資源簡介

連線中考全等三角形創新題型
在新課程理念的催生下，近年中考在題型設計上不斷推陳出新。為能更好地與中考接軌，本文就與中考全等三角形問題中有關的創新題展示如下，以期拋磚引玉。
一、條件探索題
例1．如圖1，AB、CD相交于點O，AB=CD，試添加一個條件使得△AOD≌△COB，你添加的條件是 （只需寫一個）.
解析：由對頂角相等，得∠AOD=∠COB，若加條件AO=CO，則由AB=CD，可得AB－AO= CD－CO，即BO=DO．由“SAS”得△AOD≌△COB．同理，也可以加條件BO=DO．如果連接DB，那么可加條件AD=CB，先說明△ADB≌△CBD，得∠A=∠C,再得出△AOD≌△COB．
所以應填AO=CO，或BO=DO，或AD=CB等．
評注：解答條件開放型試題，需要執果索因，逆向推理，逐步探求結論成立的條件．解決這類題時，要注意挖掘圖形中的隱含條件，如對頂角、公共角、公共邊等．這類題的答案往往不唯一，只要合理即可．
二、結論探索題
例2．如圖2，在與中，， 相交于點，過點作交的延長線于點，過點作交的延長線于點相交于點．圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對說明全等的理由（不添加任何輔助線）．
解析：由題意可得，和都是直角三角形，它們與和互相都是全等三角形，下面說明≌．
因為（已知），（已知），（公共邊），
所以≌（SAS）．
評注：解答結論開放型試題的關鍵是執因索果，但在解題思路和推導深入度不同的情況下，所得答案往往不同，即答案具有不確定性．
三、綜合探索題
例3．如圖3，AC交BD于點O，請你從下面三項中選出兩個作為條件，另一個為結論，寫出一句正確的話，并說明正確的理由．
①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．
解析：由題意得，給出的三項中，任意選兩項作為條件，另一項作為結論寫出的句子都是正確的．如“AC交BD于點O，若①OA=OC，②OB=OD，則③AB∥DC．”這是正確的．又如“AC交BD于點O，若①OA=OC，③AB∥DC，則②OB=OD．”這也是正確的，理由如下．
因為AB∥DC（已知），所以∠A=∠C（兩直線平行，內錯角相等）．
又OA=OC（已知），∠AOB=∠COD（對頂角相等），
所以△AOB≌△COD（ASA）．
所以OB=OD（全等三角形的對應邊相等）．
評注：條件和結論都開放的綜合開放型試題，解題的方法是要充分利用所學的數學知識，通過觀察、分析、綜合、判斷、推理等活動來探索、完善并進行證明．
四、條件組合題
例4．如圖4，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫一個真命題，并加以證明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．
已知：
求證：
證明：
分析：根據三角形全等的條件和三角形全等的特征，本題有以下兩種組合方式：組合一：條件：①②④，組合二：條件：①③④，結論：②，特別要注意若以①②③或②③④為條件組合，此時屬于SSA的對應關系，則不能證明△ABC≌△DEF，也得不到相關結論．
評注：這種題型是近幾年來的中考題的新亮點，它通過“一題多變”與“一題多解”來考察學生的發散思維能力．
五、猜想驗證題
例5．如圖5，已知為等邊三角形，、、分別在邊、、上，且也是等邊三角形．
（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，
并證明你的猜想是正確的；
（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？
寫出變化過程．
分析：（1）猜想：AF=BD=CE，AE=BF=CD．
由已知條件，只要證明：△AFE≌△BDF≌△CED即可．
（2）這些線段可以看成是經過平移、旋轉而得到的，如AE與BF繞著A點順時針旋轉600，再沿著AB方向平移使A點至F即可得BF，其余類同．
評注：本題是一道具有挑戰性的探索、猜想、驗證、證明的試題，它與幾何中圖形的全等、圖形的變換融合在一起，只要同學們認真觀察、認真判斷，問題就不難得到解決．
六、拼圖證明題
例6．一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上．
（1）求證AB⊥ED；
（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明．
分析：（1）由已知的剪、拼圖過程（將長方形沿對角線剪開），顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不難得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．
（2）若在增加PB=BC這個條件，再認真觀察圖形，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．
評注：本題的意圖是讓同學們在剪、拼圖形的背景下，積極參與圖形的變化過程，并在圖形的變化過程中來探究圖形之間的關系，用來考察學生的創新精神與能力．
七、應用型
例7．如圖7，將兩根鋼條、的中點O連在一起，使、可以繞著點0自由轉動，就做成了一個測量工件，則的長等于內槽寬AB，那么判定△AOB△的理由是（　　?。?br/>A. 邊角邊 B.角邊角 C.邊邊邊 D.角角邊
評注：新的數學課程標準加強了數學知識的實踐與綜合應用，從各地的中考應用題可以看出，它已不再局限于傳統而古老的列方程（組）解應用題這類題目，而是呈現了建模方式多元化的新特點，幾何應用題就是其中之一。本題利用全等三角形來解決實際中的工件的測量問題，其理論依據是“邊角邊”，故答案為A。
八、策略開放型
指運用所學的知識，根據問題的條件去分析、推理、判斷得到的途徑、手段可能是多種的，而這些不同的途徑、手段就是不同的解題策略。
例8．已知：如圖8，△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB= A1B1 ，BC= B1C1，∠C=∠C1。求證：△ABC≌△A1B1C1。（請你將下列證明過程補充完整。）
證明：分別過點B、B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，則∠BDC=∠B1D1C1=900。
∵BC= B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，
∴ BD=B1D1， 。
解析：本題有多種解法。
方法一：CD= C1D1，又∵AB= A1B1 ，
∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴AD= A1D1，∴CA= C1 A1，又∵ AB= A1B1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）。
方法二：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，
∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵ AB= A1B1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）。
方法三：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，
∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵BC= B1C1，∠C=∠C1 ，∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）。
方法四：又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A=∠A1 ，又∵∠C=∠C1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）。
九、操作應用題
例9．圖9為人民公園中的荷花池,現要測量此荷花池兩旁A、B兩棵樹間的距離(我們不能直接量得).請你根據所學知識,以卷尺和測角儀為測量
工具設計一種測量方案.
要求:(1)畫出你設計的測量平面圖；
(2)簡述測量方法，并寫出測量的數據(長度用…
表示；角度用…表示)；(3)根據你測量的數據,計算A、B兩棵樹間的距離.
分析：此題的測量方法很多，這里用全等知識來解決，方案如圖10，步驟為：
（1）在地上找可以直接到達的一點O，
（2）在OA的延長線上取一點C，使OC=OA；在BO的延長線
上取一點D，使OD=OB；（3）測得DC=a，則AB=a．
評注：本題是一道全開放式的設計方案題，它的解題策略非常多，可以利用三角函數、三角形中位線定理、全等三角形、三角形相似等許多知識，本題來源于課本、來源于生活，可以激發學生“學有用的數學”，更激發學生的學習熱情和創新熱情以及求知欲望．

展開更多......

收起↑