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例談簡(jiǎn)單不定方程（組）的計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)句及其初等解法
湖南省衡陽(yáng)市衡山縣德華盛星源高級(jí)中學(xué)
高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐
（為紀(jì)念即將退出高中數(shù)學(xué)教材的《必修三第一章算法初步》而作）
摘 要：本文是以古代數(shù)學(xué)文化中的不定方程（組）問(wèn)題的算法為例，引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)散式思維，通過(guò)一題多解方式拓展學(xué)生思考維度。從計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)句方面來(lái)看，運(yùn)用較復(fù)雜的循環(huán)語(yǔ)句來(lái)處理是學(xué)生不難理解和接受。嘗試編寫(xiě)程序語(yǔ)句來(lái)求解，使學(xué)生感受到現(xiàn)代科技在數(shù)學(xué)上帶來(lái)的革命。在引入歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式的前提下，適當(dāng)采用初等數(shù)論知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)不等式約束條件等途徑，從而尋求多種解決途徑。總之，在強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之際，同時(shí)賦予學(xué)生數(shù)學(xué)文化的薰陶。
關(guān)鍵詞：不定方程（組）計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)句初等解法
二十世紀(jì)中葉以來(lái)，由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展和世界各國(guó)數(shù)學(xué)家的努力下，計(jì)算機(jī)成為數(shù)學(xué)的工具已達(dá)成共識(shí)。值得中國(guó)人驕傲的是， 1959年美藉華裔數(shù)學(xué)家王浩率先提出了“走向數(shù)學(xué)的機(jī)械化”口號(hào)。作為高中數(shù)學(xué)《必修三第一章算法初步》的課程設(shè)置正是“教育面向現(xiàn)代化、 面向世界、面向未來(lái)”的高瞻遠(yuǎn)矚的重要舉措。
毫無(wú)疑問(wèn)，方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想。高中數(shù)學(xué)《必修三》教材恰巧在方程的思想基礎(chǔ)上導(dǎo)入算法的基礎(chǔ)知識(shí)。本文秉承古代算法的核心素養(yǎng)思想來(lái)詮釋不定方程（組）及其解法，從而引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到既能運(yùn)用計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言處理，又能運(yùn)用方程本身的轉(zhuǎn)化思維的初等方法來(lái)解答簡(jiǎn)單不定方程（組）問(wèn)題。下面通過(guò)幾個(gè)例題加以說(shuō)明：
例題1求方程的所有正整數(shù)解。
解法一：計(jì)算機(jī)程序解法；
由題意得，， 。具體計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)句如下：
x=1
WHILE x<=40
y=1
WHILE y<=28
IF 7*x+10*y=280 THEN
PRINT x, y
END IF
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
解法二：輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應(yīng)用；
求的輾轉(zhuǎn)相除法如下表
2
7
10
1

6
7
1
3
3
3
0
由貝祖等式可得：
所以，
則滿(mǎn)足方程的一切整數(shù)解為：
，其中 t是整數(shù)。
由題意知，所以
解這個(gè)不等式組得：
解法三：轉(zhuǎn)化約束條件的初等解法。
由原方程得: ，因?yàn)閤和y都是正整數(shù)，所以：令, 則。
所以；解這個(gè)不等式組得： 。
即。
（1）；
（2）；
（3）。
例題2求不定方程 的正整數(shù)解。
解法一：轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求解。
令， 則： .
由題意知， ; 則：
當(dāng)時(shí)， , 而在正整數(shù)解的條件下是無(wú)解；
當(dāng)時(shí)， ,的正整數(shù)解為： ;
當(dāng)時(shí)，, 的正整數(shù)解為： 。
綜上所述， 。
解法二：計(jì)算機(jī)程序解法；
x=1
WHILE x<=11
y=1
WHILE y<=7
z=1
WHILE z<=3
IF 2*x+3*y+7*z=23 THEN
PRINT x, y, z
END IF
z=z+1
WEND
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
例題3（中國(guó)古代《張邱建算經(jīng)》里的百雞百錢(qián)問(wèn)題）今有公雞每只五個(gè)錢(qián)，母雞每只三個(gè)錢(qián)， 小雞每個(gè)錢(qián)三只．用100個(gè)錢(qián)買(mǎi)100只雞，問(wèn)公雞、母雞、小雞各買(mǎi)了多少只？
解法一：轉(zhuǎn)化約束條件的初等解法；
設(shè)公雞、母雞、小雞各買(mǎi)x，y，z只，由題意列方程組
/
×3－②： ③
由③得： ; 令, 則： ；其中k為正整數(shù)。把， 代入②得： .
由題意可得， ；即： 解這個(gè)不等式組得：
, 即.
解法二：轉(zhuǎn)化為輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應(yīng)用
③
求的輾轉(zhuǎn)相除法如下表
1
7
4
1
4
3
3
3
1
3
0
由貝祖等式可得： ;
所以， ；
則滿(mǎn)足方程的一切正整數(shù)解為：
，其中 t是正整數(shù)。
由題意知，，所以
解這個(gè)不等式組得： 。
解法三：計(jì)算機(jī)程序解法。
x=1
WHILE x<=20
y=1
WHILE y<=33
z=1
WHILE z<=100 AND z>=47
IF 5x+3y+1/3z=100 AND x+y+z=100 THEN
PRINT x,y,z
END IF
z=z+1
WEND
y=y+1
WEND
x=x+1
WEND
END
通過(guò)上面三個(gè)例題的學(xué)習(xí)，我們不難總結(jié)出其中的數(shù)學(xué)思想。計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)句解答簡(jiǎn)單不定方程（組）的思路是通過(guò)多層循環(huán)結(jié)構(gòu)語(yǔ)句，并同時(shí)嵌套條件結(jié)構(gòu)語(yǔ)句來(lái)處理。其邏輯結(jié)構(gòu)具有一定的復(fù)雜性，需要在加深理解的基礎(chǔ)上，正確運(yùn)用程序語(yǔ)句書(shū)寫(xiě)。簡(jiǎn)單不定方程（組）的初等解法是建立在化歸的數(shù)學(xué)思想基礎(chǔ)上，利用約束條件通過(guò)解不等式組來(lái)處理或者運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式的相關(guān)算法以及二元一次不定方程的通解來(lái)進(jìn)行代數(shù)的計(jì)算。誠(chéng)如前蘇聯(lián)國(guó)家元首加里寧說(shuō)過(guò): “數(shù)學(xué)是思維的體操。”?本文所示范的這些求解簡(jiǎn)單不定方程（組）的方法，都是操練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有利工具。
湖南省衡陽(yáng)市衡山縣德華盛星源高級(jí)中學(xué)
高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐撰寫(xiě)

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