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考點(diǎn)14 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T9)下列函數(shù)中,以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是 (　　)
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【命題意圖】考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.
【解析】選A.分別畫出上述函數(shù)的圖象可得選項(xiàng)A的周期為,選項(xiàng)B的周期為,而選項(xiàng)C的周期為2π,選項(xiàng)D不是周期函數(shù).結(jié)合圖象的升降情況可得A正確.
2.(2019·全國卷Ⅱ文科·T8)若x1=,x2=是函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)兩個相鄰的極值點(diǎn),則ω= (　　)
A.2 B. C.1 D.
【命題意圖】考查函數(shù)的極值點(diǎn)以及三角函數(shù)的性質(zhì).
【解析】選A.由于x1=,x2=是函數(shù)兩個相鄰的極值點(diǎn),故=-=,所以T=π,即ω==2.
二、填空題
3.(2019·北京高考理科·T9)函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　.?
【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角恒等變換,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
【解析】f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.
答案:
考點(diǎn)15 函數(shù)y=Asin(wx+)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四個結(jié)論:
①f(x)是偶函數(shù)
②f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增
③f(x)在[-π,π]有4個零點(diǎn)
④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是 (　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
【解析】選C.因?yàn)閒(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故①正確.當(dāng)【光速解題】畫出函數(shù)f(x)=sin|x|+|sin x|的圖象,由圖象可得①④正確,故選C.

2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T12)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且僅有5個零點(diǎn),下述四個結(jié)論:
①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點(diǎn)
②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點(diǎn)
③f(x)在上單調(diào)遞增
④ω的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號是 (　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
【命題意圖】本題考查三角函數(shù)y=Asin的圖象與性質(zhì),意在考查考生制圖、用圖的求解能力.
【解析】選D.
①若f(x)在[0,2π]上有5個零點(diǎn),可畫出大致圖象,

由圖1可知,f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點(diǎn),故①正確.
②由圖1、圖2可知,f(x)在(0,2π)有且僅有2個或3個極小值點(diǎn),故②錯誤.
④當(dāng)f(x)=sin=0時,ωx+=kπ(k∈Z),
所以x=,
因?yàn)閒(x)在[0,2π]上有5個零點(diǎn).
所以當(dāng)k=5時,x=≤2π,
當(dāng)k=6時,x=>2π,
解得≤ω<,故④正確.
③函數(shù)f(x)=sin的增區(qū)間為
-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
取k=0,
當(dāng)ω=時,單調(diào)遞增區(qū)間為-π當(dāng)ω=時,單調(diào)遞增區(qū)間為-π綜上可得f(x)在上單調(diào)遞增.故③正確.
所以結(jié)論正確的編號有①③④.
3.(2019·北京高考文科·T8)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為 (　　)

A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
【命題意圖】本題以直線與圓,三角函數(shù)作為問題背景,求面積的最值,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).試題難度:大.
【解析】選B.陰影區(qū)域面積最大時,也即△PAB面積最大時,AB不動,P動,即底AB是定值,高為點(diǎn)P到AB的距離最大時,面積最大.此時,點(diǎn)P在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)上,如圖所示.

設(shè)圓心為O,連接OA,OB,OP,
因?yàn)椤螦PB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=×2β×22=4β,
S△AOP=S△BOP=OA·OPsin∠AOP=×2×2sin(π-β)=2sin β,
所以陰影區(qū)域面積最大為4β+4sin β.
4.(2019·天津高考理科·T7)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數(shù),將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2π,且g=,則f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命題意圖】本題考查函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數(shù)A,ω,φ之間的關(guān)系.
【解題指南】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】選C.f(x)為奇函數(shù),可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期為2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
5.(2019·天津高考文科·T7)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數(shù),且f(x)的最小正周期為π,將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g=,則f= (　　)
A.-2 B.- C. D.2
【命題意圖】本題考查函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數(shù)A,ω,φ之間的關(guān)系.
【解題指南】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】選C.f(x)為奇函數(shù),可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;
又因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,可得ω=2,
所以y=f(x)=Asin 2x,把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得g(x)=Asin x,
由g=,可得A=2,
所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
二、填空題
6.(2019·全國卷Ⅰ文科·T15)函數(shù)f(x)=sin-3cos x的最小值為　　　　.?
【命題意圖】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式,轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦,進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式,得到關(guān)于cos x的二次函數(shù).題目有一定的綜合性,注重了基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查.
【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因?yàn)?1≤cos x≤1,所以當(dāng)cos x=1時,f(x)min=-4,
故函數(shù)f(x)的最小值為-4.
答案:-4
【易錯提醒】解答本題的過程中,部分考生易忽視-1≤cos x≤1的限制,而簡單應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì),出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.
考點(diǎn)16 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角的基本關(guān)系式、
簡單的三角恒等變換
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T7)tan 255°= (　　)
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
【命題意圖】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式,將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算,進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解.題目較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.
【解析】選D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)===2+.
【題后反思】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值及運(yùn)算求解.
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T10同2019·全國卷Ⅱ文科·T11)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=(　　)
A. B. C. D.
【命題意圖】考查三角恒等變換以及倍角公式的應(yīng)用屬于中檔題.
【解析】選B.由2sin 2α=cos 2α+1可得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,結(jié)合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.
二、填空題
3.(2019·江蘇高考·T13)已知=-,則sin的值是　　　　.?
【解題指南】由題意首先求得tan α的值,然后利用兩角和、差的正、余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題,最后弦化切求得三角函數(shù)式的值即可.
【解析】由===-,
得3tan2α-5tan α-2=0,
解得tan α=2,或tan α=-.
sin=sin 2αcos +cos 2αsin
=(sin 2α+cos 2α)=×
=×,
當(dāng)tan α=2時,上式=×=;
當(dāng)tan α=-時,上式=×=.
綜上,sin=.
答案:
三、解答題
4.(2019·浙江高考·T18)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值.
(2)求函數(shù)y=+的值域.
【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識,同時考查運(yùn)算求解能力.
【解析】(1)因?yàn)閒(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對任意實(shí)數(shù)x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函數(shù)的值域是.
考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,則= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【命題意圖】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.
【解題指南】利用余弦定理推論得出a,b,c的關(guān)系,再結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程,解出結(jié)果.
【解析】選A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推論可得-=cos A=,所以=-,所以=,所以=×4=6,故選A.
二、填空題
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為　　　　.?
【命題意圖】考查余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用.
【解析】因?yàn)閏os B=,
又因?yàn)閎=6,a=2c,B=,可得c2=12,
解得c=2,a=4,
則△ABC的面積S=×4×2×=6.
答案:6
3.(2019·全國卷Ⅱ文科·T15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin A+acos B=0,則B=　　　　.?
【命題意圖】考查正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.
【解析】已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,
又因?yàn)閟in2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.
答案:
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=　　　　,cos∠ABD=
　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查解三角形問題,即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:=,
而AB=4,∠ADB=,AC==5,
sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.

答案:　
三、解答題
5.(2019·全國卷Ⅰ理科·T17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A.
(2)若a+b=2c,求sin C.
【命題意圖】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題,涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡,得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.
【解題指南】(1)利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得:b2+c2-a2=bc,從而可求出cos A,根據(jù)A∈(0,π)可求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可得sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sin C和cos C的方程,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因?yàn)?°(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由題設(shè)及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
由于0°故sin C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.
方法二:因?yàn)閍+b=2c,由正弦定理得:sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×+cos C+sin C=2sin C,
整理可得:3sin C-=cos C,
即3sin C-cos C=2sin=,
所以sin=,所以C=或,
因?yàn)锳=且A+C<π,所以C=,
所以sin C=sin=sin=sincos+
cossin=.
6.(2019·全國卷Ⅲ理科·T18同2019·全國卷Ⅲ文科·T18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.
【命題意圖】本題考查三角恒等變換、正弦定理、面積公式,意在考查考生綜合應(yīng)用三角知識運(yùn)算求解能力.
【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因?yàn)閟in A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因?yàn)閏os≠0,故sin=,因此B=60°.
(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=a.
由正弦定理得a===+.
由于△ABC為銳角三角形,故0°因此,△ABC面積的取值范圍是.
7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B-C)的值.
【命題意圖】考查運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等變換,意在考查靈活運(yùn)用公式與基本運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=.
【方法技巧】解三角形的問題,已知邊角和所求邊角放一起,兩邊兩角用正弦定理,三邊一角用余弦定理,常用結(jié)論:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值.
(2)求sin(B+C)的值.
【命題意圖】考查運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等變換,意在考查靈活運(yùn)用公式與基本運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
【解析】(1)由已知及余弦定理,
cos B====-,即9-2b+c=0,
又b-c=2,
所以b=7,c=5.
(2)由(1)及余弦定理,
cos C===,
又sin2C+cos2C=1,0所以sin C=,同理sin B=,
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.
【方法技巧】解三角形的問題,已知邊角和所求邊角放一起,兩邊兩角用正弦定理,三邊一角用余弦定理,常用結(jié)論:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.
9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值.
(2)求sin的值.
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,因?yàn)閟in C≠0,所以3b=4a.又因?yàn)閎+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B===-.
(2)由(1)可得sin B==,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故
sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-.
10.(2019·江蘇高考·T15)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值.
【命題意圖】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.
【解題指南】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程,解方程可得邊長c的值.
(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得cos B的值,然后由誘導(dǎo)公式可得sin的值.
【解析】(1)因?yàn)閍=3c,b=,cos B=,
由cos B=,得=,即c2=.
所以c=.
(2)因?yàn)?,
由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.
從而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.
因?yàn)閟in B>0,所以cos B=2sin B>0,從而cos B=.
因此sin=cos B=.
考點(diǎn)19 平面向量的概念及其線性運(yùn)算、
平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T7同2019·全國卷Ⅰ文科·T8)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 (　　)
A. B. C. D.
【命題意圖】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題,滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).
【解題指南】先由(a-b)⊥b得出向量a,b的數(shù)量積與其模的關(guān)系,再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.
【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為,故選B.
【題后反思】對向量夾角的計(jì)算,先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個向量的模,再利用向量夾角公式求出夾角的余弦值,最后求出夾角,注意向量夾角范圍為[0,π].
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T3)已知=(2,3),=(3,t),||=1,則·= (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【命題意圖】考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的模,以及向量的數(shù)量積運(yùn)算.
【解析】選C.因?yàn)?-=(1,t-3),又因?yàn)閨|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.
3.(2019·全國卷Ⅱ文科·T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|= (　　)
A. B.2 C.5 D.50
【命題意圖】考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的模,屬于容易題.
【解析】選A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|==.
考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例
一、填空題
1.(2019·全國卷Ⅲ理科·T13)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-b,則cos????a,c????=　　　　.?
【解析】因?yàn)閏2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,
所以|c|=3,
因?yàn)閍·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,
所以cos????a,c????===.
答案:
【誤區(qū)警示】本題容易忽視a,b為單位向量,致使解題困難.
2.(2019·全國卷Ⅲ文科·T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos????a,b????=　　　　.?
【解題指南】直接代入向量的夾角公式計(jì)算.
【解析】cos????a,b????===-.
答案:-
3.(2019·北京高考文科·T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=　　　　.?
【命題意圖】本題考查向量的垂直與數(shù)量積,重在考查運(yùn)算求解能力.
【解析】因?yàn)閍⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
4.(2019·天津高考理科·T14同2019·天津高考文科·T14)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則·=　　　　.?
【命題意圖】本題考查向量的概念以及運(yùn)算法則,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查考生應(yīng)用向量手段解決問題的能力和運(yùn)算求解能力等.
【解題指南】可利用向量的線性運(yùn)算,也可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【解析】如圖,過點(diǎn)B作AE的平行線交AD于F,
因?yàn)锳D∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,
因?yàn)锳E=BE,故四邊形AEBF為菱形.
因?yàn)椤螧AD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.
因?yàn)?=-=-,
所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.

答案:-1
【一題多解】解答本題還可以用如下方法解決:
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),D.
因?yàn)锳D∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,
因?yàn)锳E=BE,所以∠BAE=30°,
所以直線BE的斜率為,其方程為y=(x-2),
直線AE的斜率為-,其方程為y=-x.
由得x=,y=-1,所以E(,-1).
所以·=·(,-1)=-1.

答案:-1
5.(2019·浙江高考·T17)已知正方形ABCD的邊長為1,當(dāng)每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查平面向量的應(yīng)用,題目難度較大.從引入“基向量”入手,簡化模的表現(xiàn)形式,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將問題逐步簡化.
【解析】λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6
=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)
要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的值最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此時只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,
λ5=1,λ6=1,
此時|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0,
|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|2
=|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)|2
=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2
=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2
=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2
=8+4+2+2
=12+4
=12+4=20,
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)λ1,-λ3,λ5-λ6均非負(fù)或者均非正,并且λ2,-λ4,λ5+λ6均非負(fù)或者均非正.
比如λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,
則|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max==2.
答案:0　2
6.(2019·江蘇高考·T12)

如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則的值是　　　　.?
【命題意圖】主要考查平面向量的基本定理和數(shù)量積,選取,為基本量.
【解析】

如圖,過點(diǎn)D作DF∥CE,交AB于點(diǎn)F,由BE=2EA,D為BC的中點(diǎn),知BF=FE=EA,AO=OD.
6·=3·(-)=(+)·(-)
=(+)·=
==·-+=·,
得=,即||=||,故=.
答案:
考點(diǎn)21 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則 (　　)
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
【命題意圖】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算,為基礎(chǔ)題目,難度偏易.此題可采用幾何法,根據(jù)點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(0,1)之間的距離為1,可求解.
【解析】選C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|==1,則x2+(y-1)2=1.故選C.
【反思總結(jié)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公式法或幾何法,利用方程思想解題.
2.(2019·全國卷Ⅰ文科·T1)設(shè)z=,則|z|= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B. C. D.1
【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)模的計(jì)算.本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解.
【解題指南】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算(分母實(shí)數(shù)化),求得z,再求|z|.
【解析】選C.因?yàn)閦=,所以z==-i,所以|z|==,故選C.
3.(2019·全國卷Ⅱ理科·T2)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【命題意圖】考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的幾何意義.
【解析】選C.由z=-3+2i可得=-3-2i,故對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-2),此點(diǎn)在第三象限.
4.(2019·全國卷Ⅱ文科·T2)設(shè)z=i(2+i),則= (　　)
A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i
【命題意圖】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù),屬于容易題.
【解析】選D.由z=i(2+i)=-1+2i,則=-1-2i.
5.(2019·全國卷Ⅲ理科·T2同2019·全國卷Ⅲ文科·T2)若z(1+i)=2i,則z= (　　)
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法,意在考查考生復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解能力.
【解析】選D.z(1+i)=2i,z===i(1-i)=1+i.
6.(2019·北京高考理科·T1同2019·北京高考文科·T2)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z·= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C.3 D.5
【命題意圖】本題考查共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì),重在考查基本運(yùn)算求解能力,難度較小.
【解析】選D.z·=(2+i)(2-i)=4-i2=5.
【光速解題】z·=|z|2=()2=5.
二、填空題
7.(2019·天津高考理科·T9同2019·天津高考文科·T9)i是虛數(shù)單位,則的值為　　　　.?
【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則,考查考生的運(yùn)算能力.
【解題指南】先化簡復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模.
【解析】==|2-3i|=.
答案:
【一題多解】解答本題還可以用如下方法解決:===.
答案:
8.(2019·浙江高考·T11)復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則|z|=　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算.
【解析】z===,
所以|z|==.
答案:
9.(2019·江蘇高考·T2)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是　　　　.?
【命題意圖】主要考查復(fù)數(shù)計(jì)算,運(yùn)用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算使得實(shí)部為0.
【解析】因?yàn)?a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,實(shí)部為0,即a-2=0,所以a=2.
答案:2
考點(diǎn)22 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則 (　　)
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,滲透方程思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程,解出首項(xiàng)與公差,再通過計(jì)算即可作出判斷.
【解析】選A.由題知,
解得所以an=2n-5,故選A.
【光速解題】本題還可用排除法,對于B,a5=5,S4==-10≠0,排除B,
對于C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C.
對于D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=2.5≠5,排除D,故選A.
二、填空題
2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1≠0,a2=3a1,則=　　　　.?
【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)閍2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
3.(2019·北京高考理科·T10)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2=-3,S5=-10,則a5=　　　　,Sn的最小值為　　　　.?
【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列,屬容易題,意在考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與基本運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
【解析】a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,當(dāng)n=4或5時,Sn最小,為-10.
答案:0　-10
【方法技巧】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值方法
1.求前n項(xiàng)和Sn=n2+n=An2+Bn,其結(jié)構(gòu)是以n為自變量的二次函數(shù),從而數(shù)列的最值問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
2.利用通項(xiàng)公式,令an=0,解得n0,當(dāng)n取最接近n0的整數(shù)時,前n項(xiàng)和有最值.
4.(2019·江蘇高考·T8)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是　　　　.
【命題意圖】主要考查數(shù)列的基本量,運(yùn)用基本量法求解.
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,由a2a5+a8=0,S9=27,
得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.
答案:16
【題后反思】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題,是高考必考內(nèi)容,解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想,靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等,構(gòu)建方程(組),如本題,從已知出發(fā),構(gòu)建a1,d的方程組.
三、解答題
5.(2019·全國卷Ⅱ理科·T19)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列.
(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
【命題意圖】考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念以及判定方法,數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法.
【解析】(1)由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).
又因?yàn)閍1+b1=1,所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因?yàn)閍1-b1=1,所以是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.

考點(diǎn)23 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅲ理科·T5同2019·全國卷Ⅲ文科·T6)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)的和為15,且a5=3a3+4a1,則a3= (　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,意在考查考生數(shù)列基本量的運(yùn)算求解能力.
【解析】選C.設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因?yàn)閍1>0且q>0,則可解得q=2,
又因?yàn)閍1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,則a3=a1q2=4.
二、填空題
2.(2019·全國卷Ⅰ理科·T14)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=,=a6,則S5=　　　　.?
【命題意圖】本題根據(jù)已知條件,列出關(guān)于等比數(shù)列公比q的方程,應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算得到S5.題目的難度不大,注重基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.
答案:
【易錯警示】準(zhǔn)確計(jì)算,是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式計(jì)算,部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.
3.(2019·全國卷Ⅰ文科·T14)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,S3=,則S4=　　　　.?
【命題意圖】準(zhǔn)確計(jì)算,是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式計(jì)算,部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.題目的難度不大,注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.
【解題指南】本題根據(jù)已知條件,列出關(guān)于等比數(shù)列公比q的方程,應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算得到S4.
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知
S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,
解得q=-,所以S4===.
答案:
【光速解題】S4=S3+a4=S3+a1q3=+=.
4.(2019·全國卷Ⅲ文科·T14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a3=5,a7=13,則S10=　　　　.?
【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)閍3=5,a7=13,所以解得
所以S10=10+×2=100.
答案:100
三、解答題
5.(2019·全國卷Ⅱ文科·T18)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
【命題意圖】考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的求和.
【解析】(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,
即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1+3+…+2n-1=n2.
6.(2019·北京高考文科·T16)設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.
【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列及其性質(zhì),等比中項(xiàng),意在考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與基本運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng),屬容易題.
【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,則
a2+10=a1+d+10=d,a3+8=a1+2d+8=2d-2,a4+6=a1+3d+6=3d-4,
又因?yàn)閍2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列,
所以d(3d-4)=(2d-2)2,即d=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n-12,n∈N*.
(2)Sn==n(n-11),
二次函數(shù)y=x(x-11)的對稱軸為x=5.5,
所以當(dāng)n=5或6時,Sn有最小值-30.
【方法技巧】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值方法
1.求前n項(xiàng)和Sn=n2+n=An2+Bn,其結(jié)構(gòu)是以n為自變量的二次函數(shù),從而數(shù)列的最值問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
2.利用通項(xiàng)公式,令an=0,解得n0,當(dāng)n取最接近n0的整數(shù)時,前n項(xiàng)和有最值.
考點(diǎn)24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
一、選擇題
1.(2019·浙江高考·T10)設(shè)a,b∈R,數(shù)列{an}中a1=a,an+1=+b,n∈N*,則 (　　)
A.當(dāng)b=時,a10>10 B.當(dāng)b=時,a10>10
C.當(dāng)b=-2時,a10>10 D.當(dāng)b=-4時,a10>10
【解析】選A.由an+1=+b得,
an+1-an=+b-an=(an-)2+(b-),
當(dāng)b=時,
an+1-an=(an-)2+>0,
數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,
a2=+≥,
a3=+≥()2+=,
a4=+≥()2+=>1,
a5=+>12+=,
a6=+>()2+=,
a7=+>()2+=>8,
a8=+>82+>10,
所以:a10>a9>a8>10.
二、解答題
2.(2019·全國卷Ⅰ文科·T18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.
【命題意圖】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及的知識點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的求和公式,在解題的過程中,需要認(rèn)真分析題意,熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.
【解題指南】(1)首先設(shè)出等差數(shù)列的公差,根據(jù)題的條件,建立關(guān)于a1和d的方程組,求得a1和d的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果.
(2)根據(jù)題意有a5=0,根據(jù)a1>0,可知d<0,根據(jù)Sn≥an,得到關(guān)于n的不等式,從而求得結(jié)果.
【解析】(1)設(shè){an}的公差為d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等價(jià)于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}.
3.(2019·天津高考理科·T19)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn=其中k∈N*.
①求數(shù)列{(-1)}的通項(xiàng)公式.
②求aici(n∈N*).
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.　
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
依題意得解得
故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×2n.
(2)①(-1)=(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1.
所以數(shù)列{(-1)}的通項(xiàng)公式為(-1)=9×4n-1.
②aici=[ai+ai(ci-1)]
=ai+(-1)
=+(9×4i-1)
=(3×22n-1+5×2n-1)+9×-n
=27×22n-1+5×2n-1-n-12.
4.(2019·天津高考文科·T18)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.
【解題指南】(1)首先設(shè)出等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比,根據(jù)題意,列出方程組,求出公差和公比,進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)根據(jù)題中所給的cn所滿足的條件,將a1c1+a2c2+…+a2nc2n表示出來,之后應(yīng)用分組求和法,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,以及錯位相減法求和,最后求得結(jié)果.
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,
依題意,得解得
故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n,
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n.
(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n
=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)
=+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)
=3n2+6×(1×31+2×32+…+n×3n),
記Tn=1×31+2×32+…+n×3n①
則3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1②
②-①得2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-+n×3n+1=,
所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn
=3n2+3×
=(n∈N*).
5.(2019·浙江高考·T20)(本小題滿分15分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=4,a4=S3,數(shù)列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)記cn=,n∈N*,證明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識,同時考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得
a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,
解得a1=0,d=2.
從而an=2n-2,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列得
(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).
解得bn=(-SnSn+2).
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)cn===,n∈N*.
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1時,c1=0<2,不等式成立;
②假設(shè)n=k時不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.
那么,當(dāng)n=k+1時,
c1+c2+…+ck+ck+1<2+
<2+<2+
=2+2(-)=2.
即當(dāng)n=k+1時不等式也成立.
根據(jù)①和②,不等式c1+c2+…+cn<2對任意n∈N*成立.
6.(2019·江蘇高考·T20)
定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”.
(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足:b1=1,=-,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.
【命題意圖】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.
【解題指南】(1)由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論.
(2)①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式;②由①確定bk的值,將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值.
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,q≠0.
由得解得
因此數(shù)列{an}為“M—數(shù)列”.
(2)①因?yàn)?-,所以bn≠0.
由b1=1,S1=b1,得=-,則b2=2.
由=-,得Sn=,
當(dāng)n≥2時,由bn=Sn-Sn-1,
得bn=-,
整理得bn+1+bn-1=2bn.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
因此,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*).
②由①知,bk=k,k∈N*.
因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.
因?yàn)閏k≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
當(dāng)k=1時,有q≥1;
當(dāng)k=2,3,…,m時,有≤ln q≤.
設(shè)f(x)=(x>1),則f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=e.列表如下:
x (1,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘

因?yàn)?<=,所以f(k)max=f(3)=.
取q=,當(dāng)k=1,2,3,4,5時,≤ln q,即k≤qk,
經(jīng)檢驗(yàn)知qk-1≤k也成立.
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分別取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216,
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
綜上,所求m的最大值為5.

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