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第1章提優測試卷
考試時間：90分鐘 滿分：120分
一、選擇題(每題3分，共30分)
1．下列方程一定是一元二次方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程時，原方程應變形為 （ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的兩實數根，則的值為 （ ）
A．—2 B． C． D．2
4．若一元二次方程的兩根分別是，且，則的值為 （ ）
A．—25 B．—19 C．5 D．17
5．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C．且 D．且
6．已知三角形兩邊的長分別是3和6，第三邊的長是方程的根，則這個三角形的周長等于（ ）
A．13 B．11 C．11或13 D．12或15
7．若方程和有一個公共根，則的值是 （ ）
A．—1 B．1 C．2 D．—1或2
8．把邊長為1的正方形木板截去四個角，做成正八邊形的臺面，設臺面邊長為，可列出方程為（ ）
A． B． C． D．以上結論都不正確
9．如果關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且


10．歐幾里得的《原本》記載，形如的方程的圖解法如下：如圖，畫Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝，再在斜邊AB上截取BD＝．則該方程的一個正根是 （ ）
A．AC的長 B．AD的長 C．BC的長 D．CD的長

第10題 第17題
二、填空題(每題2分，共20分)
11．當__________________時，關于的方程是一元二次方程．
12．一元二次方程的根是______________________．
13．若關于的一元二次方程的兩個根滿足，則這個方程為____________．（寫出一個符合要求的方程）
14．若關于的一元二次方程有實數根，則的最小值為______________________．
15．規定：，如．若，則=_______________________．
16．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為____________________________．
17．如圖，假設秋千的繩索長始終保持直線狀態，OA是秋千的靜止狀態，A是踏板，CD是地
面，點B是推動兩步后踏板的位置，弧AB是踏板移動的軌跡．已知AC＝1尺，CD＝EB=
10尺，人的身高BD＝5尺．設繩索長OA＝OB＝尺，則可列方程為____________________．
18．兩個正方形中，小正方形的邊長比大正方形邊長的一半多4cm，大正方形的面積比小正
方形面積的2倍少32cm2，則大正方形的邊長為_________________cm．
在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，BC＝，AC＝，且是方程的兩實數根，則△ABC的面積為_________________________．

20．規定：用{M}表示大于M的最小整數，例如等，用表示不大于M的最大整數，例如等，若整數滿足關系式：，則=__________．
三、解答題（共70分)
21．(18分)解下列方程：
（1） （2） （3）


（5） （6）



22．(8分)已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）給取一個負整數值，解這個方程．





23．(8分)已知關于的一元二次方程．
（1）若該方程有兩個實數根，求的最小整數值；
（2）若方程的兩個實數根分別為，且，求的值．





24．(8分)某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元，從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份生產收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產收入穩定在3月份的水平．
（1）求使用新設備后，2月、3月生產收入的月增長率；
（2）購進新設備需一次性支付640萬元，使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？(累計利潤是指累計生產收入減去舊設備維護費或新設備購進貨)










25．(8分)某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，
單價每降低1元/個，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低元/個銷售一周后，商店對剩余
旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出．如果這批旅游紀念品共獲利1250元，那么第二周每
個旅游紀念品的銷售價格為多少元？









26．(10分)如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，BD＝2，DC＝3，求AD的長．
小萍同學靈活運用軸對稱知識，巧妙地解答了此題．
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB，AC為對稱軸，畫出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F，延長EB，FC相交于點G，求證：四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD＝，利用勾股定理，建立關于的方程模型，求出的值．




27．(10分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發沿折線
A→B→C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發沿邊CD向點D運動，當其中一個動點
到達末端停止運動時，另一點也停止運動．
（1）兩動點運動幾秒時，四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的？
（2）是否存在某一時刻，點P與點Q之間的距離為cm？若存在，求出運動所需的時間；若不存在，請
說明理由．




第1章提優測試卷
1.C解析:由一元二次方程定義可知選項C正確.
2.B解析:移項,得x2-2x=5.配方,得x2-2x+1=5+
1,即(x-1)2=6
3.A解析:由根與系數關系,得m+n=2,mn=-1,所以
n
4.D解析:解方程x2-8x-33=0,得x1=11,x2=-3.
因為a>b,所以a=11,b=-3,所以a-2b=11-2×
3)=17
5.D解析:2-4ac=(-2)2-4(k+1)×1=4-4
4=-4k.因為一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有兩
個實數根,所以
4k≥0
解得k≤0且k≠-1.
k十1≠0,
6.A解析:解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4.當第
三邊的長是2時,2+3<6,不能構成三角形,應舍去;當
第三邊的長是4時,能構成三角形,三角形的周長為4
3+6=13
7.C解析:設兩個方程的公共根是m,則m2+am+1=0
且m2-m-a=0,所以m2=-am-1且m2=m+a,
所以-am-1=m十a.整理,得(a+1)(m+1)=0.若
a+1=0,則a=-1,此時方程x2十ax+1=0即為
x2-x+1=0,無實數根,所以a≠-1,所以m+1=0,
即
1.代入方程m2+am+1=0,得a=2.
8.C解析:因為正八邊形每個外角是45°,所以從正方形
木板上鋸掉的角的形狀是等腰直角三角形,因為正八邊
形的臺面的邊長為x,正方形的邊長為1,所以等腰直角
三角形的腰長為
2,所以
xY+(2
整理,得(1-x)2=2x2
9D解析:由題意,得b2-4ac=2k+1-4k>0,解得k<
由2十1≥0,得k≥
又k≠0,所以實數k的取
2
值范國是一2≤k<2且k≠0
21.(1)x1=2,x=“L
2,x:=1-2,
10.B解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC
AC-00以AB一AD+BD=AD+號:曲(2“了
內股定理,得AB2=AC2+BC',即(AD+日)=b2+
(5)x1=1,x=3
(2),所以AD+2AD·2×-62+4a,所22(1)由題意得b2-4ac=(-2)2-4(-k-2)>0,解得
以AD2十a·AD=b2,所以方程x2+ax=b2的一個
k>-3故k的取值范圍為k>-3.
正根是AD的長
(2)答案不唯一如:由k>-3,取k=-2,此時方程變
l1.≠2解析:由題意,得k-2≠0,所以k≠2
形為x2-2x=0,解得x1=0,x2=2.
12.x1=0,x2=3解析:由x2-3x=0,得x(x-3)=0,23.(1)由題意,得b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
所以
0
3
3.x2-3x+2=0(答案不唯一)解析:設方程ax2+
解得m≥-4,所以m的最小整數值為一2
bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1,x2.因為x1+x2=
(2)由題意得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2因
3,x1x21=2,所以一b=3,二=2取a=1,則b=-3
為(x1-x2)2+m2=21,所以(x1+x2)2-4x1x2+
21,所以[一(2m+1)]2-4(m2-2)
21.整
c=2,此時方程為x2-3x+2=0
理,得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.由(1),
4解析:由題意,得b2-4a=42-4(-k)≥0,解得
k≥-4,所以是的最小值為-4
所以m的值為2.
5.1或一3解析:由題意,得(2十x)x=3,所以x2+24.(1)設2月3月生產收入的月增長率為x由題意,得
2x=3,所以(x+1)2=4,所以x1=1,x2=-3
100+100(1+x)+1001+x)2=364解得x=0.2或
7
6z解析:因為方程2x2-2mx-4m+1=0有兩個
x=-3.2(不合題意,舍去)故2月、3月生產收入的
增長率是20%
相等的實數根,所以b2-4ac=(-2m)2-4
(2)設使用新設備y個月后該廠所得累計利潤不低
2(-4m+1)=4m2+8m-2=0,所以4m2+8m=2,
于使用舊設備的累計利潤.由題意,得364+100(1+
20%)2(y-3)-640≥(90-5)y解得y≥12故使用新
所以m2+2m=2,所以(m-2)2-2m(m-1)=m2
設備12個月后,該廠所得累計利潤不低于使用舊設備
4m+4-2m2+2m=-m2-2m+4=-(m2+2m)+
的累計利潤
1
25.由題意,得200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+
(4-6)×[600-200—(200+50x)]=1250整理,得
7.102+(x-4)2=x2解析:由題意,得AE=CE
x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,則10-1=9(元)故
AC=BD-AC=4尺,所以OE=OA-AE=(x-4)
第二周每個旅游紀念品的銷售價格為9元
尺由勾股定理,得EB2+OE=OB2,即102+(x-26.(1)由題意,得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF所
4)2
以∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC.又∠BAC
6解析:設大正方形的邊長為xcm,則小正方形的45,所以∠EAF=90又AD⊥BC,所以∠E
邊長為(+4)m由題意得x=2(2x+4)
∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°,所以四邊形AEGF
是矩形又AE=AD,AF=AD,所以AE=AF,所以四
32,解得x1=16,x2=0(不合題意,舍去).故大正方形
邊形AEGF是正方形
的邊長為16cm.
(2)設AD=x,則AE=EG=GF=x.因為BD=2,
6解析:因為斜邊AB=5,所以a2+b2=25.因為a2+
DC=3,所以BE=2,CF=3,所以BG=x-2,CG
b2=(a+b)2-2ab,所以(a+b)2-2ab=25①因為a,
x-3在Rt△BC中,BG2+CG2=BC2,所以
b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的兩實數根,所
2)2+(x-3)2=52化簡,得x2
6=0,解得
a+b=m-1②,ab=m+4③.由①②③解得m=-4
6,x2=-1(舍去),即x的值是6
或m=8.當m=-4時,ab=0,所以a=0或b=0(不27.(1)設兩動點運動xs時,四邊形PBCQ的面積是矩形
合題意,舍去)所以m=8,所以△ABC面積為-ab
ABCD面積的由題意,得BP=(6-2t)cm,CQ=
2×(8+4)=6.
tcm,矩形的面積為12cm2,則有÷(t+6-2t)×2
8或2解析:由題意,得(x+1)2+4x=17整理,得
x2+6x-16=0,解得
12×,解得t=2,即兩動點運御了時滿足題意

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