資源簡介

北京大學附屬中學
張思明
突出素養、巧用情境、改善評價
--高中數學新課程中的建模和探究教學
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內容提要
? 1. 標準中的建模和探究要求
? 2. 建模和探究的教學價值
? 3. 建模和探究教學的建議
? 4. 一些可供選擇的建模案例
? 5. 一些可供選擇的探究案例
? 6. 結語
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數學課程目標
? 基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗

? 提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決
問題的能力；
? 提高數學表達和數學交流能力；發展數學應用能力及
創新意識；養成良好的數學學習習慣。
? 數學核心素養：
? 數學抽象、邏輯推理、數學建模
? 數學運算、直觀想象、數據分析
? 用數學的眼光觀察現實世界，
? 用數學的思維分析現實世界，
? 用數學的語言表達現實世界；

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? 是個體在面對復雜的、不確定的現實生活情境時，
? 能夠綜合運用特定學習方式下所孕育出來的
? （跨）學科觀念、思維模式和探究技能，
? 結構化的（跨）學科知識和技能，
? 世界觀、人生觀和價值觀在內的動力系統，
? 分析情境、提出問題、解決問題、交流結果
? 過程中表現出來的綜合性品質
什么是核心素養（楊向東教授）
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究竟什么是“核心素養”？
? “素養不只是知識與技能。它是在特定情境中、
通過利用和調動心理社會資源（包括技能和態
度）、以滿足復雜需要的能力。例如，有效交往
的能力是一種素養，它可能利用一個人的語言知
識、實用性信息技術技能、以及對其交往的對象
的態度?！?

? ——OECD (2005) The definition and selection of key
competencies [Executive Summary]. 教
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核心素養導向的教學觀與教學要點
第一部分：核心素養導向的教學觀（基本理念）
1, 立德樹人；2，學生學習。
第二部分：核心素養導向的教學要點
1，整合；2，情境；3，深度；
4，活動；5，大觀念；6，獨立。

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情境化——問題化——任務化教學。

? 魚在水中才能活。通過創設情境，激活學科知識（
情境可以使枯燥乏味的學科知識由豐富的附著點和切
實的生長點，讓學科教學具有更加深刻的意義）；激
活學生認知和情感（情境可以有效刺激學生，使學習
過程不僅是對知識的加工和認知，而且能使學生產生
情感的共鳴。）
? 情境能夠有效增加學生學習活動的生動性、趣味性、
直觀性、情感性。問題則能有效增強學生學習活動的
思維性、深刻性、批判性。從學生的角度講，情境和
問題的核心是其經驗和思維、情感的參與。知識只是
素養的媒介和手段，知識轉化為素養的重要途徑是情
境和問題（鹽巴最好融入湯中被人吸收）。去情境化
和問題化，知識就只剩下知識（符號）了。
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? 構建從真實的情境（從簡單情境到復
雜情境、具體情境到抽象情境）和問題
（主題、話題或任務）中進行學習（閱
讀、實驗、思考、建構）的認知路徑。
? 情境要成為學生的思維發生處、知識
形成處、能力成長處、情感涵育處，創
設情境就是構建課程知識內容與學生的
生活、經驗、情感、生命的接壤之處。
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“21世紀技能”
? 1.元認知與知道如何學習；
? 2.創造性與創新意識；
? 3.批判性思維與問題解決；
? 4.系統思維；
? 5.交往能力：包括聽、說、寫和非言語交際；
? 6.合作精神與尊重差異的工作能力；
? 7.信息管理和數字媒體的應用。
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二。建模和探究的價值（以建模為例）
? 數學建模是應用數學的知識與方法，通過建立
數學模型去解決問題。
? 數學模型是借用數學的語言講述現實世界中與
數量、圖形有關的故事。數學模型使數學走出了自
我封閉的世界，構建了數學與現實世界的橋梁。
? 正因為數學模型具有數學和現實這兩個出發點，那
么數學模型就不完全屬于數學的范疇。因此，就事
物的本質而言，數學模型的價值取向往往不是數學
本身，而是對所描述學科起到的實際作用。當然，
在人們構建數學模型和實際應用的過程中，必然會
從數學的角度汲取“創造數學的”的靈感，從而促
進數學自身的發展。
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數學建模的教育價值
? 它打破數學知識內部的嚴密的知識體系和
技能體系的界限，強調以學生的經驗、學習實
際和社會需要的問題為核心，以問題求解的需
要為導向，對學生學過的數學學科內部和跨學
科的知識、工具、方法、資源進行整合應用，
以有效地培養和發展學生解決問題的能力、探
究精神和綜合實踐能力。

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數學建模的教育價值
? 它是一種獨立的數學素養，卻又是一
種綜合程度最高的素養，因為建模的過程
離不開抽象概括、邏輯推理、直觀想象、
數學運算、數據分析。中學數學建模首先
突出表現了數學學科的特點，主要是數學
應用的廣泛性，理性精神和文化內涵。其
次強調了學生的自主性和實踐性，強調
“問題”和“問題意識”，強調學習、實
踐過程的開放性和活動性。

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數學建模的教育價值
? 它尤其注重學生學習方式的轉變，
試圖改變那種單一的以知識授受為基本
方式、以知識結果的獲得為直接目的的
學習活動。提倡多樣化、個性化、有時
代特征的學習和實踐，如網絡搜索、問
卷調查、計算機仿真實驗、現場觀察、
合作探究等，強調“做數學、學數學、
用數學”。因而，中學數學建模比其他
任何數學課程都更強調學生對實際的活
動過程的親歷和體驗。

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數學建模的教育價值
? 在我們的建模實踐中，我們特別強調建模學習的
“過程”，強調“活動”,強調建模學習的”選
題、開題、做題、結題“這四個操作環節，就是
要通過建模的學習和實踐，給學生提供一個探究
發現、合作學習、個性展示、協作支持、工具選
擇、信息挖掘、交流分享、歸納提升、反思拓展
的機會和氛圍，通過建?；顒樱ぐl學生自主思
考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發
展學生創新精神，培養學生應用意識和實踐能力，
提升對數學學科價值的理解，積累一定的用數學
解決問題的經驗，最終使學生提升適應現代社會
要求的可持續發展的素養。

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三。建模的教學層次和教學建議
? 幾年級開始做？要求有什么差別？
2017年6月，由美國數學及其
應用聯合會（COMAP）、美
國工業與應用數學學會(SIAM)
聯合原著，由梁貫成、賴明治、
喬中華、陳艷萍教授編譯的
《數學建模教學與評估指南》
一書（以下簡稱《指南》）由
上海大學出版社出版發行。
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“午餐中的問題”：

?入學前班到二年級，可以收集數據，討
論解決如下程度的問題：
?討論我們組要吃掉多少胡蘿卜？
?哪些食物與胡蘿卜搭配最好？搭配量是
多少？
?多大的餐盒可以裝下這些胡蘿卜？
?怎樣用圖來表示我們分析得到的結果？
? ….

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3至5年級可以進一步討論：

? 胡蘿卜和其他蔬菜的營養成份的比較。
? 如何在各種食物中挑出或組成最佳的午餐。（最佳需要
學生自己定義）
? 如果把餐盒改成托盤，前面討論的結果會有什么變化？
（修改條件和假設）
? 學校的伙食費有上限時，怎樣安排各餐的品種和價位？
（量化估計和預測）
? …。

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6至8年級可以進一步討論：

?給出選擇的一個數量范圍（成份、價格、
是否送餐、口味等），選擇決定購買哪種
披薩餅。
?給披薩餅的售價找一個函數，自變量可以
是直徑、或是配送時間等。
?…。
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在《指南》一書中，高中的建模案例
就更加豐富、復雜、開放。
? 如“喬丹罰球動態命中率如何算？”，
? “如何選擇購買高性能電腦？”，
? “上哪個加油站加油更劃算？”，
? 盡量均勻的噴灌系統的噴頭間距是多少?,
? “救災物資的公平分配”，…。
? 涉及的知識多是函數、幾何、簡單的概率統計。

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我們給出的建模推進層次
?在我們的建模實踐中，提出了從數學應用
滲透到完整數學建?；顒拥闹鸩教嵘囊?br/>下層次：
?（1）為了幫助學生理解、建立概念，函數，
定理，公式等而有意設計的實際情境。
?（2）. 直接套用數學概念，函數，定理，
公式等，給出有實際意義的結果（如函數
值），或者解釋、說明、得到結果的實際
意義。
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我們給出的建模推進層次
? （3）. 通過簡單的變換，間接套用數學概念，
函數，定理，公式等，給出有實際意義的結果。
? （4）. 教師或教材給出實際問題，并帶領（教
材是引領）學生完成數學化的，簡單、具體的
數學應用。
? （5）. 教師或教材給出實際問題，學生自主完
成數學化的，簡單、具體的數學應用。

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我們給出的建模推進層次
? （6）. 教師或教材給出問題情境，學生自主提出
實際問題，師生一起完成“建立模型”和“模型
求解”的主要過程的數學活動。
? （7）. 全過程（選題、開題、做題、結題）、學
生部分自主（在發現提出問題，模型的選擇和建
立，求解模型，給出模型結果的解釋等環節中，
教師部分參與，給予指導和支持）的數學建模活
動。
? （8）. 全過程、全自主（學生自主發現提出問題，
自主完成數學化的建模過程，自主求解模型，自
主給出模型結果的解釋，在整個過程中可以自主
尋求教師的幫助）的數學建?；顒?。

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我們給出的建模推進層次
? 一線教師應在日常教學中，要有意完成（1）、
（2）、（3）、（4）的內容，可以在章節復
習中出現（5）的要求， (6)、（7）、（8）是
數學建模的專項要求，教材會有體現，教師可
根據學生情況，選擇做到一定程度（如就做到
（6）的水平）。
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做好數學建模滲透，要有意識地抓住
“滲透點”，如：

? 指數函數------人口增長，指數爆炸（指數函數）
? 有實際背景和意義的函數圖像
? 數列的通項與求和-----存款的本金和利息的計算
? 分段函數-----郵費或打車費用的的計算
? 三角函數的應用-----有實際意義的高度、距離和角度的
計算
? 有實際意義的三角函數值，周期的計算或解釋
? 直線和二次曲線的實際意義（拱橋曲線，入射線、反射
線等）
? ……

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四.一些數學建模和數學探究
的教學案例
? 參與式學習之一：復印紙問題

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案例：復印紙的問題

? 常用的復印紙的型號有Ａ4、Ａ5、Ｂ4、
Ｂ5等等。有一天，我在中關村上行走，突
然在某大型復印機專業公司服務部的門面上
看到貼出的如下廣告：“本部承接超大型工
程圖紙復印業務，規格可達Ａ1、Ｂ1大小
……”。好奇的我立刻聯想到下面的問題，
Ａ1、Ｂ1的復印紙有多大？，能不能根據手
邊的幾種常見的復印紙的大小，推算出Ａ1
及Ｂ1 型復印紙的大??？，它們的尺寸之間
有什么數量關系？。
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[問題解析]


?（1）先觀察若干復印紙的樣品，容易發現如圖所示的規律
：
B
4

B5 B5
A
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A4
A4
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利用字處理軟件
?（2）（如WORD、WPS等軟件）的“頁面設置”
欄目下的信息，可以具體查出Ａ4和Ｂ5的尺寸如下
：單位：mm
?復印紙的型號 長 × 寬
?Ａ4 297×210
?Ａ3 420×297
?Ｂ5 257×182
?Ｂ4 364×257
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[問題拓展]

?我們類似地可以解決報紙、常見標準尺寸的出版物
的尺寸推算，如根據手中常見的32K的課本的尺寸
，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物的尺寸。
?將“優美矩形列”推廣到三維空間，會得到怎樣的
“優美長方體列”，又會有怎樣的性質？
?將“優美矩形列”推廣到下圖所示的情景，又會有
怎樣的性質？
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案例2：課堂內的探究活動-----正方體
可能的截面


? 【情境】用一個平面去截正方體，截面的形狀是什么樣的？
? 操作建議：激發學生提出一個逐漸深入的問題串，引導學生的
討論走向深入，例如學生提出（或教師引導提出）：
? (1) 給出分類的原則（例如：按截面圖形的邊數分類）。按照
你的分類原則，能得到多少類不同的截面？設計一種方案，找
到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫出示意圖。
? (2) 如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形
（分別按邊，角分類）？為什么?
? (3) 如果截面是四邊形，你認為可以截出幾類不同的四邊形？
為什么?
? (4) 還能截出哪些多邊形？為什么?

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案例：正方體所有可能的截面的類型：
? 三角形類
．直角三角形
．銳角三角形
．鈍角三角形
．等邊三角形或等腰三角形
其他：
．五邊形
．正五邊形
．六邊形
．正六邊形
．七邊形
．多于7邊的多邊形

四邊形類
．正方形
．矩形
．非矩形的平行四
邊形
．等腰梯形
．非等腰的梯形
．直角梯形

問題：正方體的截面中是否可能出現
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B1
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B4
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A4
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A3
M2
M45
B2
M3
M6
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? (5) 能否截出正五邊形？為什么？
? (6) 能否截出直角三角形？為什么？
? (7) 有沒有邊數超過6的多邊形截面？為什么？
? (8) 是否存在正六邊形的截面？為什么？
? (9) 最大面積的三角形截面是哪個？為什么？

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? 這是一個跨度很大的數學探究問題串，可以通過多種方
法直接實施探究，比如教學條件比較薄弱的學校，可以
讓學生通過切蘿卜塊來觀察；也可以通過向透明的正方
體盒子中注入有顏色的液體，來觀察不同位置擺排放、
不同水量時的液體表面形狀。
? 借助于信息技術（如幾何畫板）也可以直觀快捷地展示
各種可能的截面，但是不能代替證明。探究的難點是分
類找出所有可能的截面，并實際找出、證明哪種形狀的
截面一定存在或一定不存在。
? 可以鼓勵學生通過觀察、操作，形成猜想，再通過論證
形成結論。它有利于培養學生觀察發現、分類討論、推
理論證、直觀想象、作圖表達等能力，在具體情境中，
提升直觀想象、推理論證等核心素養，積累數學活動經
驗。

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選做：其他自己提出的與本問題相關的
開放的子課題：


?如：
?1．最大面積的截面三角形是怎樣的？

2．最大面積的截面四邊形是 怎樣的？

3．最大面積的截面形狀是 怎樣的？


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【案例3】包裝的合理設計
（表現不同水平的建模案例）

?水平一的問題：各型飲料
罐的體積和表面積計算
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情境與問題：
? 收集并觀察市場上的各種飲料罐（圓柱罐，球型罐，棱柱罐
等），測量它們必要的外觀尺寸如直徑、母線長等，選擇適
用的公式，計算它們的容積和表面積。
? 如果有一張矩形的薄板，用做制罐的材料，已知薄板的場合
長和寬分別為2000mm*1000mm, 每做一個罐需要多出5%的
加工余量用于接口等，請給出一種常見圓柱形飲料罐的下料
方案，分析它的合理性，是否符合材料被盡量利用的要求？
（可選要求）
? 分小組一起討論求解方案，算出相應結果，小組交流、理解
確認。每個人依據小組的求解結果，撰寫結題報告，有可能
時選取代表組在全班介紹過程和結果。

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表1：數學建模素養水平一的案例相關要素說明表


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水平二的問題：關于一定容積
飲料罐的合理形狀的討論

? 情境與問題：一個容積一定的圓柱形罐，它的底面
半徑為r, 高為h, 問當h:r為多少時，罐的表面積最??？
如果罐變成了有底無蓋，無把手的杯子，當h:r為多
少時，杯子的表面積最小？對容積為330ml 的飲料
罐或無把手的杯子，給出表面積最小時，這個罐和
杯子的具體尺寸（精確到1mm）, 觀察一個真實的
食品罐頭和飲料罐頭，分析數學得到的結論和實際
使用的產品之間產生差異的原因，給出你的解釋。

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表2：數學建模素養水平二的案例相關要素說明表
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水平三的問題：同種商品但規格、型號不
同，應如何定售價？

? 首先請學生分組到超市收集有關商品的
重量、包裝、售價的信息。

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問題情景和探究任務：

? 我們經常能在商場中看到這樣的情形：
同種商品會有大小不同的型號，價格各
不相同，比如在某品牌牙膏有：40克、
120克、180克等幾種規格的產品，價
格分別為3.70元、9.30元、13.20元。

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任務驅動的學習
? 任務1：以上述牙膏為例，研究該商品價格關于牙膏
重量的函數關系；對影響商品銷售價格的因素進行分
析，選擇主要因素，忽略次要的因素；研究主要因素
與價格的關系，從而得到該牙膏的以所售牙膏單只重
量為自變量的售價公式。
? 任務2：能否根據已有型號的價格推算出此類商品其
他型號的價格呢？（檢驗你建立的商品價格模型，并
嘗試對結果進行解釋。） 可以選擇一種建立函數關
系式時未被使用的型號價格，將利用模型推算出的價
格與該型號商品的實際售價進行比較，考慮模型是否
能進一步改進，如何改進。
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表3：“同種商品不同型號的價格問題”
數學建模成果報告表
課題組成員：
成員姓名 分工與主要工作或貢獻
建模過程和結果：原始問題，基本數據，模型假設，建模過程，解算和結果，
分析和說明
參考文獻：
成果的自我評價：（請說明方法或原理的合理性、特色或創新點、不足之處等）
拓展（選做）：在解決問題的過程中發現和提出的新問題，可以延伸或拓廣的
內容；得到的新結果或猜想等
體會：描述在工作中的感受和收獲
生生評價： 教師或專業人士的評價：
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交流與反思

? 讓學生經歷一個比較完整的“選題，開
題，做題，結題”的建模過程。特別是
數據采集分析，發現提出問題；合作學
習討論，提出假設，構建或選用數學模
型；自己選擇工具方法，求解模型；對
結果進行分析，驗證，調整假設；組織
交流，多元評價的環節都是非常重要，
并且應該做的更充分的環節。這也是水
平三的要求。

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案例：有關測量的討論
---你能發現和提出多少問題？？？

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測量任務
? 1．測量本校教學樓的高度、本校的旗
桿的高度。
? 2．測量學校墻外的一座不可及，但在
學校操場上可以看得見的一座高大寫
字樓的高度。
? 3 寫出測量方法，實測數據、計算過
程和數據結果。 教
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測量報告的項目、格式

、 我們課題組的成員與分工。
１ 成員姓名 主要工作與貢獻



2、我們測量的方法、原理是：（請說明測量的原理、合理性、創意或創新點、
得意之處等）

3、我們的測量數據（可以用表）和計算結果、減少誤差的想法和做法。（如有
照片或圖片可以附在后邊，地方不夠可以另加紙


4、選做：用簡單的語言，描述你們在工作中的感受：






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測量目標
我們的東教學樓有多高 ？
操場上的旗桿有多高 ？？
學校東南角外的“理想大廈”有多高？？？
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· 北
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討論：
?請你給出幾種實用、可行的
測量方法
?解釋測量的過程和原理
?說明使用的工具
?…… 教
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· 北
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不可及物體的測量
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計算公式：

h
a
x ?
?
?
??
??
tantan
tantan
樓高
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使用鏡子的測量法：
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· 北
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a1，a2是人距鏡子的距離,a指兩次鏡面的距離，b 指人的高度.
則有樓高 x=ab/（a2-a1）

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復習 再分析 測量討論 實踐
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· 北
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照相法：
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復習 再分析 測量討論 實踐

? 讓一個學生站在樓前，然后照一張含有
這個人的完整照片。相片就是一個很好
的比例尺，測量相中的人高與大樓高，
可以很順利地求出大樓高度。
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復習 再分析 測量討論 實踐
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· 北
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照相法測量誤差的原因分析
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復習 再分析 測量討論 實踐
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國
· 北
京
上下一樣
的窗子最
多相差：
22:57
縮小到原
長的
40%
? 看一看原因
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復習 再分析 測量討論 實踐
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· 北
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感悟
?不是有知識就會應用

?知識就是力量？這話不對了
測量誤差
教學實錄
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· 北
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分析誤差原因后，建議
學生二次測量！
二次測量
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· 北
京
拓展任務
? 1．本市的最高建筑物-----中央彩電中心電視塔
的高度是多少米？
? 2．一座高度為H米的電視塔，它的信號傳播半
徑是多少公里？信號覆蓋面積有多大？
? 3．找一張本市的地圖，看一看本市的地域面積
有多少平方公里？電視塔的位置在地圖上的什
么地方，按照計算得到的數據，這座電視塔發
出的電視信號是否覆蓋本市？
作業
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· 北
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讓我們一起-----
?學數學 , 用數學
?讓數學給我們一雙觀察世界的
慧眼

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本課我們一起來做
------打包問題
?希望在小組學習的過程中,既有
熱烈的討論,智慧的碰撞;又有高
效率的分工合作.
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· 北
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打包問題
? 市場上一封火柴內裝１０盒火柴；
一條香煙內裝１０包香煙……。它們打
包形式一樣嗎？哪一種包裝形式更能節
省外包裝材料呢？為了討論方便，我們
先來定義一種“規則打包”法，這是指
打包時要求包內的相鄰兩物必須以全等
的兩個側面來對接。打包后的結果仍是
一個長方體。我們可以更數學地提問：
長方體的物品，按“規則打包”的形式
將１０包打成一個大包，怎樣打包可使
表面積最??？

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· 北
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一條香煙的打包設計
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· 北
京
基本數據

?香煙盒的外形 尺寸是
? a=88mm,
? b=58mm,
? c=22mm.

?請各組同學先討論出一個解決
打包問題的“行動方案”.


? b


? a
? c

b
a
c
X=ab
Y=ac
Z=bc
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· 北
京
?先試著擺出幾種打包方案，對每一
種打包方案由具體數據算出面積，
再從中挑出最小的，它對應的打包
方案就是我們所要的.
?關鍵點: 10包煙,按規則打包方式,
所有的不同的打包方案有幾種?
(以便能從中挑出表面積最小的).
求解參考方案一:
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· 北
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求解參考方案二
? 理論上確定:使得包的表面積最小的條
件,
? 尋求滿足條件的打包方案.

? 關鍵: (1)條件是什么? 為什么?
? (2) 尋求滿足條件的打包方案時的“尋
求范圍”是什么?
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· 北
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? １０的分解因數只有兩種：
１０＝１×１０，１０＝２×５，就１
×１０型的打包方式來看，一個長方體
有三個面，按面積大小記為Ｘ、Ｙ、Ｚ，
Ｘ≥Ｙ≥Ｚ，只有三個方向可以×１０
（即按同一種方式接連排１０包）。由
此只有三種打包方式，同理:２×５型
的打包方式有 ? 種。
不同打包方式有多少種？ X
Y Z
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X
z
y
擺放形式的數學模型
10 = 1 ? 1 ? 10有三種擺法:
x方向\y方向\z方向
(1) 10 1 1
(2) 1 10 1
(3) 1 1 10


10= 1?2? 5還有六種擺法
x方向\y方向\z方向
(4) 2 5 1
(5) 2 1 5
(6) 5 2 1
(7) 1 2 5
(8) 1 5 2
(9) 5 1 2
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· 北
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1 ? 1?10的三
種不同的打
包方法

第二種
第一種
第三種 教
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· 北
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“1?2?5”
的六種擺
放示意圖

第四種
第五種
第六種
第七種
第八種
第九種
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· 北
京
? 可以分別計算面積。其中
? Ｘ＝ab=5104mm2,
? Ｙ＝ac=1936mm2,
? Ｚ＝bc=1276mm2.
實施計算
10 = 1 ? 1 ? 10有三種擺法:
x方向\y方向\z方向
(1) 10 1 1
(2) 1 10 1
(3) 1 1 10

10= 1?2? 5還有六種擺法
x方向\y方向\z方向
(4) 2 5 1
(5) 2 1 5
(6) 5 2 1
(7) 1 2 5
(8) 1 5 2
(9) 5 1 2
X
Y
Z
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計算結果如下：１×1 × 10型：
? Ｓ１＝２Ｘ＋２０Ｙ＋２０Ｚ＝７４４４８mm２ ①


? Ｓ２＝２Ｙ＋２０Ｚ＋２０Ｘ＝１３１８７２mm２ ②


? Ｓ３＝２Ｚ＋２０Ｘ＋２０Ｙ＝１４４１５２mm２ ③ 教育
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· 北
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1×２×５型的計算結果如下：
? Ｓ４＝４Ｙ＋１０Ｘ＋２０Ｚ＝８４３０４ｍｍ２ ④
? Ｓ５＝４Ｚ＋１０Ｘ＋２０Ｙ＝９４８６４ｍｍ２ ⑤


? Ｓ６＝４Ｘ＋１０Ｙ＋２０Ｚ＝６５２９６ｍｍ２ ⑥
? Ｓ７＝４Ｚ＋１０Ｙ＋２０Ｘ＝１２６５４４ｍｍ２⑦


? Ｓ８＝４Ｙ＋１０Ｚ＋２０Ｘ＝１２２５８４ｍｍ２⑧
? Ｓ９＝４Ｘ＋１０Ｚ＋２０Ｙ＝７１８９６ｍｍ２ ⑨ 教
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結論：
? 由計算發現：十包香煙表面積最小的打
包方法是：第六種，它的最小表面積是：
? ６５２９６ｍｍ２.
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· 北
京
發展性練習題
? 將上題中的6包改成12包或8包，結果怎
樣？有沒有一個更一般的處理這類問題
程序？

? 提示：先將12作“規則因式分解”，即把它表
成由小到大的三個因數的乘積，不足三個因數
的可用“１”代替。這樣１２有如下四種“規
則因式分解”：12＝１×１×12；12＝１×２
×６；12＝２×２×３； 12＝１×３×４。
三個因數分別表示在ｘ、ｙ、ｚ方向上擺放的
盒數。
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你還能提出哪些問題？
? 你能設計一個新的打包問題嗎？
? 由打包問題你還能聯想到那些相關的問
題？
? 你有解決這些問題的想法或方案嗎？
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探究練習：
?不同的凸多面體中的頂點數v、棱數e、面數f
之間存在著怎樣的關系？
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【探究建議】
?先對常見的多面體進行實驗觀察、計數、歸納，
如可以填寫下表：
?表3-1 常見的多面體幾何量的實驗觀察記錄表
所選多面體 頂點數v 棱數e 面數f 形成猜想
正四面體
正方體
正八面體
正十二面體
正二十面體
四棱柱
五棱錐
六棱臺
自選觀察體一？
自選觀察體二？
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選做：試一試自己提出的一些與本問題相關的
新問題，如：

?（1）．是否有e, v, f間的不等關系？
?（2）．每一個棱數的多面體都存在嗎？
?（3）．你上面發現的規律總是對的嗎？能不
能構造出“反例”？，或者找出更一般的規律、
或者找到使你發現的規律成立的更嚴格的條件。
?（4）．你自己想到的新問題 ……
?

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?你的觀察發現，形成的猜想是什么？你能否證
明它？如果能證明它，將它改寫成定理，如果
不能，一方面可以修改猜想，進一步試探證明；
另一方面，也可以試探尋找相應的參考資料，
把它讀懂，形成這一問題的一個結論性的結果。

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探究作業--------“折紙的探究”

?（1） 用用一張矩形的白紙，上面沒有任何記
號和標記，僅靠折動，怎樣折出正三角形、正
方形、正六邊形、正八邊形、正五邊形。為了
折出這些正多邊形，矩形的長寬比有限制嗎？。
?（2）（選做）探索用折痕和包絡線的方法畫
拋物線的方法。（網上檢索+自主學習）

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折紙與探究的水平分析
? 任務驅動的學習：
用折紙的方法，你
能折出幾種正多邊
形？（小學、初中）








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正八邊形怎么折？

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正五邊形
的挑戰

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高中的拓展
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初中折紙的成果
?


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自主學習

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新探究：
?已知：y=f(x)的圖像，如何畫出y=1/f(x)的圖像？

?（1）探究策略討論
?（2）有限實驗
?（3）歸納發現
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? ?? ?
2
2 2
2 2
2 2
1 1 1
(1) ; (2) ; (3) 1 ;
1
2 1
(4) ; (5) ; (6) ; (7) ;
3 2 4 4
1 1 2 2 1
(8) ; (9) ; (10) ; (11) .
2 4 2 2
x x
y y y
x x x
x x x
y y y y
x x x x
y y x y y x
x x x x
?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
練習二：
? ?
? ?
22 2
2 2
2
(1) ; (2) 2 3 1 4;
(3) 2 3 ; (4) 2 3;
(5) 2 3; (6) 1 3 .
y x y x x x
y x x y x x
y x x y x x
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
練習一：

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探究作業：
? 1. 幾類函數的圖像和性質的探究
?（1）分析給出函數 y = ax +
b
x
的圖像和性質，
其中a、b是非零實常數
?（2）分析給出函數 y =
ax+b
cx+d
的圖像和性質，
其中a、b、c?0、d是實常數
?（3）分析給出函數 y =
1
ax2+c+bx
的圖像和性
質，其中a?0、b、c是實常數

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9。重心問題 （A=>B、C類的問題）

? 解析幾何課本上給出了三角形的重心公式, 請
你將結果推廣到凸四邊形, 已知凸四邊形的四
個頂點的坐標Ai（xi，yi）， i=1，2，3，4。
求出它的重心公式。建議從正方形做起、長方
形、平行四邊形、一般四邊形……。
? 進而引導學生自己提出的與本問題相關的其他
開放的子課題：如凸5邊形的重心的算法、三棱
錐的重心等問題。
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五。一些數學探究的教學案例
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? 陳翀堯組《漢字使用頻率的決定因素與之函數關系》
? 沈達組《衣服成本、原價、件數、總利潤、降價能多賣件
數等與利潤之間的關系》
? 盧迪組《電信手機新套餐收費問題》
? 宋暢組《關于籃球投籃角度與命中率關系的探討》
? 王愷崢組《黃金期貨問題》
? 越光組《手機價格隨時間變化的函數研究》
? 陸袆組《賀歲片票房趨勢》
? 陳瑩嬌組《自行車腳踏板旋轉次數與行程的關系探究》
? 曹正旺組《銀行利息計算問題》
? 呂蘭松組《走出腳下的怪圈》
? 張宇白組《扔實心球問題》

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? 陳樂組《銀行窗口優化問題》
? 張博洋組《確定籃球鞋的優劣綜合指數》
? 鄧嘯然組《股票價值定量分析》
? 劉靺子組《汽車尾氣排放研究》
? 朱晨冉組《電腦鍵盤優化》
? 北京公共交通出行問題(王子豪)
? 跳繩中的數學問題 (孟翰馬申,安宇寧,曾凌寒)
? 每天天安門升國旗的時間與日期的函數關系(李爍、李佳
琪、賈潞、喬明宇）
? 地震中報道死亡人數隨時問變化的規律(高胤翔,仇星，李
璐，駱文泰，趙丹妮)
? 預測中國人口峰值到來時間(葉麥…)

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? 最好的洗衣方案(李碩,王一涵,丁雪婷,王璐暢)
? 怎樣投籃命中率更高(龔梓博、溫佳杉、張競天 王牧野)
? 飲料罐的優化設計（陳兆初、梁立、王喆、姚可）
? 太陽光通過南面窗子投下的光影面積與一天中時刻的關系(王雪韻 組
員：鄭亦婷、趙婧雅、張植蕙)
? 神州行與動感地帶 哪個更適合你(葉世清,張西達,董子祥,邵通)
? 跑步與邊際效應遞減原理(沈斯成、董婧、劉芳林、曾逸菲)
? 汽車側滑的最佳入彎初速度（郭鴻濤，杭慶驊，李煌，劉禹淳）
? 飛機投彈(李亮，田一鳴，李晨飛，馬若龍)
? 燈個數，角度，瓦數，距離與其可照亮的面積的關系(陳南 蔣思予 楊
明昱 尹玉瑤)
? 西瓜價格的變動研究及其未來價格的預測(王青南、陳雨亮、李翔宇、
蔡競昂)
? 熱水壺燒水溫度與用電量的函數關系(倪增濤…)
? 豎直立在天空的煙花每一閃爍火焰顆粒的配重問題(沈怡辰…)
? 臺球中的數學分析(劉業鴻…)
? 近地面空氣溫度與柏油馬路溫度的關系(檀望舒)
? 水溫變化問題研究(王仲舒…)
? 由墨水擴散所想到的(王述宇…)
? 燃氣灶旋鈕旋轉角度與使用的燃氣量的關系(楊麗強…)
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數學建模小課題
?課題： 為所在小區設計一個最佳的郵政
投遞路線, 設計一個合理的保安巡邏路
線。
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給學生的實施建議（初中）
? 1:對你要研究的小區,進行觀察,收集必要的數據和信
息,(如平面圖,樓的門洞的朝向,道路情況, 小區的進
出口位置等).
? 2: 復習必要的知識,如一筆畫方法, 最短郵路的畫法
等.
? 3:畫出小區的平面示意圖, (最好復印一下,以避免后
面畫壞時重畫),在圖上完成郵政投遞路線的設計,使
郵遞員走的路線最短).
? 創新項目1:: 為小區設計一個合理的保安巡邏路線。首先思考”合
理”的含義
? 實踐項目1: 按你設計的路線,實際走一遍, 測算出路程. 再讓一個
按投遞要求隨意地走一遍, 看一看相差多少? (記錄數據).

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保安巡更路線生成方案及流程設計
于顥 陳明卿 （北京大學附中）
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評價除了分數外還應該關注什么?
? 提出問題是否有新意
? 操作求解是否有創意
? 合作學習是否有效率
? 結果呈現是否有特色
? 反思拓展是否有眼光
? 自我感受是否有收獲
? 興趣動力是否有增強
? 數學素養是否有提高
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建模的“考試”

1. 一道完整的題
2. 問測量一個不可及的大樓，可操作的測量量如何
測量？
3. 這種測量法對不對？
4. 如何改進提高測量精度，提供的你的辦法和數學
解釋
5. P153 例26、27


6. 請大家參與！
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新疆學員21000185880：
? “新課程的備課” ：新課程的備課應該考慮以下
幾個問題的實施：
1、如何把問問題的權利，百分之百地還給學生；
2、如何把發現簡捷解法的“專利”，大智若愚
地讓給學生；
3、如何把在班集體中顯露數學才能的機遇，誠
心誠意地留給學生；
4、如何把通向成功之巔的階梯，十分藝術地架
設給學生；
5、如何把帶有鼓勵與期望的評語，語重心長地
寫給學生。 教
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小結
? 學科的核心素養絕不僅僅是掌握學科
的知識點和技能，更重要的是在學科知
識學習中表現出的人格特征和智慧特征，
是學科內在和潛在的價值、精神和文化
在學生身上的體現。
? 一線教師在提升學生和自己的數學
素養方面，大有作為、大有可為、時不
我待、機會多多。


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