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第一章：集合與函數
第一節:集合
一、集合有關概念
1. 集合的含義:一定范圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
列舉法 ：{a,b,c……}
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
4、集合的分類：
(4) 有限集 含有有限個元素的集合
(5) 無限集 含有無限個元素的集合
(6) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系—子集
注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2．“相等”關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同時 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
3. 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集） 記作，即 CSA=
韋 恩 圖 示
性 質 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．

一、選擇題（本大題共15小題，共75.0分）
1. 下列所給的對象能構成集合的是（ ? ）
A. 2019屆的優秀學生 B. 高一數學必修一課本上的所有難題
C. 遵義四中高一年級的所有男生D. 比較接近1的全體正數
【答案】C 【解析】解：A.2019?屆的優秀學生不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；
B.高一數學必修一課本上的所有難題不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；
C.遵義四中高一年級的所有男生，元素確定，能構成集合，故本選項正確．
D.比較接近?1?的全體正數不確定，無法確定集合的元素，不能構成集合，故本選項錯誤；
2. 下列說法正確的是（）
A. 我校愛好足球的同學組成一個集合B. {1，2，3}是不大于3的自然數組成的集合
C. 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合
D. 數1，0，5，，，，組成的集合有7個元素
【答案】C 【解析】解：選項A：不滿足確定性，選項B：不大于3的自然數組成的集合是{0，1，2，3}，選項C：滿足集合的互異性，無序性，確定性，選項D：1，0，5，，，，組成的集合有5個，
3. 給出四個結論：
①{1，2，3，1}是由4個元素組成的集合 ②集合{1}表示僅由一個“1”組成的集合
③{2，4，6}與{6，4，2}是兩個不同的集合 ④集合{大于3的無理數}是一個有限集,其中正確的是( )
A. 只有③④ B. 只有②③④ C. 只有①② D. 只有②
【答案】D 【解析】解：對于①集合中元素的互異性可知判，①是不正確的．對于②集合的定義判斷②是正確的；
對于③集合中元素的無序性判斷③{2，4，6}與{6，4，2}是兩個不同的集合，是不正確的；
對于④集合{大于3的無理數}是一個有限集，集合中元素的個數是無數的，所以④是不正確的．只有②正確．
4. 下列集合中表示同一集合的是　　
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B【解析】解：A、M、N都是點集，（3，2）與（2，3）是不同的點，則M、N是不同的集合，故A錯誤；
B、M={2，3}，N={3，2}根據集合的無序性，集合M，N表示同一集合，故B正確
C、M={（x，y）|x+y=1}，M集合的元素表示點的集合，N={y|x+y=1}，N表示直線x+y=1的縱坐標，是數集，故不是同一集合，故C錯誤；
D、M={2，3}? 集合M的元素是兩個數字（2，3），N={（2，3）}，集合N的元素是一個點（2，3），故D錯誤；
5. 已知集合M={x|-1＜x＜3}，N={x|-2＜x＜1}，則M∩N=（　　）
A. （-2，1） B. （-1，1） C. （1，3） D. （-2，3）
【答案】B【解析】解：M={x|-1＜x＜3}，N={x|-2＜x＜1}，則M∩N={x|-1＜x＜1}，
6. 設集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，則M∩N中元素的個數為（　　）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B【解析】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的個數為3．
7. 設集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，則（A∪B）∩C=（　　）
A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，6}
【答案】B【解析】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
8. 設集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，則?U（A∪B）=（　　）
A. {2，6} B. {3，6} C. {1，3，4，5} D. {1，2，4，6}
【答案】A【解析】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，
則A∪B={1，3，4，5}．?U（A∪B）={2，6}．
9. 用列舉法將集合{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}可以表示為（　　）
A. {{1，1}，{1，2}，{2，1}，{2，2}} B. {1，2}
C. {（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} D. {（1，2）}
【答案】C【解析】解：根據描述法表示集合，集合中有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四個元素，
10. 已知集合，集合，則P與Q的關系是　　
A. B. C. D.
【答案】C【解析】解：依題意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q?P，
11. 集合A={1，2}的非空子集個數為（　?。?br/>A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
【答案】D【解析】解：集合{1，2}的子集的個數為22=4個，
去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的個數為22-1=3個．
12. 圖中陰影表示的集合為（　?。?br/>A. （P∪Q）∩?US B. （P∩Q）∪?US
C. （P∩Q）∩?US D. （P∪Q）∪?US

【答案】C【解析】解：依題意，由圖知，
陰影部分對應的元素a具有性質a∈P，a∈Q，a∈CUS，
所以陰影部分所表示的集合是（P∩Q）∩CUS，
13. 已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{ x|x2－2x＞0}，則圖中陰影部分表示的集合為（??? ）


A. B. ? C. ? D.
【答案】A 解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2-2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，
∴CUB={x|0≤x≤2}，∴圖中陰影部分表示的集合為A∩（CUB）={0，1，2}．故選A．
14. 已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，則B的子集個數為（　　）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D 【解析】解：由題意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，則B的子集個數為：23=8個
15. 下列所給關系正確的個數是（　　）
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|-4|?N*．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B 解：由于①π∈R；②?Q；③0?N*；④|-4|∈N*．故①②正確，③④錯誤，故選B．
二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）
16. 設集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠?，則k的取值范圍是______ ．
【答案】(-1，+∞）
解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，
且M∩N≠?，如圖所示；∴k的取值范圍是：(-1，+∞）．
故答案為(-1，+∞）．
17. 給定集合A、B，定義：A*B={?x|x∈A或x∈B，但x?A∩B}，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列舉法寫出A*B=______．
【答案】{0，3}
解：∵A*B={x|x∈A，或x∈B，但x?B}，A={0，1，2}，B={1，2，3}，
∴A*B={0，3}.故答案為{0，3}.
18. 滿足{2}?A?{1，2，3}的集合A的個數為______．
【答案】3【解析】解：∵滿足{2}?A?{1，2，3}，
∴集合A中必有元素2，且具有元素1，3中的0個或1個，∴滿足條件的集合A的個數為：=3個．
19. 已知集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，則A∩B= ______ ．
【答案】{-1，2}【解析】解：∵集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，
∴A∩B={-1，2}，故答案為：{-1，2}
20. 已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A?B，則實數a=______．
【答案】3
解：∵集合A={2，3}，B={1，2，a}，A?B，∴a=3．故答案為：3．
21. 已知集合A={a，a2}，B={1，b}，若A=B，則a+b= ______ ．
【答案】-2
【解析】解：∵集合A={a，a2}，B={1，b}，A=B，∴或，解得（舍）或，
∴a+b=-1-1=-2．故答案為：-2．
三、解答題（本大題共9小題，共108.0分）
22. 設集合，．（1）求集合；（2）若不等式的解集為，求，的值．
【答案】解：（1），,
;
（2）不等式的解集為,
方程的兩根為和，且，，?.
23. 已知全集，集合，． （1）求；（2）．
【答案】解：（1）集合，??：,可化為：，
?所以或，所以或.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?（2）因為， ? ? ? ? 所以.

24. 設集合A={x|a-1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2-2x-8＜0的解集為B．（1）當a=0時，求集合A，B；（2）當A?B時，求實數a的取值范圍．
【答案】解：（1）當a=0時，A= {x|-1＜x＜0}，解不等式x2-2x-8＜0得：-2＜x＜4，即B={x|-2＜x＜4}，
（2）若A?B，則有：
①A=?，即2a≤a-1，即a≤-1，符合題意，②A≠?，有，
解得：-1＜a≤2，綜合①②得：a≤2，
25. 設集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}．（1）若A∩B=?，求實數a的取值范圍；（2）若A∪B=B，求實數a的取值范圍．
【答案】解：（1）集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}，
若A∩B=?，則 即，解得：0≤a≤1，
實數a的取值范圍時[0，1]；????????????????????????????
（2）∵若A∪B=B，∴A?B??????????????????則a+1≤-1或a-1≥2，
解得：a≤-2或a≥3，則實數a的取值范圍為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
26. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-4≤x≤3m+3}．（1）若A?B，求實數m的取值范圍；（2）若A∩B=B，求實數m的取值范圍．
【答案】解：（1）∵集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-4≤x≤3m+3}．A?B，∴，
解得1≤m≤2．∴實數m的取值范圍是[1，2]．
（2）∵A∩B=B，∴B?A，①當B=?時，賊》3m+2，∴m＜-3符合題意；②當B≠?時，，無解．
綜上可得，m＜-3．∴實數m的取值范圍是（-∞，-3）．
27. 全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，A∩B，（?UA）∩（?UB）；
（2）若集合C={x|x＞a}，A?C，求a的取值范圍．
【答案】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；
（CUA）∩（CUB）=（-∞，2]∪[10，+∞）；
（2）∵集合C={x|x＞a}，∴若A?C，則a＜3，即a的取值范圍是{a|a＜3}．
28. 設集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1＜x＜m+1}（1）當m=1時，求A∩B；（2）若B?A，求實數m的取值范圍．
【答案】解：（1）∵集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1＜x＜m+1}∴當m=1時，B={x|1＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．
（2）∵B?A，∴當B=?，即2m-1≥m+1，即m≥2時符合題意；當B≠?時，有?，解得-1≤m＜2．
綜上，實數m的取值范圍是[-1，+∞）．
29. 設集合，或．若，求實數a的取值范圍；
若，求實數a的取值范圍．
【答案】解：（1）集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}，若A∩B=?，則
解得：0≤a≤1，實數a的取值范圍時[0，1]；
（2）∵若A∪B=B，∴A?B，則a+1≤-1或a-1≥2，解得：a≤-2或a≥3，則實數a的取值范圍為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
30. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一個元素，試求a的值，并求出這個元素；（2）若A是空集，求a的取值范圍；（3）若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．
【答案】解：（1）若A中只有一個元素，則方程ax2+2x+1=0有且只有一個實根，
當a=0時，方程為一元一次方程，滿足條件，此時x=-，當a≠0，此時△=4-4a=0，解得：a=1，此時x=-1，
（2）若A是空集，則方程ax2+2x+1=0無解，此時△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一個元素，則A為空集，或有且只有一個元素，
由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是：a=0或a≥1.



S

A



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