資源簡介

要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
1
前 言
——由薄到厚，再由厚到薄：分析與綜合，發散與收斂的辯證統一
恒等變形是中學代數的基本功，對形的感覺如對稱性、結構意識在初高中
那種按部就班的教學模式中很難培養。恒等變形能力的缺失會讓學生在選拔考
中難以出類拔萃，在中高考壓軸題上也容易吃虧。面對計算量大，分類討論繁
瑣的題，對于速度慢的孩子不僅時間不夠用，還容易忙中出錯。
小冊子講的是代數、函數以及方程不等式恒等變形的結構意識。
這些內容在小冊子里的講法雖然與課堂上講的不一樣，但講的是同一件事
情。正如一尊美麗的雕像，從不同的角度看，它是不同的，但都是同一尊雕像。
小冊子既注重基礎又側重能力，題目活而不難，巧而不偏，新而不怪。
高觀點低起點，從入門到提高，注重思維，培養創新能力，書中很多解題心法
是提升數學實力的不二法門。
讀完小冊子，回顧一下什么是結構，如何完形填空，核心是有相同特征的
數或式子配對。這些東西你弄清楚后，便會發現小冊子里講的東西并不多，它
們之間的邏輯關系很簡單。如果你把所有的例題仔細研讀完，便會發現這不多
的基本知識，應用起來卻很廣泛，用得好能幫你解決不少問題。
學數學就是由少到多，再由多到少的過程，這與讀書先由薄到厚，在由厚
到薄是一樣的道理。剛開始學新東西容易眼花繚亂，等學通了想透了，你會發
現基本的觀點并不多，抓住這么幾點感覺就到位了；更進一步，應用你學到的
基本原理去解決問題，你會發現基本原理只有那么幾條，應用起來卻變化無窮，
而你不知道的知識卻如汪洋大海，茫茫無邊，這就是知道的越多，不知道的就
越多的道理。但你不必深陷題海，應當進入下一個學習周期，去學習新的內容。
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
2
目 錄
前 言：由薄到厚，再由厚到薄——分析與綜合，發散與收斂的辯證統一
第一章：有理數計算入門心法——找片段、定符號、代數和
第二章：整式加減入門與提高——一步去三重括號、結構意識訓練
第三章：一元一次方程結構意識訓練
第四章：一元一次不等式結構意識訓練與檢查方法
第五章：整式乘法結構意識訓練與特殊值代入檢驗法
第六章：尋找阿喀琉斯之踵——在等待中尋找簡算機會。
第七章：綜合除法，待定系數法與雙十字相乘法——結構意識的綜合提高
第八章：因式分解之輪換對稱——結構意識培養的巔峰
第九章：較繁瑣的整式乘除——交叉線口算各項系數
第十章：分式——消元、換元、對稱性是必殺技
第十一章：分式難題突破——利用輪換對稱破了沖虛道長的太極劍
第十二章：二次根式——消元、換元、配共軛是好手段
第十三章：函數與二次不等式——口算函數解析式和不等式解集
第十四章：三角函數——消元、換元、記住常用數據是縱云梯
第十五章：綜合題——分析結構，填系數，整理結果三步舞曲
第十六章：關于數感的一些問題
附 錄：初高中數學知識存在的“脫節”
后 記：氣蒸云夢澤，波撼岳陽城
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
3
第一章：有理數計算入門心法
單看加減乘除簡單，但綜合起來未必簡單，主要體現在符號糅雜的復雜題。
計算題帶上了絕對值，準確度就會成問題。加減整體去括號的方法是數括號外
負號個數，奇負偶正；乘除同級去括號的方法是數括號外除號個數，奇除偶乘。
找片段，定符號，代數和，這是結構意識的入門功夫，必須修煉到位。
例 1： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?4673
2020
3125
5
1654321 ?????
?
?
?
?
????????
分析：此題我們首先找片段 ? ? ? ?? ?? ?654321 ????? 和 ? ? ? ?4673
2020
3125
5
1
?????
?
?
?
?
???
我們把兩個大片段的符號確定第一個顯然為正，第二個負因數為奇數個積為負。
①常規方法：第一個片段我們設法直接化歸為連乘
? ? ? ?? ?? ?
5
36
6
5
4
1
3
21
6
54
3
21
6
54
3
21654321 ??
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????????
深入思考 ? ? ? ? cbabcacbacba ????????? 這是乘除同級去括號的方法。
我們數除號個數奇除偶乘：2是÷，3是÷，4外面的除號個數 2個是÷，5是
÷因為外面 3個除號，6是÷，然后化歸到連乘
5
366
5
143
2
11 ??????
②第二個片段要配對： ? ? ? ?
5
81815
5
13125
5
1 2019
2020
4673
2020
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
????????
?
?
?
?
???
③再代數和： 9
5
81
5
36815
5
16
5
143
2
11 2019
2020
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????????原式
注：代數和就是省略了加號和括號，包括后面的整式加減都是帶符號走的。
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
4
第二章：整式加減入門與提高
做整式加減很簡單就是去括號合并同類項，對于很多學生來說必然是去小
括號，中括號，大括號依次進行的，邊去括號邊合并會更好。對于連貫性好的
學生來說一次去掉三重括號是很簡單的事情。有的學生甚至可以把去三重括號
與合并同類項同時進行。
快速處理整式加減三步曲（目的是為了培養結構意識）：
1.找出同類項 2.合并同類項 3.用常規方法或特殊值代入驗算。
例 1： ? ? ? ?? ?? ? .24325012 222222 的值，求若 baababbaabba ????????
化簡：
①確定有幾種類型的項：第一類 2ab 3個；第二類 ba2 2個.
②每類求系數代數和確定同類項系數：
? ? ? ? 222 422435 abbaab ???????原式 812 顯然 ?????? 代入得上式，ba
例 2： ? ? ? ?? ?? ? .35.12223032 22222 的值，求若 ababbaababbaba ?????????
先化簡：
①確定有幾種類型的項：第一類 ba2 2個；第二類 2ab 2個；第三類 ab 2個.
②每類求系數代數和確定同類項系數：
? ? ? ? ? ? ababbaababba 373143463 2222 ???????????原式
108181263632 顯然 ???????? 代入得上式，ba
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
5
第三章：一元一次方程結構意識訓練
一元一次方程的同類項就兩類，配對的原則：把相同特征的數或式子配對，
培養學生解方程結構意識三步曲：
①去括號與移項：把簡單方程化為最簡方程 bax ? ，確定 a和b
②最小公倍數法去分母與合并同類項 ③系數化為 1（1.定號 2.搞清楚誰除以誰）
例 2：
6
5
3
5
3
2
4
1
3
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??? xxxx
常規方法分析 1：
①兩邊同時乘 2去掉大括號同時去掉小括號得：
3
52
3
5
6
1
4
1
3
1
????
?
?
?
?
? ??? xxxx
②同時正（合并）逆（移項）向思維結合得：
3
102
6
1
4
3
3
1
???
?
?
?
?
? ?? xxx
③用整體 ?
?
?
?
?
? ??
6
1
4
3
3
1 xa 意識倒推得：
3
10
18
1
4
1
???? xx
④移項合并求解：
45
122
3
61
4
5
???? xx 解得：
結構意識訓練法分析 2：
①找出同類項系數代數和，移項的變號：
6
5
36
1
6
51
24
1
6
1
2
1
????
?
?
?
?
? ??? x
②兩邊 72倍最小公倍數法： 12245 ?? x
③系數化為 1：
45
122
??x
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
6
第四章：一元一次不等式結構意識訓練與檢查方法
去分母 去括號 移項 合并同類項 系數化 1
方程 等式性質 2 乘法分配律 等式性質 1 乘法分配律
逆運算
等式性質 2
不等式 不等式性質 2 不等式性質 1 不等式性質
2（分正負）
共性在于端點，而不同在于開口，也就是最后一步：系數化為 1
例 1： ? ?
4
132
8
13 ?
??
? xx
＜
常規方法分析 1：
①兩邊 8倍得： 22241633 ???? xx ＜
②合并同時移項：
5
775196223 ＜＜＜ xxxx ????
結構意識訓練法分析 2：
①擺結構： 2
8
3
4
13
4
1
8
3
????
?
?
?
?
? ? ＜x ②兩邊 8倍：
5
775 ＜＜ xx ?
★我們對比方程：
? ?
4
132
8
13 ?
???
? xx
①擺結構： 2
8
3
4
13
4
1
8
3
?????
?
?
?
?
? ? x ②兩邊 8倍：
5
775 ??? xx
☆不等式的檢查注意兩點 1.端點 2.開口
Ⅰ.端點的檢查與方程一致，把
5
7
?x 代入方程和不等式左邊為 2.9，右邊也是 2.9
Ⅱ.不等式開口檢查有兩種方法
A.代入一個解集范圍內不同于端點的數，比如代入 0?x 得：
8
22
8
19左 ?? ，右
開口一致說明沒問題.
B.比較左右系數
4
1
8
3
??? ，右左 ，左邊大開口與原不等式一致，右邊大則相反.
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
7
第五章：整式乘法結構意識訓練與特殊值代入檢驗法
例 1：先化簡，再求值 ? ?? ? ? ? ? ?
3
112152323 2 ???????? xxxxxx ，其中
常規方法分析 1：
? ?? ? ? ? ? ?
59
1445549
12152323
222
2
??
???????
??????
x
xxxxx
xxxxx
8
3
1
???? 時，原式當x
結構意識訓練法分析 2：
化簡結果是關于 cbxaxx ??2的二次三項式
抽象出三個意群：① ? ?? ?2323 ?? xx ② ? ?15 ?? xx ③ ? ?212 ?? x
依次確定：
①二次項系數： 0459 ??? ②一次項系數： 945 ?? ③常數項： 514 ????
整理得： 59 ?? x原式
☆計算雖然簡單但容易出錯，建議代入特殊值驗算。把 1??x 代入化簡后得 14? ，
代入化簡前得： ? ? ? ? ? ? 14910592551 ???????????? ，這樣可以保證準確率。
意群：
句子中按意思和結構劃分出的各個成分，每一個成分對應一個意群。意群
是概念的組合，根據一定的關系組合在一起。意群的存在讓我們更易理解和學
習。比如，一滴墨水掉在書上，有一兩個字看不清，但這不妨礙你對閱讀內容
的理解，這是由于意群關系在補足或修正相應的部分；輸入法用意群輸入能高
輸入體驗；閱讀中，讀意群可以把幾個詞一眼看下來，閱讀速度會成倍地提高。
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
8
第六章：尋找阿喀琉斯之踵
這個意識在恒等變形中是最不好練的，看起來容易，做起來卻非常難。
例 1：
22
13
9
13
6
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
常規做法分析 1：
169
117
169
8136
13
9
13
6 22
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
看不出約 13是數感不到位。
139211412111791179711139117 22 ??????????? 的倍數）②是，表明（①
數字大寫著不動意識分析 2： ? ?
13
932
13
3
13
9
13
6 22
222
????
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
注：計算中要善于尋找阿喀琉斯之踵，主動制造破綻，就需要具備有公因數就
提和數字大寫著不動的意識，
阿喀琉斯是凡人珀琉斯和海洋女神忒提斯的兒子。忒提斯為了讓兒子煉成
"金鐘罩"，在他剛出生時就將其倒提著浸入冥河，遺憾的是，阿喀琉斯被母親
捏住的腳后跟卻不慎露在水外，全身留下了唯一的弱點。后來在特洛伊戰爭中，
被帕里斯用毒箭射中了腳后跟而死去。
“阿喀琉斯之踵”譬喻這樣一個道理:再強大的英雄，他也有致命的死穴或軟肋。
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
9
第七章：綜合除法，待定系數法與雙十字相乘法——綜合提升
例 1： 233 ?? xx
①長除法（ 是原式的一個因式，可知， 10原式1令 ??? xx ）：
0
22
22

3

2301
2
2
2
23
23
2
??
??
?
?
?
????
??
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
? ?? ? ? ? ? ?2121 222 ???????? xxxxx原式
②綜合除法：
0 2 1 1
2 1 1
2 3 0 1
1
，，，
，，
，，，
?
??
?
? ?? ? ? ? ? ?2121 222 ???????? xxxxx原式
綜合除法與長除法算理是一致的：減去一個數就是加上它的相反數。
綜合除法的優勢是過程簡化，快速計算，占用空間小。
③待定系數法：
? ?? ?
? ?? ? ? ? ? ?2121101
21
10原式1令
222
2
????????????
?????
???
xxxxxaa
axxx
xx
原式，對比二次項系數易知
設原式
是原式的一個因式，可知，
④數感強的學生可以一眼看出兩個因式：
? ?? ?
? ?
? ? ? ?21
11212
210原式21令
2
23
????
??????????
???????
xx
xAxxxA
Axxxx
原式
，；是一個一次式，而易知
，則可設原式均為或
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
10
第八章：因式分解之輪換對稱——結構意識培養的巔峰
輪換式未必對稱，但對稱式必定輪換。
展開多項式時，如果心中有了輪換對稱的感覺，解決問題就會特別簡單。
例 1： ? ? ? ? ? ?222222 xzzxzyyzyxxy ?????因式分解：
分析：
這個式子是 4次輪換對稱式，顯然有因式： ? ?? ?? ?xzzyyx ??? 。
余下的是一次三字母輪換對稱式（其實可以理解輪換對稱式的性質：變形前后
必須都是輪換對稱的結構）只有 zyx ??
馬上對最高次項待定系數后有： ? ?? ?? ?? ?xzzyyxzyx ???????原式
例 2： ? ? 5555 zyxzyx ?????因式分解：
分析：
顯然有 yx ? 這個因式，由對稱性可知還有因式： zy ? ， xz ? ；
很明顯展開后式子 zyx 、、 的 5次方都抵消了；
余下部分是二次三字母輪換對稱式為 ? ?zxyzxyzyxk ????? 222 ；
? ?? ?? ?? ?zxyzxyzyxxzzyyxk ????????? 222設原式 ；
? ?? ?? ?? ?zxyzxyzyxxzzyyxkzyx ?????????????? 222551 原式可得令
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
11
第九章：較繁瑣的整式乘除——交叉線口算各項系數
用交叉線做多項式乘法，這個功夫事實上就是用雙十字相乘的原理做整式乘除。
例 1： ? ?? ?7553 22 ???? xxxx
分析：明確化簡結構 edxcxbxax ???? 234 雙十字法口算各項系數
? ?
? ? ? ? ? ?
356438
3575 645573
3531715 81315 111
7 5
5 3
234
234
2
2
??????
??????????
?????????????
?
?
xxxx
x
xxx
xx
xx
原式
常數項：系數：
系數：系數：系數：
例 2： ? ?? ?4332 ???? yxyx
分析：明確化簡結構 feydxcybxyax ????? 22 雙十字法口算各項系數
? ?
1256
1243 11341 13342
111 51312y 632
4 3
3 2
22
22
???????
????????????
????????
?
yxyxyx
yx
yxx
yx
yx
原式
常數項：系數：系數：
系數：系數：系數：
例 3： ? ? ? ?? ?51532 2222 ??????? xxxxxx （能力強的也可以一步合并）
5 5 3
1 5 3
22
22
xxxx
xxxx ??
? ? ? ? 5566291256325301662 23424234 ?????????????? xxxxxxxxxxx原式
例 4： ? ? ? ?44 32 ??? xx
? ? ? ?
97767842
8110854121632248
9644
234
234234
2222
?????
??????????
??????
xxxx
xxxxxxxx
xxxx原式
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
12
第十章：分式——消元、換元、對稱性是必殺技
例 8： 1111 222 ?????? zyx
x
z
z
y
y
xzyx 求證：且為互不相等的非零實數、、已知
分析：本題 zyx 、、 具有輪換對稱的特點,我們不妨先看二元的情形，即
? ? ? ?
）也類似（代數孿生問題類似，證明的思路應該，而三元與二元的結構
解：
求證且為互不相等的非零實數、令
1
011111
111
22
22
??
????
?
?
?????????????
????
yx
yx
yx
xyxyxyyxxy
yx
yx
x
y
y
x
yx
x
y
y
xyx
1
111
222 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
zyx
xz
yxxy
zy
xzzx
yx
zyyz
x
z
z
y
y
x
③得②①
③②①可得：證明：由
說明：
①這種欲進先退的解題策略經常被用于探索解決問題的思路中，也就是華羅庚
的退步解題法：復雜的問題要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性
的地方，是學好數學的一個訣竅。
說得更簡單一點就是盯住目標，使目標特殊化。
②另外恒等式證明的關鍵在于代數式的變形技巧，要在明確變形目的的基礎上，
深刻體會常用的變形技巧和方法，這對今后的數學學習有著重要的意義。
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
13
第十一章：分式難題突破——利用輪換對稱破了沖虛道長的太極劍
例 3： 1
222
222222222
?
??
?
??
?
??
ca
bac
bc
acb
ab
cba
.11
222
222222222
?
??????
，另一個式子的值為其中有兩個式子的值為、、求證：
ca
bac
bc
acb
ab
cba
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
.11
222
1
22
1
2
1
22
0
0
02
2
1
222
222222222
222222222222222
222222222
222222222
222222222
?
??????
?
?
?
???
?
??
?
?
???
??
???
?
??
??????
????????
???????????
?????????
?
??
?
??
?
??
，另一個式子的值為其中有兩個式子的值為、、
；；
：代入所證三個代數式得不妨設
★
去分母化簡得：證明：
ca
bac
bc
acb
ab
cba
aba
baba
ca
bac
bab
abab
ab
baba
ab
cba
cbacba
bacacbcba
abcbacbacbacbac
abcbacbacbacbac
ca
bac
bc
acb
ab
cba
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?? ? 0
01
2
1

222
????????
???????
??
bacacbcba
cbacba
ab
cba
聯想目標
即
以在猜想時用題目要求證明的結論可假設第一個加式為
來的？這個因式分解怎么看出★注：
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
14
第十二章：二次根式——消元、換元、配共軛是必殺技
例 2： 1111000202120192017 222 ????????
zyx
zyxzyx 且，，，已知
202120192017202120192017 ????? zyx求證：
分析：連等式可以考慮引入參數 k換元（換元時必須考慮新元的范圍），左右
變形為同一形式，使等式成立。本題的證明思路是“相向趨進”。
? ?
202120192017202120192017
111202120192017
1112021201920171111
202120192017 202120192017
0 202120192017
222
222
222
??????
???
?
?
??
?
?
?????????
???
?
?
??
?
?
????????????
???????
????
zyx
k
zyx
k
z
k
y
k
x
kzyx
k
zyx
k
z
k
y
k
x
k
zyx
z
k
y
k
x
k
z
kz
y
ky
x
kx
kkzyx
同時
結合
，，；，，
證明：令
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
15
后 記
——氣蒸云夢澤，波撼岳陽城
有理數計算，整式加減乘除，因式分解，分式，二次根式，一元二次方程
這幾個大板塊都涉及計算。簡便計算的意識越強烈，計算能力就越犀利。
簡便計算需要這些意識：1.換元意識：見重復結構就換元，理由是方便計算。
2.配對意識：分母相同，符號相同，能約分，能湊整，整數與整數，分數與
分數，互為相反數的，互為倒數的，同類項，共軛二次根式，次數相同的，整
式和整式，分式與分式，二次根式與二次根式，總之就是把類項相同的數或代
數式放在一起配對，整式計算的經整理得，解方程的三步舞曲都是這么做的。
初中數感心法小冊子醞釀許久，今日橫空出世，作者心中的神采之氣籠罩
著云夢澤，情緒的波濤仿佛能撼動整個岳陽城，學會了這套心法能讓你面對初
高中各種考試時做到氣定神閑，敢于取敵將首級于千軍萬馬之中。
讀完小冊子你的內心會跟作者一樣洶涌澎湃，不讀小冊子你會抱憾終身，
與書中展現的數學之美失之交臂。
如果你是一名學生，志向是考取重點高中、重點大學，從初中開始學習這
本小冊子是你錯不了的選擇，數感的練就不可能一蹴而就，不經一番寒徹骨，
怎得梅花撲鼻香？
如果你是一名中學數學教師，想要訓練學生的恒等變形與結構意識，學習
這本小冊子依然是你錯不了的選擇，數感的訓練需要一幅科學有效的地圖，方
能帶領你馳騁于數學之美的廣闊草原。
小冊子，你值得擁有！匆忙落筆，錯誤之處，望各位朋友不吝指正。
2019年 8月 24日于甬城
要按你想的去生活，否則，你遲早會按你生活的去想。
16
第 1天
1. ? ?
2
1575.6
4
135.0 ???
?
?
?
?
???? 2. 4
3
5
12
5
7
5
5
22
7
5
?????
?
?
?
?
???
3. ? ?415
12
7
5
4
20
3
6
1
????
?
?
?
?
? ???? 4. ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?????
11
5
3
1
22
21166
5. ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??????? 2
2
114.033 3
看我舉重，你是長不出肌肉的。——阿諾德·施瓦辛格
17
第 2天
1. ? ?22 22125.03.0 ????? 2. ? ?
9
20198
2018
3
123
2
1
?
?
?
?
?
???????
?
?
?
?
??
3. ? ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????? 5
5
2175.2
3
133 4. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
? ????
42
1
7
2
14
3
21
1
3
1
5. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
8
11
2
13
3
21
4
11
2
115
總有人要贏，為什么不能是我?——科比·布萊恩特
18
第 3天
1. ? ? ? ? 3222 2233 ?????? 2. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
??????
18
13
13
21
25
445.5
3
22
3. ?
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?? 4.0
3
48
4
3 4. ? ? ? ? ? ?
25.0
1231283 3233 ??????????
5. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????
10
92
5
21
10
91
25
82
5
37
5
312
當你慢到清晰地意識到自己在做什么,就會找到一種安穩平和的狀態，做事
雖然慢,但是很連貫,實際效率并不低,這時候,慢反倒成了快。
19
第 41天
1. 24
5
122
35
6
3
5
2
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? xxx 2. ? ? ? ?1
3
21
2
1
2
1
????
?
??
? ?? xxx
3.
2021
2022
2019
2020
2017
2018
2015
2016 xxxx ?
?
?
?
?
?
?
4. 10
07.003.0
21.7
??
? xxx
? ? ? ? ? ?
? ?cdba
bcba
???
????????????????
求
，，，已知： 43214321432143215.
假如你和另外一個人住在一起，你應該和他約定：一旦你們當中有人開始責備
對方，你們將馬上終止爭辯。 ——列夫·托爾斯泰
20
第 42天
1. 22222
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?x 2. ? ? ? ? 36
6
16
3
1
2
1
?????
?
??
? ??? xxxx
3. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
3
7102
2
1
6
3
3
1
3
112 xxxxx 4. 1
5
41
3
12
?
?
?
? xx
? ? ? ? ? ?
? ?dcab
bcba
???
????????????????
求
，，，已知： 54325432543254325.
真理不在蒙滿灰塵的權威著作中，而是在宇宙、自然界這部偉大的無字書中。
——伽利略
21
第 43天
1. ? ?
2
2
3
35
5
4 ?
?
?
???
? xxxx 2. 1
6
25
5
112
?
?
?
? xx
3. 33333
3
1
3
1
3
1
3
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?x 4. 3
05.0
1.01.0
2.0
2
?
?
?
? xx
? ? mxxxmxmx 的解相等求與的方程關于 1
3.0
28.1
2.0
52
3
105. ??????
改善你自己好了，那是你為改善世界能做的一切。——維特根斯坦
22
第 91 天
因式分解：
1. 23 23 ??? xxx 2. 262 234 ???? xxxx
3. 6542 22 ????? yxyxyx 4. ? ?? ? abba 411 22 ???
5. ? ?? ? 84333 22 ????? xxxx 6. ? ?? ? 9038423 22 ????? xxxx
完美是優秀的敵人。——伏爾泰
23
第 92天
因式分解：
1. xx ??? 126 2 2. ? ?? ?? ? 9195272 2 ???? xxx
3. ? ? ? ?? ? 614376 2 ???? xxx 4. ? ?? ?? ?? ? 25113121616 ????? xxxx
5. 12222 22224444 ??????? yyxyxyxyxx
通常對別人沒有耐心的人，對自己也沒有耐心。
24
第 93天
因式分解：
1. ? ? ? ? 8235 44 ???? xx
2. 653856 234 ???? xxxx 3. 676376 234 ???? xxxx
4. ? ? ? ?22222 4 yxxyyxyx ????
5. ? ? 171 44 ??? xx 6. 1262 234 ???? xxxx
面對痛苦的感受,我們常常躲避，關閉了自己的感覺通道,這樣遠離了痛苦,
也遠離了生命的完整。還有一類人,他們把一切苦樂,都視為生命中獨一無二
的體驗，來了就迎,體味其中的千般滋味，走了就送,從此不再悲戚掛懷。
25
第 121天
1.
? ?
1
12
122
1
122
1
2
2
23
3
23
3
?
?
?
???
?
?
???
?
x
x
xxx
x
xxx
x
2.
abbcacc
ba
acabbcb
ac
bcacaba
cb
???
?
?
???
?
?
???
?
222
3. ._______543
222
?
??
??
?
?
?
?
? xzyzxy
zyx
xzzyyx
，則已知
4. ._____
5
1
4
1
3
1
的值是，那么，，如果
cabcab
abc
ac
ca
cb
bc
ba
ab
??
?
?
?
?
?
?
總講道理的人,意味著與感覺是分離的。
26
第 122天
1.
1
21
1
4
2
2
?
??
?
?
x
x
x
xx
2.
7
1
6
1
8
1
5
1
?
?
?
?
?
?
? xxxx
3. .
1032
250720694 222
222
的值，求，已知
zyx
zyxzyxzyx
??
??
??????
4. 的值，求若
111
1
??
?
??
?
??
?
cca
c
bbc
b
aab
aabc
5.
? ?? ?? ? .的值，求已知
abc
cacbba
a
cba
b
cba
c
cba ??????
?
??
?
??
厭煩,都是因為感覺不新鮮。感覺新鮮,才有求知欲。知識,從某種程度上說,
是一種新鮮感。怎樣才能感覺新鮮?老祖宗早有定論,就是：活在當下。
27
第 123 天
1.
11
9
15
13
17
15
9
7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
x
x 2.
12
3
1
1
12
2
2 ??
?
?
?
? xxxx
3. .11013 2
22 的值，試求已知： ?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ????
a
a
a
aaa
4. .______
1
383013 2
232 的值是，則若
?
??????
a
aaaaa
5. .1111110 的值，求已知 ?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ????
ab
c
ac
b
cb
acba
初中數感心法
數感訓練單老師出品28
第 1 天
1. ? ?
2
1575.6
4
135.0 ???
?
?
?
?
???? 2. 4
3
5
12
5
7
5
5
22
7
5
?????
?
?
?
?
???
? ? ? ?
4
610
5.55.025.375.6
?
??
????原式
84
85
7
17
12
512
7
5
12
5
12
5
12
5
7
5
12
5
7
5
??????
?
?
?
?
? ?????
??????原式
3. ? ?415
12
7
5
4
20
3
6
1
????
?
?
?
?
? ???? 4. ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?????
11
5
3
1
22
21166
63548910
60
12
760
5
460
20
360
6
1
60
12
7
5
4
20
3
6
1
?????
????????
??
?
?
?
?
? ????原式
121
3022129
11
566
3
166
22
4366
??
????
???????原式
5. ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??????? 2
2
114.033 3 3.30
10
330
2
1
2
3
5
2327 ????
?
?
?
?
? ???????原式
組字畫：安身立命
第 2 天
1. ? ?22 22125.03.0 ????? 2. ? ?
9
20198
2018
3
123
2
1
?
?
?
?
?
???????
?
?
?
?
??
25
9
4
128
100
9
???????原式
3
2
3
12
3
132
2
1 82018
????
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ??原式
3. ? ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????? 5
5
2175.2
3
133 4. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
? ????
42
1
7
2
14
3
21
1
3
1
15
8
5
1
5
7
7
1
5
2
3
100
????????原式 919214 ?????原式
5. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
8
11
2
13
3
21
4
11
2
115
10
9
8
4
3
9
812
9
8
5
3
4
5
2
13
2
115 ????????
?
?
?
?
????
?
?
?
?
? ????原式 組字畫：氣象萬千
初中數感心法
數感訓練單老師出品29
第 3 天
1. ? ? ? ? 3222 2233 ?????? 2. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
??????
18
13
13
21
25
445.5
3
22
228499 ???????原式
9
64
18
55
13
15
25
104
11
2
3
8
??????原式
3. ?
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?? 4.0
3
48
4
3 4. ? ? ? ? ? ?
25.0
1231283 3233 ??????????
7.43.016 ??????原式 47
4
189227 ????????原式
6. ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?????
10
92
5
21
10
91
25
82
5
37
5
312
5
144
29
10
7
5
19
10
25
58
5
38
5
63
?????????原式 組字畫：百戰百勝
第 41天
1. 24
5
122
35
6
3
5
2
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? xxx 2. ? ? ? ?1
3
21
2
1
2
1
????
?
??
? ?? xxx
4
9
?x 2.2?x
3.
2021
2022
2019
2020
2017
2018
2015
2016 xxxx ?
?
?
?
?
?
?
4. 10
07.003.0
21.7
??
? xxx
1?x
17
14
?x
? ? ? ? ? ?
? ?cdba
bcba
???
????????????????
求
，，，已知： 43214321432143215.
256
1
?原式 組字畫：奴顏媚骨
第 42天
1. 22222
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?x 2. ? ? ? ? 36
6
16
3
1
2
1
?????
?
??
? ??? xxxx
84?x
17
14
?x
3. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
3
7102
2
1
6
3
3
1
3
112 xxxxx 4. 1
5
41
3
12
?
?
?
? xx
2
1
?x
2
7
?x
初中數感心法
數感訓練單老師出品30
? ? ? ? ? ?
? ?dcab
bcba
???
????????????????
求
，，，已知： 54325432543254325.
625?原式 組字畫：雄鷹翱翔
第 43天
1. ? ?
2
2
3
35
5
4 ?
?
?
???
? xxxx 2. 1
6
25
5
112
?
?
?
? xx
6?x
2
1
??x
3. 33333
3
1
3
1
3
1
3
1
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?x 4. 3
05.0
1.01.0
2.0
2
?
?
?
? xx
603?x
3
11
?x
? ? mxxxmxmx 的解相等求與的方程關于 1
3.0
28.1
2.0
52
3
105. ??????
? ? 852
3
106.0
6.046.33
0.1
3
28.1
2
1
3.0
28.1
2.0
????????
????
?
?
???
?
?
mxmxmx
xxx
xxxx
代入
解：
組字畫：一網打盡
第 91 天
1. 23 23 ??? xxx 2. 262 234 ???? xxxx
? ? ? ?
? ?? ?123
12
2
233
????
?????
xxx
xxxx原式 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?12211112
12122
2222
224
?????????
??????
xxxxxxx
xxxxx原式
3. 6542 22 ????? yxyxyx 4. ? ?? ? abba 411 22 ???
? ?? ?322 ????? yxyx原式
? ? ? ? ? ?? ?111
41
22
2222
???????????
?????
baabbaabbaab
abbaba原式
5. ? ?? ? 84333 22 ????? xxxx
? ? ? ? ? ?? ?? ?14532033 2222 ?????????? xxxxxxxx原式
6. ? ?? ? 9038423 22 ????? xxxx
初中數感心法
數感訓練單老師出品31
? ?? ?? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?? ?72112528452552
9025235290321221
2222
22
??????????
????????????
xxxxxxxx
xxxxxxxx原式
組字畫：一分為二
第 92天
1. xx ??? 126 2
? ?? ?3243 ???? xx原式
2. ? ?? ?? ? 9195272 2 ???? xxx
? ?? ?? ?? ? ? ?? ?
? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?827248228210109133
182
9115221291335272
222
2
22
?????????????????
???
????????????
xxxxxxxxaaaa
axx
xxxxxxxx
均值換元法令
原式
3. ? ? ? ?? ? 614376 2 ???? xxx
? ?? ?
? ? ? ?? ?? ?
? ?? ? ? ?? ?? ?532319281210219192812
47323346112
6473498436
222
2
22
??????????
??????????
??????
xxxxxxxx
axxaaaa
xxxx
換元令
原式
4. ? ?? ?? ?? ? 25113121616 ????? xxxx
? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2222
22
3162458123255416
25123181216
????????????
??????
xxaaxxaa
xxxx
令
原式
5. 12222 22224444 ??????? yyxyxyxyxx
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?1111111
1121
2222
22224
??????????????
??????
xxyxxyyxxyxyyx
yyxyx原式
組字畫：日上三竿
第 93天
1. ? ? ? ? 8235 44 ???? xx
? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?? ? ? ?? ?? ?26862216552262
526262462482350
62131382
22
44
4444
???????????????
????????
?????????
xxxxaxaxxxx
x
xx
原式，令設原式
確定常數項：令
必有因式
2. 653856 234 ???? xxxx 3. 676376 234 ???? xxxx
初中數感心法
數感訓練單老師出品32
? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?? ?? ?212313
2523103
501516
22
2222
?????
?????
?????
xxxx
xxxx
xxxx原式 ? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?? ?? ?212313
232383
241716
22
2222
?????
?????
?????
xxxx
xxxx
xxxx原式
4. ? ? ? ?22222 4 yxxyyxyx ????
? ? ? ? ? ? ? ?222222222222 42 yxyxyxyxxyyxxyyx ??????????原式
5. ? ? 171 44 ??? xx 6. 1262 234 ???? xxxx
? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?4212
21212117
2
4444
??????
????????
xxxx
xx
原式
必有因式 ? ? ? ?
? ?? ?22
2222
114
8121
????
?????
xxx
xxxx原式
組字畫：門當戶對
第 121天
1. ? ?
1
12
122
1
122
1
2
2
23
3
23
3
?
?
?
???
?
?
???
?
x
x
xxx
x
xxx
x
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ? 0
1
12
11
11
11
11
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
???
???
?
???
???
?
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
原式
2.
abbcacc
ba
acabbcb
ac
bcacaba
cb
???
?
?
???
?
?
???
?
222
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
acbcacabcbcaba
bcac
acbc
abcb
cbab
caba
baca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
???
?
??
???
?
2111111
原式
3. ._______543
222
?
??
??
?
?
?
?
? xzyzxy
zyx
xzzyyx
，則已知
11
14
3
2
5
4
3
222
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
zxyzxy
zyx
kz
ky
kx
kxz
kzy
kyx
令
4. ._____
5
1
4
1
3
1
的值是，那么，，如果
cabcab
abc
ac
ca
cb
bc
ba
ab
??
?
?
?
?
?
?
初中數感心法
數感訓練單老師出品33
6
1
111
16111
511
411
311
5
1
4
1
3
1
?
??
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cba
cabcab
abc
cba
ac
cb
ba
ac
ca
cb
bc
ba
ab
解
組字畫：言不由衷
第 122天
1.
1
21
1
4
2
2
?
??
?
?
x
x
x
xx 2.
7
1
6
1
8
1
5
1
?
?
?
?
?
?
? xxxx
2
1
??x
2
31
??x
3. .
1032
250720694 222
222
的值，求，已知
zyx
zyxzyxzyx
??
??
??????
13
1032
25
3
2
072
0694
222
222
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
zyx
zyx
zx
zy
zyx
zyx
解：
4. 的值，求若
111
1
??
?
??
?
??
?
cca
c
bbc
b
aab
aabc
1
111
?
??
?
??
?
?? cca
c
bbc
b
aab
a
5.
? ?? ?? ? .的值，求已知
abc
cacbba
a
cba
b
cba
c
cba ??????
?
??
?
??
? ?? ?? ? 1801 ???????????
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
???
?
??
?
??
或或
解：令
abc
cacbbacbak
ckcba
bkcba
ckcba
k
a
cba
b
cba
c
cba
組字畫：牢不可破
第 123 天
1.
11
9
15
13
17
15
9
7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
x
x
2.
12
3
1
1
12
2
2 ??
?
?
?
? xxxx
13?x 原方程無解為增根??
2
1x
初中數感心法
數感訓練單老師出品34
3. .11013 2
22 的值，試求已知： ?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ????
a
a
a
aaa
15537131013
2111111
2
22
2
2
2
2
2
?????????????
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
? ?
原式而
解：
a
a
a
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
4. .______
1
383013 2
232 的值是，則若
?
??????
a
aaaaa
? ? 21112
3
3183
1
383 222
23 ???????????
?
???
a
a
a
aa
a
aaa
a
aaa解：
5. .1111110 的值，求已知 ?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ????
ab
c
ac
b
cb
acba
3111111 ?????????
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
? ?
a
cb
c
ba
b
ca
ab
c
ac
b
cb
a解：
組字畫：目中無人

展開更多......

收起↑