資源簡介

普通高中
數學課程標準
（2017年版)
中華人民共和國教育部制定














前言
黨的十九大明確提出：“要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人?！?br/>基礎教育課程承載著黨的教育方針和教育思想，規定了教育目標和教育內容，是國家意志在教育領域的直接體現，在立德樹人中發揮著關鍵作用。

2013年，教育部啟動了普通高中課程修訂工作。本次修訂深入總結21世紀以來我國普通高中課程改革的寶貴經驗，充分借鑒國際課程改革的優秀成果，努力將普通高中課程方案和課程標準修訂成既符合我國實際情況，又具有國際視野的綱領性教學文件，構建具有中國特色的普通高中課程體系。
一、修訂工作的指導思想和基本原則
（一）指導思想
以馬克思列寧主義、毛澤東思想、鄧小平理論、“三個代表”重要思想、科學發展觀、習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，深入貫徹黨的十八大、十九大精神，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，以社會主義核心價值觀統領課程改革，著力提升課程思想性、科學性、時代性、系統性、指導性，推動人才培養模式的改革創新，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人。
（二）基本原則
1．堅持正確的政治方向。堅持黨的領導，堅持社會主義辦學方向，充分體現馬克思主義的指導地位和基本立場，充分反映習近平新時代中國特色社會主義思想，有機融入堅持和發展中國特色社會主義、培育和踐行社會主義核心價值觀的基本內容和要求，繼承和弘揚中華優秀傳統文化、革命文化，發展社會主義先進文化，加強法治意識、國家安全、民族團結、生態文明和海洋權益等方面的教育，培養良好政治素質、道德品質和健全人格，使學生堅定中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信和文化自信，引導學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀。
2．堅持反映時代要求。反映先進的教育思想和理念，關注信息化環境下的教學改革，關注學生個性化、多樣化的學習和發展需求，促進人才培養模式的轉變，著力發展學生的核心素養。根據經濟社會發展新變化、科學技術進步新成果，及時更新教學內容和話語體系，反映新時代中國特色社會主義理論和建設新成就。
3．堅持科學論證。遵循教育教學規律和學生身心發展規律，貼近學生的思想、學習、生活實際，充分反映學生的成長需要，促進每個學生主動地、生動活潑地發展。加強調查研究和測試論證，廣泛聽取相關領域人員的意見建議，重大問題向權威部門、專業機構、知名專家學者咨詢，求真務實，嚴謹認真，確保課程內容科學，表述規范。
4．堅持繼承發展。對十余年普通高中課程改革實踐進行系統梳理，總結提煉并繼承已有經驗和成功做法，確保課程改革的連續性。同時，發現并切實面對改革過程中存在的問題，有針對性地進行修訂完善，在繼承中前行，在改革中完善，使課程體系充滿活力。
二、修訂的主要內容和變化
（一）關于課程方案
1．進一步明確了普通高中教育的定位。我國普通高中教育是在義務教育基礎上進一步提高國民素質、面向大眾的基礎教育，任務是促進學生全面而有個性的發展，為學生適應社會生活、高等教育和職業發展作準備，為學生的終身發展奠定基礎。普通高中的培養目標是進一步提升學生綜合素質，著力發展核心素養，使學生具有理想信念和社會責任感，具有科學文化素養和終身學習能力，具有發展能力和溝通合作能力。
2．進一步優化了課程結構。一是保留原有學習科目，調整外語規劃語種，在英語、日語、俄語基礎上，增加德語、法語和西班牙語。二是將課程類別調整為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。在保證共同基礎的前提下，為不同發展方向的學生提供有選擇的課程。三是進一步明確各類課程的功能定位，與高考綜合改革相銜接：必修課程根據學生全面發展需要設置，全修全考；選擇性必修課程根據學生個性發展和升學考試需要設置，選修選考；選修課程由學校根據實際情況統籌規劃開設，學生自主選擇修習，學而不考或學而備考，為學生就業和高校招生錄取提供參考。四是合理確定各類課程學分比例，在畢業總學分不變的情況下，對原必修課程學分進行重構，由必修課程學分、選擇性必修課程學分組成，適當增加選修課程學分，既保證基礎性，又兼顧選擇性。
3．強化了課程有效實施的制度建設。進一步明確課程實施環節的責任主體和要求，從課程標準、教材、課程規劃、教學管理，以及評價、資源建設等方面，對國家、?。ㄗ灾螀^、直轄市）、學校分別提出了要求。增設“條件保障”部分，從師資隊伍建設、教學設施和經費保障等方面提出具體要求。增設“管理與監督”部分，強化各級教育行政部門和學校課程實施的責任。
（二）關于學科課程標準
1．凝練了學科核心素養。中國學生發展核心素養是黨的教育方針的具體化、細化。為建立核心素養與課程教學的內在聯系，充分挖掘各學科課程教學對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人的根本任務、發展素質教育的獨特育人價值，各學科基于學科本質凝練了本學科的核心素養，明確了學生學習該學科課程后應達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，對知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三維目標進行了整合。課程標準還圍繞核心素養的落實，精選、重組課程內容，明確內容要求，指導教學設計，提出考試評價和教材編寫建議。
2．更新了教學內容。進一步精選了學科內容，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實。結合學生年齡特點和學科特征，課程內容落實習近平新時代中國特色社會主義思想，有機融入社會主義核心價值觀，中華優秀傳統文化、革命文化和社會主義先進文化教育內容，努力呈現經濟、政治、文化、科技、社會、生態等發展的新成就、新成果，充實豐富培養學生社會責任感、創新精神、實踐能力相關內容。
3．研制了學業質量標準。各學科明確學生完成本學科學習任務后，學科核心素養應該達到的水平，各水平的關鍵表現構成評價學業質量的標準。引導教學更加關注育人目的，更加注重培養學生核心素養，更加強調提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力，幫助教師和學生把握教與學的深度和廣度，為階段性評價、學業水平考試和升學考試命題提供重要依據，促進教、學、考有機銜接，形成育人合力。
4．增強了指導性。本著為編寫教材服務、為教學服務、為考試評價服務的原則，突出課程標準的可操作性，切實加強對教材編寫、教學實施、考試評價的指導。課程標準通俗易懂，邏輯更清晰，原則上每個模塊或主題由“內容要求”“教學提示”“學業要求”組成，大部分學科增加了教學與評價案例，同時依據學業質量標準細化評價目標，增強了對教學和評價的指導性。
本次修訂是深化普通高中課程改革的重要環節，直接關系育人質量的提升。普通高中課程方案和課程標準必須在教育教學實踐中接受檢驗，不斷完善?？梢灶A期，廣大教育工作者將在過去十余年改革的基礎上，在豐富而生動的教育教學實踐中，不斷提高課程實施水平，推動普通高中課程改革不斷深化，共創普通高中教育的新輝煌，為實現國家教育現代化、建設教育強國作出新貢獻。






目 錄
一、課程性質與基本理念……………………………………………………1
（一）課程性質/1
（二）基本理念/1
二、學科核心素養與課程目標………………………………………………3
（一）學科核心素養/3
（二）課程目標/5
三、課程結構…………………………………………………………………6
（一）設計依據/6
（二）結構/6
（三）學分與選課/7
四、課程內容…………………………………………………………………8
（一）必修課程/8
（二）選擇性必修課程/23
（三）選修課程/32
五、學業質量 ………………………………………………………………48
（一）學業質量內涵/48
（二）學業質量水平/48
（三）學業質量水平與考試評價的關系/51
六、實施建議…………………………………………………………………52
（一）教學與評價建議/52
（二）學業水平考試與高考命題建議/57
（三）教材編寫建議/58
（四）地方與學校實施課程標準的建議/61
附錄……………………………………………………………………………65
附錄1 數學學科核心素養的水平劃分/65
附錄2 教學與評價案例/71








一、課程性質與基本理念
（一）課程性質
數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律。數學與人類生活和社會發展緊密關聯。數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學是自然科學的重要基礎，并且在社會科學中發揮越來越大的作用，數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面。隨著現代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，人們獲取數據和處理數據的能力都得到很大的提升，伴隨著大數據時代的到來，人們常常需要對網絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數字化處理，這使數學的研究領域與應用領域得到極大拓展。數學直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。
數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用。數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養。
數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能。數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界；促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，探尋事物變化規律，增強社會責任感；在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。
高中數學課程是義務教育階段后普通高級中學的主要課程，具有基礎性、選擇性和發展性。必修課程面向全體學生，構建共同基礎；選擇性必修課程、選修課程充分考慮學生的不同成長需求，提供多樣性的課程供學生自主選擇；高中數學課程為學生的可持續發展和終身學習創造條件。
（二）基本理念
1.學生發展為本，立德樹人，提升素養
高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。高中數學課程面向全體學生，實現：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。
2.優化課程結構，突出主線，精選內容
高中數學課程體現社會發展的需求、數學學科的特征和學生的認知規律，發展學生數學學科核心素養。優化課程結構，為學生發展提供共同基礎和多樣化選擇；突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法；精選課程內容，處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系，強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透。
3.把握數學本質，啟發服考，改進教學
高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性。不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審關價值。
4.重視過程評價，聚焦素養，提高質量
高中數學學習評價關注學生知識技能的掌握，更關注數學學科核心素養的形成和發展，制定科學合理的學業質量要求，促進學生在不同學習階段數學學科核心素養水平的達成。評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程。開發合理的評價工具，將知識技能的掌握與數學學科核心素養的達成有機結合，建立目標多元、方式多樣、意視過程的評價體系。通過評價，提高學生學習興趣，幫助學生認識自我，增強自信；幫助教師改進教學，提高質量。


















二、學科核心素養與課程目標
（一）學科核心素養
學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體。學-科網
1.數學抽象
數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。
數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。
數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。
通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。
2.邏輯推理
邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。
邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。
邏輯推理主要表現為：掌握推理基本形式和規則，發現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流。
通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力。
3.數學建模
數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。
數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。
數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。
通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗；認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神。
4.直觀想象
直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。
直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。
直觀想象主要表現為：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。
通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質。
5.數學運算
數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。
數學運算是解決數學問題的基本手段。數學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。
數學運算主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。
通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。
6.數據分析
數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養。數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論。
數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是“互聯網+”相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代社會生活的各個方面。
數據分析主要表現為：收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識。
通過高中數學課程的學習，學生能提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力；適應數字化學習的需要，增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗。
（二）課程目標
通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。
在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。
通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。













三、課程結構
（一）設計依據
1．依據高中數學課程理念，實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”，促進學生數學學科核心素養的形成和發展。
2．依據高中課程方案，借鑒國際經驗，體現課程改革成果，調整課程結構，改進學業質量評價。
3．依據高中數學課程性質，體現課程的基礎性、選擇性和發展性，為全體學生提供共同基礎，為滿足學生的不同志趣和發展提供豐富多樣的課程。
4．依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，重視數學實踐和數學文化。
（二）結構
高中數學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數學文化融入課程內容。高中數學課程結構如下：

說明：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。
（三）學分與選課
1．學分設置
必修課程8學分，選擇性必修課程6學分，選修課程6?學分。
選修課程的分類、內容及學分如下。
A?類課程包括微積分、空間向量與代數、概率與統計三個專題，其中微積分2.5學分，空間向量與代數2學分，概率與統計1.5?學分。供有志于學習數理類(如數學、物理、計算機、精密儀器等)專業的學生選擇。
B類課程包括微積分、空間向量與代數、應用統計、模型四個專題,其中微積分2學分，空間向量與代數1學分，應用統計2學分，模型1學分。供有志于學習經濟、社會類(如數理經濟、社會學等)和部分理工類(如化學、生物、機械等)?專業的學生選擇。
C?類課程包括邏輯推理初步、數學模型、社會調查與數據分析三個專題，每個專題2學分。供有志于學習人文類(如語言、歷史等)專業的學生選擇。
D類課程包括美與數學、音樂中的數學、美術中的數學、體育運動中的數學四個專題，每個專題1學分。供有志于學習體育、藝術(包括音樂、美術)?類等專業的學生選擇。
E?類課程包括拓展視野、日常生活、地方特色的數學課程，還包括大學數學先修課程等。大學數學先修課程包括三個專題:微積分、解析幾何與線性代數、概率論與數理統計，每個專題6?學分。
2．課理定位
必修課程為學生發展提供共同基礎。是高中畢業的數學學業水平考試的內容要求，也是高考的內容要求。
選擇性必修課程是供學生選擇的課程，也是高考的內容要求。
選修課程為學生確定發展方向提供引導,為學生展示數學才能提供平臺，為學生發展數學興趣提供選擇,為大學自主招生提供參考。
3．選課說明
如果學生以高中畢業為目標，可以只學習必修課程，參加高中畢業的數學學業水平考試。
如果學生計劃通過參加高考進入高等學校學習，必須學習必修課程和選擇性必修課程。參加數學高考。
如果學生在上述選擇的基礎上，還希望多學習一些數學課程，可以在選擇性必修課程或選修課程中，根據自身未來發展的需求進行選擇。
在選修課程中可以選擇某一類課程，例如，A?類課程;?也可以選擇某類課程中的某個專題，例如，E?類大學先修課程中的微積分;還可以選擇某些專題的組合，例如，D?類課程中的美與數學、C類課程中的社會調查與數據分析等.
四、課程內容
（一）必修課程
必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。數學文化融入課程內容。
必修課程共8學分144課時，表1給出了課時分配建議，教材編寫、教學實施時可以根據實際作適當調整。
表1　必修課程課時分配建議表
主題 單元 建議課時
主題一 預備知識 集合 18
常用邏輯用語
相等關系與不等關系
從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
主題二 函數 函數概念與性質 52
冪函數、指數函數、對數函數
三角函數
函數應用
主題三 幾何與代數 平面向量及其應用 42
復數
立體幾何初步
主題四 概率與統計 概率 6
統計
主題五 數學建?；顒优c數學探究活動 數學建?；顒优c數學探究活動 6
機動 6

主題一　預備知識
以義務教育階段數學課程內容為載體，結合集合、常用邏輯用語、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內容的學習，為高中數學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數學學習的過渡。
【內容要求】
內容包括：集合、常用邏輯用語、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式。
1．集合
在高中數學課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具。本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗。
內容包括：集合的概念與表示、集合的基本關系、集合的基本運算。
（1）集合的概念與表示
①通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關系。
②針對具體問題，能夠在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合。
③在具體情境中，了解全集與空集的含義。
（2）集合的基本關系
理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。
（3）集合的基本運算
①理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集。
②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集。
③能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用。
2．常用邏輯用語
常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言。本單元的學習，可以幫助學生使用常用邏輯用語表達數學對象，進行數學推理，體會常用邏輯用語在表述數學內容和論證數學結論中的作用，提升交流的嚴謹性與準確性。
內容包括：必要條件、充分條件、充要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定。
（1）必要條件、充分條件、充要條件
①通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系。
②通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系。
③通過對典型數學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關系。
（2）全稱量詞與存在量詞
通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。
（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定。
②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定。
3．相等關系與不等關系
相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎。本單元的學習，可以幫助學生通過類比，理解等式和不等式的共性與差異,掌握基本不等式。
內容包括：等式與不等式的性質、基本不等式。
（1）等式與不等式的性質
梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質。
（2）基本不等式
理解基本不等式。結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題。
4．從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法。本單元的學習，可以幫助學生用一元二次函數認識一元二次方程和一元二次不等式。通過梳理初中數學的相關內容，理解函數、方程和不等式之間的聯系，體會數學的整體性。
內容包括：從函數觀點看一元二次方程、從函數觀點看一元二次不等式。
（1）從函數觀點看一元二次方程
會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及根的個數，了解函數的零點與方程根的關系。
（2）從函數觀點看一元二次不等式
①經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義；能夠借助一元二次函數求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。
②借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系（參見案例1）。
【教學提示】
初中階段數學知識相對具體，高中階段數學知識相對抽象。教師應針對這一特征幫助學生完成從初中到高中數學學習的過渡，包括知識與技能、方法與習慣、能力與態度等方面。
在集合、常用邏輯用語的教學中，教師應創設合適的教學情境，以義務教育階段學過的數學內容為載體，引導學生用集合語言和常用邏輯用語梳理、表達學過的相應數學內容。應引導學生理解屬于關系是集合的基本關系，了解元素A與元素A組成的集合{A}的差異，即,A與{A}不相同。在梳理過程中，可以針對學生的實際布置不同的任務，采用自主學習與合作學習相結合的方式組織教學活動。
在相等關系與不等關系的教學中，應引導學生通過類比學過的等式與不等式的性質，進一參探索等式與不等式的共性與差異。
在從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式的教學中，可以先以討論具體的一元二次函數變化情況為情境，引導學生發現一元二次函數與一元二次方程的關系，引出一元二次不等式概念；然后進一步引導學生探索一般的一元二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系，歸納總結出用一元二次函數解一元二次不等式的程序。
教學中，要根據內容的定位和教育價值，關注數學學科核心素養的培養。要讓學生逐漸養成借助直觀理解概念，進行邏輯推理的思維習慣，以及獨立思考、合作交流的學習習慣，引導學生感悟高中階段數學課程的特征，適應高中階段的數學學習。
【學業要求】
能夠在現實情境或數學情境中，概括出數學對象的一般特征，并用集合語言予以表達。初步學會用三種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）表達數學研究對象，并能進行轉換。掌握集合的基本關系與基本運算。在數學表達中的作用。
能夠從函數的觀點認識方程和不等式，感悟函數學知識之間的關聯，認識函數的重要性。掌握等式與不等式的性質。
重點提升數學抽象、邏輯推理和數學運算素養。
主題二　函數
函數是現代數學中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題匯總發揮重要作用。函數是貫穿高中數學課程的主線。
【內容要求】
內容包括：函數概念與性質，冪函數、指數函數、對數函數，三角函數，函數應用。
1．函數概念與性質
本單元的學習，可以幫助學生建立完整的函數概念，不僅把函數理解為刻畫變量之間依賴關系的數學語言和工具，也把函數理解為實數集合之間的對應關系；能用代數運算和函數圖象揭示函數的主要性質；在現實問題中，能利用函數構建模型，解決問題。
內容包括：函數概念、函數性質、?*[1]函數的形成與發展。
（1）函數概念
①在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念（參見案例2），體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用。了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域。
②在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函數圖象的作用。
③通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
（2）函數性質
①借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。
②結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義。
③結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義。
（3）*函數的形成與發展（[1]標有*的內容為選學內容，不作為考試要求。）
收集函數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫論文，論述函數發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
2．冪函數、指數函數、對數函數
冪函數、指數函數與對數函數是最基本的、應用最廣泛的函數，是進一步研究數學的基礎。本單元的學習，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質；理解這些函數中所蘊含的運算規律；運用這些函數建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數在解決實際問題中的作用。
內容包括：冪函數、指數函數、對數函數。
（1）冪函數
通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數。
（2）指數函數
①通過對有理指數冪 、實數指數冪（a>0,且，a≠1，x∈R）含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質。
②通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念。
③能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點。
（3)對數函數
①理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數。
②通過具體實例，了解對數函數的概念。能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點。
③知道對數函數與指數函數 互為反函數（a＞0，且a≠1）?！?br/>④*收集、閱讀對數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述對數發明
的過程以及對數對簡化運算的作用。
3．三角函數
三角函數是一類最典型的周期函數。本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題。
內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用。
（1）角與弧度
了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性（參見案例3）。
（2）三角函數概念和性質
①借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、奇偶性、最大（?。┲?。借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。
②借助圖象理解正弦函數在、余弦函數上、正切函數在 上的性質。
③結合具體實例，了解的實際意義；能借助圖象理解參數ω，φ，A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響。
（3）同角三角函數的基本關系式
理解同角三角函數的基本關系式。
（4）三角恒等變換
①經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。
②能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。
③能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。
（5）三角函數應用
會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型（參見案例4）。
4．函數應用
函數應用不僅體現在用函數解決數學問題，更重要的是用函數解決實際問題。本單元的學習，可以幫助學生掌握運用函數性質求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函數構建數學模型的基本過程；運用模型思想發現和提出、分析和解決問題。
內容包括：二分法與求方程近似解、函數與數學模型。
（1）二分法與求方程近似解
①結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程解的關系。
②結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
（2）函數與數學模型
①理解函數是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具。在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律。
②結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義。
③收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義。
【教學提示】
教師應把本主題的內容視為一個整體，引導學生從變量之間依賴關系、實數集合之間的對應關系、函數圖象的幾何直觀等角度整體認識函數概念；通過梳理函數的單調性、周期性、奇偶性（對稱性）、最大（?。┲档?，認識函數的整體性質；經歷運用函數解決實際問題的全過程。
函數概念的引入，可以用學生熟悉的例子為背景進行抽象。例如，可以從學生已知的、基于變量關系的函數定義入手，引導學生通過生活或數學中的問題，構建函數的一般概念，體會用對應關系定義函數的必要性，感悟數學抽象的層次。
函數單調性的教學，要引導學生正確地使用符號語言刻畫函數最本質的性質———單調性（參見案例5）。在函數定義域、值域以及函數性質的教學過程中，應避免編制偏題、怪題，避免繁瑣的技巧訓練。
指數函數的教學，應關注指數函數的運算法則和變化規律，引導學生經歷從整數指數到有理指數冪、再到實數指數冪的拓展過程，掌握指數函數的運算法則和變化規律。
對數函數的教學，應通過比較同底數的指數函數和對數函數（例如和），認識它們互為反函數。
三角函數的教學，應發揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，借助單位圓的直觀，探索三角函數的有關性質（參見案例6）。在三角恒等變換的教學中，可以采用不同的方式得到三角恒等變換基本公式；也可以在向量的學習中，引導學生利用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式。
函數應用的教學，要引導學生理解如何用函數描述客觀世界事物的變化規律，體會冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等函數與現實世界的密切聯系（參見案例7）。
鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題。例如，利用計算器、計算機畫出冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質，求方程的近似解等（參見案例8）。
可以組織學生收集、閱讀函數的形成與發展的歷史資料，結合內容撰寫報告，論述函數發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【學業要求】
能夠從兩個變量之間的依賴關系、實數集合之間的對應關系、函數圖象的幾何直觀等多個角度，理解函數的意義與數學表達；理解函數符號表達與抽象定義之間的關聯，知道函數抽象概念的意義。
能夠理解函數的單調性、最大（?。┲担私夂瘮档钠媾夹?、周期性；掌握一些基本函數類（一元一次函數、反比例函數、一元二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等）的背景、概念和性質。
能夠對簡單的實際問題，選擇適當的函數構建數學模型，解決問題；能夠從函數的觀點認識方程，并運用函數的性質求方程的近似解；能夠從函數觀點認識不等式，并運用函數的性質解不等式。
重點提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養。
主題三　幾何與代數
幾何與代數是高中數學課程的主線之一。在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解。
【內容標準】
內容包括：平面向量及其應用、復數、立體幾何初步。
1．平面向量及應用
向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景。向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用。本單元的學習，可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義；掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用；用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題。
內容包括：向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用。
（1）向量概念
①通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義。
②理解平面向量的幾何表示和基本要素。
（2）向量運算
①借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義。
②通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算規則，理解其幾何意義。理解兩個平面向量共線的含義。
③了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。
④通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積。
⑤通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）。
⑥會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。
（3）向量基本定理及坐標表示
①理解平面向量基本定理及其意義。
②借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示。
③會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算。
④能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角。
⑤能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。
（4）向量應用與解三角形
①會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用。
②借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理。
③能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題。
2．復數
復數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用。本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義。
內容包括：復數的概念、復數的運算、*復數的三角表示。
（1）復數的概念
①通過方程的解，認識復數。
②理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義。
（2）復數的運算
掌握復數代數表示的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義。
（3）*復數的三角表示
通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示，了解復數的代數形式與三角表示之間的關系，了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義。
3．立體幾何初步
立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系。本單元的學習，可以幫助學生以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系；用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念。
內容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關系、*幾何學的發展。
（1）基本立體圖形
①利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。
②知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。
③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖。
（2）基本圖形位置關系
①借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，了解以下基本事實（基本事實1~4也稱公理）和定理。
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面。
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內。
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行。
定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。
②從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關系，歸納出以下判定定理，并加以證明。
◆一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行。
◆兩個平面平行，若果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行。
◆垂直于同一個平面的兩條直線平行。
◆兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直。
③從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關系，歸納出以下性質定理，并加以證明。
◆若果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。
◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。
◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。
◆如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。
④能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題。
（3）*幾何學的發展
收集、閱讀幾何發展的歷史資料，撰寫小論文，論述幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【教學提示】
在平面向量及其應用的教學活動中，應從力、速度、加速度等實際情境入手，從物理、幾何、代數三個角度理解向量的概念與運算法則，引導學生運用類比的方法探索實數運算與向量運算的共性與差異，可以通過力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐標表示；可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所作的功，利用向量解決與平面內兩條直線平行或垂直有關的問題等。對于向量的非正交分解只要求學生作一般了解，不必展開。
在復數的教學中，應注重對復數的表示及幾何意義的理解，避免繁瑣的計算與技巧訓練。對于有余力的學生，可以安排一些引申內容，如復數的三角表示等。可以適當地融入數學文化，讓學生體會數系擴充過程中理性思維的作用（參見案例10）。
立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。通過對圖形的觀察和操作，引導學生發現和提出描述基本圖形平行、垂直關系的命題，逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題，對相應的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中將用向量方法對這些定理加以論證。
可以使用信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）提供直觀。教師可以指導和幫助學生選擇一些立體幾何問題作為數學探究活動的課題（參見案例11）。
可以組織學生收集、閱讀幾何學發展的歷史資料，結合內容撰寫報告，論述幾何學發展過程中的重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【學業要求】
能夠從多種角度理解向量概念和運算法則，掌握向量基本定理；能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題，知道數學運算與邏輯推理的關系。
能夠理解復數的概念，掌握復數代數表示式的四則運算。
能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題。能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關系和基本結果。能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質定理），并會進行簡單應用。
重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和教學抽象素養。
主題四 概率與統計
概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法。統計的研究對象是數據，核心是數據分析。概率為統計的發展提供理論基礎。
【內容要求】
內容包括：概率、統計。
1．概率
本單元的學習，可以幫助學生結合具體實例，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解。
內容包括：隨機事件與概率、隨機事件的獨立性。
（1）隨機事件與概率
①結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系（參見案例12）。了解隨機事伴的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算。
②結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中筒單隨機事件的概率。
③通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則。
④結合實例，會用頻率估計概率。
（2）隨機事件的獨立性
結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義。結合古典概型，利用獨立性計算概率。
2．統計
本單元的學習，可以幫助學生進一步學習數據收集和整理的方法、數據直觀圖表的表示方法、數據統計特征的刻畫方法，通過具體實例，感悟在實際生活中進行科學決策的必要性和可能性；體會統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異；通過實際操作、計算機模擬等活動，積累數據分析的經驗。
內容包括：獲取數據的基本途徑及相關概念、抽樣、統計圖表、用樣本估計總體。
（1）獲取數據的基本途徑及相關概念
①知道獲取數據的基本途徑，包括：統計報表和年鑒、社會調查、試驗設計、普查和抽樣、互聯網等。
②了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數據的隨機性。
（2）抽樣
①簡單隨機抽樣
通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數法。會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關系。
②分層隨機抽樣
通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法。結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差（參見案例13）。
③抽樣方法的選擇
在簡單的實際情境中，能根據實際問題的特點，設計恰當的抽樣方法解決問題。
（3）統計圖表
如根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述，體會合理使用統計圖表的重要性。
（4）用樣本估計總體
①結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數（平均數、中位數、眾數），理解集中趨勢參數的統計含義。
⑦結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統計含義。
③結合實例，能用樣本估計總體的取值規律。
④結合實例，能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義（參見案例14）。
【教學提示】
在概率的教學中，應引導學生通過日常生活中的實例了解隨機事件與概率的意義。在隨機事件和樣本空間的教學中，應引導學生通過古典概型，認識樣本空間，理解隨機事件發生的含義；理解古典概型的特征，試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，知道只有在這種特征下，才能定義出古典概型中隨機事件發生的概率。教學中要適當介紹基本計數方法（如樹狀圖、列表等），計算古典概率中隨機事件發生的概率。
在統計的教學中，應引導學生根據實際問題的需求，選擇不同的抽樣方法獲取數據，理解數據蘊含的信息，根據數據分析的需求，選擇適當的統計圖表描述和表達數據，并從樣本數據中提取需要的數字特征，估計總體的統計規律，解決相應的實際問題．對統計中的基本概念（如總體、樣本、樣本量等），應結合具體問題進行描述性說明，在此基礎上適當引入嚴格的定義，并利用數字特征（平均值、方差等）和數據直觀圖表（直方圖、散點圖等）進行數據據分析。
統計學的教學活動應通過典型案例進行。教學中應通過對一些典型案例的處理，使學生經歷較為系統的數據處理全過程，在此過程中學習數據分析的方法，理解數據分析的思路，運用所學知識和方法解決實際問題。
可以鼓勵學生盡可能運用計算器、計算機進行模擬活動，處理數據，更好地體會概率的意義和統計思想。例如，利用計算器產生隨機數來模擬擲硬幣試驗等，利用計算機來計算樣本量較大的數據的樣本均值、樣本方差等。
【學業要求】
能夠掌握古典概率的基本特征，根據實際問題構建概率模型，解決簡單的實際問題。能夠借助古典概型初步認識有限樣本空間、隨機事件，以及隨機事件的概率。
能夠根據實際問題的需求，選擇恰當的抽樣方法獲取樣本數據，并從中提取需要的數字特征推斷總體，能夠正確運用數據分析的方法解決簡單的實際問題。
能夠區別統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異。能夠結合具體問題，理解統計推斷結果的或然性，正確運用統計結果解釋實際問題。
重點提升數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養。
主題五 數學建模活動與數學探究活動
【內容要求】
數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。數學建摸活動是基本數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容。
數學建?；顒拥幕具^程如下：

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容。
數學建模活動與數學探究活動以課題研究的形式開展，在必修課程中，要求學生完成其中的一個課題研究．
【教學提示】
課題可以由教師給定，也可以由學生與教師協商確定，課題研究的過程包括選題、開題，做題、結題四個環節。學生需要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動，開題報告應包括選題意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結果等。做題是解決問題的過程，包括描述問題、教學表達、建立模型、求解模型、得到結論、反思完善等。結題包括撰寫研究報告和報告研究結果，由教師組織學生開展結題答辯。根據選題的內容，報告可以采用專題作業、測量報告、算法程序、制作的實物、研究報告或小論文等多種形式（參見案例15）
在數學建?；顒优c數學探究活動中，鼓勵學生使用信息技術。
【學業要求】
經歷數學建模活動與數學探究活動的全過程，整理資料，撰寫研究報告或小論文，并進行報告、交流。對于研究報告或小論文的評價，教師應組織評價小組，可以邀請校外專家、社會人士、家長等參與評價，也可以組織學生互評。教師要引導學生遵循學術規范，堅守誠信底線。研究報告或小論文及其評價應存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。學生可以采取獨立完成或者小組合作（2~3人為宜）的方式，完成課題研究（參見案例19）。
重點提升數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀形象素養。
（二）選擇性必修課程
選擇性必修課程包括四個主題，分別是函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動。數學文化融入課程內容。
選擇性必修課程共6學分108課時，表2給出了課時分配建議，教材編寫、教學實施時可以根據實際作適當調整。
表2 選擇性必修課程課時分配表
主題 單元 建議課時
主題一 函數 數列 30
一元函數導數及其應用
主題二 幾何與代數 空間向量與立體幾何 44
平面解析幾何
主題三 概率與統計 計數原理 26
概率
統計
主題四 數學建模活動 與數學探究活動 數學建模活動 與數學探究活動 4
機動 4

主題一 函數
在必修課程中，學生學習了函數的概念和性質，總結了研究函數的整本方法，掌握了一些具體的基本函數類，探索了函數的應用。在本主題中，學生將學習數列和一元函數導數及其應用。數列是一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應用。導數是微積分的核心內容之一，是現代數學的基本概念，蘊含微積分的基本思想，導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數性質的基本工具。
【內容要求】
內容包括：數列、一元函數導數及其應用。
1．數列
本單元的學習，可以幫助學生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數列的概念；探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律，建立通項公式和前n項和公式：能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用；了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系，感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性。
內容包括，數列概念、等差數列、等比數列、*數學歸納法。
（1）數列概念
通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數。
（2）等差數列
①通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義。
②探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系。
③能在具體的問題情填中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題。
④體會等差數列與一元一次函數的關系。
（3）等比數列
①通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義。
②探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系。
③能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題。
④體會等比數列與指數函數的關系。
（4）*數學歸納法
了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題。
2.一元函數導數及其應用
本單元的學習，可以幫助學生通過豐富的實際背景理解導數的概念，希握導數的基本運算，運用導數研究函數的性質，并解決一些實際問題。
內容包括：導數概念及其意義、導數運算、導數在研究函數中的應用、*微積分的創立與發展。
（1）導數概念及其意義
①通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想。
②體會極限思想。
③通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義。
（2）導數運算
①能根據導數定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的導數。
②能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的復合函數（限于形如f（ax+b））的導數。
③會使用導數公式表。
（3）導數在研究函數中的應用
①結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的單調性；對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間。
②借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值，體會導數與單調性、極值、最大（?。┲档年P系。
（4）*微積分的創立與發展
收集、閱讀對最積分的創立和發展起重大作用的有關資料，包括一些量要歷史人物（牛頓、萊布尼茨、柯西、魏爾斯特拉斯等）和事件，采取獨立完成或者小組合作的方式。完成一篇有關微積分創立與發展的研究報告。
【教學提示】
在數列的教學中，應引導學生通過具體實例（如購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等），理解等差數列、等比數列的概念、性質和應用，引導學生掌握數列中各個量之間的基本關系。應特別強調數列作為一類特殊的函數在解決實際問題中的作用，突出等差數列、等比數列的本質，引導學生通過類比的方法探索等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系，加深對數列及函數概念的理解。
在教學中可以組織學生收集、閱讀數列方面的研究成果，特別是我國古代的優秀研究成果，如“楊輝三角”、《四元玉鑒》等，撰寫小論文，論述數列發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻，感悟我國古代數學的輝煌成就。
在一元函數導數及其應用的教學中，應通過豐富的實際背景和具體實例引入導數的概念，例如斜率、增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等，應引導學生經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數是如何刻畫瞬時變化率的，感悟極限的思想；應引導學生通過具體實例感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的意義。學生對導數概念的理解不可能一步到位，導數概念的學習應該貫穿在一元函數導數及其應用學習的始終。一般地，在高中階段研究與導數有關的問題中，涉及的函數部是可導函數。
在教學中可以組織學生收集、閱讀微積分創立與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述微積分創立與發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【學業要求】
能夠結合具體實例，理解通項公式對于數列的重要性，知道通項公式是這類函數的解析表達式；通過等差數列和等比數列的研究，感悟數列是可以用來刻畫現實世界中一類具有遞推規律事物的數學模型。掌握通項公式與前n項和公式的關系；能夠運用數列解決筒單的實際問題。
能夠通過具體情境，直觀理解導數概念，感悟極限思想，知道極限思都是人類深刻認識和表達現實世界必備的思維品質。理解導數是一種借助極限的運算，掌握導數的基本運算規則，能求筒單函數和簡單復合函數的導數。能夠運用導數研究簡單函數的性質和變化規律，能夠利用導數解決簡單的實際問題。知道微積分創立過程，以及微積分對數學發展的作用。
重點提升數學抽象、數學運算、直觀想象、數學建模和邏輯推理素養。
主題二 幾何與代數
在必修課程學習平面向量的基礎上，本主題將學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關系和度量關系。解析幾何是數學發展過程中的標志性成果，是微積分創立的基礎。本主題將學習平面解析幾何，通過建立坐標系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導出相應方程；用代數方法研究它們的幾何性質，體現形與數的結合。
【內容要求】
內容包括：空間向量與立體幾有、平面解析幾何。
1．空間向量與立體幾何
本單元的學習，可以幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運用向量方法解決筒單的數學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。
內容包括：空間直角坐標系、空間向量及其運算、向量基本定理及坐標表示、空間向量的應用。
（1）空間直角坐標系
①在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置。
②借助特殊長方體（所有被分別與坐標軸平行)頂點的坐標。
探索并得出空間兩點間的距離公式。
（2）空間向量及其運算
①經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念。
②經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程。
（3）向量基本定理及坐標表示
①了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。
②掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
③掌握空間向量的數量積及其坐標表示。
④了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）。
（4）空間向量的應用
①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量。
②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系。
③能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理。
④能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題（參見案例16）和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
2．平面解析幾何
本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圍、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想。
內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發展。
（1）直線與方程
①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）。
⑤能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。
⑥探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
（2）圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題。
（3）圓錐曲線與方程
①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。
②經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質。
③了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質。
④通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。
⑤了解橢圓、拋物線的簡單應用。
（4）*平面解析幾何的形成與發展
收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文、論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【教學提示】
本主題的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法。
在空間向量與立體幾何的教學中，應重視以下兩方面；第一，引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探素空間向量與平面向量的共性和差異，引發學生思考維數增加所帶來的影響：第二，鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離間題），通過對比體會向量方法的優勢。在上述過程中，引導學生理解向量基本定理的本質，感悟“基”的思想，并運用它解決立體幾何中的問題。
在平面解析幾何的教學中，應引導學生經歷以下過程：首先，通過實例了解幾何圖形的背景，例如，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用；進而，結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題，例如，兩點決定一條直線，橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡等，再結合具體問題合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征與問題；最后，借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題。
應充分發揮信息技術的作用，通過計算機軟件向學生演示方程中參數的變化對方程所表示的曲線的影響，使學生進一步理解曲線與方程的關系。在教學中，可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
【學業要求】
能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用；能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力；能夠掌握空間向量基本定理，體會其作用，并能簡單應用；能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的想路。
能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題。
能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題。
重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養。
主題三　概率與統計
本主題是必修課程中概率與統計內容的延續，將學習計數原理、概率、統計的相關知識。計數原理的內容包括兩個基本計數原理、排列與組合、二項式定理。概率的內容包括隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態分布。統計的內容包括成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、2×2列聯表。
【內容要求】
內容包括：計數原理、概率、統計。
1．計數原理
分類加法計數原理和分步乘法計數原理是解決計數問題的基礎，稱為基本計數原理。本單元的學習，可以幫助學生理解兩個基本計數原理，運用計數原理探索排列、組合、二項式定理等問題。
內容包括：兩個基本計數原理、排列與組合、二項式定理。
（1）兩個基本計數原理
通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義。
（2）排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念，能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式。
（3）二項式定理
能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理（參見案例17，18），會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
2．概率
本單元的學習，可以幫助學生了解條件概率及其與獨立性的關系，能進行簡單計算；感悟離散型隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象；理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；感悟服從正態分布的隨機變量，知道連續型隨機變量；基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題。
內容包括，隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態分布。
（1）隨機事件的條件概率
①結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率。
②結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關系。
③結合古典概型，會利用乘法公式計算概率。
④結合古典概型，會利用全概率公式計算概率。*了解貝葉斯公式。
（2）離散型隨機變量及其分布列
①通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征（均值、方差）。
②通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題。
③通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題。
（3）正態分布
①通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量。通過具體實例、借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征。
②了解正態分布的均值、方差及其含義。
3．統計
本單元的學習，可以幫助學生了解樣本相關系數的統計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯表，運用這些方法解決簡單的實際問題。會利用統計軟件進行數據分析。
內容包括：成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、2×2列聯表。
（1）成對數據的統計相關性
①結合實例，了解樣本相關系數的統計含義，了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系。
②結合實例，會通過相關系數比較多組成對數據的相關性。
（2）一元線性回歸模型
①結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件。
②針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測。
（3）2×2列聯表
①通過實例，理解2×2列聯表的統計意義。
②通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用。
【教學提示】
教師應通過典型案例開展教學活動，案例的情境應是豐富的、有趣的、學生熟悉的。在案例教學中要重視過程，層次清楚，從具體到抽象，從實際到理論。
在計數原理的教學中，應結合具體情境，引導學生理解許多計數問題可以歸結為分類和分步兩類問題，引導學生根據計數原理分析問題、解決問題。
在概率的教學中，應引導學生通過具體實例，理解可以用隨機變量更好地刻畫隨機現象，感悟隨機變量與隨機事件的關系；理解隨機事件獨立性與條件概率之間的關系；通過二項分布、超幾何分布、正態分布的學習，理解隨機變量及其分布。在教學過程中，應在引導學生利用所學知識解決一些實際問題的基礎上，適當進行嚴格、準確的描述。
在統計的教學中，應通過具體案例，引導學生理解兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數據進行分析；理解利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關系，進行預測；理解利用2×2列聯表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性。在教學過程中，應通過具體案例引導學生參與數據分析的全過程，并鼓勵學生使用相應的統計軟件。
【學業要求】
能夠結合具體實例，識別和理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理及其作用，并能夠運用這些原理解決簡單的實際問題。
能夠結合具體實例，理解排列、組合、二項式定理與兩個計數原理的關系，能夠運用兩個計數原理推導排列、組合、二項式定理的相關公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題，特別是概率中的某些問題。
能夠結合具體實例，理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，理解離散型隨機變量在描述隨機現象中的作用，掌握兩個基本概率模型及其應用，了解正態分布的作用，進一步深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用。
能夠解決成對數據統計相關性的簡單實際問題。能夠結合具體實例，掌握運用一元線性回歸分析的方法。掌握運用2×2列聯表的方法，解決獨立性檢驗的簡單實際問題。
重點提升數據分標、數學建模、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養。
主題四　數學建?；顒优c數學探究活動
【內容要求】
數學建?；顒优c數學探究活動以課題研究的形式開展。在選擇性必修課程中，要求學生完成一個課題研究，可以是數學建模的課題研究，也可以是數學探究的課題研究。課題可以是學生在學習必修課程時已完成課題的延續，或者是新的課題。
【教學提示】
選題可以在教師的指導下，自主選題，也可以在必修課程中數學建?；顒踊驍祵W探究活動的研究基礎上繼續進行深入探究。類似必修課程的要求，課題研究應經歷選題、開題、做題、結題四個環節。如果選題不變，需要在研究報告中說明與必修課程中研究的差異，深入研究的新思路、新方法，得到的新結果。根據選題的內容，報告可以采用專題作業、測量報告、算法程序、制作的實物或研究論文等多種形式。
【學業要求】
參考必修課程的主題五。
（三）選修課程
選修課程是由學校根據自身情況選擇設置的課程，供學生依據個人志趣自主選擇，分為A,B,C,D,E五類。
這些課程為學生確定發展方向提供引導，為學生展示數學才能提供平臺，為學生發展數學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考。學生可以根據自己的志向和大學專業的要求選擇學習其中的某些課程。
A類課程是供有志于學習數理類（如數學、物理、計算機、精密儀器等）學生選擇的課程。
B類課程是供有志于學習經濟、社會類（如數理經濟、社會學等）和部分理工類（如化學、生物、機械等）學生可以選擇的課程。
C類課程是供有志于學習人文類（如語言、歷史等）學生選擇的課程。
D類課程是供有志于學習體育、藝術（包括音樂、美術）類學生選擇的課程。
E?類課程包括拓展視好、日常生活、地方特色的數學課程，還包括大學數學的先修課程等。大學數學先修課程包括:?微積分、解析幾何與線性代數、概率論與數理統計。
數學建?；顒印祵W探究活動、數學文化融入課程內容。
選修課程的修習情況應列為綜合素質評價的內容。不同高等院校、不同專業的招生，根據需要可以對選修課程中某些內容提出要求。國家、地方政府、社會權威機構可以組織命題考試?？荚嚦煽儜嫒雽W生個人學習檔案，供高等院校自主招生參考。
A類課程
A類課程包括微積分、空間向量與代數、概率與統計三個專題，其中微積分2.5學分，空間向量與代數2學分，概率與統計1.5學分。
微積分
本專題在數列極限的基礎上建立函數極限和連續的概念；在具體的情境中用極限刻畫導數，給出借助導數研究函數性質的一般方法；通過極限建立微分和積分的概念，闡述微分和積分的關系（微積分基本定理）及其應用。本專題要考慮高中學生的接受能力，重視課程內容的實際背景，關注數學內容的直觀理解，培養學生的數學抽象、數學運算、數學建模和邏輯推理素養，為進一步學習大學數學課程奠定基礎。
內容包括：數列極限、函數極限、連續函數、導數與微分、定積分。
1．數列極限
（1）通過典型收斂數列的極限過程（當時，，，），建立并理解數列極限的定義。
（2）探索并證明基本性質：收斂數列是有界數列。
（3）通過典型單調有界數列的收斂過程，理解基本事實：單調有界數列必有極限。
（4）掌握數列極限的四則運算法則。
（5）通過典型數列的收斂性，理解e的意義。
2．函數極限
（1）通過典型函數的極限過程（當時，；當時，；當時，，且），理解函數極限的ε-δ定義。
（2）掌握基本初等函數極限的四則運算。
（3）掌握兩個重要函數極限：，并會求其簡單變形的極限。
3．連續函數
（1）理解連續函數的定義。
（2）了解閉區間上連續函數的有界性、介值性及其簡單應用（例如，用二分法求方程近似解）。
4．導數與微分
（1）借助物理背景與幾何背景理解導數的意義，并能給出導數的嚴格數學定義。
（2）通過導函數的概念，掌握二階導數的概念，了解二階導數的物理意義與幾何意義。
（3）了解復合函數的求導公式。
（4）理解并證明拉格朗日中值定理，并能用其討論函數的單調性。
（5）會利用拉格朗日中值定理，證明一些函數不等式（例如，當時，有，）。
（6）會利用導數討論函數的極值問題，利用幾何圖形說明一個點是極值點的必要條件與充分條件（不要求數學證明）。
（7）了解微分的概念及其實際意義，并會用符號表示。
5．定積分
（1）通過等分區間求特殊曲邊梯形面積的極限過程，理解定積分的概念及其幾何意義與物理意義。
（2）在單調函數定積分的計算過程中，通過微分感悟積分與導數的關系，理解并掌握牛頓-萊布尼茨公式。
（3）會利用導數表和牛頓-萊布尼茨公式，求一些簡單函數的定積分。
（4）會利用定積分計算某些封閉圖形的面積，計算球、圓錐、圓臺和某些三棱錐、三棱臺的體積；能利用定積分解決簡單的作功問題和重心問題。
空間向量與代數
本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上，通過系統學習三維空間的向量代數，表述各種運算的幾何背景，實現幾何與代數的融合。引入矩陣與行列式的概念，利用矩陣理論解三元一次方程組；利用向量代數，討論三維空間中點、直線、平面的位置關系與度量；利用直觀想象建立平面和空間的等距變換理論。將空間幾何與線性代數融合在一起，把握問題的本質，為代數理論提供幾何背景，用代數方法解決幾何問題，進而解決實際問題，為大學線性代數課程的學習奠定直觀基礎。
內容包括：空間向量代數、三階矩陣與行列式、三元一次方程組、空間中的平面與直線、等距變換。
1．空間向量代數
（1）通過幾何直觀，理解向量運算的幾何意義。
（2）探索并解釋空間向量的內積與外積及其幾何意義。
（3）理解向量的投影與分解及其幾何意義，并會應用。
（4）掌握向量組的線性相關性，并能加以判斷。
（5）掌握向量的線性運算，理解向量空間與子空間的概念。
2．三階矩陣與行列式
（1）通過幾何直觀引入矩陣概念，掌握矩陣的三種基本運算及其性質。
（2）了解正交矩陣及其基本性質，能用代數方法解決幾何問題。
（3）掌握行列式定義與性質，會計算行列式。
3．三元一次方程組
（1）通過實例，探索三元一次方程組的求解過程，理解三元一次方程組的常用解法（高斯消元法），會用矩陣表示三元一次方程組。
（2）掌握三元齊次線性方程組的解法，會表示一般解。
（3）掌握非齊次線性方程組有解的判定，建立線性方程組的理論基礎。
（4）探索三元一次方程組解的結構，會表示一般解。
（5）理解克拉默（Cramer）法則，會用克拉默法則求解三元一次方程組。
4．空間中的平面與直線
（1）通過向量的坐標表示，建立空間平面的方程。
（2）掌握空間直線方程的含義，會用方程表示空間直線。
（3）理解空間點、直線、平面的位置關系，會用代數方法判斷空間點、直線、平面的位置關系，會求點到直線（平面）的距離。
5．等距變換
（1）了解平面變換的含義，理解平面的等距變換，特別是三種基本等距變換：直線反射、平移、旋轉。
（2）了解平面對稱圖形及變換群概念。
（3）掌握常見平面等距變換及其矩陣表示。
（4）了解空間變換的含義，理解空間的等距變換，特別是三種常見等距變換：平面反射、平移、旋轉。
（5）了解空間對稱圖形及變換群。
（6）掌握常見空間等距變換及其矩陣表示。
概率與統計
本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上展開。在概率方面，通過具體實例，進一步學習連續型隨機變量及其概率分布，二維隨機向量及其聯合分布，并運用這些數學模型，解決一些簡單的實際問題。在統計方面，結合一些具體任務，學習參數估計、假設檢驗，并運用這些方法解決一些簡單的實際問題；在一元線性回歸分析的基礎上，結合具體實例，進一步學習二元線性回歸分析的方法，解決一些簡單的實際問題。在教學活動中，要重視課程內容的實際背景，關注學生對數學內容的直觀理解；要充分考慮高中學生接受能力，更要注重學生數學學科核心素養的提升。
內容包括：連續型隨機變量及其分布、二維隨機變量及其聯合分布、參數估計、假設檢驗、二元線性回歸模型。
1．連續型隨機變量及其分布
（1）借助具體實例，了解連續型隨機變量及其分布，體會連續型隨機變量與離散型隨機變量的共性與差異。
（2）結合生活中的實例，了解幾個重要連續型隨機變量的分布：均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布，理解這些分布中參數的意義，能進行簡單應用。
（3）了解連續型隨機變量的均值和方差，知道均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布的均值和方差及其意義。
2．二維隨機變量及其聯合分布
（1）在學習一維離散型隨機變量的基礎上，通過實例，了解二維離散型隨機變量概念及其分布列、數字特征（均值、方差、協方差、相關系數），并能解決簡單的實際問題。了解兩個隨機變量的獨立性。
（2）在學習一維正態隨機變量的基礎上，通過具體實例，了解二維正態隨機變量及其聯合分布，以及聯合分布中參數的統計含義。
3．參數估計
借助對具體實際問題的分析，知道矩估計和極大似然估計這兩種參數估計方法，了解參數估計原理，能解決一些簡單的實際問題。
4．假設檢驗
（1）了解假設檢驗的統計思想和基本概念。
（2）借助具體實例，了解正態總體均值和方差檢驗的方法，了解兩個正態總體的均值比較的方法。
（3）結合具體實例，了解總體分布的擬合優度檢驗。
5．二元線性回歸模型
（1）了解二維正態分布及其參數的意義。
（2）了解二元線性回歸模型，會用最小二乘原理對模型中的參數進行估計。
（3）運用二元線性回歸模型解決簡單的實際問題。
B類課程
B類課程包括微積分、空間向量與代數、應用統計、模型四個專題，其中微積分2學分，空間向量與代數1學分，應用統計2學分，模型1學分。
微積分
本專題在數列極限的基礎上建立函數極限的概念；在具體的情境中用極限刻畫導數，給出借助導數研究函數性質的一般方法；通過極限建立微分和積分的概念，闡述微分和積分的關系（微積分基本定理）及其應用。在學習一元函數的基礎上，了解二元函數及其偏導數的概念。本專題要考慮高中學生接受能力，重視課程內容的實際背景，關注數學內容的直觀理解，培養學生的運算能力，為進一步學習大學相關課程奠定基礎。
內容包括：極限、導數與微分、定積分、二元函數。
1．極限
（1）通過典型數列，了解數列的極限，掌握極限的符號，了解基本事實：單調有界數列必有極限。
（2）通過具體函數犳，且，，了解函數極限和連續的概念，掌握極限的符號，了解閉區間上連續函數的性質。
2．導數與微分
（1）通過導數概念，理解二階導數的概念，了解二階導數的物理意義與幾何意義；掌握一些基本初等函數的一階導數與二階導數。
（2）理解拉格朗日中值定理，了解它的幾何解釋。
（3）能利用導數討論函數的單調性，并證明某些函數不等式（例如，當時，，）。
（4）會利用導數討論函數的極值問題，利用幾何圖形說明一個點是極值點的必要條件與充分條件（不要求數學證明）。
（5）借助導數，會求閉區間上一元一次函數、一元二次函數、一元三次函數的最大值與最小值。
（6）了解微分的概念及其實際意義，會用符號表示。
3．定積分
（1）了解閉區間上連續函數定積分的概念，理解其幾何意義與物理意義。
（2）能用等分區間方法計算特殊的黎曼和。
（3）利用的單調性、等分區間的方法、拉格朗日中值定理，推導牛頓-萊布尼茨公式。
（4）會利用定積分計算某些封閉平面圖形的面積，計算球、圓錐、圓臺和某些三棱錐、三棱臺的體積；了解祖暅原理。
4．二元函數
（1）通過簡單實例，掌握二元函數的背景。
（2）了解偏導數的定義，能計算一些簡單函數的偏導數。例如，已知與分別是基本初等函數，會求，的偏導數。
（3）會求一些簡單二元函數的駐點，并能求相應的實際問題中的極值。
（4）利用等高線法，會求一次函數在閉凸多邊形區域上的最大值和最小值。
（5）會求閉圓域、閉橢圓域上二元二次函數的最大值和最小值。
空間向量與代數
本專題在必修課程和選擇性選修課程的基礎上，比較系統地學習三維空間的整體結構———向量代數，感悟幾何與代數的融合。引入矩陣與行列式的概念，并討論三元一次方程組解的結構。本專題中強調幾何直觀，把握問題的本質，培養學生數學運算、數學抽象、邏輯推理和直觀想象等素養，為大學線性代數課程的學習奠定直觀基礎

展開更多......

收起↑