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離心率問題的解決策略及方法

離心率是圓錐曲線的一個重要知識點，同時也是也是圓錐曲線的重要幾何性質，是刻畫橢圓扁平程度，雙曲線形狀扁狹還是開闊的一種量度，縱觀近幾年高考，求離心率的值或范圍的問題在高考中屢見不鮮,其表現是：題型多樣，解法靈活. 本文介紹一些常用的方法，供同行參考。
一．定義法
利用圓錐曲線的統一定義，知離心率是動點到焦點的距離與到其準線的距離之比。故可以把一二定義結合靈活解決一些問題。
例1. 設是離心率為的雙曲線的左右焦點，若在雙曲線的左支上存在點P，使是與點P到左準線的距離d的 等比中項，求雙曲線的離心率的取值范圍
解析：是與d的等比中項等價于,(1),(2),又因為-=2a,,(左支上的點到準線的最小距離為）（>1),解得1<
此題也可這樣來解：由雙曲線的第二定義，知，即 (1)又由雙曲線的第一定義，得 (2) ,由（1）（2）解得.在中，當三點共線時，. （3）式可化為解得，，即雙曲線的離心率的取值范圍是
點評 ：本題的兩種解法巧妙的將雙曲線的第一與第二定義結合起來，通過構造離心率的不等式，從而順利實現求解目的.
二．公式法
圓錐曲線離心率的公式為
例2. 若雙曲線的漸近線方程為y=,則它的離心率可能是
B. 2 C. 或2 D. 或
解析：由題意可知雙曲線的焦點不確定，所以應有（1），或（2），由（1）得=2，由（2）的=，故選C
例3，已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是
B. C. D.
解析由橢圓的定義可知,,是正三角形，,,從而cos=,,選B
點評：以上兩例將求離心率問題轉化為求a.b.C關系的問題，其中例2運用了整體思想將看做一個整體,利用離心率與的關系.
三．函數法
例4. 若直線l過雙曲線（a>0,b>0)的右焦點，斜率k=2且它與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率的取值范圍是
B. C. D.
解：雙曲線的一條漸近線要滿足題意須，由
所以，選D
例5.設雙曲線C:（a>0)與直線l: x+y=1相交于兩個不同的點A,B,求雙曲線C的離心率的取值范圍。
解：由C與l交于兩個不同的點故知方程組有兩個不同的實數解，消去y并整理得
所以且解得且,因為雙曲線的離心率==,又，所以，且，即離心率的取值范圍為。
點評:例4將離心率構造成了關于a為自變量的一種函數，特別需注意a的范圍否則前功盡棄。例5可把看做一個整體仍然是函數問題，注意整體思想。
四．方程法
例6. 已知雙曲線，一直線經過A（a,0),B(0,b)兩點，若原點到直線AB的距離為，則此雙曲線的離心率是( )
A.2 B. C D2或
解析：在OAB中，=，由面積相等×=ab得，解之得=2，故選C
點評：求離心率的值常通過構造關于a與c的齊次等式，并進一步轉化為離心率的方程，只需解的方程即可.
五．向量法
例7 .雙曲線 的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是
A.2 B. C. D.
解析在雙曲線的一條漸近線上取點，由對稱性知必在另一條漸近線上，記 ，,所以=0，所以，即，=2，，選C
點評：向量常與解析幾何結合，但向量主要作為工具來使用，向量的運算比較簡單，應樹立應用向量解題的意識.
六．比例性質法
在橢圓或雙曲線含焦點的三角形中, 若已知兩個角, 可用正弦定理及比例性質來求
離心率。

例8.　已知M 為橢圓上一點, F1 , F2 是其兩個焦點, 且∠MF1 F2 = 2, ∠MF2 F1 =（）則橢圓的離心率為( 　　)
(A) 1 -2sin　　 (B) 1 - sin2
(C) 1 - cos2 (D) 2cos- 1
解　由已知及正弦定理,得|，由比例性質，得，所以
故選D

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