a≥1.

1．(2019·福州質(zhì)量檢測)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：選B　依題意，集合A是由所有的奇數(shù)組成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的個數(shù)為2.
2．設集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，則?U(A∪B)＝(　　)
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：選A　因為A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以?U(A∪B)＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)設全集為R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝(　　)
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：選B　∵全集為R，B＝{x|x≥1}，
∴?RB＝{x|x＜1}．
∵集合A＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}．
4．(2018·南寧畢業(yè)班摸底)設集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，則下列關系中正確的是(　　)
A．M∩N＝M B．M∪(?RN)＝M
C．N∪(?RM)＝R D．M∪N＝M
解析：選D　由題意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.

5．設集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，則A∩B為(　　)
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：選A　∵≤2x<，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<，∴A＝.∵ln x≤0，即ln x≤ln 1，∴06．(2019·鄭州質(zhì)量測試)設集合A＝{x|1A．(－∞，2] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：選D　由A∩B＝A，可得A?B，又因為A＝{x|17．已知全集U＝A∪B中有m個元素，∪中有n個元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為(　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：選D　因為∪中有n個元素，如圖中陰影部分所示，又U＝A∪B中有m個元素，故A∩B中有m－n個元素．
8．定義集合的商集運算為＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，則集合∪B中的元素個數(shù)為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選B　由題意知，B＝{0,1,2}，＝，則∪B＝，共有7個元素．
9．設集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________.
解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，則下圖中陰影部分所表示的集合為
________．


解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴?UB＝{x|x≤1或x≥4}，則題圖中陰影部分所表示的集合為(?UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．
答案：{x|－5≤x≤1}
11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則集合A∩B中的元素個數(shù)為________．
解析：法一：由集合的意義可知，A∩B表示曲線y＝3x2－3x＋1與直線y＝x的交點構(gòu)成的集合．
聯(lián)立得方程組解得或
故A∩B＝，所以A∩B中含有2個元素．
法二：由集合的意義可知，A∩B表示曲線y＝3x2－3x＋1與直線y＝x的交點構(gòu)成的集合．因為3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判別式Δ>0，所以該方程有兩個不相等的實根，所以A∩B中含有2個元素．
答案：2
12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，
即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A?B，在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖所示，則a＞4.
答案：(4，＋∞)
13．設全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)分別求A∩B，A∪(?UB)；
(2)若B∪C＝B，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由題意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2(2)由B∪C＝B，可知C?B，畫出數(shù)軸(圖略)，
易知2故實數(shù)a的取值范圍是(2,3)．


第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件
一、基礎知識
1．命題的概念
用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
　　　　　 　　　　　　 　　　　　
2．四種命題及其相互關系

3．充分條件、必要條件與充要條件
(1)如果p?q，則p是q的充分條件；
①A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA；
②A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB，在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤．
(2)如果q?p，則p是q的必要條件；
(3)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的充要條件．
充要關系與集合的子集之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．
③若A＝B，則p是q的充要條件．
二、常用結(jié)論
1．四種命題中的等價關系
原命題等價于逆否命題，否命題等價于逆命題，所以在命題不易證明時，往往找等價命題進行證明．
2．等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件
p是q的充分不必要條件，等價于非q是非p的充分不必要條件．其他情況以此類推．

[典例]　(2019·菏澤模擬)有以下命題：
①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；
②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題；
③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題；
④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．
其中真命題是(　　)
A．①②　　　　　　　 　B．②③
C．④ D．①②③
[解析]　①原命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”，是真命題；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確．
[答案]　D
[題組訓練]
1．(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則－1A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，則x2>1
D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1
解析：選D　命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若非q，則非p”的形式，所以“若x2<1，則－12．已知集合P＝，Q＝，記原命題：“x∈P，則x∈Q”，那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：選C　因為P＝＝，Q＝，
所以P?Q，所以原命題“x∈P，則x∈Q”為真命題，
則原命題的逆否命題為真命題．
原命題的逆命題“x∈Q，則x∈P”為假命題，
則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個數(shù)為2.


[典例]　(1)(2019·湖北八校聯(lián)考)若a，b，c，d∈R，則“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的(　　)
A．充分不必要條件　　 　B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(2018·天津高考)設x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析]　(1)定義法
當a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4時，a＋d＝b＋c，但此時a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當a，b，c，d依次成等差數(shù)列時，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.
(2)集合法
由＜，得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即“＜”?“x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，
當x≤0時，≥，
即“x3＜1” “＜”．
所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要條件．
(3)等價轉(zhuǎn)化法
因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以非p：x＋y＝－2，非q：x＝－1且y＝－1，

因為非q?非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．
[答案]　(1)B　(2)A　(3)A

[提醒]　判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，要注意“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別，要正確理解“p的一個充分不必要條件是q”的含義．

[題組訓練]
1.已知x∈R，則“x<1”是“x2<1”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　若x2<1，則－12.(2018·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個非零向量，則“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　設m，n的夾角為θ，若m，n的夾角為鈍角，則<θ<π，則cos θ<0，則m·n<0成立；當θ＝π時，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夾角不為鈍角．故“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件．
3.“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　設p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，
則非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.
可知非q?非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要條件．
故p是q的充分不必要條件，
即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要條件．
考點三　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍
[典例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是________．
[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.
則所以0≤m≤3.
所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．
[答案]　[0,3]

[變透練清]
1.若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．
解：若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，
所以解得
即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．
2.若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤叭舴荘是非S的必要不充分條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍．
解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵非P是非S的必要不充分條件，
∴S是P的必要不充分條件，∴P?S且SP.
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．


1．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　)
A．逆命題　　　　　　 　B．否命題
C．逆否命題 D．否定
解析：選B　命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題．
2．命題“若x2＋3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(　　)
A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為真命題
B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為真命題
C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為假命題
D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為假命題
解析：選C　根據(jù)逆否命題的定義可以排除A、D，因為x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題．
3．原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　 　B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：選B　當z1，z2互為共軛復數(shù)時，設z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a－bi，則|z1|＝|z2|＝，所以原命題為真，故其逆否命題為真．取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復數(shù)，所以其逆命題為假，故其否命題也為假．
4．(2018·北京高考)設a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　a，b，c，d是非零實數(shù)，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，則a，b，c，d不成等比數(shù)列(可以假設a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質(zhì)可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件．
5．已知命題α：如果x<3，那么x<5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如果x≥5，那么x≥3.關于這三個命題之間的關系中，下列說法正確的是(　　)
①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題；
②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題；
③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：選A　本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得，故①正確，②錯誤，③正確．
6．(2018·北京高考)設a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
因為a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要條件．
7．如果x，y是實數(shù)，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C　設集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，則A的補集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，顯然C?D，所以B?A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分條件．
8．(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是(　　)
A．m> B．0C．m>0 D．m>1
解析：選C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此當不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時，必有m>0，但當m>0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.
9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________條件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，則A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0答案：充要
10．在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數(shù)是________．
解析：若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個數(shù)為3.
答案：3
11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.
故實數(shù)m的取值范圍為[3,8)．
答案：[3,8)
12．(2019·齊魯名校調(diào)研)給出下列說法：
①“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是假命題；
②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題；
③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件；
④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”．
以上說法正確的是________(填序號)．
解析：對于①，“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是“若sin x＝cos y，則x＋y＝”，當x＝0，y＝時，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命題為假命題，①正確；對于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正確；對于③，“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯誤；對于④，根據(jù)否命題的定義知④正確．
答案：①②④
13．寫出命題“已知a，b∈R，若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
解：(1)逆命題：已知a，b∈R，若a2≥4b，則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題．
(2)否命題：已知a，b∈R，若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b，為真命題．
(3)逆否命題：已知a，b∈R，若a2<4b，則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題．


第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞
一、基礎知識
1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1)命題中的“且”“或”“非”?叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．
①用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復合命題“p且q”，記作p∧q；
②用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復合命題“p或q”，記作p∨q；
③對命題p的結(jié)論進行否定，得到復合命題“非p”，記作非p.?
?“且”的數(shù)學含義是幾個條件同時滿足，“且”在集合中的解釋為“交集”；“或”的數(shù)學含義是至少滿足一個條件，“或”在集合中的解釋為“并集”；“非”的含義是否定，“非p”只否定p的結(jié)論，“非”在集合中的解釋為“補集”.

?“命題的否定”與“否命題”的區(qū)別
(1)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論．
(2)命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無必然聯(lián)系．
(2)命題真值表：

p q p∧q p∨q 非p
真 真 真
假 真 真
真 假 真
假 假 假

命題真假的判斷口訣
p∨q→見真即真，p∧q→見假即假，p與非p→真假相反.

2．全稱量詞與存在量詞

量詞名稱 常見量詞 表示符號
全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個等 ?
存在量詞 存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等 ?
3.全稱命題與特稱命題
命題名稱 命題結(jié)構(gòu) 命題簡記
全稱命題 對M中任意一個x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x)
特稱命題 存在M中的一個x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0)

4．全稱命題與特稱命題的否定

命題 命題的否定
?x∈M，p(x) ?x0∈M，非p(x0)
?x0∈M，p(x0) ?x∈M，非p(x)

二、常用結(jié)論

含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關系
(1)p∨q真?p，q至少一個真?(非p)∧(非q)假．
(2)p∨q假?p，q均假?(非p)∧(非q)真．
(3)p∧q真?p，q均真?(非p)∨(非q)假．
(4)p∧q假?p，q至少一個假?(非p)∨(非q)真．
考點一　判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假

[典例]　(1)(2017·山東高考)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q　　　　　　　　 B．p∧非q
C．非p∧q D．非p∧非q
(2)(2019·安徽安慶模擬)設命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真的是(　　)
A．p∧(非q) B．(非p)∧q
C．p∧q D．(非p)∨q
[解析]　(1)當x>0時，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p為真命題；取a＝1，b＝－2，這時滿足a>b，顯然a2>b2不成立，因此q為假命題．由復合命題的真假性，知B為真命題．
(2)對于命題p，當x0＝4時，x0＋＝>3，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命題q為假命題，所以p∧ (非q)為真命題，故選A.
[答案]　(1)B　(2)A


[題組訓練]
1．(2019·惠州調(diào)研)已知命題p，q，則“非p為假命題”是“p∧q是真命題”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析：選B　充分性：若非p為假命題，則p為真命題，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命題．必要性：p∧q是真命題，則p，q均為真命題，則非p為假命題．所以“非p為假命題”是“p∧q是真命題”的必要不充分條件．
2．已知命題p：“若x2－x>0，則x>1”；命題q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則xy＝0”．下列命題是真命題的是(　　)
A．p∨(非q) B．p∨q
C．p∧q D．(非p)∧(非q)
解析：選B　若x2－x>0，則x>1或x<0，故p是假命題；若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命題．則p∨q是真命題．



[典例]　(1)命題?x∈R，ex－x－1≥0的否定是(　　)
A．?x∈R，ex－x－1≤0　　
B．?x∈R，ex－x－1≥0
C．?x0∈R，ex0－x0－1≤0
D．?x0∈R，ex0－x0－1<0
(2)對命題?x0>0，x>2x0，下列說法正確的是(　　)
A．真命題，其否定是?x0≤0，x≤2x0
B．假命題，其否定是?x>0，x2≤2x
C．真命題，其否定是?x>0，x2≤2x
D．真命題，其否定是?x≤0，x2≤2x
[解析]　(1)改全稱量詞為存在量詞，把不等式中的大于或等于改為小于．故選D.
(2)已知命題是真命題，如32＝9>8＝23，其否定是?x>0，x2≤2x.故選C.
[答案]　(1)D　(2)C

[題組訓練]
1．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2
C．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x
D．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x
解析：選D　?改寫為?，?改寫為?，n≤x2的否定是n>x2，則該命題的否定形式為“?x0∈R，?n∈N*，使得n>x”．
2．已知命題p：?n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；命題q：“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．則下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q B．(非p)∧q
C．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)
解析：選C　當n＝1時，f(x)＝x3為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則非p是假命題；“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命題，非q是真命題．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均為假命題，p∧(非q)為真命題，選C.

考點三　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

[典例]　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．
[解]　依題意知p，q均為假命題，
當p是假命題時，則mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；
當q是真命題時，則Δ＝m2－4<0，－2因此由p，q均為假命題得即m≥2.
所以實數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞)．

[變透練清]
1.若本例將條件“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為真命題”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：依題意，當p是真命題時，有m<0；
當q是真命題時，有－2由可得－2所以m的取值范圍為(－2,0)．
答案：(－2,0)
2.若本例將條件“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為假，p或q為真”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：若p且q為假，p或q為真，則p，q一真一假．
當p真q假時所以m≤－2；
當p假q真時所以0≤m<2.
所以m的取值范圍為(－∞，－2]∪[0,2)．
答案：(－∞，－2]∪[0,2)
3.若本例將條件q變?yōu)椋捍嬖趚0∈R，x＋mx0＋1<0，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為________．
解析：依題意，當q是真命題時，Δ＝m2－4>0，
所以m>2或m<－2.由得0≤m≤2，
所以m的取值范圍為[0,2]．
答案：[0,2]


1．(2019·西安摸底)命題“?x>0，>0”的否定是(　　)
A．?x0≥0，≤0　　　 　B．?x0>0,0≤x0≤1
C．?x>0，≤0 D．?x<0,0≤x≤1
解析：選B　∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，
∴命題的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命題中，假命題的是(　　)
A．?x∈R,21－x>0
B．?a0∈R，y＝xa0的圖象關于y軸對稱
C．函數(shù)y＝xa的圖象經(jīng)過第四象限
D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝相切
解析：選C　對于A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為真命題；對于B，當a＝2時，其圖象關于y軸對稱；對于C，當x>0時，y>0恒成立，從而圖象不過第四象限，故為假命題；對于D，因為圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離等于，等于圓的半徑，命題成立．
3．(2019·陜西質(zhì)檢)已知命題p：對任意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q B．(非p)∧(非q)
C．(非p)∧q D．p∧(非q)
解析：選D　由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題．易知x>1是x>2的必要不充分條件，所以命題q為假命題．由復合命題真值表可知p∧(非q)為真命題．
4．(2018·湘東五校聯(lián)考)下列說法中正確的是(　　)
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件
B．命題p：?x∈R,2x>0，則非p：?x0∈R,2x0<0
C．命題“若a>b>0，則<”的逆命題是真命題
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要條件
解析：選A　對于選項A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正確．對于選項B，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：?x∈R,2x>0的否定是非p：?x0∈R,2x0≤0，故B錯誤．對于選項C，其逆命題：若<，則a>b>0，可舉反例，如a＝－1，b＝1，顯然是假命題，故C錯誤．對于選項D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D錯誤．故選A.
5．(2019·唐山五校聯(lián)考)已知命題p：“a>b”是“2a>2b”的充要條件；命題q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，則(　　)
A．(非p)∨q為真命題 B．p∧(非q)為假命題
C．p∧q為真命題 D．p∨q為真命題
解析：選D　由題意可知命題p為真命題．因為|x＋1|≤x的解集為空集，所以命題q為假命題，所以p∨q為真命題．
6．下列說法錯誤的是(　　)
A．命題“若x2－5x＋6＝0，則x＝2”的逆否命題是“若x≠2，則x2－5x＋6≠0”
B．若命題p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，則非p：對任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，則“x＝y(tǒng)”是“xy≥2”的充要條件
D．已知命題p和q，若“p或q”為假命題，則命題p與q中必一真一假
解析：選D　由原命題與逆否命題的關系，知A正確；由特稱命題的否定知B正確；由xy≥2?4xy≥(x＋y)2?4xy≥x2＋y2＋2xy?(x－y)2≤0?x＝y(tǒng)，知C正確；對于D，命題“p或q”為假命題，則命題p與q均為假命題，所以D不正確．
7．(2019·長沙模擬)已知命題“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：選C　當原命題為真命題時，a>0且Δ<0，所以a>4，故當原命題為假命題時，a≤4.
8．下列命題為假命題的是(　　)
A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0
B．“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件
C．?x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立
D．已知兩個平面α，β，若兩條異面直線m，n滿足m?α，n?β且m∥β，n∥α，則α∥β
解析：選C　對于A選項，令x＝1，y＝，則ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.對于B選項，“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件，正確，故排除B.對于C選項，根據(jù)冪函數(shù)y＝xα，當α<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C錯誤．對于D選項，已知兩個平面α，β，若兩條異面直線m，n滿足m?α，n?β且m∥β，n∥α，可過n作一個平面與平面α相交于直線n′.由線面平行的性質(zhì)定理可得n′∥n，再由線面平行的判定定理可得n′∥β，接下來由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，選C.
9．若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，則命題p可寫為________________________．
解析：因為p是非p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，再對結(jié)論否定即可．
答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．已知命題p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”與“非q”同時為假命題，則 x＝________.
解析：若p為真，則x≥－1或x≤－3，
因為“非q”為假，則q為真，即x∈Z，
又因為“p∧q”為假，所以p為假，故－3＜x＜－1，
由題意，得x＝－2.
答案：－2
11．已知p：a<0，q：a2>a，則非p是非q的________條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由題意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因為{a|0≤a≤1}?{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分條件．
答案：必要不充分
12．已知命題p：a2≥0(a∈R)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列命題：
①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.
其中為假命題的序號為________．
解析：顯然命題p為真命題，非p為假命題．
∵f(x)＝x2－x＝2－，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴命題q為假命題，非q為真命題．
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，(非p)∧(非q)為假命題，(非p)∨q為假命題．
答案：②③④
13．設t∈R，已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1有零點；命題q：?x∈[1，＋∞)， －x≤4t2－1.
(1)當t＝1時，判斷命題q的真假；
(2)若p∨q為假命題，求t的取值范圍．
解：(1)當t＝1時，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命題q為真命題．
(2)若p∨q為假命題，則p，q都是假命題．
當p為假命題時，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1當q為真命題時，max≤4t2－1，即4t2－1≥0，
解得t≤－或t≥，
∴當q為假命題時，－∴t的取值范圍是.


第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ
第一節(jié) 函數(shù)及其表示
一、基礎知識
1．函數(shù)與映射的概念

2．函數(shù)的有關概念
(1)函數(shù)的定義域、值域：
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
求函數(shù)定義域的策略
(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā)．
(2)如果函數(shù)y＝f(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域．
(3)如果函數(shù)y＝f(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域．
(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系．
(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).
兩函數(shù)值域與對應關系相同時，兩函數(shù)不一定相同．
(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．
3．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
關于分段函數(shù)的3個注意
(1)分段函數(shù)雖然由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交．


[典例]　(1)(2019·長春質(zhì)檢)函數(shù)y＝＋的定義域是(　　)
A．[－1,0)∪(0,1)　　　 　B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
[解析]　(1)由題意得解得－1所以原函數(shù)的定義域為(－1,0)∪(0,1)．
(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定義域為(－1,0)，可知－1得－1[答案]　(1)D　(2)B
[解題技法]
1．使函數(shù)解析式有意義的一般準則
(1)分式中的分母不為0；
(2)偶次根式的被開方數(shù)非負；
(3)y＝x0要求x≠0；
(4)對數(shù)式中的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；
(5)正切函數(shù)y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)實際問題中除考慮函數(shù)解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求．
2．抽象函數(shù)的定義域問題
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．

[題組訓練]
1.函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析：選B　由得－12.若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1,2 019]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________________．
解析：因為y＝f(x)的定義域是[1,2 019]，
所以若g(x)有意義，應滿足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.
因此g(x)的定義域是{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
答案：{x|0≤x≤2 018，且x≠1}

[典例]　(1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
[解]　(1)法一：待定系數(shù)法
因為f(x)是二次函數(shù)，所以設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：換元法
令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝，
所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配湊法
因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)解方程組法
由f(－x)＋2f(x)＝2x， ①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．
[解題技法]　求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件
(1)待定系數(shù)法
先設出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應的待定系數(shù)．
(2)換元法
對于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍．
(3)配湊法
由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)解方程組法
已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．

[提醒]　由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是R，一定要注明函數(shù)的定義域．

[題組訓練]
1.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________________.
解析：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
答案：x2＋x(x∈R)
2.已知f＝lg x，則f(x)＝________________.
解析：令＋1＝t，得x＝，則f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
答案：lg(x>1)
3.已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x換成，得2f＋f(x)＝.②
聯(lián)立①②可得
解此方程組可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)



考法(一)　求函數(shù)值
[典例]　(2019·石家莊模擬)已知f(x)＝(0A．－2　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．－3
[解析]　由題意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
聯(lián)立①②，結(jié)合0所以f(x)＝
則f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
[答案]　B


[解題技法]　求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略
(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值；
(2)當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值；
(3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點．

考法(二)　求參數(shù)或自變量的值(或范圍)
[典例]　(2018·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
[解析]　法一：分類討論法
①當即x≤－1時，
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集為(－∞，－1]．
②當時，不等式組無解．
③當即－1f(x＋1)因此不等式的解集為(－1,0)．
④當即x>0時，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意．
綜上，不等式f(x＋1)法二：數(shù)形結(jié)合法
∵f(x)＝
∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
結(jié)合圖象知，要使f(x＋1)則需或
∴x<0，故選D.
[答案]　D

[解題技法]
已知函數(shù)值(或范圍)求自變量的值(或范圍)的方法
(1)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍，最后將各段的結(jié)果合起來(求并集)即可；
(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．
[題組訓練]
1．設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選C　當0＜a＜1時，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
當a≥1時，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，無解．
綜上，f＝6.
2．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝________.
解析：由題意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，
∴f(f(3))＝f(2)＝2.
答案：2
3．(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________．
解析：由題意知，可對不等式分x≤0,0討論．
①當x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－，
故－②當01，顯然成立．
③當x>時，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立．
綜上可知，所求x的取值范圍是.
答案：
4．設函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
解析：若a<0，則f(a)<1?a－7<1?a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，則f(a)<1?<1，解得a<1，故0≤a<1.
綜上可得－3答案：(－3,1)

1．下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為(　　)


A．1 　B．2
C．3 D．4
解析：選B　①中當x＞0時，每一個x的值對應兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；②中當x＝x0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；③④中每一個x的值對應唯一的y值，因此是函數(shù)圖象．故選B.
2．函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：選C　由題意得解得x≥0，且x≠2.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：選A　令t＝x－1，則x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
則4a－1＝6，解得a＝.
4．(2019·貴陽檢測)下列函數(shù)中，同一個函數(shù)的定義域與值域相同的是(　　)
A．y＝ B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
解析：選D　對于A，定義域為[1，＋∞)，值域為[0，＋∞)，不滿足題意；對于B，定義域為(0，＋∞)，值域為R，不滿足題意；對于C，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不滿足題意；對于D，y＝＝1＋，定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．(2018·福建期末)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝(　　)
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：選A　當a>0時，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a>0)；當a≤0時，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
6．已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)的定義域是(　　)
A．[1,2] B．(－1,1]
C. D．(－1,0)
解析：選D　由f(2x－1)的定義域是[0,1]，
得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
∴f(x)的定義域是[－1,1]，
∴要使函數(shù)有意義，
需滿足解得－17．下列函數(shù)中，不滿足f(2 018x)＝2 018f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：選C　若f(x)＝|x|，則f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，則f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，則f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，則f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故選C.
8．已知具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：選B　對于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，滿足題意；對于②，f＝＋x＝f(x)，不滿足題意；對于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，滿足題意．
綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是①③.
9．(2019·青島模擬)函數(shù)y＝ln＋的定義域為________．
解析：由??0所以該函數(shù)的定義域為(0,1]．
答案：(0,1]
10．(2019·益陽、湘潭調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝則f(f(－9))＝________.
解析：∵函數(shù)f(x)＝∴f(－9)＝lg 10＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－2.
答案：－2
11．(2018·張掖一診)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于________．
解析：∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.
依題知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
12．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是________．
解析：由題意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，
故所求x的取值范圍是[－4,2]．
答案：[－4,2]
13．設函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)在如圖所示的直角坐標系中畫出f(x)的圖象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得所以f(x)＝
(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．



第二節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值
一、基礎知識
1．增函數(shù)、減函數(shù)
定義：設函數(shù)f(x)的定義域為I：
(1)增函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1(2)減函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．
增(減)函數(shù)定義中的x1，x2的三個特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可．
2．單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.
有關單調(diào)區(qū)間的兩個防范
(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示．
(2)有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．

3．函數(shù)的最值
設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：
(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值或最小值．
函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論
(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到．
(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．
二、常用結(jié)論
在公共定義域內(nèi)：
(1)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)＋g(x)是增函數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)＋g(x)是減函數(shù)；
(3)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)是增函數(shù)；
(4)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)－g(x)是減函數(shù)；
(5)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；
(6)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反；
(7)復合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關．簡記：“同增異減”．



[典例]　(1)求函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間．
(2)試討論函數(shù)f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．
[解]　(1)易知f(x)＝
＝
畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定義法
設－1f(x)＝a＝a，
則f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．
法二：導數(shù)法
f′(x)＝
＝＝－.
當a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；
當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．

[解題技法]　判斷函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法
(1)定義法：一般步驟為設元―→作差―→變形―→判斷符號―→得出結(jié)論．
(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．
(3)導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間．
(4)性質(zhì)法：對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進行判斷；復合函數(shù)單調(diào)性，可用同增異減來確定．
[題組訓練]
1．下列函數(shù)中，滿足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：選C　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A、D選項中，f(x)為增函數(shù)；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不單調(diào)；對于f(x)＝－x，因為y＝與y＝－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
2．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：選D　令t＝x2－4，則y＝logt.因為y＝logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．
3．判斷函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．
解：設x1，x2是任意兩個正數(shù)，且x1則f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
當0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在(0， ]上是減函數(shù)；
當≤x1a，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函數(shù)f(x)在[，＋∞)上是增函數(shù)．
綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．

[典例]　(1)(2019?深圳調(diào)研)函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的值域為________．
(2)若函數(shù)f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域為，則a＝________，b＝________.
(3)函數(shù)f(x)＝的最大值為________．
[解析]　(1)圖象法
函數(shù)y＝
作出函數(shù)的圖象如圖所示．
根據(jù)圖象可知，函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的值域為[3，＋∞)．
(2)單調(diào)性法
∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函數(shù)，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
(3)當x≤0時，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此時f(x)在x＝－2處取得最大值，且f(－2)＝4；當x>0時，f(x)＝sin x，此時f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最大值為1.綜上所述，函數(shù)f(x)的最大值為4.
[答案]　(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)4

[提醒]　(1)求函數(shù)的最值時，應先確定函數(shù)的定義域．
(2)求分段函數(shù)的最值時，應先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．

[題組訓練]
1．函數(shù)f(x)＝的值域為________．
解析：當x>0時，f(x)＝x＋≥4，
當且僅當x＝2時取等號；
當x<0時，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
當且僅當x＝－2取等號，
所以函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若x∈，則函數(shù)y＝4sin2x－12sin x－1的最大值為________，最小值為________．
解析：令t＝sin x，因為x∈，
所以t∈，y＝f(t)＝4t2－12t－1，
因為該二次函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為t＝，所以當t∈時，函數(shù)f(t)單調(diào)遞減，
所以當t＝－時，ymax＝6；
當t＝1時，ymin＝－9.
答案：6　－9

3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立等價于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函數(shù)y＝－x2－2x在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴(－x2－2x)max＝－3，故a>－3，
又∵a≤1，∴－3答案：(－3,1]

考法(一)　比較函數(shù)值的大小
[典例]　設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)　
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)[解析]　因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因為函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．
所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案]　A
[解題技法]　比較函數(shù)值大小的解題思路
比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．
考法(二)　解函數(shù)不等式
[典例]　設函數(shù)f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　　 　B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
[解析]　易知函數(shù)f(x)在定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．
[答案]　B

[解題技法]　求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路
先利用函數(shù)的相關性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)
考法(三)　利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)
[典例]　 (2019?南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[解析]　設11.
∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范圍是[－1，＋∞)．
[答案]　[－1，＋∞)

[解題技法]
利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法
(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；
(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．
[題組訓練]
1．已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
解析：選D　由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以a＝f＝f.當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.
2．已知函數(shù)f(x)＝是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

A. B.
C. D.
解析：選B　由對數(shù)函數(shù)的定義可得a>0，且a≠1.
又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，而二次函數(shù)y＝ax2－x－的圖象開口向上，
所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，
故有即
所以a∈.

A級
1．下列四個函數(shù)中，在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：選C　當x>0時，f(x)＝3－x為減函數(shù)；當x∈時，f(x)＝x2－3x為減函數(shù)，當x∈時，f(x)＝x2－3x為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－為增函數(shù)；當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝－|x|為減函數(shù)．
2．若函數(shù)f(x)＝ax＋1在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)g(x)＝a(x2－4x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：選B　因為f(x)＝ax＋1在R上單調(diào)遞減，所以a<0.
而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因為a<0，所以g(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增．
3．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的增函數(shù)，滿足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4．(2019·菏澤模擬)定義新運算⊕：當a≥b時，a⊕b＝a；當aA．－1 B．1
C．6 D．12
解析：選C　由題意知當－2≤x≤1時，f(x)＝x－2，當15．已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，－3)，B(3,1)是其圖象上的兩點，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的補集是(全集為R)(　　)
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：選D　由函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，－3)，B(3,1)是其圖象上的兩點，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即為f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的補集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
6．已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
解析：選C　若f(x)是R上的增函數(shù)，則應滿足解得－3≤a≤－2.
7．已知函數(shù)f(x)＝，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：設t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因為函數(shù)t＝x2－2x－3的圖象的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．函數(shù)f(x)＝的最大值為________．
解析：當x≥1時，函數(shù)f(x)＝為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x<1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.
答案：2
9．若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值的和為，則a＝________.
解析：由f(x)＝的圖象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∵[2，a]?(0，＋∞)，
∴f(x)＝在[2，a]上也是減函數(shù)，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
10．(2019·甘肅會寧聯(lián)考)若f(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函數(shù)在區(qū)間(－2，＋∞)上是增函數(shù)，需使a－3<0，解得a<3.
答案：(－∞，3)
11．已知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)證明：任取x1＞x2＞0，
則f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
(2)由(1)可知，f(x)在上是增函數(shù)，
∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，
解得a＝.
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
解：(1)證明：當a＝－2時，f(x)＝.
任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－＝.
因為(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－＝.
因為a＞0，x2－x1＞0，又由題意知f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.
所以0＜a≤1.
所以a的取值范圍為(0,1]．
B級
1．若f(x)＝－x2＋4mx與g(x)＝在區(qū)間[2,4]上都是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0，＋∞) D．(0,1]
解析：選D　函數(shù)f(x)＝－x2＋4mx的圖象開口向下，且以直線x＝2m為對稱軸，若在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù)，則2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的圖象由y＝的圖象向左平移一個單位長度得到，若在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù)，則2m>0，解得m>0.綜上可得，m的取值范圍是(0,1]．
2．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，則正數(shù)a的取值范圍是________．
解析：因為f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以解得－33.
又a>0，所以a>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②當x>0時，f(x)> －1.
(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù);
(2)若f(1)＝1，解關于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，則x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，　
所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．


第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性
一、基礎知
1．函數(shù)的奇偶性?
偶函數(shù) 奇函數(shù)
定義 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x
都有f(－x)＝f(x)?，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 都有f(－x)＝－f(x)?，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
圖象特征 關于y軸對稱 關于原點對稱

?函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．

?若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1?f(x)為偶函數(shù)；
(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1?f(x)為奇函數(shù)．

2．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
周期函數(shù)定義的實質(zhì)
存在一個非零常數(shù)T，使f(x＋T)＝f(x)為恒等式，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用結(jié)論
1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論
(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
3．函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．


[典例]　判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解]　(1)由f(x)＝，可知?故函數(shù)f(x)的定義域為(－6,0)∪(0,6]，定義域不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)由?x2＝1?x＝±1，故函數(shù)f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)由?－1定義域關于原點對稱．
此時f(x)＝＝＝－，
故有f(－x)＝－＝＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
(4)法一：圖象法
畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，圖象關于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．
法二：定義法
易知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，
當x>0時，f(x)＝x2－x，則當x<0時，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；當x<0時，f(x)＝x2＋x，則當x>0時，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．
法三：f(x)還可以寫成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)為偶函數(shù)．

[題組訓練]
1．(2018·福建期末)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝tan　　　　 　B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
解析：選B　對于選項A，易知y＝tan為非奇非偶函數(shù)；對于選項B，設f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數(shù)；對于選項C，設f(x)＝xcos x，則f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x為奇函數(shù)；對于選項D，設f(x)＝ln|x|－sin x，則f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x為非奇非偶函數(shù)，故選B.
2．設函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A．|f(x)|是偶函數(shù)
B．－f(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)
D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)
解析：選D　∵f(x)＝，
則f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函數(shù)．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函數(shù)，∴f(|x|)f(x)是奇函數(shù)．



[典例]　(1)(2019·福建三明模擬)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝2x，則當x>0時，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　 　B．2－x
C．－2－x D．2x
(2)(2018·貴陽摸底考試)已知函數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域為(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
[解析]　(1)當x>0時，－x<0，∵x<0時，f(x)＝2x，∴當x>0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當x>0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
(2)法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．
法二：函數(shù)f(x)的定義域為R，且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．
[答案]　(1)C　(2)A

[解題技法]
應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法
(1)求函數(shù)值
將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．
(2)求解析式
先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值．
(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性
利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性．

[題組訓練]
1．(2019·貴陽檢測)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－1，則f(－6)＝(　　)
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：選C　根據(jù)題意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－x，則當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為________．
解析：法一：當x<0時，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為.
法二：當x>0時，f(x)＝x2－x＝2－，最小值為－，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為.
答案：
3．(2018·合肥八中模擬)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，從而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案：1



[典例]　(1)(2018·開封期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當x∈(0,2]時，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 019)＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 　B.
C．2 D．－2
(2)(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________．
[解析]　(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函數(shù)f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
[答案]　(1)D　(2)

[題組訓練]
1．(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3時，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：
2．(2019·哈爾濱六中期中)設f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當x∈[－2,1)時，f(x)＝則f＝________.
解析：由題意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝.
答案：

A級
1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝x3＋1　　　　　 　B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：選B　對于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇

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