資源簡介

考點一 集合
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T1)已知集合M={x|-4　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-4C.{x|-2【命題意圖】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數學運算素養.采取數軸法,利用數形結合的思想解題.
【解析】選C.由題意得,M={x|-4【誤區警示】不能領會交集的含義易致誤,區分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者全部.
2.(2019·全國卷Ⅰ文科·T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則B∩UA= (　　)
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
【命題意圖】本題主要考查交集、補集的運算.滲透了直觀想象素養.使用補集思想得出答案.
【解題指南】先求UA,再求B∩UA.
【解析】選C.由已知得UA={1,6,7},所以B∩UA={6,7},故選C.
3.(2019·全國卷Ⅱ理科·T1)設集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞)
【命題意圖】考查集合的運算和不等式的解法,容易題.
【解析】選A.解得集合A:x<2或x>3,集合B:x<1.結合數軸可得x<1.
4.(2019·全國卷Ⅱ文科·T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},則A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.?
【命題意圖】考查集合有關知識和運算,屬于容易題.
【解析】選C.結合數軸可得A∩B=(-1,2).
5.(2019·全國卷Ⅲ理科·T1同2019·全國卷Ⅲ文科·T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},則A∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}
【命題意圖】本題考查集合的交集,意在考查考生解不等式、集合的運算求解能力.
【解析】選A.B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.
6.(2019·北京高考文科·T1)已知集合A={x|-11},則A∪B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-1,1) B.(1,2)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
【命題意圖】本題考查集合的并集運算,考查運算求解能力,體現了數學運算的核心素養.試題難度:易.
【解析】選C.在數軸上作出集合A,B,如圖所示.

數形結合知,A∪B={x|x>-1}=(-1,+∞).
7.(2019·天津高考理科·T1同2019·天津高考文科·T1)設集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
【命題意圖】本題考查考生對集合的含義、表示方式及集合的并集、交集的理解與運算.
【解題指南】先求出A∩C,再求(A∩C)∪B即可.
【解析】選D.因為集合A={-1,1,2,3,5},C={x∈R|1≤x<3},所以A∩C={1,2},又因為B={2,3,4},所以(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
【反思總結】求解有關集合的交集、并集、補集問題時,必須對集合的相關概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通過觀察集合之間的關系,借助Venn圖或數軸尋找元素之間的關系,使問題準確解決.
8.(2019·浙江高考·T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則UA∩B= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}
【命題意圖】本題主要考查集合的補集與交集的運算.
【解析】選A.因為UA={-1,3},所以UA∩B={-1}.
二、填空題
9.(2019·江蘇高考·T1)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},則A∩B=　　　　.?
【命題意圖】主要考查集合運算,運用交集定義求解.
【解析】因為集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},所以A∩B={1,6}.
答案:{1,6}
考點2 命題及其關系、充分條件與必要條件
一、選擇題
1.(2019·北京高考理科·T7)設點A,B,C不共線,則“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的 (　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本小題主要考查平面向量與充分條件、必要條件,意在考查平面向量的模、數量積的應用,培養學生的運算能力與邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.
【解析】選C.因為||=|-|,
所以|+|>||?|+|>|-|?|+|2>|-|2?·>0?與的夾角為銳角或0°,又因為點A,B,C不共線,所以與的夾角不為0°,即|+|>||?與的夾角為銳角.
2.(2019·北京高考文科·T6)設函數f(x)=cos x+bsin x(b為常數),則“b=0”是“f(x)為偶函數”的 (　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本小題主要考查三角函數性質與充分條件、必要條件,意在考查三角函數的應用,培養學生的運算能力與邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.
【解析】選C.若b=0,則f(x)=cos x,是偶函數;
若f(x)是偶函數,則f=f,即-b=b,即b=0.
綜上,“b=0”是“f(x)為偶函數”的充要條件.
3.(2019·天津高考理科·T3)設x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本題考查充要條件的定義和判斷方法,考查一元二次不等式,絕對值不等式的解法.　
【解析】選B.因為x2-5x<0,所以0【方法技巧】充要條件的三種判斷方法
(1)定義法:根據p?q,q?p進行判斷.
(2)集合法:根據由p,q成立的對象構成的集合之間的包含關系進行判斷.
(3)等價轉化法:根據一個命題與其逆否命題的等價性,把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.
4.(2019·天津高考文科·T3)設x∈R,則“0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本題考查充要條件的定義和判斷方法,考查絕對值不等式的解法.
【解析】選B.因為|x-1|<1,所以0【方法技巧】充要條件的三種判斷方法
(1)定義法:根據p?q,q?p進行判斷.
(2)集合法:根據由p,q成立的對象構成的集合之間的包含關系進行判斷.
(3)等價轉化法:根據一個命題與其逆否命題的等價性,把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.
5.(2019·浙江高考·T5)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【命題意圖】本題主要考查條件的判斷.
【解析】選A.如圖所示,由a>0,b>0,a+b≤4?ab≤4,反之不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.

考點3 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅲ文科·T11)記不等式組表示的平面區域為D.命題p:?(x,y)∈D,2x+y≥9;命題q:?(x,y)∈D,2x+y≤12.下面給出了四個命題
①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧q
這四個命題中,所有真命題的編號是 (　　)
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
【解題指南】分別判斷命題p,q的真假,再利用邏輯聯結詞選擇.
【解析】選A.分別取區域D內的點A(6,0),B(6,3),對于命題p,因為2×6+0=12≥9,故是真命題;對于命題q,因為2×6+3=15>12,故是假命題.所以p為假命題,q為真命題.故p∨q,p∧q為真命題.
考點4 函數及其表示
一、填空題
1.(2019·江蘇高考·T4)函數y=的定義域是　　　　.?
【命題意圖】主要考查定義域,運用根式定義域以及二次不等式求解.
【解析】由y=得7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7.
答案:[-1,7]
【題后反思】求函數的定義域,其實質就是以函數解析式有意義為準則,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集即可.
考點5 函數的單調性與最值、函數的奇偶性與周期性
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T12)設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1).若對任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,則m的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.
【命題意圖】考查函數的性質、不等式的解法以及數學運算,屬于較難題.
【解析】選B.如圖,令f(x)=-,結合圖象可得f(x-1)=-,則f(x-2)=-,當x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,當f(x)=-時,x=或,即若f(x)≥-,對任意x∈(-∞,m]都成立,則m≤.

2.(2019·全國卷Ⅱ文科·T6)設f(x)為奇函數,且當x≥0時,f(x)=ex-1,則當x<0時,f(x)= (　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
【命題意圖】考查函數的奇偶性以及求函數的解析式.
【解析】選D.當x<0時,則-x>0,則有f(-x)=e-x-1,又因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.
3.(2019·全國卷Ⅲ理科·T11同2019·全國卷Ⅲ文科·T12)設f(x)是定義域為R的偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減,則 (　　)
A.f>f()>f()　
B.f>f()>f()
C.f()>f()>f
D.f()>f()>f
【命題意圖】本題考查函數的性質的應用,意在考查考生利用函數的奇偶性、單調性、指數與對數的性質的求解能力.
【解析】選C.依據題意,函數f(x)為偶函數且函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減,則函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增;
因為f=f(-log34)=f(log34);
又因為0<<<1所以f()>f()>f.
二、填空題
4.(2019·全國卷Ⅱ理科·T14)已知f(x)是奇函數,且當x<0時,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,則a=　　　　.?
【命題意圖】考查函數的奇偶性以及數學運算能力.
【解析】因為ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函數,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.
答案:-3
5.(2019·江蘇高考·T14)設f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數,f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數.當x∈(0,2]時,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在區間(0,9]上,關于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數根,則k的取值范圍是　　　　　　.?
【命題意圖】主要考查數形結合和直線與圓的位置關系,屬綜合題,對知識運用能力綜合考查.
【解析】當x∈(0,2]時,f(x)=,即(x-1)2+y2=1,y≥0.
又f(x)為奇函數,其圖象關于原點對稱,其周期為4,如圖,函數f(x)與g(x)的圖象(部分),要使f(x)=g(x)在(0,9]上有8個不同實根,只需二者圖象有8個交點即可.

當g(x)=-時,函數f(x)與g(x)的圖象有2個交點;
當g(x)=k(x+2)時,g(x)的圖象為恒過點(-2,0)的直線,只需函數f(x)與g(x)的圖象有6個交點.當f(x)與g(x)圖象相切時,圓心(1,0)到直線kx-y+2k=0的距離為1,即=1,得k=,函數f(x)與g(x)的圖象有3個交點;當g(x)=k(x+2)過點(1,1)時,函數f(x)與g(x)的圖象有6個交點,此時1=3k,得k=.
綜上可知,滿足f(x)=g(x)在(0,9]上有8個實根的k的取值范圍為.
【題后反思】本題考點為參數的取值范圍,側重函數方程的多個實根,難度較大.不能正確畫出函數圖象的交點而致誤,根據函數的周期性平移圖象,找出兩個函數圖象相切或相交的臨界交點個數,從而確定參數的取值范圍.
答案:
考點6 指數函數、對數函數、冪函數
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T3同2019·全國卷Ⅰ文科·T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則 (　　)
A.a【命題意圖】本題考查指數和對數大小的比較,滲透了直觀想象和數學運算素養.采取中間變量法,利用轉化與化歸思想解題.
【解題指南】運用中間量0比較a,c,運用中間量1比較b,c.
【解析】選B.a=log20.220=1,0<0.20.3<0.20=1,則02.(2019·北京高考文科·T3)下列函數中,在區間(0,+∞)上單調遞增的是 (　　)
A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y=
【命題意圖】本題考查基本初等函數的單調性,考查考生應用數學解決問題的能力和運算能力等.
【解析】選A.對A,y=是冪函數,且>0,所以y=在(0,+∞)上單調遞增;對B,y=2-x即y=是指數函數,且0<<1,所以y=2-x在(0,+∞)上單調遞減;對C,y=lox是對數函數,且0<<1,所以y=lox在(0,+∞)上單調遞減;對D,y=即y=x-1是冪函數,且-1<0,所以y=在(0,+∞)上單調遞減.
3.(2019·天津高考理科·T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關系為 (　　)
A.aC.b【命題意圖】本題考查考生對于對數的運算法則、指數函數、對數函數的性質的理解與掌握情況,考查考生對比較實數大小的方法的掌握情況.　
【解析】選A.0b=log0.50.2>log0.50.5=1,
c=0.50.2>0.51=,所以a【方法技巧】一般比較大小的題目,常用的方法有:先估算一下每個數值,看能否根據估算值直接比較大小;估算不行的話再找中間量,經常和0,1,-1比較;還可以構造函數,利用函數的單調性來比較大小.
4.(2019·天津高考文科·T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關系為 (　　)
A.c【命題意圖】本題考查考生對于對數的運算法則、指數函數、對數函數的性質的理解與掌握情況,考查考生對比較實數大小的方法的掌握情況.　
【解題指南】利用0,1,2等中間值區分各個數值的大小.
【解析】選A.c=0.30.2<0.30=1;log27>log24=2;
1【方法技巧】一般比較大小的題目,常用的方法有:先估算一下每個數值,看能否根據估算值直接比大小;估算不行的話再找中間量,經常和0,1,-1比較;還可以構造函數,利用函數的單調性來比較大小.
考點7 函數的圖象
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T5同2019·全國卷Ⅰ文科·T5)函數f(x)=在[-π,π]的圖象大致為 (　　)

【命題意圖】本題考查函數的性質與圖象,滲透了邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.采取性質法或賦值法,利用數形結合思想解題.
【解題指南】先判斷函數的奇偶性,得f(x)是奇函數,排除A,再注意到選項的區別,利用特殊值得正確答案.
【解析】選D.由f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函數,其圖象關于原點對稱.又f==>1,f(π)=>0.故選D.
2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T7)函數y=在[-6,6]上的圖象大致為 (　　)

【命題意圖】本題考查函數圖象的判斷,意在考查考生函數的奇偶性、特值等性質的應用求解能力.
【解析】選B.因為y=f(x)=,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)為奇函數,排除選項C.
又因為f(4)=≈=8,
根據圖象進行判斷,可知選項B符合題意.
3.(2019·浙江高考·T6)在同一直角坐標系中,函數y=,y=loga(a>0且a≠1)的圖象可能是 (　　)

【命題意圖】本題主要考查指數函數與對數函數的圖象問題.
【解析】選D.y=loga的圖象過點,排除A,C.y==與y=loga的單調性相異.可排除B.
考點8 函數與方程、函數模型及其應用
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅲ文科·T5)函數f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零點個數為 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解題指南】利用二倍角公式變形,列方程求零點.
【解析】選B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,
則sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三個零點.
2.(2019·北京高考理科·T6同2019·北京高考文科·T7)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=lg,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為 (　　)
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
【命題意圖】本題以天文學作為問題背景,考查對數的運算法則,考查邏輯推理能力、運算求解能力,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.試題難度:中.
【解析】選A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
則m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,
lg=10.1,=1010.1.
3.(2019·浙江高考·T9)已知a,b∈R,函數f(x)=
若函數y=f(x)-ax-b恰有三個零點,則 (　　)
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b>0 D.a>-1,b<0
【解析】選D.y=f(x)-ax-b=
求導:y'=
(1)當a<-1時,y'≥0(y'|x=0=0)
所以y=f(x)-ax-b在R上是增函數,不會多于一個零點,故A,B兩選項排除.
(2)當a>-1時,y=f(x)-ax-b在(0,a+1]上y'<0,是減函數,在(a+1,+∞)上y'>0,是增函數.
若b>0,y=f(x)-ax-b與y軸交點(0,-b)在y軸的負半軸上,其圖象特征是:在y軸左側為射線,起點(0,-b),在y軸右側從(0,-b)開始,先減后增,從而至多出現兩個零點,故C選項排除.
二、填空題
4.(2019·北京高考理科·T14同2019·北京高考文科·T14)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;?
②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為　　　　.?
【命題意圖】本題考查函數模型的應用,考查邏輯推理能力,運算求解能力,體現了數學運算的核心素養.試題難度:大.
【解析】①價格為60+80=140元,達到120元,少付10元,所以需支付130元.
②設促銷前總價為a元,a≥120,李明得到金額l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值為=15,所以x最大值為15.
答案:130　15
【反思總結】實際問題求最值,往往數學建模,轉化為求函數的最值.但是本題第②問,求x最值,可轉化為恒成立問題,再轉化為求的最值.
考點9 變化率與導數、導數的計算
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ文科·T10)曲線y=2sin x+cos x在點(π,-1)處的切線方程為 (　　)
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
【命題意圖】考查函數的導數與切線斜率的關系、導數的運算.
【解析】選C.由y=2sin x+cos x可得y'=2cos x-sin x,當x=π時,y'=-2,即切線的斜率為-2,所以切線方程為2x+y-2π+1=0.
2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T6同2019·全國卷Ⅲ文科·T7)已知曲線y=aex+xln x在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則 (　　)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
【命題意圖】本題考查導數的運算,導數在切線問題中的應用.意在考查考生導數公式、運算法則、切線的求法的求解能力.
【解析】選D.令f(x)=aex+xln x,
則f'(x)=aex+ln x+1,f'(1)=ae+1=2,得a==e-1.
f(1)=ae=2+b,可得b=-1.
二、填空題
3.(2019·全國卷Ⅰ理科·T13同2019·全國卷Ⅰ文科·T13)曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為　　　　　　.?
【命題意圖】本題根據導數的幾何意義,通過求導數,確定得到切線的斜率,利用直線方程的點斜式求得切線方程.
【解析】y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以,k=y'|x=0=3,
所以,曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.
答案:3x-y=0
【題后反思】準確求導數是進一步計算的基礎,本題易因導數的運算法則掌握不熟,而導致計算錯誤.求導要“慢”,計算要準,是解答此類問題的基本要求.
4.(2019·天津高考文科·T11)曲線y=cos x-在點(0,1)處的切線方程為　　　　　　　　.?
【命題意圖】本題考查導數的概念,求導法則以及常見函數的導函數公式.
【解題指南】利用導數值確定切線斜率,再用點斜式寫出切線方程.
【解析】y'=-sin x-,當x=0時其值為-,故所求的切線方程為y-1=-x,即x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0
【方法技巧】曲線切線方程的求法
(1)以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟:
①求出函數f(x)的導數f'(x);②求切線的斜率f'(x0);
③寫出切線方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),并化簡.
(2)如果已知點(x1,y1)不在曲線上,則設出切點(x0,y0),解方程組得切點(x0,y0),進而確定切線方程.
5.(2019·江蘇高考·T11)在平面直角坐標系xOy中,點A在曲線y=ln x上,且該曲線在點A處的切線經過點(-e,-1)(e為自然對數的底數),則點A的坐標是　　　　.?
【命題意圖】主要考查導數的幾何意義,根據導數的幾何意義求得斜率,表示出切線方程,然后將已知點代入可得.
【解析】設點A(x0,y0),則y0=ln x0.又y'=,
當x=x0時,y'=,
曲線y=ln x在點A處的切線為y-y0=(x-x0),
即y-ln x0=-1,
代入點(-e,-1),得-1-ln x0=-1,
即x0ln x0=e,
考查函數H(x)=xln x,當x∈(0,1)時,H(x)<0,當x∈(1,+∞)時,H(x)>0,
且H'(x)=ln x+1,當x>1時,H'(x)>0,H(x)單調遞增,
注意到H(e)=e,故x0ln x0=e存在唯一的實數根x0=e,此時y0=1,
故點A的坐標為A(e,1).
答案:(e,1)
【誤區警示】導數運算及切線的理解應注意的問題
(1)利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆.
(2)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質,直線與曲線只有一個公共點,直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

考點10 利用導數研究函數的單調性、極值、最值
一、選擇題
1.(2019·天津高考理科·T8)已知a∈R,設函數f(x)=若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為 (　　)
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]
【解析】選C.對于第一段函數,當a≥1時,只需f(1)=12-2a+2a=1,此時f(x)≥0,符合題意;當a<1時,只需x2-2ax+2a=0的判別式(-2a)2-4×2a≤0,解得:0≤a≤2.所以a≥0.
對于第二段函數,由題意得x-aln x≥0(x>1),即a≤(x>1),設y=(x>1),易知該函數在(1,e)上為減函數,在(e,+∞)上為增函數,所以其最小值為e,所以a≤e.
綜上可知:0≤a≤e.
【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:
選C.若a=0,當x≤1時,f(x)=x2,f(x)≥0;
當x>1時,f(x)=x,f(x)≥0.所以排除D選項.
若a=2,當x≤1時,f(x)=x2-4x+4,f(x)≥0;
當x>1時,f(x)=x-2ln x>0,所以排除A選項.
若a=e,當x≤1時,f(x)=x2-2ex+2e,f(x)≥0;
當x>1時,f(x)=x-eln x>0,所以排除B選項.
2.(2019·天津高考文科·T8)已知函數f(x)=若關于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有兩個互異的實數解,則a的取值范圍為 (　　)
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
【解題指南】畫出f(x)圖象及直線y=-x+a,借助圖象分析.
【解析】選D.如圖,當直線y=-x+a位于B點及其上方且位于A點及其下方,或者直線y=-x+a與曲線y=相切在第一象限時符合要求.
即1≤-+a≤2,即≤a≤,
或者-=-,得x=2,y=,
即=-×2+a,得a=1,
所以a的取值范圍是∪{1}.

【方法技巧】根據方程實根個數確定參數范圍,常把其轉化為曲線交點個數,特別是其中一條為直線時常用此法.
二、填空題
3.(2019·北京高考理科·T13)設函數f(x)=ex+ae-x(a為常數).若f(x)為奇函數,則a=　　　　;若f(x)是R上的增函數,則a的取值范圍是　　　　.?
【命題意圖】本題考查了函數奇偶性,單調性,指數函數的性質,同時也考查了數學運算能力.
【解析】①顯然f(0)有意義,又f(x)為奇函數,所以f(0)=0,得a=-1.
②因為f(x)是R上的增函數,所以f'(x)=ex-ae-x=≥0恒成立,即g(x)=(ex)2≥a恒成立,又因為g(x)>0,且當x趨向于-∞時,g(x)趨向于0,所以0≥a,即a的取值范圍是(-∞,0].
答案:-1　(-∞,0]
【誤區警示】若f(x)為奇函數,不一定有f(0)=0,例如f(x)=.f(0)有意義時有f(0)=0.
三、解答題
4.(2019·全國卷Ⅰ理科·T20)已知函數f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)為f(x)的導數.證明:
(1)f'(x)在區間存在唯一極大值點;
(2)f(x)有且僅有2個零點.
【命題意圖】本題考查導數與函數極值之間的關系、利用導數解決函數零點個數的問題.解決零點問題的關鍵:一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點,另一方面是利用函數的單調性說明在區間內零點的唯一性,二者缺一不可.
【解析】(1)設g(x)=f'(x),
則g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+.
當x∈時,g'(x)單調遞減,而g'(0)>0,g'()<0,可得g'(x)在有唯一零點,設為α.
則當x∈(-1,α)時,g'(x)>0;當x∈時,g'(x)<0.
所以g(x)在(-1,α)單調遞增,在單調遞減,故g(x)在存在唯一極大值點,即f'(x)在存在唯一極大值點.
(2)f(x)的定義域為(-1,+∞).
①當x∈(-1,0]時,由(1)知,f'(x)在(-1,0)單調遞增,而f'(0)=0,所以當x∈(-1,0)時,f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)單調遞減,又f(0)=0,從而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零點.
②當x∈時,由(1)知,f'(x)在(0,α)單調遞增,在單調遞減,而f'(0)=0,f'<0,所以存在β∈,使得f'(β)=0,且當x∈(0,β)時,f'(x)>0;當x∈時,f'(x)<0.故f(x)在(0,β)單調遞增,在單調遞減.
又f(0)=0,f=1-ln>0,所以當x∈時,f(x)>0.從而,f(x)在沒有零點.
③當x∈時,f'(x)<0,所以f(x)在單調遞減.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在有唯一零點.
④當x∈(π,+∞)時,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,從而f(x)在(π,+∞)沒有零點.
綜上,f(x)有且僅有2個零點.
5.(2019·全國卷Ⅱ理科·T20)已知函數f(x)=ln x-.
(1)討論f(x)的單調性,并證明f(x)有且僅有兩個零點.
(2)設x0是f(x)的一個零點,證明曲線y=ln x在點A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
【命題意圖】考查函數的單調性、函數的零點的概念和判定,函數在某點處的導數值與該點處切線的斜率的關系.
【解析】(1)f(x)的定義域為(0,1),(1,+∞),因為f'(x)=+>0,所以f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)上單調遞增.
因為f(e)=1-<0,f(e2)=2-=>0,
所以f(x)在(1,+∞)有唯一零點x1,即f(x1)=0.
又0<<1,f=-ln x1+=-f(x1)=0,
故f(x)在(0,1)有唯一零點.
綜上,f(x)有且僅有兩個零點.
(2)因為=,故點B在曲線y=ex上.
由題設知f(x0)=0,即ln x0=,故直線AB的斜率k===.曲線y=ex在點B(-ln x0,)處切線的斜率是,曲線y=ln x在點A(x0,ln x0)處切線的斜率也是,
所以曲線y=ln x在點A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
6.(2019·全國卷Ⅱ文科·T21)已知函數f(x)=(x-1)ln x-x-1.證明:
(1)f(x)存在唯一的極值點.
(2)f(x)=0有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數.
【命題意圖】考查函數的導數與單調性的關系、函數的極值點以及函數性質的應用.
【證明】(1)f(x)的定義域為(0,+∞).
f'(x)=+ln x-1=ln x-.
因為y=ln x單調遞增,y=單調遞減,
所以f'(x)單調遞增,
又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2-=>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.
又當xx0時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.因此,f(x)存在唯一的極值點.
(2)由(1)知f(x0)0,
所以f(x)=0在(x0,+∞)內存在唯一根x=α.
由α>x0>1得<1又f=ln--1==0,故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.
綜上,f(x)=0有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數.
7.(2019·全國卷Ⅲ理科·T20)已知函數f(x)=2x3-ax2+b.
(1)討論f(x)的單調性.
(2)是否存在a,b,使得f(x)在區間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.
【命題意圖】本題考查導數在研究函數單調性、最值中的應用,意在考查考生數學運算、邏輯推理的求解能力.
【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,則當x∈(-∞,0)∪時,f'(x)>0;
當x∈時,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),上單調遞增,在上單調遞減;
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;
若a<0,則當x∈∪(0,+∞)時,f'(x)>0;當x∈時,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)上單調遞增,在上單調遞減.
(2)滿足題設條件的a,b存在.
①當a≤0時,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞增,所以f(x)在區間[0,1]上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件,當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
②當a≥3時,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞減,所以f(x)在區間[0,1]上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
③當0f=-+b,最大值為b或2-a+b.
若-+b=-1,b=1,則a=3,與0若-+b=-1,2-a+b=1,則a=3或a=-3或a=0,與0綜上,當且僅當a=0,b=-1或a=4,b=1時,f(x)在區間[0,1]上的最小值為-1,最大值為1.
8.(2019·全國卷Ⅲ文科·T20)已知函數f(x)=2x3-ax2+2.
(1)討論f(x)的單調性.
(2)當0【解題指南】(1)求出f'(x),解不等式求單調區間.
(2)根據f'(x)的零點與區間的關系分類表示出最值,再求差的范圍.
【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,則當x∈(-∞,0)∪時,f'(x)>0;
當x∈時,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),上單調遞增,在上單調遞減;
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;
若a<0,則當x∈∪(0,+∞)時,f'(x)>0;
當x∈時,f'(x)<0.
故f(x)在,(0,+∞)上單調遞增,在上單調遞減.
(2)當0所以f(x)在[0,1]的最小值為f=-+2,最大值為f(0)=2或f(1)=4-a.
于是m=-+2,M=
所以M-m=
當0當2≤a<3時,單調遞增,
所以M-m的取值范圍是.
綜上,M-m的取值范圍是.
9.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函數f(x)=x3-x2+x.
(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程.
(2)當x∈[-2,4]時,求證:x-6≤f(x)≤x.
(3)設F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),記F(x)在區間[-2,4]上的最大值為M(a),當M(a)最小時,求a的值.
【命題意圖】本題主要考查導數的應用,求切線方程,研究函數的極值和最值,考查轉化與化歸能力、運算求解能力,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.試題難度:難.
【解析】(1)f(x)定義域為R,f'(x)=x2-2x+1,
設切點為P(x0,y0),則
y0=f(x0)=-+x0,k=f'(x0)=-2x0+1=1,
所以x0=0,,
當x0=0時,y0=0,切線方程為y-0=x-0,即x-y=0;
當x0=時,y0=,切線方程為y-=x-,即27x-27y-64=0.
(2)令g(x)=f(x)-x=x3-x2,x∈[-2,4],則
g'(x)=f'(x)-1=x2-2x,
令g'(x)=0得x=0,,
x,g'(x),g(x)關系如下
x (-2,0) 0
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ ↘ ↗

又因為g(-2)=-6,g(0)=0,g=-,g(4)=0,
所以在x∈[-2,4]上,g(x)min=-6,g(x)max=0,
所以-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.
(3)由(2)知,-6≤f(x)-x≤0,-6-a≤f(x)-(x+a)≤-a,
所以M(a)=max{|-6-a|,|-a|}=max{|a+6|,|a|},
①若a≤-6,則M(a)=max{-a-6,-a}=-a,
當a=-6時,M(a)最小,為6;
②若-6=
a=-3時M(a)最小,為3;
③若a≥0,則M(a)=max{a+6,a}=a+6,
當a=0時,M(a)最小,為6.
綜上,M(a)最小為3,M(a)最小時a=-3.

10.(2019·江蘇高考·T19)設函數f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)為f(x)的導函數.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零點均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的極小值.
(3)若a=0,0【命題意圖】本題主要考查利用導數研究函數的性質,考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.
【解題指南】(1)由題意得到關于a的方程,解方程即可確定a的值.
(2)由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數的解析式,然后求其導函數,由導函數即可確定函數的極小值.
(3)由題意首先確定函數的極大值M的表達式,然后證明題中的不等式.
【解析】(1)因為a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.
因為f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.
(2)因為b=c,
所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,
從而f'(x)=3(x-b).令f'(x)=0,得x=b或x=.
因為a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,
所以=1,a=3,b=-3.
此時f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1).
令f'(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

所以f(x)的極小值為f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.
(3)因為a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,
f'(x)=3x2-2(b+1)x+b.
因為00,
則f'(x)有2個不同的零點,設為x1,x2(x1由f'(x)=0,得x1=,
x2=.
列表如下:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

所以f(x)的極大值M=f(x1).
因為0當x∈(0,1)時,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.
令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),則g'(x)=3(x-1).
令g'(x)=0,得x=.列表如下:
x
g'(x) + 0 -
g(x) ↗ 極大值 ↘

所以當x=時,g(x)取得極大值,且是最大值,故g(x)max=g=.
所以當x∈(0,1)時,f(x)≤g(x)≤,因此M≤.

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