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思維點撥：三角形
如圖，三角形ABO的邊AO、BO分別是三角形DOC的邊CO、DO的延長線，則∠A+∠B=∠C+∠D.??? ??? 解：在三角形ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在三角形COD中，∠C+∠D＋∠DOC=180°，所以∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D＋∠DOC.又因為∠AOB＝∠DOC，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 由此我們得到以下結論：如果兩個三角形有一個角是對頂角，那么這兩個三角形的另外兩個角的和相等.??? 【例1】如圖，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數和.??? ??? 【思考與分析】我們可以連結DE，在由三角形ACF和三角形DEF構成的圖形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，從而把五角星ABCDE的五個內角放到了三角形BED中，根據三角形內角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.??? 解：連結DE，由以上結論可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，??? 又因為在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，??? 所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.??? 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.??? 【例2】如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度數和.??? ??? 【思考與分析】我們按照例1的思路，連結CD，則在三角形AEF和三角形DCF所構成的圖形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，這樣就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同時放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度數和.??? 解：連結CD，則∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，??? 又因為在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，??? 所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.??? 【小結】按照這種思路，以上兩題還有多種解法，大家不妨試一試，看能找到多少種解法.
【例3】如圖，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G，下列四個式子中正確的是（???? ）.??? ??? ??? 【思考與解】因為EG⊥AD，交點為H，AD平分∠BAC，??? 所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－??? 在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），??? 所以∠1＝90°－［180°－（∠2＋∠3）］=（∠3+∠2）.??? 又因為∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.??? 所以∠G＝∠1－∠2＝（∠3+∠2）－∠2＝（∠3－∠2）.??? 所以應選C.??? 【例4】如圖，點D為三角形ABC內的一點，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度數嗎？??? ??? 【思考與解】延長BD，與AC交于E點，??? 因為∠DEC是三角形ABE的外角，??? 所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.??? 又因為∠BDC是三角形CDE的外角，??? 所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.??? 【小結】記準一些常用的結論，有助于我們快速地、正確地解題.
【例5】如圖，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，你能求出∠A的度數嗎？??? ??? 【思考與分析】要求∠A的度數，我們可以設法讓∠A成為某個與已知角相關的三角形的內角.我們可延長BO交AC于D，則∠A、∠B即為三角形ABD的兩個內角.根據三角形外角的性質，欲求∠A的度數，可先求∠ODC的度數，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度數.??? 解：延長BO交AC于D.??? 因為∠BOC是三角形ODC的外角，??? 所以∠BOC＝∠ODC+∠C.??? 因為∠BOC=110°，∠C＝20°，??? 所以∠ODC＝110°－20°＝90°.??? 因為∠ODC是三角形ABD的外角，??? 所以∠ODC＝∠A+∠B.??? 因為∠B＝10°，??? 所以∠A＝90°－10°＝80°.??? 【例6】如圖，點D是三角形ABC內一點，連結BD、CD，試說明∠BDC>∠BAC.??? ??? 【思考與分析】∠BDC和∠BAC在兩個不同的三角形內，而且不能直接比較它們的大小，必須做輔助線把這兩個角聯系起來.我們延長BD交AC于P，或連結AD并延長交BC于Q，都可以利用三角形外角的性質解題.??? 解：延長BD交AC于P，則∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.??? 【反思】我們還可以連結AD并延長交BC于Q，如圖，請大家試一試，看能不能得到相同的結論.???
【例7】已知三角形ABC的一個內角度數為40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度數嗎？??? 【思考與分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一個等腰三角形，我們必須要討論40°的角是三角形ABC的頂角還是底角，應分兩種情況解答.??? 解：（1）設∠α＝40°，當∠α是等腰三角形的頂角時，則∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度數為140°.??? （2）設∠α＝40°，當∠α是等腰三角形的底角時，∠A=∠B＝∠α＝40°，此時∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直線交于H，你能求出∠BHC的度數嗎？??? 【思考與分析】三角形的形狀不同，高的交點的位置也就不同.高的交點的位置可能在三角形的內部，也可能在三角形的外部，因此我們應該分兩種情況進行討論.??? 解：當三角形ABC為銳角三角形時，如圖1所示.??? ??? 因為BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，??? 所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.??? 所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.??? （2）當三角形ABC為鈍角三角形時，如圖2所示.??? 因為H是三角形的兩條高所在直線的交點，∠A=45°，??? 所以∠ABD＝90°－45°＝45°.??? 所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.??? 由（1）、（2）可知，∠BHC的度數為135°或45°.??? 【小結】我們在解題中，經常遇到題目中某些條件交代不清，此時，我們一定要注意分情況考慮，用分類討論的方法使解完整
【例9】如圖，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度數嗎？??? ??? 【思考與分析】我們由三角形內角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因為∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A的度數.我們還可以用方程來解這道題，根據三角形內角和定理與∠B=∠C＝2∠A這兩個已知條件求未知量∠A的度數.用方程解決問題，我們必須在弄清題中已知數量和未知數量的關系的基礎上，要抓住題中的不變量，建立等量關系.題中的不變量是三角形內角和等于180°，其等量關系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我們用數學語言把這個等量關系式轉化為方程.??? 設∠A的度數為x，則可以用2x分別表示∠B、∠C的度數，將這個等式轉化為方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度數.??? 解法一：因為∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.??? 解法二：設∠A的度數為x，則∠B、∠C的度數都為2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.
【例10】判斷適合下列條件的三角形ABC是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形.??? （1）∠A=80°，∠B=25°；??? （2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；??? ??? 【思考與分析】根據角判斷三角形的形狀，我們只需求出三角形中各角的度數就可以了，本題判斷三角形是否是銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度數即可.（1）題通過直接計算就可以求出∠C的度數，（2）（3）題不便于直接計算，可以運用方程思想抓住等量關系，列方程進行求解.??? 解：（1）因為∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是銳角三角形.??? （2）設∠B＝x°，則∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是鈍角三角形.??? （3）設∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，則x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是鈍角三角形.??? 【小結】利用方程求角度是我們常用的方法之一.在三角形中，給出的條件不能直接求出結果，且各角之間有相互關系，我們可以設其中一個角為未知數，再把其它角用此未知數表示，然后列方程即可求解.
利用高線與邊垂直的性質求度數　　【例11】 已知△ABC的高為AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度數．　　【思考與分析】由于AD為底邊BC上的高，過A做底邊BC的垂線時，垂足D可能落在底邊BC上，也有可能落在BC的延長上.因此，我們需要分情況討論．　　解：（1）當垂足D落在BC邊上時，如圖，因為∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.　　　　　（2）當垂足D落在BC的延長線上時，如圖，因為∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．　　　　　所以∠BAC為90°或50°．　　【小結】由于三角形可以分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形，在題目所給條件中如果沒有確切說明三角形的具體類型時，我們就要分類討論，以防遺漏.　　2. 利用三角形面積公式求線段的長度　　【例12】 如圖，△ABC中，AD，CE是△ABC的兩條高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的長嗎？　　　　　【思考與分析】由于三角形面積等于底與高乘積的一半.因此，三角形的面積就有三種不同的表達方式.我們若設△ABC的三邊長分別為a，b，c，對應邊上的高分別為ha，hb，hc，那么三角形的面積S=aha=bhb=chc.本題中已知三角形的兩條高與其中一條高所對應的邊，求另一條邊，利用三角形面積S△ABC=BC·AD=AB·CE，解決十分方便.　　解：S△ABC=BC·AD=AB·CE　　×5×3=AB·4，解得AB=（cm）．　　【小結】用同一個三角形不同的面積表達式建立等式求線段的長度，是一種很重要的方法，在今后的學習中，我們應注意這種方法的運用．
【例13】如圖，已知AD、AE分別是三角形ABC的中線、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，則三角形ABD與三角形ACD的周長之差為????????????? ，三角形ABD與三角形ACD的面積之間的關系為???????? .　　　　　【思考與解】（1）三角形ABD與三角形ACD的周長之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.　　（2）因為S三角形ABD＝BD×AE，S三角形ACD＝CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.　　【例14】如圖，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E.F為AB上的一點，CF⊥AD于H.下列判斷正確的有（?????? ）.　　　　　（1）AD是三角形ABE的角平分線.　　（2）BE是三角形ABD邊AD上的中線.　　（3）CH為三角形ACD邊AD上的高.　　A.1個? B.2個? C.3個?? D.0個　　【思考與解】由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE內的線段，所以（1）不正確；同理，BE雖然經過三角形ABD邊AD的中點G，但BE不是三角形ABD內的線段，故（2）不正確；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD邊AD上的高，（3）正確.應選A.　　【例15】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AB＝13cm，BC=12cm，AC=5cm.（1）求三角形ABC的面積.（2）求CD的長.　　　　　【思考與分析】求直角三角形的面積，有兩種方法：①S△=ab（a、b為兩條直角邊的長）；②S△=ch（c為直角三角形斜邊的長，h為斜邊上的高）.由此可知ab＝ch，在a、b、c、h四個量中，已知其中三個量，就可以求出第四個量.　　解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC=12cm，AC=5cm，　　所以S△ABC＝AC×BC＝30（cm2）.　　（2）因為CD是AB邊上的高，所以S△ABC＝AB×CD，即×13×CD＝30.解得CD＝cm.
【例16】如圖1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數嗎？　　　　　　　【思考與解】我們可以連結EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數轉化為求四邊形BCEF的內角和.如圖2所示.　　因為∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，　　所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.　　【例17】如圖3，凸六邊形ABCDEF的六個角都是120°，邊長AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出這個六邊形的周長嗎？　　　　　　　【思考與分析】要求六邊形的周長，必須先求出邊EF和AF的長.由六邊形ABCDEF的六個角都是120°，可知六邊形的每一個外角的度數都是60°，如圖4，如果延長BA，得到的∠PAF=60°，延長EF，得到的∠PFA=60°，兩條直線相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度數為180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等邊三角形.同樣的道理，我們分別延長AB、DC，交于點G，那么三角形BGC為等邊三角形.分別延長FE、CD交于點H，則三角形DHE也是等邊三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等邊三角形.于是我們得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四個等邊三角形.于是就把多邊形的問題轉化為和等邊三角形有關的問題.利用等邊三角形的三邊相等的性質，可以輕松的求出AF和EF的長，從而求出六邊形ABCDEF的周長.　　解：如圖4，分別作直線AB、CD、EF的延長線使它們交于點G、H、P.　　因為六邊形ABCDEF的六個角都是120°，　　所以六邊形ABCDEF的每一個外角的度數都是60°.　　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等邊三角形.　　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.　　所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.　　所以六邊形的周長為2＋8+11+6+4+15＝46cm.　　【反思】本題解題的關鍵是利用多邊形和三角形的關系，通過添加輔助線，利用六邊形構造出等邊三角形，從而利用轉化的思想，把多邊形問題轉化為和三角形有關的問題，利用三角形的性質、定理來解答多邊形的問題.
方程思想是我們學習數學的重要思想方法之一.用方程思想求解數學問題時，應從題中的已知量與未知量的關系入手，找出相等關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程，再通過解方程，使問題得到解決.　　方程思想應用非常廣泛.我們不但能用方程思想解決代數問題，而且還能夠解決有關的幾何問題.　　【例18】已知三角形的第一個內角是第二個內角的1.5倍，第三個內角比這兩個內角的和大30°，求這三個內角的度數.　　【思考與分析】題中的已知量是“第一個內角是第二個內角的1.5倍，第三個內角比這兩個內角的和大30°”，未知量是這三個角的度數.題中沒有給出三角形內角的度數.但第一個內角和第三個內角與第二個內角的度數相關聯，所以解這道題的關鍵是求出第二個內角的度數.要想解決這個問題，不妨設第二個內角的度數為x，利用方程思想來解.　　根據三角形的內角和為180°，由此我們可以得到這樣的等式關系：第一個內角＋第二個內角＋第三個內角＝180°.當我們用數學語言表示第二個內角為x，第一個內角為1.5x，第三個內角為x+1.5x+30°，利用代換法，將上述的等量關系轉化為方程：x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°.通過解這個方程就能使問題得到解決.　　解：設這個三角形的第二個內角的度數為x，則第一個內角的度數為1.5x，第三個內角的度數為（x＋1.5x＋30°），列方程可得x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°，解得x＝30°.　　所以三角形的三個內角分別為45°，30°，105°.　　【例19】如圖，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數.　　　　　　　【思考與分析】我們欲求∠DBC的度數，因為∠DBC是直角三角形DBC的一個內角，因此問題轉化為求∠C的度數，由已知條件知三角形ABC的三個內角關系為∠C=∠ABC=2∠A，又根據三角形內角和定理有等量關系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，從而我們用一個角的度數來表示另外兩個角，代入這個等量關系求三個內角的度數，即用方程的方法解決問題.可設∠A＝x，則∠C=∠ABC=2x，代入上述等量關系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，從而可求得∠DBC的度數.　　解：設∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，　　在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，則∠C＝72°.　　因為BD是AC邊上的高，　　所以∠BDC＝90°.　　在直角三角形BDC中，　　∠DBC＝90°－72°＝18°.

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