資源簡介

集合
基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.
集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.
集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.
集合的性質：
①任何一個集合是它本身的子集，記為；
②空集是任何集合的子集，記為；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同時，那么A = B.
如果.
[注]：①Z= {整數}（√） Z ={全體整數} （×）
②已知集合S 中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，則CsA= {0}）
③ 空集的補集是全集.
④若集合A=集合B，則CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐標軸上的點集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的點集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的點集.
[注]：①對方程組解的集合應是點集.
例： 解的集合{(2，1)}.
②點集與數集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 則A∩B =）
4. ①n個元素的子集有2n個. ②n個元素的真子集有2n －1個. ③n個元素的非空真子集有2n－2個.
5. ⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. 否命題逆命題.
②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真. 原命題逆否命題.
例：①若應是真命題.
解：逆否：a = 2且 b = 3，則a+b = 5，成立，所以此命題為真.
② .
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分，又不是必要條件.
⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.
例：若.
集合運算：交、并、補.
主要性質和運算律
包含關系：
等價關系：
集合的運算律：
交換律：
結合律:
分配律:.
0-1律：
等冪律：
求補律：A∩CUA=φ A∪CUA=U (CUU=φ (CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
有限集的元素個數
定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card( A)規定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card((UA)= card(U)- card(A)
(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根軸法（零點分段法）
①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數化“+”；(為了統一方便)
②求根，并在數軸上表示出來；
③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）；
④若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間.
（自右向左正負相間）
則不等式的解可以根據各區間的符號確定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.



二次函數
（）的圖象
一元二次方程
有兩相異實根
有兩相等實根
無實根

R



2.分式不等式的解法
（1）標準化：移項通分化為>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
（2）轉化為整式不等式（組）
3.含絕對值不等式的解法
（1）公式法：,與型的不等式的解法.
（2）定義法：用“零點分區間法”分類討論.
（3）幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之.

映射與函數
映射與一一映射
2.函數
函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.
3.反函數
反函數的定義
設函數的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x=(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=(y) (yC)叫做函數的反函數，記作,習慣上改寫成
（二）函數的性質
⒈函數的單調性
定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函數.
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.
2.函數的奇偶性
7. 奇函數，偶函數：
⑴偶函數：
設（）為偶函數上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于軸對稱，例如：在上不是偶函數.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函數：
設（）為奇函數上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于原點對稱，例如：在上不是奇函數.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函數的定義域是內層函數的值域.
例如：已知函數f（x）= 1+的定義域為A，函數f[f（x）]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關系是 .
解：的值域是的定義域，的值域，故，而A，故.
11. 常用變換：
①.
證：
②
證：
12. ⑴熟悉常用函數圖象：
例：→關于軸對稱. →→

→關于軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的系數之比.
（三）指數函數與對數函數
指數函數的圖象和性質
a>1
0圖
象
性
質
(1)定義域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
(4)x>0時，y>1;x<0時，0(4)x>0時，01.
（5）在 R上是增函數
（5）在R上是減函數
對數函數y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
a>1
0圖
象
性
質
（1）定義域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）過點（1，0），即當x=1時，y=0
（4）時
時 y>0
時
時
（5）在（0，+∞）上是增函數
在（0，+∞）上是減函數
注⑴：當時，.
⑵：當時，取“+”，當是偶數時且時，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）與互為反函數.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
（四）方法總結
⑴.相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取“+”，當是偶數時且時，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）與互為反函數.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.
⑶.反函數的求法：先解x,互換x、y，注明反函數的定義域(即原函數的值域).
⑷.函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變量，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：①f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.
⑻.圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.
等差數列
等比數列
定義
遞推公式
；
；
通項公式
（）
中項
（）
（）
前項和
重要性質
1. ⑴等差、等比數列：
等差數列
等比數列
定義
通項公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中項公式
A= 推廣：2=
。推廣：
性質
1
若m+n=p+q則
若m+n=p+q，則。
2
若成A.P（其中）則也為A.P。
若成等比數列 （其中），則成等比數列。
3
． 成等差數列。
成等比數列。
4
，
5
⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①
②2()
③(為常數).
⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.
ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.
iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.
注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
⑷數列{}的前項和與通項的關系：
[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.
②等差{}前n項和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件.
③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）
2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍；
②若等差數列的項數為2，則；
③若等差數列的項數為，則，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：
⑴生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年后總產量為：
⑵銀行部門中按復利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
5. 數列常見的幾種形式：
⑴（p、q為二階常數）用特證根方法求解.
具體步驟：①寫出特征方程（對應，x對應），并設二根②若可設，若可設；③由初始值確定.
⑵（P、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.
①轉化等差，等比：.
②選代法：
.
③用特征方程求解：.
④由選代法推導結果：.
6. 幾種常見的數列的思想方法：
⑴等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.
⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：
⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3. 在等差數列｛｝中,有關Sn 的最值問題：(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
（三）、數列求和的常用方法
1. 公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用于其中{ }是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
　　　3.錯位相減法:適用于其中{ }是等差數列，是各項不為0的等比數列。
4.倒序相加法: 類似于等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
三角函數 知識要點
1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
②終邊在x軸上的角的集合：
③終邊在y軸上的角的集合：
④終邊在坐標軸上的角的集合：
⑤終邊在y=x軸上的角的集合：
⑥終邊在軸上的角的集合：
⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：
⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：
⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：
⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：
2. 角度與弧度的互換關系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則 ； ； ； ； ；. .
5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函數線
正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.
7. 三角函數的定義域：
三角函數
定義域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函數的基本關系式：


9、誘導公式：
“奇變偶不變，符號看象限”
三角函數的公式：（一）基本關系

公式組二 公式組三

公式組四 公式組五 公式組六

（二）角與角之間的互換
公式組一 公式組二






公式組三 公式組四 公式組五



,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：
（A、＞0）
定義域
R
R
R
值域
R
R
周期性

奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
奇函數
當非奇非偶
當奇函數
單調性
上為增函數；上為減函數（）
；上為增函數
上為減函數
（）
上為增函數（）
上為減函數（）
上為增函數；
上為減函數（）
注意：①與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
②與的周期是.
③或（）的周期.
的周期為2（，如圖，翻折無效）.
④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
⑤當·；·.
⑥與是同一函數,而是偶函數，則
.
⑦函數在上為增函數.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函數，同樣也是錯誤的].
⑧定義域關于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：，奇函數：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函數，是非奇非偶.（定義域不關于原點對稱）
奇函數特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）
⑨不是周期函數；為周期函數（）；
是周期函數（如圖）；為周期函數（）；
的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
11、三角函數圖象的作法：
１）、幾何法：
２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.
３）、利用圖象變換作三角函數圖象．
三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．
函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），
由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）
由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）
由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別。
4、反三角函數：
函數y＝sinx，的反函數叫做反正弦函數，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．
函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反余弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函數y＝tanx，的反函數叫做反正切函數，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．
函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反余切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 競賽知識要點
一、反三角函數.
1. 反三角函數：⑴反正弦函數是奇函數，故，（一定要注明定義域，若，沒有與一一對應，故無反函數）
注：，，.
⑵反余弦函數非奇非偶，但有，.
注：①，，.
②是偶函數，非奇非偶，而和為奇函數.
⑶反正切函數：，定義域，值域（），是奇函數，
，.
注：，.
⑷反余切函數：，定義域，值域（），是非奇非偶.
，.
注：①，.
②與互為奇函數，同理為奇而與非奇非偶但滿足.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函數的解集：
的取值范圍 解集 的取值范圍 解集
①的解集 ②的解集
＞1 ＞1
=1 =1
＜1 ＜1
③的解集：
③的解集：
二、三角恒等式.
組一
組二
組三 三角函數不等式
＜＜ 在上是減函數
若，則
高中數學第五章-平面向量
2.向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：幾何表示法 ；字母表示：a；
坐標表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.?
(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.?
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.?
單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.?
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.?
3.向量的運算?
運算類型
幾何方法
坐標方法
運算性質
向量的
加法
1.平行四邊形法則
2.三角形法則
向量的
減法
三角形法則
,
數
乘
向
量
1.是一個向量,滿足:
2.>0時, 同向;
<0時, 異向;
=0時, .
向
量
的
數
量
積
是一個數
1.時，
.
2.
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.?
(2)兩個向量平行的充要條件?
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.?
(3)兩個向量垂直的充要條件?
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.?
(4)線段的定比分點公式?
設點P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則?
＝＋ (線段的定比分點的向量公式)?
(線段定比分點的坐標公式)?
當λ＝1時，得中點公式：?
＝（＋）或
(5)平移公式
設點P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點P′（x′，y′），
則＝+a或
曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數解析式為：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，?
b2＝c2＋a2－2cacosB，?
c2＝a2＋b2－2abcosC.?
（7）三角形面積計算公式：
設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海倫公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.
如圖：

圖1中的I為S△ABC的內心， S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五個“心”；
重心：三角形三條中線交點.
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.
內心：三角形三內角的平分線相交于一點.
垂心：三角形三邊上的高相交于一點.
旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.
⑸已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]
則：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.
特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）.
⑹在△ABC中，有下列等式成立.
證明：因為所以，所以，結論！
⑺在△ABC中，D是BC上任意一點，則.
證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡
可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中線，；
②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；
③若AD是BC上的高，，其中為半周長.
⑻△ABC的判定：
△ABC為直角△∠A + ∠B =
＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜
＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞
附：證明：，得在鈍角△ABC中，
⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.
空間向量
1．空間向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空間的一個平移就是一個向量
⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
2．空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下
運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3 共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．
4．共線向量定理及其推論：
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
推論：如果為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數t滿足等式
．
其中向量叫做直線的方向向量.
5．向量與平面平行：
已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內，那么我們說向量平行于平面，記作：．
通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
說明：空間任意的兩向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使
推論：空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使或對空間任一點，有 ①
①式叫做平面的向量表達式
7 空間向量基本定理：
如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個
有序實數，使
8 空間向量的夾角及其表示：
已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.
9．向量的模：
設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.
10．向量的數量積： ．
已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.
可以證明的長度．
11．空間向量數量積的性質：
（1）．（2）．（3）．
12．空間向量數量積運算律：
（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．
空間向量的坐標運算
一．知識回顧：
（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：)
②空間兩點的距離公式：.
（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.
②利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序實數對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.
高中數學第六章-不等式
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│?
§06. 不 等 式 知識要點
不等式的基本概念
不等（等）號的定義：
不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.
同向不等式與異向不等式.
同解不等式與不等式的同解變形.
2.不等式的基本性質
（1）（對稱性）
（2）（傳遞性）
（3）（加法單調性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（異向不等式相減）
（6）
（7）（乘法單調性）
（8）（同向不等式相乘）
（異向不等式相除）
（倒數關系）
（11）（平方法則）
（12）（開方法則）
3.幾個重要不等式
（1）
（2）（當僅當a=b時取等號）
（3）如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號）
極值定理：若則：
如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最小；
如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.
（當僅當a=b=c時取等號）
（當僅當a=b時取等號）
（7）
4.幾個著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號）即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：
特別地，（當a = b時，）
冪平均不等式：
注：例如：.
常用不等式的放縮法：①
②
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數
若定義在某區間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸（或凹）函數.
5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根軸法）.
步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.
（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解


（4）.指數不等式：轉化為代數不等式
（5）對數不等式：轉化為代數不等式
（6）含絕對值不等式
應用分類討論思想去絕對值； 應用數形思想；
應用化歸思想等價轉化
注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：
①
②
類似于，③
直線和圓的方程 知識要點
一、直線方程.
1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.
注：①當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.
②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.
2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.
特別地，當直線經過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.
注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.
附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的數值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應的直線也會變化.①當為定植，變化時，它們表示過定點（0，）的直線束.②當為定值，變化時，它們表示一組平行直線.
3. ⑴兩條直線平行：
∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.
（一般的結論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）
推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.
⑵兩條直線垂直：
兩條直線垂直的條件：①設兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件）
4. 直線的交角：
⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉到與重合時所轉動的角，它的范圍是，當時.
⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.
5. 過兩直線的交點的直線系方程為參數，不包括在內）
6. 點到直線的距離：
⑴點到直線的距離公式：設點，直線到的距離為，則有.
注：
兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.
特例：點P(x,y)到原點O的距離：
定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則
特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。
直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:
過兩點.
當（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝，沒有斜率
⑵兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.
注；直線系方程
1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 過定點（x1,y1）的直線系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全為0)
4. 過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：該直線系不含l2.
7. 關于點對稱和關于某直線對稱：
⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.
⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.
若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.
⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.
注：①曲線、直線關于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲線C: f(x ,y)=0關于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圓的方程.
1. ⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線上的 與一個二元方程的實數建立了如下關系：
①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.
②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.
⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點其坐標與方程的一種關系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應的點是曲線上的點.
注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0
2. 圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.
特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.
注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程
②與軸相切的圓方程
③與軸軸都相切的圓方程
3. 圓的一般方程： .
當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.
當時，方程表示一個點.
當時，方程無圖形（稱虛圓）.
注：①圓的參數方程：（為參數）.
②方程表示圓的充要條件是：且且.
③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.
4. 點和圓的位置關系：給定點及圓.
①在圓內
②在圓上
③在圓外
5. 直線和圓的位置關系：
設圓圓：； 直線：；
圓心到直線的距離.
①時，與相切；
附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.
②時，與相交；
附：公共弦方程：設
有兩個交點，則其公共弦方程為.
③時，與相離.
附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程.
由代數特征判斷：方程組用代入法，得關于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：
與相切；
與相交；
與相離.
注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.
6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓
上一點的切線方程為：.
①一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.
②若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯立求出切線方程.
7. 求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類共圓. 已知的方程…① 又以ABCD為圓為方程為…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.
三、曲線和方程
1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：
1） 曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。
2.求曲線方程的方法：.
1）直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗; 2）參數法; 3）定義法， 4）待定系數法.
圓錐曲線方程 知識要點
一、橢圓方程.
1. 橢圓方程的第一定義：
⑴①橢圓的標準方程：
i. 中心在原點，焦點在x軸上：. ii. 中心在原點，焦點在軸上：.
②一般方程：.③橢圓的標準參數方程：的參數方程為（一象限應是屬于）.
⑵①頂點：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點：或.④焦距：.⑤準線：或.⑥離心率：.⑦焦點半徑：
i. 設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：歸結起來為“左加右減”.
注意：橢圓參數方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.
⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經.坐標：和
⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
⑸若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.
二、雙曲線方程.
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標準方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點： 焦點： 準線方程 漸近線方程：或
ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：. 漸近線方程：或，參數方程：或 .
②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線距（兩準線的距離）；通徑. ⑤參數關系. ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
“長加短減”原則：
構成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
⑹直線與雙曲線的位置關系：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.
（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若P在雙曲線，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m︰n.
簡證： = .
常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.
三、拋物線方程.
3. 設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：
圖形
焦點
準線
范圍
對稱軸
軸
軸
頂點
（0，0）
離心率
焦點
注：①頂點.
②則焦點半徑;則焦點半徑為.
③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.
④（或）的參數方程為（或）（為參數）.
四、圓錐曲線的統一定義..
4. 圓錐曲線的統一定義：平面內到定點F和定直線的距離之比為常數的點的軌跡.
當時，軌跡為橢圓；
當時，軌跡為拋物線；
當時，軌跡為雙曲線；
當時，軌跡為圓（，當時）.
5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱的.
因為具有對稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點重合即可.
注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡
1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（02．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）
與定點和直線的距離相等的點的軌跡.
圖形
方
程
標準方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
參數方程
(t為參數)
范圍
─a(x(a，─b(y(b
|x| ( a，y(R
x(0
中心
原點O（0，0）
原點O（0，0）
頂點
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
對稱軸
x軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
x軸，y軸;
實軸長2a, 虛軸長2b.
x軸
焦點
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （c=）
2c （c=）
離心率
e=1
準線
x=
x=
漸近線
y=±x
焦半徑
通徑
2p
焦參數
P
橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質.
等軸雙曲線
共軛雙曲線
5. 方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.
6.共漸近線的雙曲線系方程.
立體幾何 知識要點
平面.
1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面.
注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.
2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）
3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一個平面內平行）
[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.
4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）
空間直線.
1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內
[注]：①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）
②直線在平面外，指的位置關系：平行或相交
③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關系是相交、平行、在平面內.
④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.
⑤在平面內射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）
⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關系為相交或平行或異面.
2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）
3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.
（二面角的取值范圍）
（直線與直線所成角）
（斜線與平面成角）
（直線與平面所成角）
（向量與向量所成角
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （或在這個做出的平面內不能叫與平行的平面）
直線與平面平行、直線與平面垂直.
1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）
[注]：①直線與平面內一條直線平行，則∥. （×）（平面外一條直線）
②直線與平面內一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）
③若直線與平面平行，則內必存在無數條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （×）（可能在此平面內）
⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（×）（兩個平面可能相交）
⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）
3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
得不出⊥. 因為⊥，但不垂直OA.
三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.
[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行）
②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）
③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）
5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）]
⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上
平面平行與平面垂直.
1. 空間兩個平面的位置關系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.
3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）
4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）
注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.
5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，
因為則.
6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）
7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）
⑵最小角定理的應用（∠PBN為最小角）
簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.
棱錐、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱側面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側棱長）該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.
{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.
⑶棱柱具有的性質：
①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）
②（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直.
⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.
[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.
推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為，則.
[注]：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）
②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應是各側面都是正方形的直棱柱才行）
③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）
2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.
[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.
②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.
⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.
[注]：i. 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等）；底面為正多邊形.
②正棱錐的側面積：（底面周長為，斜高為）
③棱錐的側面積與底面積的射影公式：（側面與底面成的二面角為）
附： 以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.
⑵棱錐具有的性質：
①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.
⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：
①棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；
⑧每個四面體都有內切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.
[注]：i. 各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.
簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
則.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形.
簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.
3. 球：⑴球的截面是一個圓面.
①球的表面積公式：.
②球的體積公式：.
⑵緯度、經度：
①緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球半徑與赤道面所成的角的度數.
②經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
③錐形體積：（為底面積，為高）
4. ①內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，
得.
注：球內切于四面體：
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關系式.
六. 空間向量.
1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：①若與共線，與共線，則與共線.（×） [當時，不成立]
②向量共面即它們所在直線共面.（×） [可能異面]
③若∥，則存在小任一實數，使.（×）[與不成立]
④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]
（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量， ∥的充要條件是存在實數（具有唯一性），使.
（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內，則與的關系是平行，記作∥.
（4）①共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數對x、y使.
②空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點共面）
注：①②是證明四點共面的常用方法.
2. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x、y、z，使.
推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序實數組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).
注：設四面體ABCD的三條棱，其
中Q是△BCD的重心，則向量用即證.
3. （1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：)
②空間兩點的距離公式：.
（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.
②利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序實數對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.
II. 競賽知識要點
一、四面體.
1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：
①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；
②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；
③四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；
④12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°.
2. 直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.
3. 等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體.
（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內接球半徑為r，高為h），則有
①等腰四面體的體積可表示為；
②等腰四面體的外接球半徑可表示為；
③等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；
④h = 4r.
二、空間正余弦定理.
空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
立體幾何知識要點
常用結論、方法和公式
1.從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則
3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內，BC和AB的射影BA1成，設∠ABC=,則coscos=cos；
4.異面直線所成角的求法：
（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；
（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；
5.直線與平面所成的角
斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產生線面角的關鍵；
6.二面角的求法
（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；
（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；
（4）射影法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；
特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。
7.空間距離的求法
（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；
（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；
（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；
8.正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos=S底；
9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；
11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數為V,面數為F,棱數為E.那么V+F－E=2；并且棱數E＝各頂點連著的棱數和的一半＝各面邊數和的一半；
12.柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.
13.直棱柱的側面積和全面積
S直棱柱側= c (c表示底面周長，表示側棱長) S棱柱全=S底+S側
14．棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。
15.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角∠AOB的弧度數；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；
排列組合二項定理 知識要點
一、兩個原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重復元素的排列.
從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）
二、排列.
1. ⑴對排列定義的理解.
定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
⑵相同排列.
如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.
⑶排列數.
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號表示.
⑷排列數公式：
注意： 規定0! = 1
規定
2. 含有可重元素的排列問題.
對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復數為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個數等于.
例如：已知數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其排列個數.
三、組合.
1. ⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
⑵組合數公式：
⑶兩個公式：① ②
①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.
（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）
②根據組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有.
⑷排列與組合的聯系與區別.
聯系：都是從n個不同元素中取出m個元素.
區別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系.
⑸①幾個常用組合數公式
②常用的證明組合等式方法例.
i. 裂項求和法. 如：（利用）
ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法.
v. 遞推法（即用遞推）如：.
vi. 構造二項式. 如：
證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為
，而右邊
四、排列、組合綜合.
1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：
①直接法. ②排除法.
③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”.
又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為.
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.
注：①③區別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.
例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少？（插空法），當n – m+1≥m, 即m≤時有意義.
⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.
⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.
例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.
⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.
例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？
（）
注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當n – m+1 ≥m, 即m≤時有意義.
⑧隔板法：常用于解正整數解組數的問題.
例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖
所示）故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數.
注意：若為非負數解的x個數，即用中等于，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為 .
⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有.
例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？
固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）
⑩指定元素排列組合問題.
i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內 。先C后A策略，排列；組合.
ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列；組合.
iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合.
II. 排列組合常見解題策略：
①特殊元素優先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；
⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構造模型的策略.
2. 組合問題中分組問題和分配問題.
①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為（其中A為非均勻不編號分組中分法數）.如果再有K組均勻分組應再除以.
例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為
②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為
例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.
若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種
③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為.
例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為
④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數為…
例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5，其分法種數為若從10人中選出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3，其分法種數為.
五、二項式定理.
1. ⑴二項式定理：.
展開式具有以下特點：
項數：共有項；
系數：依次為組合數
每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.
⑵二項展開式的通項.
展開式中的第項為：.
⑶二項式系數的性質.
①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等；
②二項展開式的中間項二項式系數最大.
I. 當n是偶數時，中間項是第項，它的二項式系數最大；
II. 當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數最大.
③系數和：

附：一般來說為常數）在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解. 當時，一般采用解不等式組的系數或系數的絕對值）的辦法來求解.
⑷如何來求展開式中含的系數呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數為.
2. 近似計算的處理方法.
當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽略不計。類似地，有但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.
結論正確，證明當時，結論成立.
⑵第二數學歸納法：設是一個與正整數有關的命題，如果
①當（）時，成立；
②假設當（）時，成立，推得時，也成立.
那么，根據①②對一切自然數時，都成立.
2. ⑴數列極限的表示方法：
①
②當時，.
⑵幾個常用極限：
①（為常數）
②
③對于任意實常數，
當時，
當時，若a = 1，則；若，則不存在
當時，不存在
⑶數列極限的四則運算法則：
如果，那么
①
②
③
特別地，如果C是常數，那么
.
⑷數列極限的應用：
求無窮數列的各項和，特別地，當時，無窮等比數列的各項和為.
（化循環小數為分數方法同上式）
注：并不是每一個無窮數列都有極限.
3. 函數極限；
⑴當自變量無限趨近于常數（但不等于）時，如果函數無限趨進于一個常數，就是說當趨近于時，函數的極限為.記作或當時，.
注：當時，是否存在極限與在處是否定義無關，因為并不要求.（當然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關.函數在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）
如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零.
⑵函數極限的四則運算法則：
如果，那么
①
②
③
特別地，如果C是常數，那么
.
（）
注：①各個函數的極限都應存在.
②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.
⑶幾個常用極限：
①
②（0＜＜1）；（＞1）
③
④，（）
4. 函數的連續性：
⑴如果函數f（x），g（x）在某一點連續，那么函數在點處都連續.
⑵函數f（x）在點處連續必須滿足三個條件：
①函數f（x）在點處有定義；②存在；③函數f（x）在點處的極限值等于該點的函數值，即.
⑶函數f（x）在點處不連續（間斷）的判定：
如果函數f（x）在點處有下列三種情況之一時，則稱為函數f（x）的不連續點.
①f（x）在點處沒有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.
5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：
⑴零點定理：設函數在閉區間上連續，且.那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（＜＜）使.
⑵介值定理：設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同函數值，，那么對于之間任意的一個數，在開區間內至少有一點，使得（＜＜）.
⑶夾逼定理：設當時，有≤≤，且，則必有
注：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數）
6. 幾個常用極限：
①
②
③為常數）
④
⑤為常數）
15. 復 數 知識要點
1. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即.
⑵復數及其相關概念：
復數—形如a + bi的數（其中）；
實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；
虛數—當時的復數a + bi；
純虛數—當a = 0且時的復數a + bi，即bi.
復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）
復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個復數相等的定義：
.
⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.
注：①若為復數，則若，則.（×）[為復數，而不是實數]
若，則.（√）
②若，則是的必要不充分條件.（當，
時，上式成立）
2. ⑴復平面內的兩點間距離公式：.
其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.
由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.
⑵曲線方程的復數形式：
①為圓心，r為半徑的圓的方程.
②表示線段的垂直平分線的方程.
③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.
④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
⑶絕對值不等式：
設是不等于零的復數，則
①.
左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
②.
左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
注：.
3. 共軛復數的性質：

，（a + bi）

（）
注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]
4 ⑴①復數的乘方：
②對任何，及有
③
注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.
②在實數集成立的. 當為虛數時，，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結論：

若是1的立方虛數根，即，則 .
5. ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：
①.
②若，是純虛數.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
注：.
6. ⑴復數的三角形式：.
輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.
注：①為零時，可取內任意值.
②輻角是多值的，都相差2的整數倍.
③設則.
⑵復數的代數形式與三角形式的互化：
，，.
⑶幾類三角式的標準形式：
7. 復數集中解一元二次方程：
在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：
①當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等復數根（為共軛復數）.
②當不全為實數時，不能用方程根的情況.
③不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.
8. 復數的三角形式運算：
棣莫弗定理：

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