資源簡介

破解高考數學選擇填空壓軸題策略
目 錄
壓軸選擇題
第一關 以函數與方程、不等式相綜合為背景的選擇題
第二關 以棱柱，棱錐與球的組合體為背景的選擇題
第三關 以圓錐曲線的幾何性質為背景的選擇題
第四關 以數列與函數、不等式以及其他知識相結合為背景的選擇題
第五關 以向量與解析幾何、三角形等相結合為背景的選擇題
第六關 以考查導數綜合運用為主的選擇題
第七關 以考查三視圖、幾何體表面積和體積為主的選擇題




壓軸填空題
第一關 以歸納推理為背景的填空題
第二關 以新定義為背景的填空題(理科生做，文科生可以跳過)
第三關 以不等式恒成立或有解問題為背景的填空題
第四關 以平面向量數量積相關的求值問題為背景的填空題
第五關 以立體幾何為背景的新穎問題為背景的填空題















第一關 以函數與方程、不等式相綜合為背景的選擇題
【名師綜述】本類壓軸題常以超越方程、分段函數、抽象函數等為載體，達到考查函數性質、函數零點的個數、參數的范圍和通過函數性質求解不等式問題等目的。要注意函數與方程以及不等式的關系，進行彼此之間的轉化是解決該類題的關鍵．解決該類問題的途徑往往是構造函數，進而研究函數的性質，利用函數性質去求解問題是常用方法，其間要注意導數的應用.
【典例解剖】
類型一 用函數與方程求解零點問題
典例1．【2017屆河南天一大聯考】設函數若關于的方程（且）在區間內恰有5個不同的根，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C

【名師指點】求解零點問題時，往往轉化為的根求解，若該方程不易解出，可考慮數形結合轉化為兩熟悉圖象的交點問題求解．本題首先應正確求出函數的解析式，準確畫出函數圖象，注意分段函數在分界點處的連續性以及對參數的范圍的討論，根據方程解的個數確定圖像交點個數，“臨界點”和的函數值要倍加關注．
【舉一反三】
已知函數（且）在上單調遞減，且關于的方程恰好有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
類型二 用函數與方程求解不等式問題
典例2．【云南大理2017屆高三第一次統測】定義在上的函數的導函數為，若對任意實數，有，且為奇函數，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則，所以是上的減函數，由于為奇函數，所以，因為即，結合函數的單調性可知，所以不等式的解集是，故選B.
【名師指點】結合已知條件，聯想構造函數，利用導數判斷其單調性，利用單調性解解抽象不等式問題是解題關鍵．
【舉一反三】己知定義在上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為（ ）
B． C． D．
【答案】D
類型三 用構造法求解問題
典例3設，，且滿足，則（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D.
【解析】令，則的圖象關于原點點對稱，由題設得：，即，∴，即.選D.
【名師指點】解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，用函數觀點加以分析，常可使問題變得明了，從而易于找到理想的解題途徑，構造函數，利用函數性質解決問題是構造函數法蘊含的數學思想．
【舉一反三】【寧夏育才中學2017屆高三上學期第二次月考數學（理）試題】設函數，. 若當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得是奇函數，在上是增函數，又 ，故選D.
類型四 關于復合方程的解的問題
典例4．【2017湖南長沙一中月考】 已知實數若關于的方程有三個不同的實根，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設，作出函數的圖象，如圖所示，則時，有兩個根，當時，有一個根，若關于的方程有三個不同的實根，則等價為由兩個不同的實數根，且或，當時，，此時由，解得或，滿足有兩個根，有一個根，滿足條件；當時，設，則即可，即，解得，綜上實數的取值范圍為，故選A.QQ群339444963

【名師指點】求解復合方程問題時，往往把方程分解為和處理，先從方程中求，再帶入方程中求的值．
【舉一反三】若函數有極值點，，且，則關于的方程的不同實根的個數是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A.
【解析】函數有極值點，，說明方程的兩根為，，∴方程的解為或，若，即是極大值點，是極小值點，由于，∴是極大值，有兩解，，只有一解，∴此時只有解，若，即是極小值點，是極大值點，由于，∴是極小值，有解，，只有一解，∴此時只有解，綜上可知，選A.
【精選名校模擬】
1．【山東濰坊2017屆高三上學期期中聯考】設函數，若函數有三個零點，，，則等于 .
【答案】

2．【廣東郴州市2017屆高三第二次教學質量監測試卷，12】若方程有四個不同的實數根，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】方程有四個不同的實數根,在同一坐標系內作出函數與函數的圖象如下圖所示，所以是方程的兩根，是方程的兩根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函數在區間遞增，在區間遞減，又，所以所求函數的取值范圍是，故選B.


3．【山東省棗莊市2017屆高三上學期期末】定義在上的奇函數滿足，且當時，恒成立，則函數的零點的個數為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】因為當時，，所以在上單調遞增，又函數為奇函數，所以函數為偶函數，結合，作出函數與的圖象，如圖所所示，由圖象知，函數的零點有3個，故選C．QQ群339444963

4. 【廣西柳州市2017屆高三10月模擬】設定義域為的函數若關于的方程有7個不同的實數解，則（ ）
A．6 B．4或6 C．6或2 D．2
【答案】D
5．【2017四川成都市一模】已知函數是定義在上的偶函數，且，當時，.則關于的方程在上的所有實數解之和為（ ）．
A．-7 B．-6 C．-3 D．-1
【答案】A
【解析】因為函數是偶函數，所以，所以函數是周期為2的偶函數，如圖畫出函數圖像，兩個函數在區間有7給交點，中間是，其余6個交點關于對稱，所以任一組對稱點的橫坐標之和為-2，所以這7個交點的橫坐標之和為，故選A.
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6．【貴州遵義市2017屆高三第一次聯考】已知定義域為的偶函數，其導函數為，對任意，均滿足：．若，則不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
7．【河南百校聯盟2017屆高三11月質檢】已知函數滿足，當時，，若在上，方程有三個不同的實根，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析：
8．【2017山西省山大師大附中模塊檢測】已知函數，若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，作出函數的圖象，不妨設，
由可知函數的圖象與直線有兩個交點，
而時，函數單調遞增，其圖象與軸交于點，
所以.又，所以，，
由，得，解得.
由，即，解得；
由，即，解得；

記（），.
所以當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
所以函數的最小值為；
而，.所以.
9．【中原名校2017屆高三上學期第三次質量考評】定義在實數集上的函數，滿足，當時，.則函數的零點個數為（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】是偶函數，圖象關于直線對稱，周期是，畫圖可得，零點個數為，故選B.

10．【浙江杭州地區重點中學2017屆高三上學期期中】已知函數（）有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為是函數的零點，則函數有四個不同的零點，等價于方程有三個不同的根，即方程有三個不同的根．記函數＝．由題意y=與有三個不同的交點，由圖知，所以，故選D．
11．【湖北孝感2017屆高三上學期第一次聯考】定義域在上的奇函數，當時，，則關于的方程所有根之和為，則實數的值為（ ）
A． B． C. D．
【答案】B【解析】因為函數為奇函數，所以可以得到當時，，當時，
，所以函數圖象如下圖，函數的零點即為函數與的交點，如上圖所示，共個，當時，令，解得：，當時，令，解得：，當時，令，解得：，所以所有零點之和為：，.故本題正確答案為B.

12．已知定義在上的偶函數滿足，且當時，，則函數的零點個數是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D.
13．【2017湖北重點中學高三聯考】已知函數，若的圖象與軸有3個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∵的圖象與軸有個不同的交點，∴函數與函數的圖象有個不同的交點；作函數與函數的圖象如下，圖中，，故此時直線的斜率；當直線與相切時，設切點為；則，解得；此時直線的斜率；結合圖象可知，；故選C．
第二關 以棱柱、棱錐與球的組合體為背景的選擇題
【名師綜述】球作為立體幾何中重要的旋轉體之一，成為考查的重點．要熟練掌握基本的解題技巧．還有球的截面的性質的運用，特別是其它幾何體的內切球與外接球類組合體問題，以及與球有關的最值問題,更應特別加以關注的．試題一般以小題的形式出現,有一定難度．解決問題的關鍵是畫出正確的截面，把空間“切接”問題轉化為平面“問題”處理．
類型一 四面體的外接球問題
典例1．點均在同一球面上，且、、兩兩垂直，且 ，則該球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B

【方法指導】本題屬于三棱錐的外接球問題，當三棱錐的某一頂點的三條棱兩兩垂直，可將其補全為長方體或長方體，三棱錐與長方體的外接球是同一外接球，而長方體的外接球的在球心就是對角線的交點，那么對角線就是外接球的直徑，分別指兩兩垂直的三條棱，進而確定外接球表面積．
【舉一反三】【云南大理2017屆高三第一次統測，10】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，若該三棱錐的體積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
類型二 三棱柱的外接球問題
典例2．【廣東2017屆高三上學期階段測評（一）】三棱柱的側棱垂直于底面，且，，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】如圖，由題可知矩形的中心為該三棱柱外接球的球心，.
∴該球的表面積為.選C.

【名師指導】確定球心位置是解決相關問題的關鍵，確定一個點到多面體各頂點相等的策略是將問題分解，即先確定到頂點距離相等的點在過的外心且垂直于平面的直線上，再確定到頂點距離相等的點過的外心且垂直于平面的直線上，故直三棱柱的外接球球心為連接上下底面外心的線段的中點，進而可確定外接球半徑．
【舉一反三】【四川省涼山州2017屆高中畢業班第一次診斷性檢測,15】設正三棱柱中，，，則該正三棱柱外接球的表面積是 ．
【答案】
【解析】
試題分析：因為該三棱柱為正三棱柱，所以底面為正三角形，底面三角形外接圓的直徑為，即，所以該三棱柱外接球的半徑，所以該三棱柱外接球的表面積為.
類型三 四棱錐的外接球問題
典例3．【河北省滄州市第一中學2017屆高三10月月考數學（理）試題】已知四棱錐中，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【名師指點】某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題策略——補形法．常見的補形法有對稱補形、聯系補形與還原補形．對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題．本題可以利用補體法，將四棱錐補體為直三棱錐，利用直三棱柱的外接球半徑求法確定其外接球半徑．
【舉一反三】【廣西南寧、梧州2017屆高三畢業班摸底聯考，10】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】設球的半徑為，∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴，∴,
∴球的體積為.故應選A.
類型四 幾何體的內切球問題
典例4．(2016·嘉興模擬)若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為________．
【答案】3π
【解析】過圓錐的旋轉軸作軸截面，得截面△ABC及其內切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意知⊙O1的半徑為r＝1，∴△ABC的邊長為2，圓錐的底面半徑為，高為3，∴V＝×π×3×3＝3π.[來源:QQ群339444963]
【名師指點】解決球與其他幾何體的切接問題，關鍵在于認真分析、觀察，弄清先關元素的幾何關系和數量關系，選準最佳角度作出截面，截面的選擇應該更多地體現元素與元素之間關系，達到空間問題平面化的目的．
【舉一反三】【廣東郴州市2017屆高三第二次教學質量監測試卷,9】將邊長為的正方形沿對角線折成一個直二面角.則四面體的內切球的半徑為（ ）
A．1 B． C. D．
【答案】D
【解析】設球心為，球的半徑為，由，知，
故選D.
【精選名校模擬】
【河北衡水中學2017屆高三上學期五調】三棱錐的外接球為球，球的直徑是，且，都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐的體積是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B【解析】如下圖所示，由題意可知，又球的直徑是，所以且，所以該幾何體的體積為，故選B.

2．【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數學（理）試題】已知是球的球面上三點，，，，且棱錐的體積為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D


3. 【河北唐山市2017屆高三年級期末,10】現有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為 （ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
試題分析：當正方體的下底面在半球的大圓面上，上底面的四個頂點在球的表面上時，所得工件體積與原材料體積之比選項取得最大值，此時設正方體的棱長為，則球的半徑為，所以所求體積比為，故選A．
4．在平行四邊形中，， ，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因為是平行四邊形，所以，因為是直二面角，所以平面，即，那么，即
取中點，連接，都是直角三角形，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，所以，所以三棱錐的外接球的球心為點，半徑，所以表面積是．

5．【山西大學附屬中學2017級上學期11月模塊診斷，10】已知點A、B、C、D在同一個球的球面上，若四面體中球心O恰好在側棱DA上，DC=，則這個球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可知取AC 中點M，則OM為DA 的中位線，又點M 為外接圓圓心，球心O到面ABC 的距離為，球半徑為，故球表面積為.
6．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
7．【河南八市重點高中2017屆上學期第三次測評，11】已知點在同一球的球面上，，若四面體外接球的球心恰好在側棱上，，則這個球的表面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示，設三角形所在小圓的圓心為，則為的中點，且平面，又，所以平面，所以，外接球的表面積
，故選D.QQ群339444963


8．【河南百校聯盟2017屆高三11月質檢，10】已知邊長為的菱形中，,現沿對角線BD折起，使得二面角為，此時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，
設則由勾股定理可得
四面體的外接球的表面積為故選C

9．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，
當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為( )
A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3

【答案】A.
【解析】作出該球軸截面的圖像如下圖所示，依題意，，設，故，∵，解得，故該球的半徑，∴.

10．已知三棱錐，在底面中，，，，，則此三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

11.如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側面是半球底面圓的內接正方形，則側面的面積為（ ）
A．2 B．1 C． D．

【答案】C.
【解析】球心在面的中心上，為截面圓的直徑，∴，底面外接圓圓心位于中點，外心在中點上，設正方形邊長為，中，，，，∴，即，則，∴.
12.已知球的直徑，，是該球球面上的兩點，，，則棱錐的體積為( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由條件直徑所對的圓周角，由已知，
∴與是全等的等腰三角形，∴，，即面，由條件，則為等邊三角形，∴.
13.已知三棱柱的側棱垂直于底面，各項點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，，，，則此球的表面積等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D

第三關 以圓錐曲線的幾何性質為背景的選擇題
【名師綜述】
1.求解曲線的離心率：求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據已知條件確定，，的等量關系，然后把用，代換，求的值；在雙曲線中由于，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關，求離心率的范圍問題關鍵是確立一個關于，，的不等式，再根據，，的關系消掉得到關于，的不等式，由這個不等式確定，的關系．
2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法：（1）構造不等式法：根據題設條件以及曲線的幾何性質(如：曲線的范圍、對稱性、位置關系等)，建立關于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍．（2）構造函數法：根據題設條件，用其他的變量或參數表示欲求范圍的特定字母，即建立關于特定字母的目標函數，然后研究該函數的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍．（3）數形結合法：研究特定字母所對應的幾何意義，然后根據相關曲線的定義、幾何性質，利用數形結合的方法求解.
3.圓錐曲線中的最值問題：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數方法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解．
常見的幾何方法有：（1）直線外一定點到直線上各點距離的最小值為該點到直線的垂線段的長度；（2）圓外一定點到圓上各點距離的最大值為，最小值為(為圓半徑)；（3）過圓內一定點的圓的最長的弦即為經過點的直徑，最短的弦為過點且與經過點直徑垂直的弦；（4）圓錐曲線上本身存在最值問題，如①橢圓上兩點間最大距離為(長軸長)；②雙曲線上兩點間最小距離為(實軸長)；③橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為，與分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距離；④拋物線上的點中頂點與拋物線的準線距離最近．
常用的代數方法有：（1）利用二次函數求最值；（2）通過三角換元，利用正、余弦函數的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用導數法求最值；（5）利用函數單調性求最值.
【典例剖析】
類型一 求圓錐曲線的離心率問題
典例1．【河南省天一大聯考2016-2017學年高中畢業班階段性測試（二）數學（理）試題】過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，與雙曲線的漸進線交于，兩點，若，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
典例2．【河北唐山市2017屆高三年級期末，11】已知為坐標原點，是雙曲線的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸， 過點 的直線與線段交于點，與軸交于點，直線 與軸交于點，若，則 的離心率為 （ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】易證得，則，即；同理，，所以，又，所以，整理，得，故選A．

【名師指點】在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特征，建立關于參數c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．一般來說，求離心率取值范圍，通常可以從兩個方面來研究：一是考慮幾何關系，例如根據線段的大小關系或者角的大小關系列不等式；二是考慮代數關系，通過設點，將所給問題坐標化，結合圓錐曲線方程和本身范圍來確定．
【舉一反三】
【河北省滄州市第一中學2017屆高三10月月考數學（理）試題】過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
類型二 與圓錐曲線有關的最值問題
典例2．【河南省天一大聯考2016-2017學年高中畢業班階段性測試（二）數學（理）試題】等腰直角△內接于拋物線，為拋物線的頂點，，△的面積是16，拋物線的焦點為，若是拋物線上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為等腰直角△內接于拋物線，為拋物線的頂點， 所以，可設，得，將代入，得，拋物線的方程為，所以，設，則，設，則
，時，“” 成立.故選C.
【名師指點】拋物線定義是轉化拋物線上的點到焦點距離和到準線距離的橋梁，通過設點的坐標并結合拋物線定義，將待求對象坐標化，同時結合拋物線方程消元，利用函數思想求解最值問題是常見的求最值方法，有時還可以幾何平面幾何知識求解．
【舉一反三】
【2014四川高考理第10題】已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
類型三 平面圖形與圓錐曲線相結合的問題
典例3．設雙曲線的左焦點為，點、在雙曲線上，是坐標原點，若四邊形為平行四邊形，且四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2
C. D．
【答案】D
【解析】設，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵四邊形的面積為，
∴，即，∴，代入雙曲線方程得，∵，∴.故選D.
【名師指點】求離心率問題實質上是根據已知條件，挖掘題中的等量關系或者不等關系，可以借助平面圖形自身滿足的條件或者點的坐標所滿足的方程或者范圍等，本題利用平行四邊形的性質并結合雙曲線方程和平行四邊形的面積公式得關于的方程，進而確定離心率的值．
【舉一反三】【2017湖南長沙一中高三月考】]已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，.這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形.若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【精選名校模擬】
1．【山西大學附中2017屆高三第二次模擬測試數學（理）試題】雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．【河南省新鄉市2017屆高三上學期第一次調研測試數學（理）試題】已知雙曲線，過雙曲線的右焦點，且傾斜角為的直線與雙
曲線交地兩點，是坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知是通徑，根據雙曲線的對稱性和可知，三角形為等邊三角形，即，由，得，兩邊除以得，解得.
3．【河南省開封市2017屆高三上學期10月月考數學（理）試題】雙曲線C：的左、右焦點分別為，，M，N兩點在雙曲線C上，且MN∥F1F2，，線段F1N交雙曲線C于點Q，且，則雙曲線C的離心率為
A. 2 B. C. D.
:【答案】D
【解析】由于MN∥F1F2，，則，設，又，且，則,點N、Q在雙曲線上滿足方程，有，消去得：，則選D.
4．【廣西梧州市2017屆高三上學期摸底聯考數學（理）試題】已知橢圓的左、右焦點分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．【2014江西高考理第9題】在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設直線：.因為，所以圓心C的軌跡為以O為焦點，為準線的拋物線.圓C半徑最小值為，圓面積的最小值為選A.
6．【云南大理2017屆高三第一次統測，11】已知雙曲線與不過原點且不平行于坐標軸的直線相交于兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】A
【解析】設，則，根據點差法可得，所以直線的斜率為，直線的斜率為，，故選A.
7．【山東省棗莊市2017屆高三上學期期末，8】過拋物線的焦點作斜率為的直線與離心率為的雙曲線的兩條漸近線的交點分別為.若分別表示的橫坐標，且，則（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
8．【廣東2017屆高三上學期階段測評（一），11】過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】不妨設，∵，∴，又，
∴，∴.根據對稱可得直線的斜率為.選D.
9．【山西省臨汾一中、忻州一中、長治二中等五校2017屆高三上學期第二次聯考數學（理）試題】已知拋物線：的焦點為，點為上一動點，，，且的最小值為，則等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】設且,,根號下二次函數的對稱軸為,所以在對稱軸處取到最小值,即
，解得或(舍去),所以拋物線方程為,,所以,故選B.
10．【遼寧盤錦市高中2017屆11月月考，11】已知雙曲線（，），、是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點（），使得△（）構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
11．【四川遂寧、廣安、眉山、內江四市2017屆高三上學期第一次聯考，11】橢圓的一個焦點為，該橢圓上有一點，滿足是等邊三角形（為坐標原點），則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
12．【2017湖南長沙雅禮中學高三月考】為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，且，直線交軸于點，則的內切圓半徑為（ ）
A．2 B．3 C. D．
【答案】A
【解析】如圖所示，記與的內切圓相切于點，則
，則，則，則，即，所以，由，得，所以，故選A.

13．【2017河南新鄉一中高三月考】已知雙曲線，、是雙曲線上關于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，且直線的斜率分別為，若的最小值為1,則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
第四關 以數列與函數、不等式以及其他知識相結合為背景的選擇題
【名師綜述】數列與函數的交匯問題一般是利用函數作為背景，給出數列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確的轉化．數列與不等式的交匯問題一般以數列為載體，考查最值問題，不等關系或恒成立問題．
類型一 數列與函數的結合
典例1 已知都是定義在上的函數，，，且（且），，若數列的前項和大于62，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【名師指點】由已知條件構造函數，則，故函數遞增，即函數遞增，從而確定，結合已知條件可確定的值，數列的前項和即等比數列的前項和，通過計算可得關于n的不等式，進而確定n的最小值．
【舉一反三】【2017云南曲靖一中高三月考】已知為銳角，且，函數，數列的首項，，則與的大小關系為 ．
【答案】
【解析】
.
類型二 數列與不等式的結合
典例2 ． 【天津六校2017屆高三上學期期中聯考，7】已知數列滿足：，．若，，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【名師指點】解決數列的單調性問題可用以下三種方法
①用作差比較法，根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列.
②用作商比較法，根據與1的大小關系及符號進行判斷.
③結合相應函數的圖像直觀判斷，注意自變量取值為正整數這一特殊條件[來源:學+科+網]
求解數列與不等式相結合恒成立條件下的參數問題主要兩種策略：（1）參變分離法，將已知不等式變形為恒成立；恒成立；（2）利用等差數列與等比數列等數列知識化簡不等式，再通過解不等式解得．求解數列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標函數，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數列的單調性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關系確定最值．
【舉一反三】【山西臨汾一中等五校2017屆高三第三聯考，16】已知數列的首項，其前項和為，且滿足，若對任意恒成立，則的取值范圍是_____________ .
【答案】
類型三 數列與其他知識的結合
典例3 【湖南省郴州市2017屆高三上學期第一次教學質量監測數學（理）試題】設，分別為等差數列，的前項和，且.設點是直線外一點，點是直線上一點，且，則實數的值為__________.
【答案】
【解析】不妨取，當時，當時，
，驗證得上式成立，綜上，同理可得，
，．
【名師指點】本題考查數列與平面向量的結合，又向量知識得其系數滿足的關系，進而利用等差數列求和公式求解，本題要求學生熟悉向量三點共線公式 三點共線，
【舉一反三】已知數列的前n項和為，令，記數列的前n項為 ，則 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意有，所以有，所以，故選D．
【精選名校模擬】
1. 【河南省豫北名校聯盟2017屆高三年級精英對抗賽,11】已知在正項等比數列中，存在兩項滿足，且，則的最小值是（ ）
A． B．2 C. D．
【答案】A
2. 【四川遂寧、廣安、眉山、內江四市2017屆高三上學期第一次聯考，8】已知數列滿足若對于任意的都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為恒成立，又數列在時為等比數列，所以．當時，，遞減，，當，為遞增數列，不滿足；當時，，遞減，，當，為遞減數列，又因成立，所以，即，解得，所以，故選B．
3. 【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數學（理）試題】已知數列中的前項和為，對任意，，且恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由有, 當時,,求得,當時,,化簡得,當,,所以,當,,所以,因為恒成立,所以當當,,即,當,,,綜上兩種情況,有.
4．【2017安徽淮北一中高三四模】已知等差數列的公差，且 成等比數列，若為數列的前項和，則的最小值為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】由于 成等比數列，所以，解得，所以.
5．（2016天津理5）設是首項為正數的等比數列，公比為，則“”是“對任意的正整數，”的（ ）.
A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題意得，.
由，故是必要不充分條件.故選C.
6. 【2016浙江】如圖所示，點列分別在某銳角的兩邊上，且，，，，，（表示點與點不重合）.若，為的面積，則（ ）.
A. 是等差數列 B.是等差數列
C.是等差數列 D.是等差數列
【答案】A
7．【2017山西晉中榆社中學高三月考】已知數列的首項，其前項和為，且滿足，若對任意恒成立，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】由條件得，兩式相減得，故，兩式再相減得，由得，從而；由得，從而，由條件得，解之得.
8．【2017湖南師大附中高三月考】對于數列，若對任意，都有成立，則稱數列為“減差數列”.設，若數列是“減差數列”，則實數的取值范圍是 ．
【答案】

9．【2017福建福州外國語學校期中】已知函數是定義在上的不恒為零的函數，且對于任意實數，滿足：，考查下列結論：①；②為奇函數；③數列為等差數列；④數列為等比數列。
以上命題正確的是 ．
【答案】②③④
【解析】①因為對定義域內任意，，滿足，∴令，得，故①錯誤；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函數．故②正確；③若 ，則
為常數，故數列 為等差數列，故③正確；④∵，，∴當時，
，則，
，…，則，若，則
為常數，則數列為等比數列，故④正確，故答案為：②③④．
10．【2017遼寧莊河市高三月考】等差數列的前項和為，數列的等比數列，且滿足，數列的前項和為，若對一切正整數都成立，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由已知可得,解之得,所以,則,故,由此可得,以上兩式兩邊錯位相減可得,即,故當時, ,此時取最大值,所以的最小值為,故應填答案.
11．已知函數，且，設等差數列的前項和為，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得等差數列的通項公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
由題意可得或
解得a=1或a=-4，
當a=-1時，，數列{an}不是等差數列；
當a=-4時，，，
，

當且僅當，即時取等號，
∵n為正數，故當n=3時原式取最小值，故選D．
12．【遼寧葫蘆島普高協作體2017屆高三上學期第二次考試，16】已知數列的前項和為，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首項為，公比為的等比數列，∴，∴
，當且僅當時取“”.
13．【四川省資陽市2017屆高三上學期第一次診斷考試數學（理）試題】已知數列是以為首項，以為公差的等差數列，數列滿足．若對都有成立，則實數的取值范圍是___________．
【答案】
14．已知函數f(x)＝cos·cos·cos，將函數f(x)在(0，＋∞)上的所有極值點從小到大排成一數列，記為{an}，則數列{an}的通項公式為________．
【答案】an＝
【解析】由f(x)＝cossin·＝－sinx，得f′(x)＝－cosx，由cosx＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函數f(x)在(0，＋∞)上的所有極值點為，，，…，，…，所以數列{an}的通項公式為an＝.


第五關 以向量與解析幾何、三角形等相結合為背景的選擇題
【名師綜述】
近年來以平面向量知識為背景，與三角函數、數列、三角形、解析幾何知識相結合的題目屢見不鮮，題目對基礎知識和技能的考查一般由淺入深，入手并不難，但要圓滿解決，則需要嚴密的邏輯推理.平面向量融數、形于一體,具有幾何與代數的“雙重身份”,從而它成為了中學數學知識交匯和聯系其他知識點的橋梁.平面向量的運用可以拓寬解題思路和解題方法.
類型一 平面向量與解三角形的結合
典例1 ． 在中，角，，所對的邊分別為，，滿足，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

【名師指點】由余弦定理可得角A的大小，平面向量數量積向量式是實現向量和三角形邊、角轉化的橋梁，而正弦定理又是進行三角形邊角轉化的工具．最值將的取值范圍問題轉化為三角函數的值域問題處理．
【舉一反三】【2017遼寧葫蘆島高三月考】已知點為內一點，，，，過作垂直于點，點為線段的中點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，根據等面積法得，所以．
類型二 向量與三角形”四心”的結合
典例2 【河南省豫北名校聯盟2017屆高三年級精英對抗賽】已知的外接圓半徑為1，圓心為點，且，則的值為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C

【名師指點】為了將已知和結論建立聯系，將分解轉化為，為了出現和，將已知向量方程移項平方可求．
【舉一反三】【2017杭州地區重點中學高三上學期期中】在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，，，且為此三角形的內心，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【解析】如下圖所示，過作于，于，
∴，
又∵為內心，∴，
，
∴，故選C．

類型三 向量與三角函數的結合
典例3． 【2017浙江溫州中學高三月考】已知向量則= 、= ，設函數R），取得最大值時的x的值是 .
【答案】，Z

【名師指點】三角函數的圖象和性質是中學數學中的重要內容和工具,也高考和各級各類考試的重要內容和考點.本題以向量的坐標形式為背景考查的是三角函數的圖象和性質及三角變換的有關知識和運用.解答本題時要充分利用題設中提供的有關信息,依據向量的數量積公式建立方程,求出.然后再化簡和構建函數運用三角函數的圖象和性質使得問題獲解.
【舉一反三】已知函數圖像上的一個最低點為A，離A最近的兩個最高點分別為B與C，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D

類型四 向量在解析幾何中的應用
典例4 【廣東郴州市2017屆高三第二次教學質量監測試卷,10】已知為雙曲線的左焦點，點為雙曲線虛軸的一個頂點，過的直線與雙曲線的一條漸近線在軸右側的交點為，若，則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】的方程為，即，聯立得，所以，解得，故選A.
【名師指點】對向量式的處理是高效解題的關鍵，向量是既有大小又有方向的量，所以向量具有數與形的雙重作用，從數的角度來講，利用向量式可以找到三點坐標的關系，從形的角度來講，可以將向量式轉化為線段長度的比例關系．
【舉一反三】【廣東2017屆高三上學期階段測評（一），11】過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】不妨設，∵，∴，又，
∴，∴.根據對稱可得直線的斜率為.選D.
【精選名校模擬】
1. 【2017山西運城市高三期中】已知點在△內部一點，且滿足，則△，△，△的面積之比依次為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201512/80/a1c5d92c.png" \* MERGEFORMATINET
2. 【湖南百所重點中學2017屆高三上學期階段診測，9】已知四點共線，，且向量，，則等于（ ）
A． B． C. -7 D．7
【答案】B
【解析】因為四點共線，，，所以，又，因為，所以，得，，，故選B.
3. 【山西臨汾一中等五校2017屆高三第三聯考】如圖，在中，，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
4. 【重慶八中2017屆高三上學期二調，11】設雙曲線的右焦點為，過點作與軸垂直的直線交兩漸近線于，兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為，設為坐標原點，若（，），，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】雙曲線的漸近線為：設焦點，則，，，因為，所以，所以，，解得：，，又由，得：，解得：，得，所以，故選：D．
5. 在中，、、的對邊分別為、、，且，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

6. 【2017屆福建福州外國語學校高三期中】已知向量滿足，且關于的函數在實數集上單調遞增，則向量的夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】QQ群339444963
求導數可得，則由函數在實數集上單調遞增，可得恒成立，即 恒成立，故判別式恒成立，再由，可得，∴，∴，故選：C．
7. 【2017屆四川涼山州高三二模】若直線（）與函數圖象交于不同的兩點，，且點，若點滿足，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】因為，且直線通過坐標原點，所以函數圖象兩個交點，關于原點對稱，即，又，由得，，解之得，所以，故選B.
8. 已知向量，，，則函數的最小正周期與最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

9. 【2017年湖北部分重點中學聯考】已知是所在平面內一點，若，則與的面積的比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在線段上取使，則，過作直線使，在上取點使，過作的平行線，過作的平行線，設交點為，則由平行四邊形法則可得，設的高線為，的高線，由三角形相似可得，∵與有公共的底邊，∴與的面積的比為，故選：A.

10. 【2017年貴州貴陽花溪清華中學高三月考】已知圓的方程，是橢圓上一點，過作圓的兩條切線，切點為，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，設
,
設，由又
的取值范圍為,故選C.

11. 【2017年重慶巴蜀中學期中考試】在中，，則__________．
【答案】2

12. 設雙曲線的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若，，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D[
【解析】雙曲線的漸近線為：，設焦點，則，因為，所以，，所以，，
解得：，又由，得：，解得：，所以，，選D.
13.【2017年江西撫州市七校聯考】 在中,、、所對的邊分別為、、，已知,且,則_________.
【答案】
【解析】由得，即，由得
，即，，故答案為.
14. 【河南省開封市2017屆高三上學期10月月考數學（理）試題】過雙曲線的左焦點，作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率是 .
:【答案】






第六關 以考查導數綜合運用為主的選擇題
【名師綜述】利用導數研究可導函數的單調性,求可導函數的極值和最值,以及用導數解決實際應用題是導數在中學數學中的主要應用,另外從高考試題來看,高考對導數的考查加強了試題的綜合性和應用性,由此可見,導數的解題地位成了必不可少的工具,所以導數的應用成為久考不衰的考點．
類型一 考查導數的幾何意義
典例1 【2017年大聯考】若一直線與圓和函數的圖象相切于同一點，則點坐標為______．
【答案】
【名師指點】利用導數處理切線問題，注意三個條件的運用：設切點，則切線斜率為，切點坐標滿足切線方程；切點坐標滿足曲線方程，圓的切線的處理注重圓心到直線等于半徑以及切點與圓心的連線垂直切線等知識，注重方程思想的運用．
【舉一反三】【2017屆QQ群339444963大聯考】若一直線與曲線和曲線相切于同一點，則的值為______．
【答案】
【解析】設切點，則由，得，由，得，則有
，解得，故的值為．
類型二 利用導數研究函數的單調性
典例2． 【湖北荊州2017屆高三上學期第一次質量檢測】若函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】因,故由題設在上恒成立,故，即.故應選C.
【名師指點】恒成立問題的兩種常見解題思路：①參變分離；②構造函數．，由導數在單調性上的應用知，已知條件可轉化為恒成立，經過參變分離轉化為求函數的最值處理．
【舉一反三】【重慶八中2017屆高三上學期二調】函數的導函數為，對，都有成立，若，則不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

類型三 利用導數求函數的極值和最值
典例3 【遼寧盤錦市高中2017屆11月月考，12】設函數（），若不等式有解，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵，∴，令，，故當時，，當時，，故在上是減函數，在上是增函數；故；
故選：A．
【名師指點】利用導數求函數的極值和最值：1、求函數的極值，先求的根，再和函數定義域比較，如果落在定義域外或者落在定義域端點，此時函數單調，無極值；當落在定義域內時，將定義域分段，分別考慮兩側導數是否異號，從而判斷是否有極值.
2、求函數的最值和求極值類似，先求的根，如果落在定義域外或者落在定義域端點，此時函數單調，利用單調性求最值；當落在定義域內時，將定義域分段，分別考慮兩側導數是否異號，從而判斷函數大致圖象，從而求最值.
【舉一反三】【山西臨汾一中等五校2017屆高三第三聯考，12】設函數，若不等式在上有解，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【精選名校模擬】
1．【江西撫州七校2017屆高三上學期聯考，12】已知函數的圖像上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線重合，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】時，；時，.設且，當或時，，故，當時，函數在點處的切線方程為，即當時，函數在點處的切線方程為，即，兩切線重合的充要條件是，且，消去得：，令，則，構造函數，，，，所以在單調遞減，在單調遞增，又所以，所以在單調遞減，所以，即，故選C.
2．【湖北孝感2017屆高三上學期第一次聯考，8】若曲線的一條切線為，其中為正實數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】設切點為，則有，，，故選C.
3．【福建廈門一中2017屆上學期期中，12】已知函數，其中為自然對數的底數，若存在實數使成立，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．【湖北荊州2017屆高三上學期第一次質量檢測，】設函數在上存在導函數，對任意的實數都有，當時，.若,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】令,則,故函數在上單調遞減;因,即,故是奇函數,則不等式可化為.,故函數的單調性可得,即,故應選A.
5．【河北滄州一中校2017屆高三11月月考，12】已知，直線與函數的圖象在處相切，設.若在區間上，不等式恒成立，則實數（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C.有最小值 D．有最小值
【答案】A【解析】因,故切線的斜率,即；又當時,,即切點,將其代入可得,故,則令,則在區間上恒大于零,故函數在上單調遞增,所以,故,故應選A.
6．【四川自貢普高2017屆一診，12】設函數，其中，若有且只有一個整數使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
7. 【河北衡水中學2017屆高三上學期五調，12】已知直線分別與函數和交于兩點，則之間的最短距離是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D【解析】由得，由得，所以， ，當時，，當時，，即函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，故選D.
8．【河北石家莊2017屆高三上學期第一次質檢，12】若存在正實數，使得關于的方程有兩個不同的根，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】D
9．【江蘇徐州豐縣民族中學2017屆高三上學期第二次月考，12】已知函數,當時，的取值范圍為，則實數的取值范圍是 ．
【答案】【解析】因,故當時,函數單調遞減；當時,函數單調遞增,故,故由可得.畫出函數的圖象如圖,結合圖象可知:當時, 函數的取值范圍為,故應填答案.
10. 已知函數，，設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同，則時，實數的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】設切點為（，），則由切點處的斜率相同且切線相同得，……①，……②。因為，所以由①得,并將其代入②得，.設,利用導數法求得函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以,則.選D。
11．【山西省孝義市2017屆高三上學期二輪模考數學（理）試題】已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】由題意，得，則＝－＝．若存在，使得，則，所以．設，則，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當，函數取最大值，最大值為，所以，故選C．
12．已知函數，（a為常數且），若在處取得極值，且，而上恒成立，則的取值范圍（ ）[來源:QQ群339444963]
A． B． C． D．
【答案】B
13．【湖北省襄陽市四校2017屆高三上學期期中聯考數學（理）試題】奇函數定義域為，其導函數是.當時，有，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則當時，，所以當時，函數單調減， 又為奇函數，所以函數為偶函數， 而當時，不等式等價于，即，所以，根據偶函數性質得到，故選D．
14. 【河南省廣東省佛山市2017屆高三教學質量檢測（一），12】已知函數，（是常數），若在上單調遞減，則下列結論中：
①；②；③有最小值.正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C.2 D．3
【答案】C【解析】由題意，得，若函數在上單調遞減，則，即，所以，故②正確；不妨設，則，故①錯；畫出不等式組表示的平面區域，如圖所示，令，則，①當，即時，拋物線與直線有公共點，聯立兩個方程消去得，，所以；當，即時，拋物線與平面區域必有公共點，綜上所述，，所以有最小值，故③正確，故選C．

第七關 以考查組合體的三視圖、幾何體表面積和體積為主的選擇題
【名師綜述】空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規則幾何體分割成幾個規則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧. 其中以三視圖為背景的表面積或體積問題是考題中常見的題型,根據三視圖還原幾何體,進而計算是解題關鍵．
類型一 柱體組合體的三視圖問題
典例1 【中原名校豫南九校2017屆第四次質量考評】已知某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的表面積是（ ）

A． B． C. D．
【答案】C【解析】如圖所示，該幾何體是棱長為2的正方體砍去兩個小三棱柱得到的四棱柱，其表面積.選C.
【名師指點】在棱柱體的三視圖中,輪廓線為兩個四邊形和一個多邊形；圓柱的三視圖中有兩個矩形一個圓；球體的三個視圖都為圓．.求解幾何體的表面積及體積的技巧:
(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．
(2)求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規則幾何體轉化為規則幾何體以易于求解．
【舉一反三】【山西大學附屬中學2017級上學期11月模塊診斷】如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為（ ）
B. C. D.

【答案】D

類型二 錐體及組合體的三視圖問題
典例2 【廣東郴州市2017屆高三第二次教學質量監測試卷】已知某三棱錐的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該三棱錐中最長的棱長為（ ）

A． B． C. D．2
【答案】A【解析】如圖，該三回旋曲圖所表示的幾何體為三棱錐，顯然最長棱為，且，故選A.
【名師指點】一般情況下棱錐的三個視圖中，輪廓線為兩個三角形，一個多邊形；圓錐的三視圖中兩個等腰三角形和一個圓，但是因為擺放位置的不同，視圖的位置也相應發生變化，本題要注意俯視圖中的虛線的形成與原幾何體的對應關系．根據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟:
(1)根據給出的三視圖判斷該幾何體的形狀．
(2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量．
(3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解.
【舉一反三】【安徽省“皖南八校”2017屆高三第二次聯考，11】某幾何體三視圖如圖，則該幾何體體積是（ ）

A．4 B． C. D．2
【答案】B


【精選名校模擬】
1．【山東省棗莊市2017屆高三上學期期末，9】《 九章九術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，若，當陽馬體積最大時，則塹堵的體積為（ ）

A． B． C. D．
【答案】C

2．【重慶八中2017屆高三上學期二調10，】用半徑為的圓鐵皮剪一個內接矩形，再以內接矩形的兩邊分別作為圓柱的高于底面半徑，則圓柱的體積最大時，該圓鐵皮面積與其內接矩形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】設圓柱的高為，則其內接矩形的一邊長為，那么另一邊長為，所以圓柱的體積為，，令，得；令，得，即在內單調遞增，在內單調遞減，所以當時，此圓柱體積最大，那么另一邊長為，故圓鐵皮的面積和其內接矩形的面積比為，故選C.
3．【中原名校2017屆高三上學期第三次質量考評，10】如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）
A． B．
C. D．

【答案】D
【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱錐和一個圓錐拼接而成，故.故選D.
4．【湖南百所重點中學2017屆高三上學期階段診測，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】通過三視圖可知這是一個三棱柱和一個三棱錐的組合體，底面均為邊長為的等邊三角形，故.故選A.
5．【廣東省惠州市2017屆第二次調研考試數學（理）試題】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的（ ）

（A）外接球的半徑為 （B）表面積為 （C）體積為 （D）外接球的表面積為
【答案】B

6．【山西大學附中2017屆高三第二次模擬測試數學（理）試題】已知某幾何體的三視圖的側視圖是一個正三角形，如圖所示，則該幾何體的體積等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C【解析】由三視圖可知這是一個三棱柱截去一個三棱錐所得，故體積為
.
7. 【湖南省郴州市2017屆高三上學期第一次教學質量監測數學（理）試題】已知一正方體截去兩個三棱錐后，所得幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積為（ ）

A．8 B．7 C. D．
【答案】B
【解析】，故選 B.
8．【河南省開封市2017屆高三上學期10月月考數學（理）試題】某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
B． C． D．
:【答案】B
【解析】根據三視圖可以看出原幾何體為一個四棱錐，平面平面，割去半個圓錐，圓錐底面直徑為,為頂點，其體積為，選B.

9．【廣西梧州市2017屆高三上學期摸底聯考數學（理）試題】若某圓柱體的上部挖掉一個半球，下部挖掉一個圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正（主）視圖和側（左）視圖如圖1所示，則此幾何體的表面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
[來源
10. 某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ）
A． B． C． D．

【答案】C

11．如圖，已知正方體的棱長為，動點、、分別在線段，，上．當三棱錐的俯視圖如圖所示時，三棱錐的正視圖面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由俯視圖知點為中點、、，因此三棱錐的正視圖為三角形,其中點為中點，所以面積為，選B.
12. 某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題中所給的幾何體的三視圖，可知該幾何體為一個正方體挖去一個四棱錐構成的幾何體，所以其體積為,故選A．
13. 【廣東2017屆高三上學期階段測評（一），16】將一塊邊長為的正方形紙片，先按如圖（1）所示的陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，然后將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個正四棱錐模型（底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐），將該四棱錐如圖（2）放置，若其正視圖為正三角形，則其體積為 ．

【答案】




[來源:學&科&網]
專題二 壓軸填空題
第一關 以合情推理為背景的填空題
【名師綜述】推理證明一般處于填空題的最后一題，考查學生邏輯推理能力，屬于較難題,考試形式往往為:
1.以數表、數陣、圖形為背景與數列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現.
2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函數、數列及不等式等綜合命題.
類型一 以歸納推理為背景的填空題
典例1 (1)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10，…，第個三角形數為，記第個邊形數為，以下列出了部分邊形數中第個數的表達式：
三角形數　　　　　 ，
正方形數 ，
五邊形數 ，
六邊形數
……
可以推測的表達式，由此計算 ____________.
(2)已知，經計算得，，，，則有______________________．
【答案】(1) 　(2)
(2)由題意得，，，，所以當時，有.
故填．
【名師指點】歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想．QQ群339444963
【舉一反三】【河南省廣東省佛山市2017屆高三教學質量檢測（一）】所有真約數（除本身之外的正約數）的和等于它本身的正整數叫做完全數（也稱為完備數、完美數）.如：；；.此外，它們都可以表示為2的一些連續正整數次冪之和.如，，……，按此規律，可表示為 ．
【答案】
試題分析：因為，又由，解得．所以＝．
類型二 以類比推理為背景的填空題
典例2 　(1)已知結論：“在正△ABC中，若D是邊BC的中點，G是△ABC的重心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體A—BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知雙曲正弦函數sh x＝和雙曲余弦函數ch x＝與我們學過的正弦函數和余弦函數有許多類似的性質，請類比正弦函數和余弦函數的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數的一個類似的正確結論______________________．
【答案】　(1) 　(2)
解析　(1)如圖，設正四面體的棱長為1，則易知其高，此時易知點即為正四面體內切球的球心，設其半徑為，利用等積法有 ?，故
，故.
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【名師指點】類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的類比，也可以由解題方法上的類似引起．當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比．
【精選名校模擬】QQ群339444963
1．如圖是網絡工作者經常用來解釋網絡運作的蛇形模型：數字1出現在第1行；數字2,3出現在第2行；數字6,5,4(從左至右)出現在第3行；數字7,8,9,10出現在第4行，依此類推，則(1)按網絡運作順序第n行第1個數字(如第2行第1個數字為2，第3行第1個數字為4，…)是________；(2)第63行從左至右的第4個數字應是________．[來源:學。科。網]

【答案】 2013


2．【河北省武邑中學2017屆高三上學期第三次調研考試數學（理）試題】如圖是網格工作者經常用來解釋網絡運作的蛇形模型：數字出現在第行；數字出現在第行，數字(從左至右) 出現在第行; 數字出現在第行，依此類推，則第行從左到右第個數字為_________.

【答案】
【解析】
試題分析：前行共有第行最左端的數為第行從左到右第個數字為．
3．已知點是函數的圖象上任意不同兩點，依據圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖象的上方，因此有結論成立．運用類比思想方法可知，若點是函數的圖象上任意不同兩點，則類似地有_________________成立．
【答案】
【解析】由于函數的圖象上任意不同兩點，依據圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖象的上方，因此有結論成立;而函數的圖象上任意不同兩點的線段總是位于A、B兩點之間函數圖象的下方,類比可知應有：成立．




4．【四川遂寧、廣安、眉山、內江四市2017屆高三上學期第一次聯考，14】學校藝術節對同一類的，，，四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”．
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是 ．
【答案】B
5．（2016全國甲理15）有三張卡片，分別寫有和，和，和. 甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是”，則甲的卡片上的數字是_______.
【答案】
【解析】 由題意得：丙不拿，若丙，則乙，甲滿足；若丙，則乙，甲不滿足，故甲.
6．（2016山東文12）觀察下列等式：
；
；
；
；
……
照此規律，
_________．
【答案】
【解析】 通過觀察這一系列等式可以發現，等式右邊最前面的數都是，接下來是和項數有關的兩項的乘積，經歸納推理可知是，所以第個等式右邊是.
7．當成等差數列時，有當成等差數列時，有當成等差數列時，有由此歸納，當 成等差數列時，有．如果成等比數列，類比上述方法歸納出的等式為______________．
【答案】

【解析】根據等差數列與等比數列類比是升級運算，因此在等差數列種有，如果成等比數列，則．
8．數列的前項和為.若數列的各項按如下規則排列：
則若存在正整數，使，則
【答案】
9．【2015高考山東，理11】觀察下列各式：




……
照此規律，當nN時，
.
【答案】
【解析】因為第一個等式右端為： ；第二個等式右端為： ；第三個等式右端為： 由歸納推理得：第 個等式為： 所以答案應填：
10．對大于或等于2的正整數的冪運算有如下分解方式：
…
…
根據上述分解規律，若，的分解中最小的正整數是21，則 .
【答案】
【解析】

由已知得
∵的分解中最小的數是21，
∴，
,
故答案為.
11．【2015高考陜西，文16】觀察下列等式：
1－
1－
1－
…………
據此規律，第n個等式可為______________________.
【答案】
12．【2014全國1高考理第14題】甲、乙、丙三位同學被問到是否去過三個城市時，
甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；
乙說：我沒去過城市.
丙說：我們三個去過同一城市.
由此可判斷乙去過的城市為__________
【答案】A
【解析】
試題分析：由丙說可知，乙至少去過A,B,C中的一個城市，由甲說可知，甲去過A,C且比乙去過的城市多，故乙只去過一個城市，且沒去過C城市，故乙只去過A城市．
13．【2014高考福建卷第15題】若集合且下列四個關系：
①；②；③；④有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組的個數是_________.
【答案】6
【解析】由于題意是只有一個是正確的所以①不成立,否則②成立.即可得.由即.可得.兩種情況.由.所以有一種情況.由即.可得.共三種情況.綜上共6種.
15．觀察下列一組等式：
①，②，
③，……，
那么，類比推廣上述結果，可以得到的一般結果是：__ ____網]
【答案】

第二關 以新定義為背景的填空題
【名師綜述】
在近幾年全國、各省的高考數學命題中,“新定義”問題越來越受到關注和重視.所謂“新定義”問題,是相對于高中教材而言,指在高中教材中不曾出現過的概念、定義.它的一般形式是:由命題者先給出一個新的概念、新的運算法則,或者給出一個抽象函數的性質等,然后讓學生按照這種“新定義”去解決相關的問題.“新定義”問題總的來說題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學生分析問題、解決問題的能力.掌握好下列幾種解題的思路與方法,為我們在宏觀上把握這類題型提供了思維方向.
類型1 以集合為背景的新問題
典例1 【2015高考湖北，理9】已知集合，，定義集合，則中元素的個數為（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C

【名師指點】高考試題中常出現一些給出新概念、新定義、或新運算要求考生就此解決一些問題的題型，來考查考生的進一步學習的能力.此類題目關鍵根據新概念、新定義、或新運算，明確集合中元素的特點和元素的產生過程，構造出符合要求的情境，再進行新概念和集合運算.
【舉一反三】
【2015高考浙江，理6】設，是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個數，命題①：對任意有限集，，“”是“ ”的充分必要條件；
命題②：對任意有限集，，，，（ ）
A. 命題①和命題②都成立 B. 命題①和命題②都不成立
C. 命題①成立，命題②不成立 D. 命題①不成立，命題②成立
【答案】A.
【解析】命題①顯然正確，通過如下文氏圖亦可知表示的區域不大于
的區域，故命題②也正確，故選A.

類型2．以函數為背景考查新定義
典例2 （2016四川理15）在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為，當是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現有下列命題：
①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點.
②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上.
③若兩點關于軸對稱，則他們的“伴隨點”關于軸對稱.
④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線.
其中的真命題是 .
【答案】②③
【解析】 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是.故錯誤；
對于②，令單位圓上點的坐標為，其伴隨點為仍在單位圓上.故②正確；
對于③，設曲線關于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為
與的圖像關于軸對稱，所以③正確；
對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓.故④錯誤.
所以正確的序號為②③.
【名師指點】函數是高中數學的重要內容，也是高中階段傳統的數學基礎知識，該內容的考查主要圍繞函數概念、性質與應用等方面展開。近年來，為了適應以能力立意，著重考查學生探究能力和創新意識的數學高考命題要求，各種試題中出現了許多以函數為背景的新定義問題，這類問題形式新穎、信息量大、思維要求高。函數中的新定義問題主要包括兩類，一類是基于函數概念背景的新定義問題，此類問題常以函數的三要素（定義域、對應法則、值域）的某一要素為考查視角，目的是考查學生對函數概念的理解深度；另一類是基于函數性質背景的新定義問題，函數性質包括單調性、奇偶性、周期性、有界性、對稱性、凹凸性等，類比這些性質，可以衍生出很多新函數，旨在考查學生靈活應用函數性質的能力。
【舉一反三】
【2014高考湖北卷理第6題】若函數、滿足，則稱、在區間上的一組正交函數，給出三組函數：①；②；③.其中為區間的正交函數的組數是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】對①，則、為區間上的正交函數；
對②，則、不為區間上的正交函數；
對③，則、為區間上的正交函數.
所以滿足條件的正交函數有2組，故選C.
類型3. 以數列為背景的新定義
例3．(2016·課標全國丙) 定義規范數列如下：共有項，其中項為，項為，且對任意，中的個數不少于的個數.若，則不同的“規范數列”共有（ ）
A.個 B.個 C.個 D.個
【答案】C
【解析】依題意，由“規范01數列”，得第一項為0，第項為1，當時，只需確定中間的6個元素即可，且知中間的6個元素有3個“0”和3個“1”.
分類討論：①若0后接00，如圖所示.

后面四個空位可以隨意安排3個1和1個0，則有種排法；
②若0后接01如圖所示.

后面四個空位可以排的數字為2個“0”和2個“1”，只有一種情形不符合題意，即01后面緊接11，除此外其它的情形故滿足要求，因此排法有種排法；
③若0后接10，如圖所示.

在10后若接0，則后面有種排法，在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五個數字一定接0，另外兩個位置0，1可以隨意排，有中排法，則滿足題意的排法有種.故選C.
【名師指點】數學中的新概念題能很好地考察學生的遷移能力和探究能力，同時具有較好的區分和選拔功能，受命題者的青睞，在各類考試中頻頻出現. 有些同學遇“新”而害怕,而新課程理念要求在掌握知識和技能之外,更加注重思維靈活性和發散性及信息遷移能力的培養. 近幾年的高考試題更加重視考查學生的學習潛能,因而在試題創新上下了很大功夫,各種新題型層出不窮,尤其新定義型問題成為考查的熱點.根據對近兩年全國各地高考試題分析研究,新定義型問題主要給出了新定義一種運算、概念(如一種符號、一種圖形等)、一種性質等,要求學生在短時間內理解試題所給的新型定義,進而解決問題的一種重要題型.這種試題常以其為載體考查學生學習新知識的能力,特別是能將所學知識與方法遷移到不同情境中,進而考查學生的理性思維和數學素養.新定義數考查方式:以一些具有特殊性質或具有特殊關系的數為背景.解析要點:抓住新定義本質特征或隱含的規律.
【舉一反三】若數列滿足，，則稱數列為“夢想數列”。已知正項數列為“夢想數列”，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B

【精選名校模擬】
1. 【廣西南寧、梧州2017屆高三畢業班摸底聯考，11】給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.已知函數的拐點是，則點（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C.在直線上 D．在直線上
【答案】B
【解析】，所以，
故在直線上.故應選B.
2.對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，稱為“局部奇函數”，若為定義域上的“局部奇函數”，則實數的取值范圍是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
3.某學校要招開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數（其中表示不大于的最大整數）可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
試題分析：根據題意，當時，所以選項不正確，當時，所以不正確，故選C.
4. 【四川遂寧、廣安、眉山、內江四市2017屆高三上學期第一次聯考，12】已知函數與的圖象關于軸對稱，當函數和在區間同時遞增或同時遞減時，把區間叫做函數的“不動區間”，若區間為函數的“不動區間”，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
試題分析：易知與在上單調性相同，當兩個函數單調遞增時，與的圖象如圖1所示，易知，解得；當兩個函數單調遞減時，的圖象如圖2所示，此時關于軸對稱的函數不可能在上為減函數．綜上所述，，故選C．

5.在平面直角坐標系中，定義兩點與之間的“直角距離”為．給出下列命題：
(1)若，，則的最大值為；
(2)若是圓上的任意兩點，則的最大值為；
(3)若，點為直線上的動點，則的最小值為．
其中為真命題的是( )．
A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)
【答案】D
【解析】
試題分析：對于（1），，
的最大值為，故（1）不正確。
對于（2），要使最大，必有兩點是圓上關于原點對稱的兩點，可設，則。故（2）正確；
對于（3），設，則，去掉絕對值后可知當 時，取得最小值，故（3）正確。故選D.
6.形如的函數因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數”．若函數有最小值，則當時的“囧函數”與函數的圖像交點個數為________個． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C

7.若函數對其定義域內的任意，當時，總有，則稱為緊密函數.例如函數是緊密函數，下列命題：①緊密函數必是單調函數；②函數在時是緊密函數；③函數是緊密函數；④若函數為定義域內的緊密函數，則時,有；⑤若函數是緊密函數且在定義域內存在導數，則其導函數在定義域內的值一定不為零.其中的真命題是（ ）
A.②④ B.①② C.①②④⑤ D.①②③⑤
【答案】A.
9.對于定義在上的函數，若存在距離為的兩條直線和，使得對任意都有恒成立，則稱函數有一個寬度為的通道.給出下列函數：
①；②；③；④
其中在區間上通道寬度可以為1的函數有 (寫出所有正確的序號).
【答案】①③④
【解析】
試題分析：①時，,兩條直線可取,故在上存在寬度為1的通道;
②時，，故在上不存在寬度為1的通道；
③時，表示雙曲線在第一象限的部分,雙曲線的漸近線為,故可取另一直線為,滿足在上存在寬度為1的通道;
④，時；時.所以時取得極大值同時也是最大值.即,時.所以時, .兩條直線可取,故在上存在寬度為1的通道
綜上可知正確的有①③④.
10.已知點，點在曲線上，若線段與曲線相交且交點恰為線段的中點，則稱點為曲線與曲線的一個“相關點”，記曲線與曲線的“相關點”的個數為，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】
試題分析：設，則AB的中點為，所以有，即，所以“相關點”的個數就是方程解的個數，由于的圖象在軸上方，且是上增函數，在上是減函數，所以它們的圖象只有一個交點，即，故選B.
11. 【遼寧盤錦市高中2017屆11月月考，15】如果定義在上的函數滿足：對于任意，都有，則稱為“函數”．給出下列函數：①；②；③；④
其中“函數”的個數是 ．
【答案】②③
【解析】∵對于任意給定的不等實數，，不等式恒成立，∴不等式等價為恒成立，即函數是定義在上的不減函數（即無遞減區間）．①函數，則，在函數為減函數．不滿足條件．②，，函數單調遞增，滿足條件．③是定義在上的增函數，滿足條件．④，時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，不滿足條件．故答案為②③ .
12. [2014高考福建卷第15題】若集合且下列四個關系：①；②；③；④有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組的個數是_________.
【答案】6
【解析】由于題意是只有一個是正確的所以①不成立,否則②成立.即可得.由即.可得.兩種情況.由.所以有一種情況.由即.可得.共三種情況.綜上共6種.
13. 【2015高考山東】定義運算“”： （）.當時，的最小值是?????? .
【答案】

14. 【四川省涼山州2017屆高中畢業班第一次診斷性檢測,16】函數，的定義域都是，直線（），與，的圖象分別交于，兩點，若的值是不等于的常數，則稱曲線，為“平行曲線”，設（，），且，為區間的“平行曲線”，，在區間上的零點唯一，則的取值范圍是 ．
【答案】.
【解析】
試題分析：在為，為區間的“平行曲線”，所以函數是由函數的圖象經過上下平移得到的，即，又，所以，即， 得，則在區間上有唯一零點等價于函數與函數有唯一交點，，當時，，函數在區間上單調遞增，所以函數與函數有唯一交點等價于，即，即的取值范圍是.
15.設函數的定義域為,若函數滿足條件：存在,使在上的值域是，則稱為“倍縮函數”，若函數為“倍縮函數”，則實數t的取值范圍是
【答案】
【解析】
試題分析：函數為“倍縮函數”，滿足條件：存在,在上的值域是，又因為在是增函數，所以，即，
可得方程的根，令則有兩個大于零不等的實根，所以解得：，所以，滿足條件的t的取值范圍是.
16. 【2015高考福建，理15】一個二元碼是由0和1組成的數字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤（即碼元由0變為1，或者由1變為0），已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組：
其中運算 定義為：．
現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 ．
【答案】．





















第三關 以不等式恒成立或有解問題為背景的填空題
【名師綜述】
含參數不等式的恒成立的問題，是近幾年高考的熱點.它往往以函數、數列、三角函數、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想.含參數不等式的恒成立問題常根據不等式的結構特征,恰當地構造函數,等價轉化為含參數的函數的最值討論.
類型一 可轉化為二次函數的恒成立問題
典例1．【河北省武邑中學2017屆高三上學期第三次調研考試數學（理）試題】已知定義在上的奇函數滿足:當時，，若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】A

【名師指點】利用函數的性質將抽象不等式符號去掉，轉化為二次不等式恒成立問題，若實數范圍內的二次不等式問題可結合開口方向和判別式處理；若給定區間的二次不等式恒成立或有解問題，可利用參變分離法或圖象處理．
【舉一反三】【浙江省紹興市柯橋區2016屆高三教學質量調測（二模）數學（理）試題】對任意不等式恒成立, 則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設,則,,故原不等式轉化為,即,所以,即.故應填答案.
類型二 利用構造函數求最值方法求恒成立問題
典例1 [改編題] 已知函數,當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍_________．
【答案】
【解析】因當時，不等式恒成立，即恒成立，設 （），只需即可．由，
（ⅰ）當時，，當時，，函數在上單調遞減，故 成立；
（ⅱ）當時，由，因，所以，①若，即時，在區間上，，則函數在上單調遞增，在 上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；
（ⅲ）當時，由，∵，∴，
∴，故函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是．
【名師指點】恒成立等價與恒成立，記，則，本題中由于有參數，需要分類討論，利用導數求最值．
【舉一反三】已知函數若當時，恒成立，則的取值范圍______．
【答案】
【解析】,令
當時，在上為增函數，而從而當時，，即恒成立，若當時，令，得
當時，在上是減函數，而從而當時，，即，綜上得的取值范圍為.
類型三 利用參變分離求恒成立問題
典例2 當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】①顯然時，對任意實數，已知不等式恒成立；令，
②若，則原不等式等價于，令，則，由于，故，即函數在上單調遞減，最大值為，故只要 ；
③若，則，令，則，在區間上的極值點為，且為極小值點，故函數在上有唯一的極小值點，也是最小值點，故只要 ．
綜上可知：若在上已知不等式恒成立，則為上述三個部分的交集，即．
【名師指點】本題通過不等式恒成立問題考查利用導數研究函數的最值，考查轉化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數范圍取交集．若按照參數討論則取并集，是中檔題．不等式恒成立時求參數的取值范圍，常常采用分離參數法把不等式變形為如“”形式，則只要求出的最大值，然后解即可．
【舉一反三】【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數學（理）試題】設函數，，對，不等式恒成立，則正數的取值范圍為 .
【答案】

類型四 利用圖像法求恒成立問題
典例3 若不等式在區間上恒成立，則實數m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】不等式即為，作出函數和的圖象，如圖，當的圖象過點時，，因此不等式在區間上恒成立時，有．

【名師指點】等價于在公共定義域區間內，函數的圖像落在的下方，這樣在平面直角坐標系中畫出相應函數的圖像，根據圖像上下關系，確定參數取值范圍．
【舉一反三】已知函數,若||≥,則的取值范圍是__________.
【答案】.
【解析】
【精選名校模擬】
1．【寧夏育才中學2017屆高三上學期第二次月考數學（理）試題】設函數，. 若當時，不等式恒成立，
則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】易得是奇函數，在上是增函數，又 ，故選D.
2．【湖北荊州2017屆高三上學期第一次質量檢

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