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北師大版七年級上冊數學各章知識點總結

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北師大版七年級上冊數學各章知識點總結

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北師大版七年級數學上冊知識點總結
第一章 豐富的圖形世界
1、生活中的立體圖形
圓柱

生活中的立體圖形 球 棱柱:三棱柱、四棱柱(長方體、正方體)、五棱柱、……
(按名稱分) 錐 圓錐
棱錐
2、棱柱及其有關概念:
棱:在棱柱中,任何相鄰兩個面的交線,都叫做棱。
側棱:相鄰兩個側面的交線叫做側棱。
n棱柱有兩個底面,n個側面,共(n+2)個面;3n條棱,n條側棱;2n個頂點。
3、 點、線、面、體
(1)幾何圖形的組成
點:線和線相交的地方是點,它是幾何圖形中最基本的圖形。
線:面和面相交的地方是線,分為直線和曲線。
面:包圍著體的是面,分為平面和曲面。
體:幾何體也簡稱體。
(2)點動成線,線動成面,面動成體。
4、正方體的平面展開圖:11種
















圓柱的側面展開圖是長方形,圓錐的側面展開圖是扇形。
5、截一個幾何體:用一個平面去截一個正方體,截出的面可能是三角形,四邊形,五邊形,六邊形。
6、從三個方向看物體的形狀
三個方向分別是:正面、左面和上面。
從正面看到的圖,叫做從正面看。
從左面看到的圖,叫做從左面看。
從上面看到的圖,叫做從上面看。
第二章 有理數及其運算

1、有理數的分類
正整數 正分數
整數 零 分數
負整數 負分數
整數與分數統稱為有理數。

正有理數
也可按 有理數 零 進行分類。
負有理數

2、數軸:規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時,要注意上述規定的三要素缺一不可)。任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。解題時要真正掌握數形結合的思想,并能靈活運用。
數軸上兩點表示的數,右邊的總比左邊的大。正數大于0,負數小于0,正數大于負數。
3、相反數:如果兩個數只有符號不同,那么稱其中一個數為另一個的相反數,也稱這兩個數互為相反數,零的相反數是零
4、絕對值:在數軸上,一個數所對應的點與原點的距離,叫做該數的絕對值,(|a|≥0)。若|a|=a,則a≥0;若|a|=-a,則a≤0。
正數的絕對值是它本身;負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。互為相反數的兩個數的絕對值相等。
兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
5、有理數加法法則:
同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加。
異號兩數相加,絕對值值相等時和為0;絕對值不相等時,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
一個數同0相加,仍得這個數。
互為相反數的兩個數相加和為0。
加法交換律
加法結合律
6、有理數減法法則:減去一個數,等于加上這個數的相反數!
7、有理數加減混合運算
一般統一成加法運算,從左到右的順序,利用加法交換律和結合律簡化運算。
8、有理數乘法法則:
兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘。
任何數與0相乘,積仍為0。
倒數:如果兩個有理數的乘積為1,那么稱其中一個數是另一個的倒數,也稱這兩個有理數互為倒數。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。
乘法交換律 乘法結合律
乘法對加法的分配律
9、有理數除法法則:
兩個有理數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。
0除以任何非0的數都得0。
注意:0不能作除數。
除以一個數等于乘這個數的倒數。
10、有理數的乘方:求n個相同因數a的積的運算叫做乘方,乘方的結果叫做冪。記作 an 。a叫做底數, n叫做指數。讀作“a的n次冪”
正數的任何次冪都是正數,負數的偶次冪是正數,負數的奇次冪是負數。
11、科學記數法
一般地,一個大于10的數可以表示成的形式,其中,n是正整數,這種記數方法叫做科學記數法。(n=整數位數-1)
12、有理數的運算順序
先算乘方,再算乘除,最后算加減,如果有括號,先算括號里面的。
13、用計算器進行計算



整式及其加減
字母表示數
字母可以表示任何數。
2、代數式
用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。
注意:①代數式中除了含有數、字母和運算符號外,還可以有括號;
②代數式中不含有“=、>、<、≠”等符號。等式和不等式都不是代數式,但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數式;
③代數式中的字母所表示的數必須要使這個代數式有意義,是實際問題的要符合實際問題的意義。
※代數式的書寫格式:
①代數式中出現乘號,通常省略不寫,如vt;
②數字與字母相乘時,數字應寫在字母前面,如4a;
③帶分數與字母相乘時,應先把帶分數化成假分數,如應寫作;
④數字與數字相乘,一般仍用“×”號,即“×”號不省略;
⑤在代數式中出現除法運算時,一般寫成分數的形式,如4÷(a-4)應寫作;注意:分數線具有“÷”號和括號的雙重作用。
⑥在表示和(或)差的代數式后有單位名稱的,則必須把代數式括起來,再將單位名稱寫在式子的后面,如平方米。
3、整式:單項式和多項式統稱為整式。
①單項式:都是數字和字母乘積的形式的代數式叫做單項式。單項式中,所有字母的指數之和叫做這個單項式的次數;數字因數叫做這個單項式的系數。
注意:1.單獨的一個數或一個字母也是單項式;2.單獨一個非零數的次數是0;3.當單項式的系數為1或-1時,這個“1”應省略不寫,如-ab的系數是-1,a3b的系數是1。
②多項式:幾個單項式的和叫做多項式。多項式中,每個單項式叫做多項式的項;次數最高的項的次數叫做多項式的次數。
4、整式的加減
同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。
注意:①同類項有兩個條件:a.所含字母相同;b.相同字母的指數也相同。
②同類項與系數無關,與字母的排列順序無關;
③幾個常數項也是同類項。
把同類項合并成一項叫做合并同類項
合并同類項法則:把同類項的系數相加,字母和字母的指數不變。
去括號法則
①根據去括號法則去括號:
括號前面是“+”號,把括號和它前面的“+”號去掉,括號里各項都不改變符號;括號前面是“-”號,把括號和它前面的“-”號去掉,括號里各項都改變符號。
②根據分配律去括號:
括號前面是“+”號看成+1,括號前面是“-”號看成-1,根據乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的。
5、探索與表達規律
探索規律的常見類型及方法
(1)數字規律和代數式規律
常見的幾種數字規律形式:




(2)新運算的規律
新運算是指用特定的符號表示與加、減、乘、除不相同的一種規定運算.
新運算的實質是有理數的幾種混合運算,關鍵是觀察出用到了哪些運算,要特別注意運算的順序.
(3)圖形規律
探索圖形規律的實質是用字母表示數,即列代數式.要從不同的角度分析,可用去括號、合并同類項驗證規律.



第四章 基本平面圖形
1、線段、射線、直線
名稱 圖形 表示方法 端點 長度
直線 直線AB(或BA) 直線l 無端點 無法度量
射線 射線OM 1個 無法度量
線段 線段AB(或BA) 線段l 2個 可度量長度

直線的性質
(1)直線公理:經過兩個點有且只有一條直線。(兩點確定一條直線。)
(2)過一點的直線有無數條。
(3)直線是是向兩方面無限延伸的,無端點,不可度量,不能比較大小。
2、比較線段的長短
線段的性質
(1)線段公理:兩點之間的所有連線中,線段最短。(兩點之間線段最短。)
(2)兩點之間的距離:兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離。
(3)線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。
線段的中點:
點M把線段AB分成相等的兩條相等的線段AM與BM,點M叫做線段AB的中點。AM = BM =1/2AB (或AB=2AM=2BM)。
3、角:
有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角,兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點,這兩條射線叫做這個角的邊。或:角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的。
角的表示
角的表示方法有以下四種:
①用數字表示單獨的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一個大寫英文字母表示一個獨立(在一個頂點處只有一個角)的角,如∠B,∠C等。
④用三個大寫英文字母表示任一個角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三個大寫字母表示角時,一定要把頂點字母寫在中間,邊上的字母寫在兩側。
平角和周角:一條射線繞著它的端點旋轉,當終邊和始邊成一條直線時,所形成的角叫做平角。終邊繼續旋轉,當它又和始邊重合時,所形成的角叫做周角。
角的度量
角的度量有如下規定:把一個平角180等分,每一份就是1度的角,單位是度,用“°”表示,1度記作“1°”,n度記作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分記作“1’”。
把1’ 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒記作“1””。
1°=60’,1’=60”
4、角的比較
二種方法進行比較:一種是用量角器量出它們的度數,再進行比較;另一種是將兩個角的頂點及一條邊重合,另一條邊放在重合邊的同側就可以比較大小。
角的平分線
從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線。
5、多邊形和圓的初步認識
多邊形:由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形叫做多邊形。連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
從一個n邊形的同一個頂點出發,分別連接這個頂點與其余各頂點,可以畫(n-3)條對角線,把這個n邊形分割成(n-2)個三角形。
各邊相等,各角也相等的多邊形叫做正多邊形
圓:平面上,一條線段繞著一個端點旋轉一周,另一個端點形成的圖形叫做圓。固定的端點O稱為圓心,線段OA的長稱為半徑的長(通常簡稱為半徑)。
圓上任意兩點A、B間的部分叫做圓弧,簡稱弧,讀作“圓弧AB”或“弧AB”;由一條弧AB和經過這條弧的端點的兩條半徑OA、OB所組成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。


第五章 一元一次方程
1、認識一元一次方程
含有未知數的等式叫做方程。
只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程。
能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。
等式的性質
(1)等式的兩邊同時加上(或減去)同一個代數式,所得結果仍是等式。
(2)等式的兩邊同時乘以同一個數((或除以同一個不為0的數),所得結果仍是等式。
2、求解一元一次方程
把方程中的某一項,改變符號后,從方程的一邊移到另一邊,這種變形叫做移項.
解一元一次方程的一般步驟:
去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將未知數的系數化為1,把一個一元一次
方程“轉化”成x=a的形式。
應用一元一次方程――水箱變高了
等積變形問題
變形前后體積相等


4、應用一元一次方程――打折銷售
商品利潤問題:售價=標價(或者:定價) , ;
利潤問題常用等量關系:售價-進價(或者:成本)=利潤
5、應用一元一次方程――“希望工程”義演

(1)和、差、倍、分問題 ①較大量=較小量+多余量
②總量=倍數×倍量 抓住關鍵性詞語


6、應用一元一次方程――追趕小明
行程問題: 距離=速度· ;
環路上兩人同時同地出發:相向(同向):快的路程-慢的路程=一周長
背向:兩者路程和=一周長



第六章 數據的收集與整理
1、數據的收集
通過調查、試驗等方式獲得數據信息,當調查或試驗項目很大,還可以通過查閱報紙、相關文獻或上網的方式,獲得數據信息
2、普查與抽樣調查
為了特定目的對全部考察對象進行的全面調查,叫做普查。其中被考察對象的全體叫做總體,組成總體的每一個被考察對象稱為個體。
從總體中抽取部分個體進行調查,這種調查稱為抽樣調查,其中從總體抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。
普查的優缺點:數據比較準確,能直接獲得總體的情況,但工作量大,有時且有破壞性,有一定的客觀條件的限制。抽樣調查反之。抽樣調查時要注意樣本的代表性和廣泛性。
數學的表示
扇形統計圖
扇形統計圖:利用圓與扇形來表示總體與部分的關系,扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小,這樣的統計圖叫做扇形統計圖。(各個扇形所占的百分比之和為1)
圓心角度數=360°×該項所占的百分比。(各個部分的圓心角度數之和為360°)
頻數直方圖
頻數直方圖是一種特殊的條形統計圖,它將統計對象的數據進行了分組畫在橫軸上,縱軸表示各組數據的頻數。
制作頻數直方圖的步驟:
(1)確定所給數據的最大值和最小值;(2)將數據適當分組;(3)統計每組中數據出現的次數;
4、各種統計圖的特點
條形統計圖:能清楚地表示出每個項目的具體數目。
折線統計圖:能清楚地反映事物的變化情況。
扇形統計圖:能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。





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