資源簡介

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考點13 任意角和弧度制及任意角的三角函數
無
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考點14 三角函數的圖象與性質
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T9)下列函數中,以為周期且在區間單調遞增的是 (　　)
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|[來源:學,科,網]
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【命題意圖】考查三角函數的圖象與性質,屬于中檔題.[來源:學科網ZXXK][來源:學&科&網]
【解析】選A.分別畫出上述函數的圖象可得選項A的周期為,選項B的周期為,而選項C的周期為2π,選項D不是周期函數.結合圖象的升降情況可得A正確.
2.(2019·全國卷Ⅱ文科·T8)若x1=,x2=是函數f(x)=sin ωx(ω>0)兩個相鄰的極值點,則ω= (　　)
A.2 B. C.1 D.
【命題意圖】考查函數的極值點以及三角函數的性質.
【解析】選A.由于x1=,x2=是函數兩個相鄰的極值點,故=-=,所以T=π,即ω==2.[來源:學|科|網Z|X|X|K]
二、填空題
3.(2019·北京高考理科·T9)函數f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　.?[來源:學。科。網]
【命題意圖】本小題主要考查三角函數的圖象與性質,三角恒等變換,培養學生的轉化思想與邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.
【解析】f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.[來源:學科網]
答案:
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考點15 函數y=Asin(wx+)的圖象及三角函數模型的簡單應用
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T11)關于函數f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四個結論:
①f(x)是偶函數
②f(x)在區間單調遞增
③f(x)在[-π,π]有4個零點
④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是 (　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
【解析】選C.因為f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)為偶函數,故①正確.當【光速解題】畫出函數f(x)=sin|x|+|sin x|的圖象,由圖象可得①④正確,故選C.

2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T12)設函數f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且僅有5個零點,下述四個結論:
①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點
②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點
③f(x)在上單調遞增[來源:學_科_網]
④ω的取值范圍是.[來源:Zxxk.Com]
其中所有正確結論的編號是 (　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
【命題意圖】本題考查三角函數y=Asin的圖象與性質,意在考查考生制圖、用圖的求解能力.
【解析】選D.
①若f(x)在[0,2π]上有5個零點,可畫出大致圖象,[來源:學科網ZXXK]

由圖1可知,f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點,故①正確.
②由圖1、圖2可知,f(x)在(0,2π)有且僅有2個或3個極小值點,故②錯誤.
④當f(x)=sin=0時,ωx+=kπ(k∈Z),
所以x=,[來源:學,科,網]
因為f(x)在[0,2π]上有5個零點.
所以當k=5時,x=≤2π,
當k=6時,x=>2π,[來源:學科網ZXXK]
解得≤ω<,故④正確.
③函數f(x)=sin的增區間為
-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
取k=0,
當ω=時,單調遞增區間為-π當ω=時,單調遞增區間為-π綜上可得f(x)在上單調遞增.故③正確.
所以結論正確的編號有①③④.
3.(2019·北京高考文科·T8)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為 (　　)

A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
【命題意圖】本題以直線與圓,三角函數作為問題背景,求面積的最值,考查邏輯推理能力、運算求解能力,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.試題難度:大.
【解析】選B.陰影區域面積最大時,也即△PAB面積最大時,AB不動,P動,即底AB是定值,高為點P到AB的距離最大時,面積最大.此時,點P在優弧AB的中點上,如圖所示.[來源:學#科#網Z#X#X#K]

設圓心為O,連接OA,OB,OP,
因為∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=×2β×22=4β,
S△AOP=S△BOP=OA·OPsin∠AOP=×2×2sin(π-β)=2sin β,
所以陰影區域面積最大為4β+4sin β.
4.(2019·天津高考理科·T7)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數,將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數為g(x).若g(x)的最小正周期為2π,且g=,則f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命題意圖】本題考查函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數A,ω,φ之間的關系.
【解題指南】只需根據函數性質逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】選C.f(x)為奇函數,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期為2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
5.(2019·天津高考文科·T7)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數,且f(x)的最小正周期為π,將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數為g(x).若g=,則f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命題意圖】本題考查函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數A,ω,φ之間的關系.[來源:學+科+網]
【解題指南】只需根據函數性質逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】選C.f(x)為奇函數,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;[來源:Zxxk.Com]
又因為f(x)的最小正周期為π,可得ω=2,
所以y=f(x)=Asin 2x,把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得g(x)=Asin x,
由g=,可得A=2,
所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.[來源:Zxxk.Com]
二、填空題
6.(2019·全國卷Ⅰ文科·T15)函數f(x)=sin-3cos x的最小值為　　　　.?[來源:學。科。網]
【命題意圖】本題首先應用誘導公式,轉化得到二倍角的余弦,進一步應用二倍角的余弦公式,得到關于cos x的二次函數.題目有一定的綜合性,注重了基礎知識、數學式子的變形及運算求解能力的考查.
【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因為-1≤cos x≤1,所以當cos x=1時,f(x)min=-4,
故函數f(x)的最小值為-4.
答案:-4
【易錯提醒】解答本題的過程中,部分考生易忽視-1≤cos x≤1的限制,而簡單應用二次函數的性質,出現運算錯誤.
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考點16 三角函數的誘導公式、同角的基本關系式、[來源:學*科*網][來源:Zxxk.Com]
簡單的三角恒等變換
一、選擇題[來源:學科網ZXXK]
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T7)tan 255°= (　　)[來源:Zxxk.Com]
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
【命題意圖】本題首先應用誘導公式,將問題轉化成銳角三角函數的計算,進一步應用兩角和的正切公式計算求解.題目較易,注重了基礎知識、基本計算能力的考查.[來源:Zxxk.Com][來源:學。科。網]
【解析】選D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)===2+.
【題后反思】三角函數的誘導公式、兩角和與差的三角函數、特殊角的三角函數值及運算求解.
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T10同2019·全國卷Ⅱ文科·T11)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=(　　)
A. B. C. D.
【命題意圖】考查三角恒等變換以及倍角公式的應用屬于中檔題.
【解析】選B.由2sin 2α=cos 2α+1可得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,結合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.
二、填空題[來源:學&科&網]
3.(2019·江蘇高考·T13)已知=-,則sin的值是　　　　.?
【解題指南】由題意首先求得tan α的值,然后利用兩角和、差的正、余弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題,最后弦化切求得三角函數式的值即可.
【解析】由===-,
得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2,或tan α=-.
sin=sin 2αcos +cos 2αsin
=(sin 2α+cos 2α)=×
=×,
當tan α=2時,上式=×=;
當tan α=-時,上式=×=.
綜上,sin=.
答案:
三、解答題
4.(2019·浙江高考·T18)(本小題滿分14分)設函數f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函數f(x+θ)是偶函數,求θ的值.
(2)求函數y=+的值域.[來源:學_科_網Z_X_X_K]
【命題意圖】本題主要考查三角函數及其恒等變換等基礎知識,同時考查運算求解能力.[來源:學*科*網]
【解析】(1)因為f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數,所以,對任意實數x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+[來源:學科網ZXXK]
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函數的值域是.
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考點17 正弦定理和余弦定理
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T11)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,則= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【命題意圖】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用.
【解題指南】利用余弦定理推論得出a,b,c的關系,再結合正弦定理邊角互換列出方程,解出結果.
【解析】選A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推論可得-=cos A=,所以=-,所以=,所以=×4=6,故選A.
二、填空題
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T15)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為　　　　.?
【命題意圖】考查余弦定理以及三角形面積公式的應用.
【解析】因為cos B=,
又因為b=6,a=2c,B=,可得c2=12,
解得c=2,a=4,
則△ABC的面積S=×4×2×=6.
答案:6
3.(2019·全國卷Ⅱ文科·T15)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin A+acos B=0,則B=　　　　.?
【命題意圖】考查正弦定理、同角三角函數基本關系的運用.
【解析】已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,
又因為sin2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.
答案:
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=　　　　,cos∠ABD=
　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查解三角形問題,即正弦定理、三角恒等變換、數形結合思想及函數方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:=,
而AB=4,∠ADB=,AC==5,
sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.

答案:　
三、解答題
5.(2019·全國卷Ⅰ理科·T17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.[來源:Z#xx#k.Com]
(1)求A.
(2)若a+b=2c,求sin C.
【命題意圖】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題,涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數關系的應用,解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡,得到余弦定理的形式或角之間的關系.
【解題指南】(1)利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得:b2+c2-a2=bc,從而可求出cos A,根據A∈(0,π)可求得結果;(2)利用正弦定理可得sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、兩角和差正弦公式可得關于sin C和cos C的方程,結合同角三角函數關系解方程可求得結果.[來源:學+科+網]
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因為0°(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由題設及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
由于0°故sin C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.
方法二:因為a+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×+cos C+sin C=2sin C,
整理可得:3sin C-=cos C,
即3sin C-cos C=2sin=,
所以sin=,所以C=或,
因為A=且A+C<π,所以C=,
所以sin C=sin=sin=sincos+
cossin=.
6.(2019·全國卷Ⅲ理科·T18同2019·全國卷Ⅲ文科·T18)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.
【命題意圖】本題考查三角恒等變換、正弦定理、面積公式,意在考查考生綜合應用三角知識運算求解能力.
【解析】(1)由題設及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因為sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因為cos≠0,故sin=,因此B=60°.
(2)由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC=a.[來源:Zxxk.Com]
由正弦定理得a===+.
由于△ABC為銳角三角形,故0°因此,△ABC面積的取值范圍是.
7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B-C)的值.
【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等變換,意在考查靈活運用公式與基本運算能力,培養學生的邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.[來源:學科網]
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=.
【方法技巧】解三角形的問題,已知邊角和所求邊角放一起,兩邊兩角用正弦定理,三邊一角用余弦定理,常用結論:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等變換,意在考查靈活運用公式與基本運算能力,培養學生的邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.[來源:學*科*網Z*X*X*K]
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,
又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.
【方法技巧】解三角形的問題,已知邊角和所求邊角放一起,兩邊兩角用正弦定理,三邊一角用余弦定理,常用結論:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,[來源:Zxxk.Com]
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.[來源:Zxxk.Com]
(1)求cos B的值.
(2)求sin的值.[來源:學科網]
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,因為sin C≠0,所以3b=4a.又因為b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B===-.
(2)由(1)可得sin B==,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故
sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-.[來源:學§科§網Z§X§X§K]
10.(2019·江蘇高考·T15)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值.[來源:學科網ZXXK]
【命題意圖】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識,考查運算求解能力.
【解題指南】(1)由題意結合余弦定理得到關于c的方程,解方程可得邊長c的值.
(2)由題意結合正弦定理和同角三角函數基本關系首先求得cos B的值,然后由誘導公式可得sin的值.
【解析】(1)因為a=3c,b=,cos B=,
由cos B=,得=,即c2=.
所以c=.
(2)因為=,
由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.
從而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.
因為sin B>0,所以cos B=2sin B>0,從而cos B=.
因此sin=cos B=.
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考點18 解三角形應用舉例
無

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