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典例分析：三角形
考點一：三角形的三邊關系
例1、在活動課上，小紅已有兩根長為4cm，8cm的小木棒，現打算拼一個等腰三角形，則小紅應取的第三根小木棒的長 cm．
分析：要取第三根小木棒的長度，就要看它和己有的兩根小木棒構成的三角形是否滿足：任意兩邊之和大于第三邊或任意兩邊之差小于第三邊．
解：當4為腰時，4，4，8不滿足三角形三邊關系定理，當8為腰時，4，8，8滿足三角形三邊關系定理，所以應填8．
點評：三角形的三邊關系的應用是考試的熱點問題，經常以填空題、選擇題的形式出現．
例2、用7根火柴棒首尾順次連接擺成一個三角形，能擺成的不同的三角形的個數為
析解：設三角形的邊長分別為x、y、z．則 其 中x、y、z 都是正整數，那么三邊長的可能情況有 再根據三角形的兩邊之和大于第三邊進行驗證，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求．
考點二：三角形的內角和
例3、若三角形的一個角是另一個角的6倍，而這兩個角的和比第三個角大，則此三角形的最大角是____.
析解：設另一個角為x度，則此角是6x度，第三個角是（x+6x-44）度。根據三角形的內角等于180°，得（x+6x-44）+x+6x=180，所以x=16，6x=96，x+6x-44=68，所以最大角為96°．
考點三：三角形的內角和外角
例4、 如圖在直角△ABD中，∠D=90°,C為AD上一點，則x可能是（ ）

A、10° B、20° C、30° D、40°
析解：根據三角形的內角和外角的關系有6x=90°+∠DBC，又因為∠DBC應為銳角，代入各項分別驗證應選B．
例5、如圖的平分線和△ABC的外角的平分線交于點D，求的度數

析解：根據三角形的內角和外角的關系有
又
考點四：多邊形的內角和外角
例6、如圖有兩個正方形和一個等邊三角形，則圖中度數30°的角有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
解析： 選D. 通過計算，∠CDG，∠CEF，∠GHB，∠CHF的度數都為30°.
點評： 由四邊形內角和為360°，正方形每一個內角為90°，等邊三角形的每一內角為60°可得.
考點五：平面鑲嵌問題
例7、一幅美麗的圖案，在某個頂點處由四個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成，其中三個分別為正三角形、正四邊形、正六邊形，那么另一個為（ ）
A. 正三邊形 B. 正四邊形 C. 正五邊形 D. 正六邊形
解析： 多邊形平面鑲嵌需要滿足的條件之一：拼接在同一個點的各個角的和恰好等于. 因為正三角形、正四邊形、正六邊形的每個內角是60°，90°，120°，則第四個正多邊形的內角必須是360°-60°-90°-120°=90°，所以另一個多邊形是正四邊形. 選B.
考點六、與三角形有關的變化規律
例8、在圖1中，互不重疊的三角形共有4個，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個，在圖3中，互不重疊的三角形共有10個，…則在第n個圖中，互不重疊的三角形共有 個，（含n的式子表示）
析解：圖形分割的規律是：每增加一個小三角形，圖形中不重疊的三角形總數增加3個，依照這樣的規律，第4個圖形中不重疊的三角形共有4+3+3+3=13，第5個圖形中共有4+3+3+3+3=16，第n個圖形中，互不重疊的三角形的個數為4+，即.

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