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46、幾何公式
　　【平面圖形計算公式】一般的平面圖形計算公式，如下表。
　
　
　　【立體圖形計算公式】
　　(1)柱體公式。
　

　　（2）錐體公式。
　　正n棱錐（如圖1．13）的公式：
　　
　　圓錐的公式（圓錐如圖1．14所示）：
　
　　　

　　（3）棱臺、圓臺公式。

　　正n棱臺（如圖1．15）的公式：
　　
　　圓臺（如圖1．16）的公式：

　　　
　　（4）球的計算公式。
　　球的圖形如圖1．17所示。

　　S表=4πr2；
　　
　　附錄：其他常用公式
　　【整數(shù)約數(shù)個數(shù)公式】一個大于1的整數(shù)，約數(shù)的個數(shù)等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中，每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（指數(shù)）加1的連乘積。
　　例如，求4500的約數(shù)個數(shù)。
　　解 ∵4500=22×32×53
　　∴4500的約數(shù)個數(shù)是
　　（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（個）。
　　【約數(shù)之和的公式】一個大于1的自然數(shù)N，將它分解質(zhì)因數(shù)為

為自然數(shù)，則N的所有約數(shù)的和為S（N），可用下列公式計算：
　　
　　例如 求1992的所有約數(shù)的和。
　　解 S（1992）=S（23×31×831）
　　
　　=5040．
　　【分數(shù)拆項公式】在奧賽中，為使計算簡便，經(jīng)常用到下面四個分數(shù)拆項公式：
　　（1）連續(xù)兩個自然數(shù)積的倒數(shù)，可拆成較小的自然數(shù)的倒數(shù)，減去較大的自然數(shù)的倒數(shù)。即
　　　
　　（2）連續(xù)三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前兩個自然數(shù)的積的倒數(shù)，減去后兩個自然數(shù)的積的倒數(shù)的差的一半。即
　　
　　（3）連續(xù)四個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，
　　
　　（4）一般分數(shù)拆項公式。當n、d都是自然數(shù)時，有
　　
　　【堆垛計算公式】
　　（1）三角形堆垛。計算每堆三角形物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是
　　　
　　例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底邊每邊4個，頂尖1個（如圖1．18）。桔子總數(shù)是多少個？”

　　解 依據(jù)三角形堆垛公式，得
　　
　　=20（個）。
　　（2）正方形堆垛。計算底層為正方形的堆垛物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)n乘以底邊數(shù)加0．5的和，再乘以底邊個數(shù)加1的和，最后將乘積除以3。用式子表示，就是
　　
　　例如，“一些蘋果堆成正方形堆垛（如圖1．19），底層每邊放4個，頂尖放一個。蘋果總數(shù)是多少個？”

　　解 依據(jù)公式，得
　　　　
　　（3）長方形堆垛。計算底層為長方形（近似于橫放的三棱柱形，圖1．20。）的堆垛物體的總個數(shù)S時，可將底層寬邊的個數(shù)n1，長邊的個數(shù)n2，按照下面的公式計算：

　　
　　例如，“有一盤饅頭，底邊寬5個，長邊上放8個，如圖1．20所示，這盤饅頭共有多少個？”
　　解 此題中，n1=5，n2=8。依據(jù)長方形堆垛公式，得
　　
　　=45+55=100（個）
　　或者是
　　　　
　　（4）梯形堆垛。計算梯形的堆垛（近似于棱臺形堆垛）物體總個數(shù)S時，可將最上層總數(shù)S1，加上最下層總數(shù)S2后，乘以層數(shù)n，再除以2。（梯形堆垛如圖1．21所示。）用式子表示就是
　　
　　例如，“一些酒壇，堆成梯形的堆垛（圖1．21），最上層為32只，最下層為45只，共堆有14層（每層差1只）。酒壇的總數(shù)是多少只？”

　　解 依計算公式，得
　　
　　【數(shù)線段條數(shù)的公式】若線段AB上共有n個分點（不包括A、B端點），則AB線段上共有的線段條數(shù)S，計算的公式是：
　　S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1
　　
　　例如，求下圖（圖1．22）中所有線段的條數(shù)。

　　解 在線段AB上，共有五個分點。根據(jù)數(shù)線條數(shù)的公式，得
　　S=（5+1）+5+4+3+2+1
　　
　　注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．23的三角形個數(shù)。

　　在這個圖形中，因為底邊BC上有4個分點，可依據(jù)數(shù)線段條數(shù)的計算公式，得三角形的個數(shù)為
　　
　　【數(shù)長方形個數(shù)的公式】若長方形的一邊有m個小格，另一邊有n個小格，那么這個圖形中長方形的總個數(shù)S為
　　S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）
　　
　　例如，請數(shù)出下圖1．24中共有多少個不同的長方形。

　　解 長方形ABCD長邊上有6個小格，寬邊上有4個小格。根據(jù)數(shù)長方形總數(shù)的公式，可得
　　
　　=21×10=210（個）。（答略）
　　注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．25中的梯形的個數(shù)。

　　顯然，這個圖形中除了△ADE以外，其余均為大大小小的梯形。
　　最大的梯形下底上有五個小格，腰邊上有4個小格。利用數(shù)長方形個數(shù)的計算公式，可得梯形的總個數(shù)S為
　　
　　=15×10=150（個）。（答略）
　　【數(shù)正方形個數(shù)的公式】若一個長方形的長被分成了m等份，寬被分成了n（n＜m）等份（長和寬上的每一份長度是相等的），那么這個長方形中的正方形總數(shù)S為：
　　S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1
　　特殊的，當一個正方形的邊長被分成n等分時，則這個圖形中正方形的總個數(shù)S為：
　　
　　例1 求下圖中正方形的總個數(shù)（如圖1．26）。

　　解 圖中AB邊上有7個等分，AD邊上有3個等份。根據(jù)在長方形中數(shù)正方形個數(shù)的公式，可得：
　　S＝7×3+6×2+5×1
　　=21+12+5
　　=38（個）。（答略）
　　例2 求下圖（圖1．27）中的正方形有多少個。

　　解 圖形中正方形每邊上有4等分。根據(jù)數(shù)正方形個數(shù)的計算公式，得
　　
　　（答略）
　　【平面內(nèi)n條直線最多分平面部
　　分數(shù)的公式】平面內(nèi)有n條直線，其中注意兩條直線都不平行，每條直線都與其他直線相交，且不交同一點。那么，這幾條直線將平面劃分的部分數(shù)S為
　　
　　例 平面內(nèi)有8條直線，它們彼此都相交，但不交于同一點，求這8條直線能把平面劃分出多少個部分？
　　解 根據(jù)平面內(nèi)n條直線，最多分平面部分數(shù)的計算公式，得
　　S=2+2+3+4+5+6+7+8
　　
　　【n個圓將平面分成最多的部分數(shù)公式】若平面上有n個圓，每個圓都與其他圓相交，且不交于同一點，那么這個圓將平面劃分的最多的部分數(shù)S為
　　S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2
　　=n2-n+2
　　例 在一個平面上有20個圓，這20個圓最多可將平面劃分為多少個部分？
　　解 根據(jù)平面內(nèi)n個圓將平面劃分成最多的部分數(shù)的計算公式，可得
　　S=2+1×2+2×2+…+19×2
　　=202-20+2
　　=400-20+2
　　=382（塊）（答略）
　　【格點面積公式】
　　每個小方格的面積都是1個面積單位的方格紙上，縱橫兩組平行線的交點，叫做“格點”，這樣的方格紙，叫做“格點平面”。
　　在格點平面上求圖形的面積，可以按照上面的公式去計算：
　　圖形面積=圖形內(nèi)部格點數(shù)+圖形周界上的格點數(shù)÷2-1。
　　例 如圖1．28，求格點平面內(nèi)A、B兩個圖形的面積。

　　解 A圖內(nèi)部無格點，B圖內(nèi)部有9個格點；
　　A圖周界上有9個格點，B圖周界上有7個格點。
　　根據(jù)格點面積公式，得：
　　A圖面積=9÷2-1=3.5（面積單位）
　　B圖面積=（9+7）÷2-1=11．5（面積單位）（答略）
　　如果格點是由形如“∴”或“∵”構(gòu)成（如圖1．29），且每相鄰的三點所形成的三角形面積為1的等邊三角形，則計算多邊形面積公式為
　　多邊形面積=2×圖形內(nèi)部格點數(shù)+圖形周界上格點數(shù)-2。

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