資源簡介

一　分 數 乘 法
　一、分數乘整數
1.分數乘整數的意義。
求幾個相同加數的和的簡便運算。
2.分數乘整數的計算方法。
用分數的分子與整數相乘的積作分子,分母不變。當整數與分母能約分時,可以先約分,再計算,結果不變。
3.分數乘整數的計算方法同樣適用于整數乘分數。
4.一個數乘分數的意義就是求這個數的幾分之幾是多少。
5.求一個數的幾分之幾是多少,可以用乘法計算,即這個數乘幾分之幾。
6.單位“1”的量×比較量占單位“1”的幾分之幾=比較量。
二、分數乘分數
1.分數乘分數的意義。
求一個分數的幾分之幾是多少。
2.分數乘分數的計算方法。
用分子和分子相乘的積作分子,分母和分母相乘的積作分母。計算分數乘分數時,能約分的應先約分,再計算。
3.分數乘分數的特殊情況。
(1)分數乘分數的計算方法也適用于小數乘分數,即先把小數化成分數,再計算。例如,0.5×=×=。
(2)分數乘分數,這里的分數也可以是帶分數,計算時要先把帶分數化成假分數。例如,1×=×=。
4.因數與積的關系。
一個數(0除外)乘大于1的數,積大于這個數;
一個數(0除外)乘大于0且小于1的數,積小于這個數;
一個數(0除外)乘1,積等于這個數。
三、分數連乘
1.連續求一個數的幾分之幾是多少的實際問題,解題關鍵是理清每一步中誰是單位“1”,誰是誰的幾分之幾,同時明確題中的數量關系。
2.一般題目中和“誰”比,“誰”就是單位“1”的量。
(1)一種是題目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即為單位“1”的量。
(2)另一種是題目中沒有“比”字,但是題目中的兩個數量可以看作兩數的比較關系,如“占”“是”“相當于”后面的量即為單位“1”的量。
3.分數連乘的計算方法:用分子相乘的積作分子,用分母相乘的積作分母;如果有整數,用整數與分子相乘的積作分子,用分母相乘的積作分母。計算過程中能約分的,要先約分,再計算。
四、倒數
1.倒數的意義。
乘積是l的兩個數互為倒數。“互為倒數”是指兩個數之間是相互依存的,一個數不能稱為倒數。
例如,×=1,可以說和互為倒數,也可以說的倒數是,或者說的倒數是。
2.求一個數的倒數的方法。
(1)求真分數、假分數的倒數:調換分子、分母的位置。
(2)求整數的倒數:先把整數(0除外)看作分母是1的假分數,再調換分子、分母的位置。
(3)求帶分數的倒數:先把帶分數化為假分數,再求假分數的倒數。
3.真分數的倒數大于1,假分數的倒數等于或小于它本身。
4. 1的倒數是1,0沒有倒數。
分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同。
易錯點:分數與整數相乘時,誤將分子與整數約分,這是不對的,一定要注意是分母與整數約分。
舉例:計算×6。
錯解:×6=×=
正解:×6=×=
舉例:計算×。
錯解:×=
正解:×=
易錯點:混淆單位“1”的量。
舉例:甲數的正好是乙數,這句話中單位“1”的量是(　　)。
錯解:乙數
正解:甲數
易錯點:倒數表示的是乘積是1的兩個數相互依存的關系,不是數值相等的兩個數的數量關系,因此不能把互為倒數的兩個數用等號連接。
舉例:寫出的倒數。
錯解:=。
正解:的倒數是。
七　數學百花園
　一、黃金螺旋線
1.了解黃金螺旋線。
自然界中存在著許多美麗的圖案,鸚鵡螺外殼上的優美曲線被稱為黃金螺旋線。黃金螺旋線可以用大小不同的扇形的弧線畫出來。
2.明確黃金螺旋線的畫法。
(1)畫一個邊長為1厘米的正方形,以正方形的右下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
(2)在正方形的右邊畫一個同樣大小的正方形,以正方形的左下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
(3)以組成的長方形的長為邊長畫—個正方形,以正方形的左上頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
(4)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的右上頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
(5)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的右下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
(6)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的左下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90°的扇形。
3.觀察扇形的半徑,發現其中的規律,如下表所示。
扇形編號
一
二
三
四
五
六
……
半徑/厘米
1
1
2
3
5
8
……
　　第一個扇形的半徑:1
第二個扇形的半徑:1
第三個扇形的半徑:2=1+1(第二個扇形的半徑+第一個扇形的半徑)
第四個扇形的半徑:3=2+1(第三個扇形的半徑+第二個扇形的半徑)
第五個扇形的半徑:5=3+2(第四個扇形的半徑+第三個扇形的半徑)
第六個扇形的半徑:8=5+3(第五個扇形的半徑+第四個扇形的半徑)
由此得出規律:從第三個扇形起,每個扇形的半徑都是它前面兩個相鄰扇形的半徑之和,所以,第七個扇形的半徑=第六個扇形的半徑+第五個扇形的半徑=8+5=13(厘米)。
4.驗證規律是否正確。
方法一:畫出半徑是13厘米的扇形,剛好符合黃金螺旋線的畫法。(畫圖略)
方法二:觀察圖形發現,從第三個正方形起,每個正方形的邊長都是它前面兩個相鄰正方形的邊長之和,所以每一個扇形的半徑都是它前面兩個相鄰扇形的半徑之和。
由此得出:規律正確。
5.根據發現的規律,將這串數繼續寫下去。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……這個數列就是著名的“斐波那契數列”。
拓展提高
斐波那契數列,從第8項開始,每相鄰兩項的比值都接近0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618……0.618為黃金分割數。
二、鐵鏈的長度
1.明確解題思路。
一個鐵環,內直徑是8厘米,外直徑是10厘米。把10個這樣的鐵環連成一條鐵鏈,求拉直后有多長,就是用10個鐵環的長度減去鐵環連接處重復計算部分的長度。
2.計算鐵環連接處的長度。
鐵環的內直徑為8厘米,外直徑為10厘米,因此每個鐵環的壁厚=(外直徑-內直徑)÷2=(10-8)÷2=1(厘米),所以兩個鐵環連接處的長度是2厘米,也就是重合部分的長度為2厘米。
3.探究鐵鏈長度的求法。
(1)用第一個鐵環的長度依次加上增加的長度。
①發現:第一個鐵環的長度是10厘米,增加一個鐵環后,因為有2厘米的連接處是重合部分,需要減去2厘米,所以增加的長度是8厘米。增加幾個鐵環,長度就增加幾個8厘米,由此可以推出,n個鐵環連在一起拉直后的長度的計算公式為10+(n-1)×8。
②當n=10時,10+(10-1)×8=82(厘米),所以10個鐵環連在一起拉直后的長度為82厘米。
(2)用鐵環的總長度減去連接處的長度。
①發現:第一個鐵環的長度是10厘米,每增加一個鐵環,就增加一個2厘米的連接處,增加幾個鐵環,就增加幾個2厘米的連接處,用鐵環的總長度減去連接處的長度,就是幾個鐵環連在一起拉直后的長度,所以,n個鐵環連在一起拉直后的長度的計算公式為10n-(n-1)×2。
②當n=10時,10×10-(10-1)×2=82(厘米),所以10個鐵環連在一起拉直后的長度為82厘米。
黃金螺旋線在生活中應用廣泛。在攝影方面,可利用黃金螺旋線進行拍照;在設計方面,有不少設計師從黃金螺旋線中獲得了靈感,創造出了許多優秀的作品。
通過用不同的方法探索鐵鏈拉直后的長度,認識解決問題的多樣性。
三　百　分　數
一、百分數的意義及讀、寫方法
1.百分數的意義:表示一個數是另一個數的百分之幾的數,叫作百分數。百分數又叫作百分比或百分率。
2.百分數的寫法:百分數通常不寫成分母是100的分數形式,而是在原來分子的后面添上百分號“%”來表示。寫百分數時,百分號前面的數按整數、小數的寫法來寫,在寫出的數的后面加百分號。
3.百分數的讀法:讀百分數時,百分號前面的數按整數、小數的讀法來讀,只是在前面加“百分之”。
二、百分數和分數的聯系與區別
1.百分數和分數的聯系:都可以表示兩個數之間的倍數關系。
2.百分數和分數的區別。
(1)意義不同,百分數只表示兩個數之間的倍數關系,不能帶單位名稱;分數既可以表示具體的數,又可以表示兩個數之間的倍數關系,表示具體的數時可以帶單位名稱。
(2)百分數的分子可以是整數,也可以是小數;分數的分子不能是小數,只能是除0以外的自然數;百分數不可以約分,分數一般要約分成最簡分數。
(3)應用范圍不同,百分數在生產和生活中常用于調查、統計、分析和比較,分數常常在計算、測量中得不到整數結果時使用。
拓展提高
1.表示一個數是另一個數的千分之幾的數,叫作千分數,千分數也叫作千分率。與百分數一樣,千分數也有千分號,千分號用“‰”表示。
2.認識成數。
(1)成數的意義。
“成數”廣泛應用于工農業生產和日常生活,用來表示增減情況。如“今年小麥比去年增產10%”,可以說成“今年小麥比去年增產一成”。
(2)成數與百分數的關系。
幾成表示十分之幾,也就是百分之幾十。如“一成”是十分之一,改寫成百分數就是10%;“二成”是十分之二,改寫成百分數就是20%;“三成五”是十分之三點五,改寫成百分數就是35%。
3.認識折扣。
(1)折扣的意義。
“折扣”是指商家降價出售商品,即按原價的百分之幾十或百分之幾出售。
(2)折扣與百分數的關系。
幾折就是原價的百分之幾十,幾幾折就是原價的百分之幾十幾。如七五折就是75%,九折就是90%。
三、百分數和小數、分數的互化
1.百分數和小數的互化。
(1)百分數化成小數的方法:把百分號去掉,同時把小數點向左移動兩位,位數不夠時,用“0”補足。
(2)小數化成百分數的方法:把小數點向右移動兩位,同時在后面添上百分號,位數不夠時,用“0”補足。
2.百分數和分數的互化。
(1)分數化成百分數的方法:先把分數化成小數,除不盡時,通常保留三位小數,再化成百分數。
(2)百分數化成分數的方法:先把百分數化成分數,再把能約分的約成最簡分數。分子是小數的百分數化成分數,先用分數的基本性質,把百分數化成分子是整數的分數,再化簡。如12.5%===。
四、生活中的百分數
1.求一個數是另一個數的百分之幾的實際問題。
求一個數是另一個數的百分之幾的解題方法與求一個數是另一個數的幾分之幾的解題方法相同,用“一個數÷另一個數”,然后將計算結果化成百分數。
2.求百分率。
拓展提高
1.生活中各種百分率的意義。
發芽率:發芽種子數占試驗種子總數的百分之幾。
出米率:出米的質量占稻谷的質量的百分之幾。
及格率:及格人數占考試總人數的百分之幾。
2.各種百分率的計算方法。
“%”的書寫:兩個小圈寫得要小些,以免與數字0混淆。
易錯點:讀百分數時,當百分號前是小數時,易漏讀小數點前面的0,把小數讀成整數。寫百分數時,易把分子寫錯。
舉例:讀、寫出下面各百分數。
0.645%讀作:　　　　　,?
百分之五百寫作:　　　。?
錯解:百分之六百四十五
5%
正解:百分之零點六四五
500%
易錯點:百分數只能表示兩個數之間的倍數關系,不能表示具體數量,不能帶單位名稱。
舉例:
判斷:一塊布長27%米。 (　　)
錯解:√
正解:?
現價=原價×折扣
易錯點:把百分數化成小數,去掉百分號后,把小數點向左移動兩位,位數不夠時,用“0”補足,易出現漏補“0”的情況。
舉例:把5.4%化成小數。
錯解:5.4%=0.54
正解:5.4%=0.054
易錯點:把小數化成百分數,是把小數點向右移動兩位,而不是去掉小數點。
舉例:把0.0326化成百分數。
錯解:0.0326=326%
正解:0.0326=3.26%
出勤率是百分率的一種,公式本身應該用百分數的形式表示。如果不乘100%,公式只是分數形式,乘100%既保持數值不變,又是百分數的形式。
出勤率、成活率、合格率、發芽率等最高是100%,完成率、增長率、利潤率等可以超過100%。
二　分 數 除 法
一、分數除法的意義和分數除以整數
1.分數除法的意義。
分數除法的意義與整數除法的意義相同,都是已知兩個因數的積與其中的一個因數,求另一個因數的運算。
2.一個帶分數除以整數,先把這個帶分數化成假分數,再按照分數除以整數的計算方法進行計算。例如,4÷4=×=。
二、一個數除以分數
1.一個數除以分數的計算方法。
(1)計算方法:一個數除以分數,等于乘分數的倒數。
(2)將除法轉化成乘法的要點。
①被除數不變。②除號變乘號。③除數變成它的倒數。
2.被除數與商的規律。
(1)當被除數不等于0時,0<除數<1,商>被除數。例如,÷>。除數=1,商=被除數。例如,÷1=。除數>1,商<被除數。例如,÷<。
(2)當被除數=0,除數≠0時,商=被除數。例如,0÷=0。
三、分數除法的計算方法
甲數除以乙數(0除外),等于甲數乘乙數的倒數。
四、“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的簡單實際問題
1.“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的簡單實際問題的解題方法。
(1)方程法。
①找出單位“1”,設單位“1”的量為x。
②找出題中的等量關系式。
③列出方程并解答。
列方程解題的關鍵是找出題中的等量關系。
(2)算術法。
①找出單位“1”。
②找出已知量和已知量占單位“1”的幾分之幾。
③列出除法算式并解答。
用算術法解除法應用題的關鍵是找準已知量占單位“1”的幾分之幾。
2.算術法與方程法的區別。
用算術法解分數除法的實際問題需要逆向思考,從“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的角度去理解數量關系;用方程法解分數除法的實際問題,只要根據分數乘法的意義順向思考,找到等量關系式列出方程并解答即可,方程法比算術法更易于理解。
五、分數四則混合運算及簡便算法
1.分數四則混合運算的運算順序。
(1)分數四則混合運算的運算順序和整數四則混合運算的運算順序相同。
如果算式中含有兩級運算,要先算乘、除法,后算加、減法;如果只含有同一級運算,要按照從左到右的順序計算;如果有括號,要先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。
(2)在計算過程中能約分的要先約分,這樣可以使計算簡便。
2.整數乘法運算定律在分數四則混合運算中的運用。
整數乘法運算定律在分數四則混合運算中同樣適用。在分數四則混合運算中,適合整數乘法運算定律的,使用整數乘法運算定律,可以使計算簡便。
加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律:a×b=b×a
乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc
無論是分數除以整數,還是分數除以分數,都可以轉化成被除數乘除數的倒數。
易錯點:在除法算式中,易忽略除數不能為0這個條件。
舉例:
判斷:甲數除以乙數,等于甲數乘乙數的倒數。(　　)
錯解:√
正解:?
分析:此題錯在忽略了除數不能為0這個條件。
易錯點:用算術法解分數除法應用題時,先找準單位“1”的量,再根據分數除法的意義列式解答。易把除法算式列為乘法算式。
舉例:小麗家養了一些兔子,灰兔有12只,正好是白兔只數的。白兔有多少只?
錯解:12×=9(只)
答:白兔有9只。
正解:12÷=16(只)
答:白兔有16只。
易錯點:同一級運算,按照從左到右的順序計算。帶括號的,要先算括號里面的,再算括號外面的。同級混合運算(沒有括號)要按照從左到右的順序計算。
舉例:計算×8÷×8。
錯解:×8÷×8
=×÷×
=3÷3
=1
正解:×8÷×8
=×××8
=64
五　圓
　一、圓的認識
1.圓的意義:到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。
2.圓的畫法。(用圓規畫圓的方法)
(1)把帶有針尖的腳固定在圓心上。
(2)定好兩腳間的距離,即半徑。
(3)把裝有鉛筆的腳旋轉一周,就畫出一個圓。
(4)用圓規畫圓時,應注意以下兩點:
①帶有針尖的腳不能移動。②兩腳間的距離不能改變。
3.圓的各部分名稱及特征。
(1)認識圓各部分的名稱。
①認識圓心。
圓心的意義:用圓規畫圓時,固定的一點叫作圓心。
圓心的字母表示法:圓心一般用字母O表示。
圓心的作用:圓心決定圓的位置。
②認識半徑。
半徑的意義:連接圓心和圓上任意一點的線段叫作半徑。
半徑的字母表示法:半徑一般用字母r表示。
半徑的作用:半徑決定圓的大小。半徑越長,圓越大;半徑越短,圓越小。
③認識直徑。
直徑的意義:通過圓心并且兩端
都在圓上的線段叫作直徑。
直徑的字母表示法:直徑一般用字母d表示。
(2)在同圓或等圓中半徑和直徑的關系。
在同圓或等圓中,半徑的長度是直徑的,直徑的長度是半徑的2倍。用字母表示為d=2r或r=。
(3)圓的對稱性。
圓是軸對稱圖形,直徑所在的直線都是圓的對稱軸,圓有無數條對稱軸。
拓展提高
1.等圓:兩個半徑相等的圓叫作等圓,等圓經過平移可以完全重合。
2.同心圓:圓心重合、半徑不相等的圓叫作同心圓。
3.在同圓或等圓中,半徑擴大到原來的幾倍,直徑也擴大到原來的幾倍;半徑縮小到原來的幾分之一,直徑也縮小到原來的幾分之一。
二、圓的周長
1.圓的周長的認識及計算公式。
(1)圓的周長的意義:圍成圓的曲線的長叫作圓的周長。
(2)圓的周長的測量方法。
①繞繩法。
先把一根繩子繞圓一周,剪去多余的部分或在重疊處做好標記,再拉直量出它的長度,就是這個圓的周長。
②滾動法。
在圓上找一個點并做好標記。把圓放在直尺上,標記點對準直尺的0刻度,滾動一周后標記點所對的刻度就是圓的周長。
(3)圓周率。
任何一個圓的周長除以它的直徑,得到的商是一個固定的數,這個數叫作圓周率。
圓周率用希臘字母“π”表示,π是一個無限不循環小數。π=3.141592653……在實際應用中,通常取它的近似值,即π≈3.14。
(4)圓的周長的計算公式。
①根據圓的周長與直徑之間的關系推導圓的周長的計算公式。
=圓周率　　圓的周長=圓周率×直徑
②圓的周長的計算公式的字母表達式。
如果用字母C表示圓的周長,r表示圓的半徑,d表示圓的直徑,那么圓的周長的計算公式為圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2,用字母表示為C=πd或C=2πr。
2.圓的周長的計算公式的應用。
(1)已知直徑,求周長,根據C=πd來計算。
(2)已知半徑,求周長,根據C=2πr來計算。
拓展提高
1.圓的周長與它的半徑、直徑的關系。
(1)如果圓的半徑、直徑擴大到原來的若干倍,那么它的周長也擴大到原來的若干倍。例如,一個圓的半徑擴大到原來的3倍,它的周長也擴大到原來的3倍。
(2)如果圓的半徑、直徑縮小到原來的幾分之一,那么它的周長也縮小到原來的幾分之一。例如,一個圓的半徑縮小到原來的,它的周長也縮小到原來的。
2.兩個圓的半徑之比等于它們的直徑之比,也等于它們的周長之比。
3.半圓的周長指的是圓的周長的一半加上一條直徑的長或兩條半徑的長,半圓的周長的計算公式是C半圓=πd+d或C半圓=πr+2r。
　　4.圓的周長的一半是把圓的周長平均分成兩份,其中一份的長度,圓的周長的一半的計算公式是C圓的周長的—半=πr或C圓的周長的—半=。
三、圓的面積
1.探究圓的面積的計算方法和公式。
(1)通過正多邊形求圓的面積。
在圓內畫正多邊形,如果把正多形的邊數分得越來越多,不可求的部分變得越來越少,那么正多邊形的面積就越來越接近圓的面積。通過此種方法,可近似地求出圓的面積。
(2)借助方格求圓的面積。
在圓內畫小方格,小方格的面積可以求出,余下的邊邊角角的面積不知道怎么求。如果分割得越多,小方格越來越小,那么可以求出來的小方格的面積和就越來越接近圓的面積。通過此種方法,可近似地求出圓的面積。
(3)轉化成平行四邊形,推導圓的面積計算公式。
①轉化演示。
把圓分成8、16、32……等份(偶數份),剪開后,用這些近似的等腰三角形拼一拼,會拼成一個近似的平行四邊形。如下圖:
8等份:
16等份:
32等份:
發現:把圓等分的份數越多,每一份就越小,曲邊就越接近直邊,拼出來的圖形就越接近平行四邊形。
②探究拼成的近似平行四邊形的底和高與圓的周長和半徑之間的關系。
③公式推導。
圓的面積=平行四邊形的面積
=底×高
=×r
=πr×r
=πr2
如果用S表示圓的面積,那么圓的面積計算公式是S=πr2。
2.運用圓的面積計算公式解決實際問題。
(1)已知圓的半徑,可直接運用圓的面積計算公式S=πr2求出圓的面積。
(2)已知圓的周長,則圓的面積S=π×(C÷π÷2)2。
(3)已知圓的直徑,則圓的面積S=π×(d÷2)2。
拓展提高
1.如果一個圓的半徑(直徑或周長)擴大到原來的n倍,那么圓的面積就擴大到原來的n2倍。例如,若圓的半徑擴大到原來的5倍,則圓的面積就擴大到原來的52倍,即25倍。
2.如果一個圓的半徑(直徑或周長)縮小到原來的,那么圓的面積就縮小到原來的。例如,若圓的半徑縮小到原來的,則圓的面積就縮小到原來的,即。
四、圓環的面積
1.圓環的意義:兩個半徑不相等的同心圓之間的部分叫作圓環,也叫作環形。
2.圓環面積的計算方法:用R表示外圓半徑,用r表示內圓半徑,用S表示圓環的面積,那么圓環的面積計算公式是S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)。
3.圓環是軸對稱圖形,它有無數條對稱軸。通過圓心的直線都是它的對稱軸。
五、扇形
1.弧的認識:圓上任意兩點之間的部分叫作弧。
2.圓心角的認識:頂點在圓心的角,叫作圓心角。
3.扇形的意義。
由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形,叫作扇形。
4.扇形的對稱性。
扇形是軸對稱圖形,只有一條對稱軸。
　　左邊探究圓的面積的計算方法,(1)和(2)雖然都能近似地求出圓的面積,但計算難度大,操作性差,且誤差大,不能作為通用的求圓的面積的方法。在剪拼的過程中,圖形的形狀雖然改變了,但面積的大小并沒有改變,因此圓的面積等于拼成的近似平行四邊形的面積。
圓是由一條曲線圍成的封閉圖形,長方形、三角形、正方形都是由線段圍成的封閉圖形。
圓心決定圓的位置,半徑(或直徑)決定圓的大小。
判斷半徑的方法:半徑是一端在圓心,另一端在圓上的線段。
直徑是圓內最長的線段。
判斷圓的直徑的方法:①看是否通過圓心。②看線段的兩端是否都在圓上。
半徑和直徑都是線段。直徑所在的直線是圓的對稱軸。
圓的半徑和直徑都分別相等必須是在同圓或等圓中。
π是一個固定的數,不隨周長和直徑的改變而改變。
易錯點:圓周率是一個無限不循環小數,在實際應用中常常只取它的近似值。
舉例:
判斷:因為一個圓的周長總是它的直徑的3倍多一些,所以π=3.14。(　　)
錯解:√
正解:?
在判斷時,圓周長是它直徑的π倍,而不是3.14倍。
計算圓周長的關鍵是確定半徑。
一個圓的半徑增加a厘米,周長就增加2πa厘米。
一個圓的直徑增加b厘米,周長就增加πb厘米。
理解半圓的周長時,可以結合半圓的圖形來理解。
把圓的面積轉化為平行四邊形的面積,體現了轉化的數學思想。
易錯點:周長和面積不是同類量,無法進行比較。
舉例:
判斷:半徑是2厘米的圓,它的周長和面積相等。(　　)
錯解:√
正解:?
圓的面積的大小與半徑的長短有關,因為S=πr2
易錯點:在計算圓的面積時,不要把r2計算成r×2,r2應該是r×r。
舉例:一顆圓形紐扣的半徑是1.5厘米,它的面積是多少?
錯解:3.14×1.52=3.14×3=9.42(平方厘米)
答:它的面積是9.42平方厘米。
正解:　3.14×1.52
=3.14×2.25
=7.065(平方厘米)
答:它的面積是7.065平方厘米。
易錯點:如果圓的直徑擴大到原來的a(a不為0)倍,那么它的面積就擴大到原來的a2倍。
舉例:大圓直徑是小圓直徑的4倍,大圓面積就是小圓面積的(　　)倍。
錯解:4
正解:16
圓環的面積實際是兩個同心圓的面積差。
易錯點:已知內圓直徑和環寬,求外圓直徑,應該用內圓直徑加上2個環寬;已知外圓直徑和環寬,求內圓直徑,應該用外圓直徑減去2個環寬。
舉例:在一個直徑為6米的圓形花壇周圍鋪一條2米寬的環形小路,這條小路的面積是多少平方米?
錯解:6+2=8(米)
3.14×(8÷2)2-3.14×(6÷2)2=21.98(平方米)
答:這條小路的面積是21.98平方米。
正解:6+2×2=10(米)
3.14×(10÷2)2-3.14×(6÷2)2=50.24(平方米)
答:這條小路的面積是50.24平方米。
扇形是圓的一部分。
判斷一個圖形是不是扇形,主要看圓心角的頂點在不在圓心上,如果頂點不在圓心上,就不是扇形。
六　扇形統計圖
一、扇形統計圖的特點及繪制方法
1.扇形統計圖的意義:用整個圓表示總數,用圓內大小不等的扇形表示各部分數量與總數之間的關系。
2.扇形統計圖的特點:可以清楚地表示出各部分數量與總數之間的關系。
3.扇形統計圖的繪制方法。
(1)算出各部分數量占總數的百分比。
(2)算出表示各部分數量所對應的扇形的圓心角度數。
(3)畫一個大小適中的圓,并按照算出的圓心角的度數在圓里畫出各個扇形。
(4)在各個扇形中標明所表示的數量的名稱和所占的百分比,并用不同的顏色或底紋把各個扇形區分開,也可以用圖例注明。
(5)寫上統計圖的名稱和制圖日期。
二、統計圖的選擇
1.要清楚地表示出每個項目的具體數量,一般選擇條形統計圖。
2.要清楚地反映事物的變化規律,一般選擇折線統計圖。
3.要清楚地反映各部分數量與總數量之間的關系,一般選擇扇形統計圖。
當扇形統計圖中有“其他”部分時,要注意“其他”部分具有不確定性。
每種統計圖都有各自不同的特點,在選擇時要充分利用它們的特性,以達到更好的展示效果。
四　解 決 問 題
一、“求一個數的幾分之幾(或百分之幾)是多少”的實際問題
1.“已知一個部分量是總量的幾分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法。
(1)單位“1”的量-單位“1”的量×一個部分量占單位“1”的幾分之幾=另一個部分量。
(2)單位“1”的量×(1-一個部分量占單位“1”的幾分之幾)=另一個部分量。
2.“已知一個數比另一個數多幾分之幾,求這個數”的實際問題的解題方法。
(1)單位“1”的量+單位“1”的量×一個數比單位“1”的量多的幾分之幾=這個數。
(2)單位“1”的量×(1+一個數比單位“1”的量多的幾分之幾)=這個數。
3.“已知一個數比另一個數少幾分之幾,求這個數”的解題思路與“已知一個數比另一個數多幾分之幾,求這個數”的解題思路相同,只不過在列式時把加法換成減法。
二、“已知一個數的百分之幾(或幾分之幾)是多少,求這個數”的實際問題
1.簡單的“已知一個數的百分之幾是多少,求這個數”的問題的解題方法。
(1)方程法。
①找出單位“1”,設單位“1”的量為x。
②找出題中的等量關系。
③列出方程并解答。
(2)算術法。
①找出單位“1”。
②找出己知量和己知量占單位“1”的百分之幾。
③列除法算式解決問題。
2.稍復雜的“已知一個數的幾分之幾是多少,求這個數”的問題的解題方法。
(1)找出題中的等量關系,設單位“1”的量為x,列出方程并解答。
(2)找到題中的單位“1”,計算出已知量是單位“1”的幾分之幾,根據分數除法的意義列式解答。
用算術法的解題關鍵:找準單位“1”,還要看清所求問題與單位“1”的關系并計算出已知量是單位“1”的幾分之幾。
三、“求一個數比另一個數多(或少)百分之幾”的實際問題
1.求甲數比乙數多百分之幾的解題方法。
(1)(甲數-乙數)÷乙數。　　(2)甲數÷乙數-1。
2.求乙數比甲數少百分之幾的解題方法。
(1)(甲數-乙數)÷甲數。　　(2)1-乙數÷甲數。
四、工程問題
工程問題的解題方法:
1.把工作總量看作單位“1”,用工作總量除以完成工作的時間,就是工作效率。
2.根據數量關系式“工作總量=工作效率×工作時間”解決工程問題。
五、利率和納稅
1.利息和利率。
(1)了解儲蓄。
①儲蓄的意義:把錢存入銀行就是儲蓄。
②儲蓄的好處:可以支援國家建設;可以使個人錢財更安全;可以增加一些收入。
(2)理解本金、利息、利率的意義。
①本金的意義:存入銀行的錢叫作本金。
②利息的意義:取款時,銀行除歸還本金外,還要多付一些錢,多付的錢叫作利息。
③利率的意義:利息占本金的百分之幾叫作利率。一般情況下,利率根據計量的期限標準不同而不同,表示方法有年利率、月利率和日利率。
(3)存款的方式。
①活期:可以隨時支取,隨時存入。
②定期。
整存整取:一起存入一定錢數,存期到時支取。
零存整取:每月存入一定錢數,存期到時支取。
③定活兩便:存款時不確定存期,一次性存入本金,隨時可以一次性支取。
　(4)利息的計算公式。
利息=本金×利率×存期
2.納稅。
(1)納稅的意義。
納稅是根據國家稅法的有關規定,按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。
(2)稅收的用途。
稅收是國家收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發展經濟、科技、教育、文化和國防等事業,不斷提高人民的物質和文化水平,保衛國家安全。
(3)稅收的種類。
稅收主要分為消費稅、增值稅、營業稅和個人所得稅等幾類。
(4)稅收的相關概念。
稅款:集體或個人收入中的一部分要上繳給國家,上繳的錢叫作稅款。
應納稅額:繳納的稅款叫作應納稅額。
稅率:應納稅額與各種收入(銷售額、營業額……)的比率叫作稅率。
(5)應納稅額=應納稅所得額×稅率。
“已知一個部分量占總量的百分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法與“已知一個部分量占總量的幾分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法相同。
“已知一個數比另一個數多百分之幾,求這個數”的解題方法與“已知一個數比另一個數多幾分之幾,求這個數”的解題方法相同。
易錯點:在解答百分數問題時,一定要找準單位“1”,單位“1”的量未知,可以用除法求出單位“1”的量。
舉例:李強六月份的生活費為255元,比計劃節省了15%,節省了多少錢?
錯解:
255×15%=38.25(元)
答:節省了38.25元。
正解:　255÷(1-15%)-255
=300-255
=45(元)
答:節省了45元。
求一個數比另一個數多(或少)百分之幾,實質上就是求兩個數的差是另一個數(單位“1”)的百分之幾。
易錯點:相同的差和不同的標準量比較,結果不同;兩個不同的數和同一個標準量比較,結果也不同。
舉例:甲數比乙數多25%,乙數比甲數少(　　)。(甲、乙兩數均不為0)
錯解:25%
正解:20%
易錯點:解答工程問題時,不要認為只要分子是“1”的分數就表示工作效率。
舉例:一項工程,甲單獨做小時完成,乙單獨做小時完成。如果兩個人合作,幾小時可以完成?
錯解:
1÷=(時)
答:小時可以完成。
正解:　l÷
=1÷(3+4)
=(時)
答:小時可以完成。
　
　　計算利息時,易忘記乘存期。
稅收取之于民,用之于民,依法納稅是每個公民應盡的義務。
稅收的種類不同,稅率也各不相同。每種稅的稅率都是由國家財政部門規定的。

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