資源簡介

考點36 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T4)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業取得又一重大成就,實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題,發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
+=(R+r).設α=,由于α的值很小,因此在近似計算中≈3α3,則r的近似值為 (　　)
A.R B.R C.R D.R
【命題意圖】本題主要考查函數模型及其應用.
【解析】選D.由題可知M1+M2=M1,把α=代入得:M1+M2=M1,
=[-]M1=M1
=M1,由題中給出的≈3α3,
所以≈3,r3≈R3,r≈R.
二、填空題
2.(2019·浙江高考·T12)已知圓C的圓心坐標是(0,m),半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓相切于點A(-2,-1),則m=　　　　,r=　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關系.
【解析】設圓的標準方程為x2+(y-m)2=r2,
由題意可得解得
答案:-2　
3.(2019·江蘇高考·T10)在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+(x>0)上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是　　　　.?
【命題意圖】主要考查基本不等式的運用,通過點到直線距離公式表示出距離,然后運用基本不等式求解即可.
【解析】方法一:
設P(x0>0),由點到直線距離公式得d=≥=4,當且僅當2x0=時,即x0=時,取“=”號.
方法二:
當直線x+y=0平移到與曲線y=x+相切位置時,切點Q即為到直線x+y=0的距離最小的點P.
由y'=1-=-1,得x=(-舍),y=3,
即切點Q(,3),
則切點Q到直線x+y=0的距離為=4.
答案:4
三、解答題
4.(2019·全國卷Ⅰ文科·T21)已知點A,B關于坐標原點O對稱,|AB|=4,☉M過點A,B且與直線x+2=0相切.
(1)若A在直線x+y=0上,求☉M的半徑.
(2)是否存在定點P,使得當A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.
【命題意圖】本題考查圓的方程的求解問題,圓錐曲線中的定點定值類問題.
【解題指南】解決本定點定值問題的關鍵是能夠根據圓的性質得到動點所滿足的軌跡方程,進而根據拋物線的定義得到定值,進而驗證定值符合所有情況,使得問題得解.
【解析】(1)因為☉M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關于坐標原點O對稱,所以M在直線y=x上,故可設M(a,a).因為☉M與直線x+2=0相切,所以☉M的半徑為r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半徑r=2或r=6.
(2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.
理由如下:
設M(x,y),由已知得☉M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2.
由于⊥,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4x.
因為曲線C:y2=4x是以點P(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|MP|=x+1.
因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點P.
5.(2019·江蘇高考·T18)

如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA.規劃要求:線段PB,QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長.
(2)在規劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由.
(3)在規劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P,Q兩點間的距離.
【命題意圖】本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識,考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.
【解析】方法一:

(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.
由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因為PB⊥AB,
所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以PB===15.
因此道路PB的長為15百米.
(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E外)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規劃要求.
②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD==10,
從而cos∠BAD==>0,所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此,Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.
設P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
此時P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;
當∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,CQ===3.此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當PB⊥AB,點Q位于點C右側,且CQ=3時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+3.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+3)百米.
方法二:

(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.
以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.
因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,-3.
因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A(4,3),B(-4,-3),直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為-,
直線PB的方程為y=-x-.
所以P(-13,9),PB==15.
因此道路PB的長為15百米.
(2)①若P在D處,取線段BD上一點M(-4,0),則MO=4<5,所以P選在D處不滿足規劃要求.
②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),
所以線段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在線段AD上取點M,因為OM=<=5,
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.
設P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1(-13,9);
當∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,設Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當P(-13,9),Q(4+3,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=4+3-(-13)=17+3.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+3)百米.
【題后反思】方法一:
(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P,Q兩點間的距離.
方法二:
(1)建立平面直角坐標系,分別確定點P和點B的坐標,然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P,Q兩點間的距離.
考點37 橢圓
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T10同2019·全國卷Ⅰ文科·T12)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為 (　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【命題意圖】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質,考查數形結合思想、轉化與化歸的能力,很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數學素養.
【解析】選B.如圖,由已知可設=n,則=2n,==3n,由橢圓的定義有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在△AF1B中,由余弦定理推論得cos∠F1AB==.
在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.

所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,
所以所求橢圓方程為+=1,故選B.
2.(2019·北京高考理科·T4)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則 (　　)
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
【命題意圖】本題考查了橢圓的標準方程和橢圓的性質的應用以及數學運算能力.
【解析】選B.離心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.
二、填空題
3.(2019·全國卷Ⅲ理科·T15同2019·全國卷Ⅲ文科·T15)設F1,F2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為　　　　.?
【解析】已知橢圓C:+=1可知,a=6,c=4,由M為C上一點且在第一象限,故等腰△MF1F2中,MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1=4,sin∠F1F2M==,
yM=MF2sin∠F1F2M=,
代入C:+=1可得xM=3.故M的坐標為(3,).
答案:(3,)
4.(2019·浙江高考·T15)已知橢圓+=1的左焦點為F,點P在橢圓上且在x軸的上方,若線段PF的中點在以原點O為圓心,|OF|為半徑的圓上,則直線PF的斜率是　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系,利用數形結合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑.
【解析】設線段PF的中點為M.
方法一:由題意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位線定理可得|PF1|=2|OM|=4,
設P(x,y),可得(x-2)2+y2=16,
聯立方程+=1,
可解得x=-或x=(舍),點P在橢圓上且在x軸的上方,
求得P,所以kPF==.

方法二:焦半徑公式應用
由題意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位線定理可得|PF1|=2|OM|=4,
即a-exP=4?xP=-,
求得P,所以kPF==.
答案:
三、解答題
5.(2019·全國卷Ⅱ文科·T20)已知F1,F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上一點,O為坐標原點.
(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率.
(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.
【命題意圖】考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的關系以及橢圓的有關運算.
【解析】(1)連接PF1,由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的離心率是e==-1.
(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=,所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.當b=4,a≥4時,存在滿足條件的點P.
所以b=4,a的取值范圍為[4,+∞).
考點38 雙曲線
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T10)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為 (　　)
A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.
【解題指南】由雙曲線漸近線定義可得-=tan 130°,所以=tan 50°,再利用e==求雙曲線的離心率.
【解析】選D.由已知可得-=tan 130°,所以=tan 50°,
所以e====
==,故選D.
【題后反思】對于雙曲線:-=1,有e==;對于橢圓+=1,有e==,防止記混.
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T11同2019·全國卷Ⅱ文科·T12)設F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為 (　　)
A. B. C.2 D.
【命題意圖】考查雙曲線的性質、直線與圓的位置關系和有關運算,屬于較難題.
【解析】選A.以OF為直徑的圓的方程為+y2=,則弦PQ所在的直線方程為x=,|PQ|=,根據|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.
3.(2019·全國卷Ⅲ理科·T10)雙曲線C:-=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點,若=,則△PFO的面積為 (　　)
A. B. C.2 D.3
【命題意圖】本題考查雙曲線,意在考查考生利用雙曲線的性質的運算求解能力.
【解析】選A.由雙曲線的方程-=1可得一條漸近線方程為y=x;
在△PFO中,|PO|=|PF|,過點P作PH⊥OF,垂足為H,
因為tan∠POF=得到PH=;
所以S△PFO=××=.
4.(2019·全國卷Ⅲ文科·T10)已知F是雙曲線C:-=1的一個焦點,點P在C上,O為坐標原點,若|OP|=|OF|,則△OPF的面積為 (　　)
A. B. C. D.
【解題指南】利用條件求出點P的坐標后求面積.
【解析】選B.設點P(x,y),由題意得|OF|=|OP|=3,
則解得y2=,不妨令y=,故△OPF的面積為×|OF|·y=×3×=.
5.(2019·北京高考文科·T5)已知雙曲線-y2=1(a>0)的離心率是,則a= (　　)
A. B.4 C.2 D.
【命題意圖】本題考查了雙曲線的標準方程和性質的應用,考查數學運算能力.
【解析】選D.由已知,b2=1,e==,所以c2=5a2,
又c2=a2+b2=a2+1,
所以a2=,a=.
6.(2019·浙江高考·T2)漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是 (　　)
A. B.1 C. D.2
【命題意圖】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質.
【解析】選C.由雙曲線的漸近線方程可知a=b,
所以e====.
二、填空題
7.(2019·全國卷Ⅰ理科·T16)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若=,·=0,則C的離心率為　　　　.?
【命題意圖】本題考查平面向量結合雙曲線的漸近線和離心率,滲透了邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.采取幾何法,利用數形結合思想解題.
【解析】如圖,

由=,得F1A=AB.又OF1=OF2,得OA是三角形F1F2B的中位線,即BF2∥OA,BF2=2OA.由·=0,得F1B⊥F2B,OA⊥F1A,則OB=OF1=OF2,有∠OBF2=∠BF2O=2∠OBF1=2∠OF1B,∠AOB=∠AOF1.又OA與OB都是漸近線,得∠BOF2=∠AOF1,則∠BOF2=60°.
又漸近線OB的斜率為=tan 60°=,所以該雙曲線的離心率為e====2.
答案:2
【題后反思】此題若不能求出直角三角形的中位線的斜率將會思路受阻,即便知道雙曲線漸近線斜率和其離心率的關系,也不能順利求解,解題需要結合幾何圖形,關鍵得到∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°,即得到漸近線的傾斜角為60°,從而突破問題障礙.
9.(2019·江蘇高考·T7)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2-=1(b>0)經過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是　　　　　　.?
【命題意圖】主要考查雙曲線的漸近線,運用雙曲線的漸近線定義求解.
【解析】因為雙曲線x2-=1(b>0)經過點(3,4),所以9-=1,解得b2=2,所以雙曲線方程為x2-=1,所以雙曲線的漸近線方程是y=±x.
答案:y=±x
【題后反思】雙曲線的標準方程與幾何性質,往往以小題的形式考查,其難度一般較小,是高考的得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的a,b密切相關,事實上,標準方程中化1為0,即得漸近線方程.

考點39 拋物線
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T8同2019·全國卷Ⅱ文科·T9)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓+=1的一個焦點,則p= (　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
【命題意圖】考查拋物線與橢圓的方程和性質.屬于中檔題.
【解析】選D.因為橢圓的焦點為(±,0),拋物線的焦點為,由已知可得=,解得p=8.
2.(2019·天津高考理科·T5同2019·天津高考文科·T6)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.若l與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|OF|(O為原點),則雙曲線的離心率為 (　　)
A. B. C.2 D.
【解析】選D.l的方程為x=-1,雙曲線的漸近線方程為y=±x,可設A,B,
所以|AB|=,則=4,b=2a,
所以e===.
二、填空題
3.(2019·北京高考文科·T11)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為　　　　　　　　.?
【命題意圖】本小題主要考查圓的方程,拋物線方程及性質,意在考查數形結合思想與基本運算能力,培養學生的邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學素養.
【解析】由已知,2p=4,=1,所以焦點F(1,0),準線l為x=-1,所求圓半徑為2,方程為(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
三、解答題
4.(2019·北京高考理科·T18)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1).
(1)求拋物線C的方程及其準線方程.
(2)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.
【命題意圖】本小題主要考查求拋物線方程及性質,直線與圓錐曲線位置關系,定點問題等,意在考查數形結合思想與基本運算能力,培養學生的邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學素養.
【解析】(1)將(2,-1)代入C得4=2p,即p=2,
所以C的方程為x2=-4y,其準線方程為y=1.
(2)C的焦點為(0,-1),
設直線MN方程為y=kx-1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y得x2+4kx-4=0,
顯然Δ>0,
所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,①

直線OM方程為y=x,與y=-1聯立得x=-=-,即A,
同理B,
設點P(0,n)在以AB為直徑的圓上,則
·=0,即·+(n+1)2=0,②
由①②,得n=-3,1,
所以以AB為直徑的圓過y軸上的兩定點(0,-3),(0,1).
考點40 直線與圓錐曲線的位置關系
一、解答題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T19)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.
(2)若=3,求|AB|.
【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的綜合應用問題,涉及平面向量、弦長公式的應用.關鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯立,通過根與系數的關系構造等量關系.
【解析】設直線l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由題設得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由題設可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
則x1+x2=-.
從而-=,得t=-.
所以l的方程為y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T21)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-.記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程,并說明C是什么曲線.
(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.
(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;
(ⅱ)求△PQG面積的最大值.
【命題意圖】考查曲線與方程的關系、軌跡方程的求解、直線與曲線的關系,弦長公式的運用和最值的求解,較難題.
【解析】(1)由題設得·=-,化簡得+=1(|x|≠2),所以C為中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓,不含左右頂點.
(2)(ⅰ)設直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0).
由得x=±.記u=,
則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直線QG的斜率為,方程為y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①
設G(xG,yG),則-u和xG是方程①的解,故xG=,由此得yG=.從而直線PG的斜率為=-.
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|=2u,|PG|=,
所以△PQG的面積S=|PQ‖PG|==.
設t=k+,則由k>0得t≥2,當且僅當k=1時取等號.
因為S=在[2,+∞)單調遞減,所以當t=2,即k=1時,S取得最大值,最大值為.
因此,△PQG面積的最大值為.
3.(2019·天津高考理科·T18)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率.
【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.　
【解析】(1)設橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,橢圓的方程為+=1.
(2)由題意,設P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,進而直線OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OP⊥MN,得·=-1,化簡得k2=,從而k=±.
所以直線PB的斜率為或-.
4.(2019·天津高考文科·T19)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,左頂點為A,上頂點為B.已知|OA|=2|OB|(O為原點).
(1)求橢圓的離心率.
(2)設經過點F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OC∥AP,求橢圓的方程.
【命題意圖】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識,考查用代數方法研究圓錐曲線的性質,考查運算求解能力,以及用方程思想、數形結合思想解決問題的能力.　
【解析】(1)設橢圓的半焦距為c,由已知得a=2b,
又因為a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=,
所以橢圓的離心率為.
(2)由(1)知,a=2c,b=c,故橢圓方程為+=1,
由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=(x+c),
點P的坐標滿足消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0,
解得x1=c,x2=-,代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c,
因為點P在x軸的上方,所以P,
由圓心在直線x=4上,可設C(4,t),因為OC∥AP,
且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2,
因為圓C與x軸相切,所以圓的半徑為2,
又由圓C與l相切,得=2,解得c=2,
所以橢圓的方程為+=1.
考點41 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用
一、選擇題
1.(2019·北京高考理科·T8)數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結論:

①曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.
其中,所有正確結論的序號是 (　　)
A.① B.② C.①② D.①②③
【命題意圖】考查曲線與方程,距離問題,面積問題,對稱性等,意在考查知識的運用能力,推理能力,運算能力,培養學生的邏輯推理能力與運算能力,體現了邏輯推理、數學運算的數學素養.
【解析】選C.對①,令x=0得y=±1,即曲線C過整點(0,±1);令x=1得1+y2=1+y,y=0,1,即曲線C過整點(1,0),(1,1),又由曲線關于y軸對稱知,曲線C過整點(-1,0),(-1,1),結合圖形知,曲線C不過其他整點,所以①正確;
對②,只需考慮第一象限內的點,即x>0,y>0,設C上的點(x,y)到原點的距離為d,則x2+y2=1+|x|y=1+xy≤1+,x2+y2≤2,d≤,所以②正確;
對③,由①知,S△OAB=×1×1=,S正方形OBCD=1×1=1,所以S陰影=2×=3,所以心形區域面積大于3,③錯誤.

二、解答題
2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T21)已知曲線C:y=,D為直線y=-上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點.
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.
【命題意圖】本題考查直線、圓及其位置關系的應用,考查考生數學運算、邏輯推理的求解綜合問題的能力.
【解析】(1)設D,A(x1,y1),則=2y1.
由于y'=x,所以切線DA的斜率為x1,故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
設B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.
所以直線AB過定點.
(2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+.
由可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|=×=2(t2+1).
設d1,d2分別為點D,E到直線AB的距離,
則d1=,d2=.
因此,四邊形ADBE的面積
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).
設M為線段AB的中點,則M.
由于⊥,而=(t,t2-2),與向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.
當t=0時,S=3;當t=±1時,S=4.
因此,四邊形ADBE的面積為3或4.
3.(2019·全國卷Ⅲ文科·T21)已知曲線C:y=,D為直線y=-上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點.
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求該圓的方程.
【解題指南】(1)表示出直線AB的方程,求出直線所過的定點.
(2)利用根與系數的關系及已知條件,分別表示出,,利用二者的關系解出參數后求圓的方程.
【解析】(1)設D,A(x1,y1),則=2y1.
由于y'=x,所以切線DA的斜率為x1,故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
設B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.
所以直線AB過定點.
(2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+.
由,可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.
設M為線段AB的中點,則M.
由于⊥,而=(t,t2-2),與向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.
當t=0時,||=2,所求圓的方程為x2+=4;
當t=±1時,||=,所求圓的方程為x2+=2.
4.(2019·北京高考文科·T19)已知橢圓C:+=1的右焦點為(1,0),且經過點A(0,1).
(1)求橢圓C的方程.
(2)設O為原點,直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,若|OM|·|ON|=2,求證:直線l經過定點.
【命題意圖】本小題主要考查橢圓方程及性質,直線與圓錐曲線位置關系,定點問題等,意在考查數形結合思想與基本運算能力,培養學生的邏輯思維能力,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學素養.
【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2,
所以a2=2,
所以C的方程為+y2=1.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①
因為直線與橢圓有兩個交點,所以必須Δ>0,②
x1+x2=,x1x2=,③
直線AP方程為y=x+1,與y=0聯立得x=,即M,
同理,N,
(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)
=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=,
所以|OM|·|ON|=
===2,
所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,
當t=0時,①式Δ>0,符合題意,所以直線l方程為y=kx,
所以直線l過定點(0,0).
5.(2019·浙江高考·T21)(本小題滿分15分)如圖,已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F右側.記△AFG,△CQG的面積為S1,S2.

(1)求p的值及拋物線的標準方程.
(2)求的最小值及此時點G的坐標.
【命題意圖】本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識,同時考查運算求解能力和綜合應用能力.
【解析】(1)由題意得=1,即p=2.
所以,拋物線的標準方程為y2=4x.
(2)設A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).
令yA=2t,t≠0,則xA=t2.
由于直線AB過F,故直線AB的方程為x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,
故2tyB=-4,即yB=-,所以B.
又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x軸上,故2t-+yC=0,得C,G.
所以,直線AC的方程為y-2t=2t,得Q.
由于Q在焦點F的右側,故t2>2.從而
====2-.
令m=t2-2,則m>0,
=2-=2-≥2-
=1+.
當且僅當m=,即m=時等號成立,所以取得最小值1+,此時G(2,0).
6.(2019·江蘇高考·T17)

如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1(-1,0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點A,與橢圓C交于點D.連接AF1并延長交圓F2于點B,連接BF2交橢圓C于點E,連接DF1,已知DF1=.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)求點E的坐標.
【命題意圖】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.
【解題指南】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程.
(2)方法一:由題意首先確定直線AF1的方程,聯立直線方程與圓的方程,確定點B的坐標,聯立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標;
方法二:由題意利用幾何關系確定點E的縱坐標,然后代入橢圓方程可得點E的坐標.
【解析】(1)設橢圓C的焦距為2c.
因為F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因為DF1=,AF2⊥x軸,所以DF2===,
因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,橢圓C的標準方程為+=1.
(2)方法一:
由(1)知,橢圓C:+=1,a=2,
因為AF2⊥x軸,所以點A的橫坐標為1.
將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因為點A在x軸上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.
由得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-.
將x=-代入y=2x+2,得y=-,
因此B.又F2(1,0),所以直線BF2:y=(x-1).
由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以x=-1.
將x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E.

方法二:
由(1)知,橢圓C:+=1.如圖,連接EF1.
因為BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
從而∠BF1E=∠B.
因為F2A=F2B,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.
因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.
因為F1(-1,0),由得y=±.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以y=-.
因此E.
考點42 算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T8同2019·全國卷Ⅰ文科·T9)如圖是求的程序框圖,圖中空白框中應填入 (　　)

A.A= B.A=2+ C.A= D.A=1+
【命題意圖】本題主要考查算法中的程序框圖,滲透邏輯推理等素養,認真分析式子結構特征與程序框圖結構,即可作出選擇.
【解析】選A.執行第1次,A=,k=1≤2,是,因為第一次應該計算=,k=k+1=2,循環,執行第2次,k=2≤2,是,因為第二次應該計算=,k=k+1=3,循環,執行第3次,k=3≤2,否,輸出,故循環體為A=,故選A.
【光速解題】認真觀察計算式子的結構特點,可知循環體為A=.
2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T9同2019·全國卷Ⅲ文科·T9)執行下邊的程序框圖,如果輸入的ε為0.01,則輸出s的值等于 (　　)

A.2- B.2- C.2- D.2-
【命題意圖】本題考查算法與程序框圖,考查考生利用程序框圖進行運算求解的能力.
【解析】選C.
第一次循環:s=1,x=;
第二次循環:s=1+,x=;
第三次循環:s=1++,x=;
第四次循環:s=1+++,x=;
…
第七次循環:s=1+++…+,x=,
此時循環結束,可得s=1+++…+=2-.
3.(2019·北京高考理科·T2同2019·北京高考文科·T4)執行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【命題意圖】本題考查對程序框圖的理解以及算法的循環結構.也考查推理論證能力,難度較小.
【解析】選B.開始,k=1,s=1,s==2,判斷k=1≥3,否;k=2,s==2,……,發現s總是2,所以選B.
4.(2019·天津高考理科·T4同2019·天津高考文科·T4)閱讀程序框圖,運行相應的程序,輸出S的值為 (　　)

A.5 B.8 C.24 D.29
【解析】選B.S=1,i=2→j=1,S=1+2·21=5,i=3,S=8,i=4,
結束循環,故輸出8.
二、填空題
5.(2019·江蘇高考·T3)如圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是　　　　.?

【命題意圖】主要考查框圖的有關計算,運用循環運算求解.
【解析】執行第一次,S=S+=,x=1≥4不成立,繼續循環,x=x+1=2;
執行第二次,S=S+=,x=2≥4不成立,繼續循環,x=x+1=3;
執行第三次,S=S+=3,x=3≥4不成立,繼續循環,x=x+1=4;
執行第四次,S=S+=5,x=4≥4成立,輸出S=5.
答案:5
【解題技巧】識別、運行算法流程圖和完善算法流程圖的思路
(1)要明確算法流程圖的順序結構、條件結構和循環結構.
(2)要識別、運行算法流程圖,理解流程圖所解決的實際問題.
(3)按照題目的要求完成解答并驗證.
考點43 隨機抽樣、用樣本估計總體
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ文科·T6)某學校為了解1 000名新生的身體素質,將這些學生編號為1,2,…,1 000,從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗,若46號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是 (　　)
A.8號學生 B.200號學生 C.616號學生 D.815號學生
【命題意圖】本題主要考查系統抽樣.
【解題指南】等差數列的性質.滲透了數據分析素養.使用統計思想,逐個選項判斷得出答案.
【解析】選C.由已知將1 000名學生分成100個組,每組10名學生,用系統抽樣,46號學生被抽到,所以第一組抽到6號,且每組抽到的學生號構成等差數列{an},公差d=10,所以an=6+10n(n∈N*),
若8=6+10n,則n=,不合題意;若200=6+10n,則n=19.4,不合題意;
若616=6+10n,則n=61,符合題意;若815=6+10n,則n=80.9,不合題意.故選C.
2.(2019·全國卷Ⅱ理科·T5)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比,不變的數字特征是 (　　)
A.中位數 B.平均數 C.方差 D.極差
【命題意圖】考查統計中的數字特征,屬于容易題.
【解析】選A.由于去掉1個最高分、1個最低分,不影響中間的數值,故中位數不變.
3.(2019·全國卷Ⅲ理科·T3同2019·全國卷Ⅲ文科·T4)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況,隨機調查了100位學生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位,則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為 (　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【命題意圖】本題考查抽樣、利用樣本估計總體,考查考生數據的分析、運算求解能力.
【解析】選C.由題意知閱讀過《紅樓夢》而沒有閱讀過《西游記》的學生人數為80-60=20,所以閱讀過《西游記》的學生人數為90-20=70,故所求的估計值為=0.7.
二、填空題
4.(2019·全國卷Ⅱ理科·T13同2019·全國卷Ⅱ文科·T14)我國高鐵發展迅速,技術先進.經統計,在經停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查頻率、頻數以及平均數的有關知識,容易題.
【解析】=0.98.
答案:0.98
5.(2019·江蘇高考·T5)已知一組數據6,7,8,8,9,10,則該組數據的方差是　　　　.?
【命題意圖】主要考查方差,運用方差公式計算.
【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8,
所以方差為×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.
答案:
三、解答題
6.(2019·全國卷Ⅲ理科·T17同2019·全國卷Ⅲ文科·T17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖:


記C為事件:“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”,根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值.
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).
【命題意圖】本題考查用樣本估計總體,意在考查考生頻率分布直方圖的運算求解能力.
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙離子殘留百分比的平均值的估計值為
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

考點45 二項式定理
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅲ理科·T4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中,x3的系數為 (　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
【命題意圖】本題考查二項式定理的應用,意在考查考生二項式定理、數據的運算求解能力.
【解析】選A.由題意可知含x3的項為1··1·x3+2x2··13·x=12x3,所以系數為12.
二、填空題
2.(2019·天津高考理科·T10)展開式中的常數項為　　　　.?
【命題意圖】本題考查二項式定理、二項式某項的系數,考查考生應用二項式定理解決與二項式某項有關的問題,考查考生的邏輯推理能力與運算求解能力.　
【解析】的第r+1項為
Tr+1=(2x)8-r=(-1)r28-4rx8-4r,
令8-4r=0,解得r=2,即T3=T2+1=(-1)220x0=28.
答案:28
3.(2019·浙江高考·T13)在二項式(+x)9的展開式中,常數項是　　　　,系數為有理數的項的個數是　　　　.?
【命題意圖】本題主要考查二項展開式中的特定項.
【解析】展開式通項是:Tr+1=()9-rxr,所以常數項是T1=()9=16,若系數為有理數,則9-r為偶數,所以r為奇數,所以r可取1,3,5,7,9.
答案:16　5
三、解答題
4.(2019·江蘇高考·T22)設(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知=2a2a4.
(1)求n的值.
(2)設(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.
【命題意圖】本題主要考查二項式定理、組合數等基礎知識,考查分析問題能力與運算求解能力.
【解題指南】(1)首先由二項式展開式的通項公式確定a2,a3,a4的值,然后求解關于n的方程可得n的值.
(2)方法一:利用(1)中求得的n的值確定有理項和無理項從而可得a,b的值,然后計算a2-3b2的值即可;
方法二:利用(1)中求得的n的值,由題意得到(1-)5的展開式,最后結合平方差公式即可確定a2-3b2的值.
【解析】(1)因為(1+x)n=+x+x2+…+xn,n≥4,
所以a2==,a3==,
a4==.
因為=2a2a4,
所以=2××,
解得n=5.
(2)由(1)知,n=5.
(1+)n=(1+)5
=++()2+()3+()4+()5
=a+b.
方法一:
因為a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,
從而a2-3b2=762-3×442=-32.
方法二:
(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+
(-)4+(-)5
=-+()2-()3+()4-()5.
因為a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.
因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.
考點46 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型
一、選擇題
1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T6)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是 (　　)

A. B. C. D.
【命題意圖】對利用排列組合計算古典概型問題,首先要分析元素是否可重復,其次要分析是排列問題還是組合問題.本題是
重復元素的排列問題,所以基本事件的計算是“住店”問題,滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題.
【解析】選A.由題知,每一爻有2種情況,一重卦的6爻有26種情況,其中6爻中恰有3個陽爻的情況有,所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=,故選A.
【題后反思】本題主要考查利用兩個計數原理與排列組合計算古典概型問題,滲透了傳統文化、數學計算等數學素養,“重卦”中每一爻有兩種情況,基本事件計算是住店問題,該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題,利用直接法即可計算.
2.(2019·全國卷Ⅱ文科·T4)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標,若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為 (　　)
A. B. C. D.
【命題意圖】考查隨機事件的概率和古典概型.
【解析】選B.從5只兔子中隨機取出3只,總的基本事件有10種;又因為只有3只測量過某項指標,故恰有2只測量過該指標的種數為6,則恰有2只測量過該指標的概率為,即.
3.(2019·全國卷Ⅲ文科·T3)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解題指南】利用古典概型的概率公式計算.
【解析】選D.兩位男同學編號a,b,兩位女同學編號為1,2,若a在第一位有ab12,ab21,a1b2,a12b,a2b1,a21b共6種排法,同理b在第一位時也有6種排法,兩種情況女同學相鄰有8種排法;若1在第一位有1ab2,1a2b,1ba2,1b2a,12ab,12ba共6種排法,同理2在第一位也有6種排法,兩種情況女同學相鄰有4種排法,故所求的概率為=.
二、填空題
4.(2019·全國卷Ⅰ理科·T15)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是　　　　.?
【命題意圖】本題應注意分情況討論,即前五場甲隊獲勝的兩種情況,應用獨立事件的概率的計算公式求解.題目有一定的難度,注重基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查.
【解析】前五場中有一場客場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,
前五場中有一場主場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,
綜上所述,甲隊以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18.
答案:0.18
【易錯警示】由于本題題干較長,所以,易錯點之一就是能否靜心讀題,正確理解題意;易錯點之二是思維的全面性是否具備,要考慮甲隊以4∶1獲勝的兩種情況;易錯點之三是是否能夠準確計算.
5.(2019·江蘇高考·T6)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是　　　　.?
【命題意圖】主要考查概率,運用概率公式求解.
【解析】方法一:從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,共有=10種情況.若選出的2名學生恰有1名女生,有=6種情況,
若選出的2名學生都是女生,有=1種情況,
所以所求的概率為=.
方法二:P=1-=1-=.
答案:
【題后反思】計數原理是高考考查的重點內容,考查的形式有兩種,一是獨立考查,二是與古典概型結合考查,由于古典概型概率的計算比較明確,所以,正確計算基本事件總數是解題的重要一環.在處理問題的過程中,應注意審清題意,明確“分類”“分步”,根據順序有無,明確“排列”“組合”.
三、解答題
6.(2019·全國卷Ⅱ理科·T18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當某局打成10∶10平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發球,兩人又打了X個球該局比賽結束.
(1)求P(X=2).
(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
【命題意圖】考查二項分布的應用以及概率的有關計算.
【解析】(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了2個球該局比賽結束,則這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.
因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
7.(2019·天津高考文科·T15)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.
(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
　　　員工 項目　　　 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
繼續教育 × × ○ × ○ ○
大病醫療 × × × ○ × ×
住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
贍養老人 ○ ○ × × × ○

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發生的概率.
【命題意圖】本題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.　
【解題指南】(1)根據題中所給的老、中、青員工人數,求得人數比,利用分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的,結合樣本容量求得結果;(2)①根據6人中隨機抽取2人,將所有的結果一一列出;②根據題意,找出滿足條件的基本事件,利用公式求得概率.
【解析】(1)由已知,老、中、青員工人數之比為6∶9∶10,
由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工,
因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.
(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種;
②由表格知,符合題意的所有可能結果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種,所以事件M發生的概率P(M)=.

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