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導數大題的常用找點技巧和常見模型
引子：（2017年全國新課標 1·理·21）已知 .
（1）討論 的單調性；
（2）若 有兩個零點，求 的取值范圍.
解析：（1）
若 ，則 恒成立，所以 在 R上遞減；
若 ，令 ，得 .
當 時， ，所以 在 上遞減；
當 時， ，所以 在 上遞增.
綜上，當 時， 在 R上遞減；當 時， 在 上遞減，在 上遞增.
（2） 有兩個零點，必須滿足 ，即 ，且 .
構造函數 ， .易得 ，所以 單調遞減.
又因為 ，所以 .
下面只要證明當 時， 有兩個零點即可，為此我們先證明當 時， .
事實上，構造函數 ，易得 ，∴ ，所以 ，即 .
當 時， ，
，
其中 ， ，所以 在 和 上各有一個零點.
故 的取值范圍是 .
注意：取點過程用到了常用放縮技巧。
一方面： ；
另一方面： 時， （目測的）
常用的放縮公式（考試時需給出證明過程）
第一組：對數放縮
（放縮成一次函數） ， ，
（放縮成雙撇函數） ， ，
， ，
（放縮成二次函數） ， ，
（放縮成類反比例函數） ， ， ，
， ，
第二組：指數放縮
（放縮成一次函數） ， ， ，
（放縮成類反比例函數） ， ，
（放縮成二次函數） ， ，
第三組：指對放縮
第四組：三角函數放縮
， ， .
第五組：以直線 為切線的函數
， ， ， ， .
幾個經典函數模型
經典模型一： 或 .
【例 1】討論函數 的零點個數.
（1） 時，無零點.
， .
（2） 時，1個零點.
， .
（3）當 時，2個零點.
（目測）， ，其中 .（放縮）
.
，其中 .（用到了 ）
（4）當 時，1個零點.
，單調遞增. ，
.
【變式】（經過換元和等價變形之后均可以轉化到例 1： ）：
1.討論 的零點個數（令 ， ）；
2.討論 的零點個數（令 ）；
3.討論 的零點個數（考慮 ）；
4.討論 的零點個數（考慮 ，令 ， ）；
5.討論 的零點個數（令 ， ）；
6.討論 的零點個數（令 ）.
經典模型二： 或
【例 2】討論函數 的零點個數.
（1） 時，1個零點.
， 單調遞增.
且 ， ，所以在 上有一個零點；
（2） 時，無零點.
恒成立；
（3） 時，無零點.
；
（4） 時，2個零點.
， ， .
【變式】（經過換元和等價變形之后均可以轉化到例題 2： ）：
1.討論 的零點個數（令 ， ）；
2.討論 的零點個數（去分母后與 1等價）；
3.討論 的零點個數（移項平方后與 1等價）；
4.討論 的零點個數（移項開方后換元與 1等價）；
5.討論 的零點個數（乘以系數 e，令 ）；
6.討論 的零點個數（令 ，轉化成 2）
7.討論 的零點個數（令 ， ）；
經典模型三： 或
【例】討論函數 的零點個數.
（1） 時，1個零點.
， 單調遞增.
， .
（2） 時，1個零點（ ）.
（3） 時，無零點.
，
（4） 時，1個零點.
.
（5） 時，2個零點.
， ， ，
【變式】（經過換元和等價變形之后均可以轉化到例題 3： ）：
1.討論 的零點個數；
2.討論 的零點個數（考慮 ，令 ）；
3.討論 的零點個數（令 ）；
4.討論 的零點個數；
練習題
1.已知函數 有兩個零點，求 的取值范圍.
2.設函數 ，討論 的導函數 的零點的個數.
3.已知函數 有兩個零點，求 的取值范圍.
4.已知函數 .當 時，試討論 的零點的個數.

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