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第2關： 參數范圍問題—常見解題6法
求解參數的取值范圍是一類常見題型．近年來在各地的模擬試題以及高考試題中更是屢屢出現．學生遇到這類問題，較難找到解題的切入點和突破口，下面介紹幾種解決這類問題的策略和方法．
一、確定“主元”思想
常量與變量是相對的，一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量．
例1.對于滿足0的一切實數，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范圍．
分析：習慣上把x當作自變量，記函數y= x2+(p-4)x+3-p,于是問題轉化為當p時y>0恒成立，求x的范圍．解決這個問題需要應用二次函數以及二次方程實根分布原理，這是相當復雜的．若把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉化為在[0,4]內關于p的一次函數大于0恒成立的問題．
解：設f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當x=1時顯然不滿足題意．
由題設知當0時f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范圍為x>3或x<-1．
二、分離變量
對于一些含參數的不等式問題，如果能夠將不等式進行同解變形，將不等式中的變量和參數進行分離，即使變量和參數分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數的值域的方法將問題化歸為解關于參數的不等式的問題。
例2．若對于任意角總有成立，求的范圍．
分析與解：此式是可分離變量型，由原不等式得，
又，則原不等式等價變形為恒成立．
根據邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值．因為
即時，有最小值為0，故．
評析：一般地,分離變量后有下列幾種情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)三、數形結合
對于含參數的不等式問題，當不等式兩邊的函數圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來達到解決問題的目的．
例3．設，若不等式恒成立，求a的取值范圍．
分析與解：若設函數，則，其圖象為上半圓．
設函數，其圖象為直線．
在同一坐標系內作出函數圖象如圖，
依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心到直線的距離且時成立，即a的取值范圍為．
四、分類討論
當不等式中左、右兩邊的函數具有某些不確定因素時，應用分類討論的方法來處理，分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。
例4．當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
解：（1）當時，由題設知恒成立，即，而∴ 解得
（2）當時，由題設知恒成立，即，而∴ 解得．∴a的取值范圍是．
五、利用判別式
當問題可化為一元二次不等式在實數集上恒成立的問題，可用判別式來求解．
例5．不等式，對一切恒成立，求實數的取值范圍.
解：∵在R上恒成立，
∴
，R
∴，解得
故實數的取值范圍是.
一般地二次函數f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒負.
六、構造函數
構造出函數，通過對函數性質的研究，來達到解決問題的目的．
例6．已知不等式對于一切大于1的自然數都成立，求實數的取值范圍．
分析：注意到不等式僅僅左邊是與有關的式子，從函數的觀點看，左邊是關于的函數，要使原不等式成立，即要求這個函數的最小值大于右式．如何求這個函數的最小值呢？這又是一個非常規問題，應該從研究此函數的單調性入手．
解：設,N


∴是關于N的遞增函數，則=.
∴要使不等式成立，只須，解之得.
∴實數的取值范圍是．
以上介紹了求參數的取值范圍問題的處理方法，在具體解題中可能要用到兩種或兩種以上的方法，應靈活處理．

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