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高考數學常用結論集錦
一. 函數
1.函數的圖象的對稱性:
①函數的圖象關于直線對稱
②. 函數的圖象關于點對稱
2.兩個函數圖象的對稱性:
①函數與函數的圖象關于直線(即軸)對稱.
②函數與函數的圖象關于直線對稱.
特殊地: 與函數的圖象關于直線對稱
③函數的圖象關于直線對稱的解析式為
④函數的圖象關于點對稱的解析式為
3. 對數的換底公式 .推論 .
對數恒等式（）
4. 導數： ⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作；
⑵常見函數的導數公式: ①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦；
⑧ 。⑶導數的四則運算法則：
二.數列
1. 若數列是等差數列，是其前n項的和，，那么，，成等差數列。如圖所示：
其前n項和公式
5. 若等差數列的前項的和為，等差數列的前項的和為，則。
等比數列的通項公式；等比數列的變通項公式
其前n項的和公式或
三.三角函數
1． 同角三角函數的基本關系式 ，=，
2. 正弦、余弦的誘導公式

即:奇變偶不變,符號看象限,如
3. 和角與差角公式
;;
.(平方正弦公式);
.
=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
4. 二倍角公式 .
.（升冪公式）
（降冪公式）.
5.萬能公式:,
6.半角公式:
7. 三函數的周期公式
函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0，)的周期.
函數，(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期.
8. 的單調遞增區間為單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為
9. 的單調遞增區間為單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為
10. 的單調遞增區間為，對稱中心為
11. 正弦定理?
12．面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3)=(為的夾角)
13.三角形內角和定理 在△ABC中，有
.
四.平面向量
1.平面兩點間的距離公式
=(A，B).
2.向量的平行與垂直 設a=,b=，且b0，則
a∥bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
3．線段的定比分公式 ?設，，是線段的分點,是實數，且，則
（）.
4．若,O不在直線AB上,則A,B,C共線的充要條件是 x+y=1。
五.直線和圓的方程
1．直線方程的五種形式:
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
（4）截距式
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
2．兩條直線的平行和垂直 （1）若，
①;②.
(2)若,,
①；②；
3.夾角公式 .(，,)
(,,).
直線時，直線l1與l2的夾角是.
直線l1到l2的角是(，,)
4．點到直線的距離 (點,直線：).
5．兩條平行線的間距離
(直線：).
5.圓中有關重要結論:
(1) 若P(,)是圓上的點,則過點P(,)的切線方程為
特例:若P(,)是圓上的點,則過點P(,)的切線方程為
(2) 若P(,)是圓外一點, 由P(,)向圓引兩條切線, 切點分別為A,B則直線AB的方程為
特例: 若P(,)是圓外一點,由P(,)向圓引兩條切線, 切點分別為A,B
則直線AB的方程為
(3) 若P(,)是圓內一點,以過P(,)的弦的端點為切點向圓作兩條切線,則兩切線的交點的軌跡方程為
特例: 若P(,)是圓內一點, 以過P(,)的弦的端點為切點向圓作兩條切線,則兩切線的交點的軌跡方程
為
六.圓錐曲線
1. 橢圓
(!)橢圓的參數方程是.
(2)橢圓焦半徑公式 ，.
(3)橢圓的準線方程為,橢圓的準線方程為
(4)橢圓的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為
(5)P是橢圓上一點,F,F 是它的兩個焦點,∠FP F=θ ,則△P F F的面積= , 當點與橢圓短軸頂點重合時最大；P是橢圓上一點,A,B是長軸的兩端點,當點P在短軸端點時,最大.
(6)若AB是過焦點F的弦,設,P表示焦準距,則
2. 雙曲線
(1)雙曲線的準線方程為雙曲線的準線方程為
(2) 雙曲線的漸近線方程為,雙曲線的的漸近線方程為
(3) P是雙曲線上一點,F,F 是它的兩個焦點,∠FP F=θ則△P F F的面積=
(4)若AB是過焦點F的弦,設,P表示焦準距,AB交在同支時,,AB交在兩支時, (設)
（5）雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長。準線過垂足。
※ 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項
（2）共軛雙曲線：與其離心率分別為
其性質：①漸近線相同；②焦距相同（焦點不同）
（3）漸近線相同的雙曲線系方程為：
漸近線方程都是
（7）有心型二次曲線（圓、橢圓、雙曲線）上任一弦中點與中心連線的斜率與弦所在直線的斜率之積為（對圓則是－１，為什么？）
3.拋物線
(1)上的動點可設為P或 P，其中 .
(2)P(,)是拋物線上的一點,F是它的焦點,則|PF|=+
(3)拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質：<1>． x1x2=；y1y2=－p2； <2>．；
<3>．以AB為直徑的圓與準線相切； <4>．以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；<5>．。焦點弦長,其中是焦點弦與x軸的夾角; 點P是拋物線上的一點,F是它的焦點,則
⑥AB的中垂線與X軸交于點R，則
（6）拋物線y2=2px(p>0)，對稱軸上一定點，則
①若，頂點到點A距離最小，最小值為； ②若，拋物線上有關于軸對稱的兩點到A的距離最小，最小值為。
（7）直線與圓錐曲線相交：弦長公式
4、A，B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點，則直線AB過定點（或）
（1）先證“”
設直線AB：，與拋物線方程聯立得
從而可得
（2）再證 “”
設直線AB：，與拋物線方程聯立得
從而可證得直線AB過定點
5、拋物線y2=2px(p>0)與直線相交于且該直線與軸交于點，
則有
6、過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交該拋物線于、兩點，自、兩點向準線作垂線，垂足分別為，則；其逆命題：若，則A、F、B三點共線。
※若點M是準線上任一點，則
7、過拋物線y2=2px(p>0)的頂點O作兩條互相垂直的動弦OA，OB，則①
②直線AB過定點 ③的最小值為
4.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的斜率）.
若（弦端點A由方程 消去x得到，,為直線的斜率）.則
5.圓錐曲線關于點成中心對稱的曲線是.
求圓錐曲線的切線與切線有關的過定點問題
1、已知點是橢圓上任意一點，求以點為切點的切線方程。
解：①若， 切線為;
②若，
與①同理得
③若，則切線亦滿足。
故所求的切線方程為。
2、已知點是雙曲線上任意一點，求以點為切點的切線方程。
解：①若， 切線為;
②若， 與①同理得
③若，則切線亦滿足。
故所求的切線方程為。
3、已知點是拋物線上任意一點，求以點為切點的切線方程。
解：
4、已知橢圓，點是定直線上一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA、PB，A、B為切點，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標。
證明：設，由第1題的結論，則
，，則有
，
故直線AB：，由于，，即直線AB過定點
點評：若點定直線上的動點呢？則直線AB過定點
5、已知雙曲線，點是定直線上一動點，過點P可作雙曲線的兩條切線PA、PB，A、B為切點，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標。
證明：設，由第2題的結論，則
，，則有
，
故直線AB：，由于，，即直線AB過定點
點評：若點定直線上的動點呢？只要能過其上的點作兩條切線，則直線AB過定點
6、已知拋物線，點是定直線上一動點，過點P可作拋物線的兩條切線PA、PB，A、B為切點，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標。
證明: 設，由第3題的結論，則
故直線AB：，由于，，即直線AB過定點
7、已知橢圓C：的左、右頂點分別是A、B，設是直線上的動點，若直線與橢圓C分別交于M、N，求證：直線MN過定點
證明：
同理

令，故直線MN過定點
注意:理解思路，試題一般會告知具體數字。
變式：已知橢圓C：的上、下頂點分別是A、B，設是直線上的動點，若直線與橢圓C分別交于M、N，求證：直線MN過定點
8、已知雙曲線C：的左、右頂點分別是A、B，設是直線上的點，直線與雙曲線C分別交于M、N，求證：直線MN過定點
9、已知拋物線的頂點為，為直線上一動點，過點作軸的平行線與拋物線交于點，直線與拋物線交于點，則直線過定點
證明：設，直線：代入得，
點評：①過定點的直線與拋物線交于點，經過點和拋物線頂點的直線交定直線于，則；
②過定點的直線與拋物線交于點，作交定直線于，則三點共線。
10、已知點是橢圓C：上
不同于左、右頂點A、B的任意一點，直線分別交直線于點，則以 MN為直徑的圓經過定點
證明：
以 MN為直徑的圓：
令即過定點
11、過拋物線的焦點F任意作直線與拋物線交于點兩點，則在軸上存在定點，使始終平分。
證明：設
設則由
，則，
始終平分。
點評：過定點作直線與拋物線交于點兩點，點與點關于軸對稱，則直線過定點
12、過橢圓的左焦點F任意作直線與橢圓交于點兩點，則在軸上存在定點，使始終平分。
點評：過定點作直線與橢圓交于點兩點，點與點關于軸對稱，則直線過定點（即焦點）
13、過雙曲線的右焦點F任意作直線與雙曲線交于點兩點，則在軸上存在定點，使始終平分。
點評：過定點作直線與雙曲線交于點兩點，點與點關于軸對稱，則直線過定點（即焦點）
14、已知橢圓上有一點，過P作傾斜角互補的兩條直線PM，PN分別與橢圓交于異于點P的兩點M，N，則直線MN的斜率為定值，類似地，已知雙曲線上有一點，過P作傾斜角互補的兩條直線PM，PN分別與雙曲線交于異于點P的兩點M，N，則直線MN的斜率為定值 。
七.立體幾何
(一)向量法公式
1.直線與平面所成角(為平面的法向量).
2．二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.
3.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
4.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.
(二)其他公式
1.
（長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為）（立幾中長方體對角線長的公式是其特例）.
2. 面積射影定理
3.球的半徑是R，則其體積是,其表面積是．
4.
(三)與正多面體有關的結論
1.正多面體與球的關系(設正多面體棱長為,外接球.內切球半徑分別為R.)
正多面體
R
r
R/r
正四面體
3/1
正六面體
/1
正八面體

/1
2.與正多面體有關的角度問題.
(1) 正四面體相鄰兩側面所成二面角的余弦值為, (2) 正六面體相鄰兩側面所成二面角的余弦值為0,
(3) 正八面體相鄰兩側面所成二面角的余弦值為, (4) 正四面體中心對任兩個頂點所張角的余弦值為,
(5) 正六面體中心對任兩個頂點所張角的余弦值為, (6) 正八面體中心對任兩個頂點所張角的余弦值為0,
(7)若正四棱錐的側面與底面所成角為,相鄰兩側面所成二面角為,則.
(四)兩個小問題
1.若一個多面體的內切球半徑分別為,多面體的表面積為S,則其體積為,
2.過正方體的任一頂點,作直線與都成,這樣的直線能作_3__條;都成的直線能作_1__條;都成的直線能作_4__條.

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