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北師版七下數學第一章《整式的乘除》冪的運算與乘法公式學習中的技巧性問題探究
學習冪的運算性質應注意的幾個問題
冪的運算性質是整式乘法的基礎，也是整式乘法的主要依據．在學習中應注意以下問題．
　　1．注意符號問題
　　例1 判斷下列等式是否成立：
　　 ①(-x)2＝-x2，
　　 ②(-x3)＝-(-x)3，
　　 ③(x-y)2＝(y-x)2，
　　 ④(x-y)3＝(y-x)3，
　　 ⑤x-a-b＝x-(a+b)，
　　 ⑥x+a-b＝x-(b-a)．
　　解：③⑤⑥成立．
　　以上六個等式，是否成立？為什么？這些都應分析清楚．所有這些問題的解決，對今后的學習是否能夠順利進行，都有著重要的意義．
　　2．注意冪的性質的混淆
　　 例如：(a5)2＝a7，a5·a2＝a10．
　　產生這樣錯誤的原因是對運算性質發生混淆．只一般地糾正錯誤是不能徹底解決問題的，有必要從乘方的意義以及性質是怎樣歸納得出的，找出產生錯誤的根源．
　　3．注意冪的運算性質的逆用
　　四個運算性質反過來也是成立的．有創新精神的學生在解題時逆用性質，但大部分學生不會逆用性質或想不到，能正反靈活地運用冪的運算性質會給解題帶來很大的幫助．
　　例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．
　　 解：103m+2n＝(10m)3×(10n)2＝43×52＝1600．
　　例3 試比較355，444，533的大小．
　　解：∵355＝(35)11＝24311，
　　 444＝(44)11＝25611，
　　 533＝(53)11＝12511，
　　 而125＜243＜256，
　　 ∴533＜355＜444．
　　4．注意冪的意義與冪的運算性質的混淆
　　 例如：比較234與243的大小．
　　 錯解：∵234＝212，243＝212，∴234＝243．
　　產生錯誤的原因是：對冪的意義與冪的乘方混淆不清，教師要弄清冪的意義．并與冪的性質進行比較．
　　例4 已知a＝234，b＝243，c＝324，d＝432，e＝423，則a、b、c、d、e的大小關系是( )
　　(A)a＝b＝d＝e＜c．
　　(B)a＝b＝d＝e＞c．
　　(C)e＜d＜c＜b＜a．
　　(D)e＜c＜d＜b＜a．
　　 解：a＝234＝281，b＝243＝264，c＝324＝316，d＝432＝49＝218，e＝423＝48＝216．
　　 而216＜218＜316＜264＜281．
　　 ∴e＜d＜c＜b＜a．
　　 故應選(C)．
你會巧用冪的運算法則嗎？
冪的運算法則是進行整式乘除的基礎，在應用中，如能注意以下技巧，常可獲得妙解．
　　一、化成同底數冪進行計算
　　例1 若x＝2m+1，y＝3+4m，則用x的代數式表示y為______．
　　解：∵2m＝x-1，
　　 ∴ y＝3+4m
　　 ＝3+22m．
　　 ＝3+(2m)2
　　 ＝3+(x-1)2
　　 ＝x2-2x+4．
　　二、化成同指數冪進行計算
　　例2 比較3555、4444、5333的大小；
　　解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，
　　4444＝44×111＝(44)111＝256111，
　　5333＝53×111＝(53)111＝125111，
　　 又256＞243＞125，
　　 ∴5333＜3555＜4444．
　　例3 如果a≠0，b≠0且，(a+b)x＝(a-b)y，(a+b)y＝(a-b)x成立，那么x+y的值是_____．
　　(A)0． (B)1． (C)2． (D)不能確定．
　　解：將已知兩等式相乘有
　　(a+b)x+y＝(a-b)x+y．
　　 又a≠0，b≠0，
　　 ∴a+b≠a-b，
　　 要使(a+b)x+y＝(a-b)x+y成立，只有x+y＝0，所以選(A)．
　　三、化成已知冪的形式進行計算
　　
　　　
　　 ∴53x+2y
　　 ＝53x·52y
　　 ＝(5x)3·(5y)2
　 　　
　 　　
　　
比 較 大 小
A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
B＝19981998
試比較A與B的大小．
分析：
　　(1)把A化簡成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝19982，這樣反用乘法分配律，使1998的指數逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化簡成B．
　　(2)把B化成A
　　∵19981998＝1998×19981997
　　＝(1+1997)×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　這是僅用同底數冪的性質，應用乘法分配律，把此過程繼續下去就可由B得到A．
解：方法一
　　A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+19981996+1997×19981997
　　＝1998(1+1997)+1997×19982+ …+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19982(1+1997)+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19983+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝……
　　＝19981996+1997×19981996+1997×19981997
　　＝19981996(1+1997)+1997×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　＝19981997(1+1997)
　　＝19981998
　　∴A＝B
方法二
　　B＝19981998
　　＝1998×19981997
　　＝(1+1997)×19981997
　　＝19981997+1997×19981997
　　＝1998×19981996+1997×19981997
　　＝(1+1997)×19981996+1997×19981997
　　＝19981996+1997×19981996+1997×19981997
　　＝……
　　＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝1998×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝(1+1997)×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997
　　∴A＝B
求 值
已知：3a·5b·7c·19d+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然數，
計算：(a+b-c-d)1996之值．
分析：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996
∴3a·5b·7c·19d＝1995．
因為3、5、7、19是互質數，所以a、b、c、d的值是唯一確定的，只須把1995分解質因數．
1995＝3×5×7×19
∴a＝b＝c＝d＝1．此題可解
解：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996
∴3a·5b·7c·19d＝1995
∵1995＝3×5×7×19
∴a＝b＝c＝d＝1
∴ (a+b-c-d)1996
＝(1+1-1-1)1996
＝01996
＝0
在“整式乘除”教學中培養學生逆向思維
義務教育數學教學大綱明確指出：“數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心”在初中數學教學中主要是發展學生的邏輯思維能力，包括培養學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理，會準確地闡述自己的思想和觀點；形成良好的思維品質．本文僅就在“整式乘除”一章的教學談談自己培養學生逆向思維的點滴做法，不妥之處請專家同行指正．
　　在整式乘除運算中，有的運用冪的運算性質運算，有的運用乘法公式運算，大量習題都是直接套用公式計算，但有一部分如果直接運用公式不僅計算很繁，而且很難計算正確．如果把公式反過來使用，就會化繁為簡、化難為易．
　　一、在冪的運算性質教學中培養學生逆向思維
　　1．同底數冪乘法與同底數冪除法互為逆運算．
　　例1 與anb2的積為3a2n+1b2n+1的單項式是______．
例2 如果M÷3xy＝－xn+1＋，則M＝ ．
　　例1是已知積和其中一個因式，求另一個因式；例2是已知除式和商式求被除式，這時可利用乘法與除法的互逆來解答．
　　例3 已知2a＝3，2b＝5，求2a+b．
　　本題如果想先求出a、b的值，再代入2a+b中求值，是很難辦到的，初一學生無法進行，但若將同底數冪乘法的性質反過來用，就得到2a+b＝2a·2b，這樣問題就迎刃而解了．
　　2．積的乘方與冪的乘方性質的逆用．
　　例4 計算（－3）1995×（）1997
觀察兩個冪的底數，－3和呈互為負倒數關系，積為－1，于是可聯想到將積的乘方的性質逆用，但兩個冪指數又不一樣，怎么辦呢？再將同底數冪乘法性質逆用一次，得到（－3）1995×（）1995×（）2，這樣問題就解決了．　　
　　該題在學習整式除法這一內容后，還可將負指數冪的性質逆用，也可得解．
　　　　
　　 ＝-31995·(3-1)1997
　　 ＝-31995·3-1997
　　 ＝-3-2
　　
　　 　
平方差公式與完全平方公式
公式透析
平方差公式：特點是相乘的兩個二項式中，a表示的是完全相同的項，+b和-b表示的是互為相反數的兩項。所以說，兩個二項式相乘能不能用平方差公式，關鍵看是否存在兩項完全相同的項，兩項互為相反數的項。
完全平方公式：注意不要漏掉2ab項
典例解析
例1：下列各式可以用平方差公式的是（ ）
例2:如何用公式計算

例3：已知
綜合應用
1.按圖中所示的方式分割正方形，你能得到什么結論

b a x y







2.觀察下列各式,你會發現什么規律,用只含一個字母n的式子表示出來.


3).

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