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第21章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1．只含有 一 個未知數，并且未知數的最高次數是 2 ，這樣的 整式 方程，叫做一元二次方程．判別一個方程是不是一元二次方程，必須滿足①是整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2；④二次項系數不能為0。
2．一元二次方程的一般形式為：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 a 為二次項系數， b 為一次項系數， c 為常數項，注意各項系數的符號。

21.2.1配方法
1．解一元二次方程，實質上是把一個一元二次方程“ 降次 ”，轉化為兩個 一元一次方程 。
2．當 P≥0時，x2 = p 的解為 ，（mx+n）2=p的解為 (m≠0)．
3．通過配成 完全平方式 來解一元二次方程的方法叫做配方法。
4．配方法一般步驟：
(1)化二次項系數為l，并將含有未知數的項放在方程的左邊，常數項放在方程的右邊；
(2)配方：方程兩邊同時加上 一次項系數的一半的平方 ，使左邊配成一個完全平方式，寫成 (mx+n)2=p 的形式；
(3)若p ≥ 0，則可直接開平方求出方程的解，若p ＜ 0，則方程無解．

21.2.2公式法
1．一元二次方程成立的條件是 a≠0 ，它的求根公式是 。
2．用公式法解一元二次方程的思路應是：
(1)將方程化成 一般形式 ；
(2)寫出相應的a、b、c的值并計算△的值；(3)當△ ≥0 時，可直接套用公式得出方程的解。
3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)當 b2-4ac＞0 時，有兩個不相等的實數根；
(2)當 b2-4ac= 0 時，有兩個相等的實數根；
(3)當 b2-4ac＜0 時，沒有實數根。

21.2.3因式分解法
1．當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易分解成兩個一次因式的乘積，令每個因式分別等于0，得到兩個 一元一次方程 ，從而實現降次，這種解法叫作因式分解法。
2．用因式分解法解一元二次方程的步驟：
(1)方程的一邊化為0；
(2)將方程另一邊分解成 兩個一次因式的積 的形式；
(3)令每個因式分別等于0，即得到兩個一元一次方程；
(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

21.2.4一元二次方程的根與系數的關系
1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= ．
2．在應用根與系數關系式時應注意兩個條件：
(l) 二次項系數不為0 。
(2) △≥0 。

21.3實際問題與一元二次方程
1．列方程解應用題的一般步驟：
(1)審：審清題意，明確問題中的已知量和 未知量 ；
(2)設：設未知數，可以直接設也可以 間接設 ；
(3)列：依題意構建方程；
(4)解方程，求出未知數的值；
(5)檢驗作答．
2．構建一元二次有程來解決實際問題時，必須驗證方程的解是否符合 實際意義 。
3．面積問題：求不規則圖形的面積問題，往往把不規則圖形轉化成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式列出方程。
4．利潤=（ 售價 - 進價 ）× 銷售量 。

第22章 二次函數
22.1.1二次函數
一般地，形如_ y=ax2+bx+c(a≠0) _（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數，其中__x_是自變量，a、b、c分別是函數解析式的_二次__項系數、_一次__項系數、常數__項。

22.1.2二次函數y=ax2圖象和性質
1．二次函數y= ax2 的圖象是一條 拋物線 ，其對稱軸為 y 軸，頂點坐標為 原點 。
2．拋物線y= ax2 與y= - ax2 關于 x 軸對稱。拋物線y= ax2 ，當a>0時，開口向 上 ，頂點是它的最 低 點；當a<0時，開口向 下 ，頂點是它的最 高 點。 隨著的增大，開口越來越 小 。

22.1.3二次函數y=ax2+k的圖像和性質
1．二次函數y= ax2+k 的圖象是一條 拋物線 ．它與拋物線y= ax2的 形狀 相同，只是 頂點位置 不同，它的對稱軸為 y 軸，頂點坐標為 (0, k) __。
2．二次函數y= ax2+k 的圖象可由拋物線y= ax2 平移 得到．當k >0時，拋物線y= ax2 向上平移 k 個單位得y= ax2+k。 當k<0時，拋物線y= ax2 向__下__平移個單位得y= ax2+k 。

22.1.3二次函數y=a（x-h）2的圖像和性質
1．二次函數y= a（x-h）2 的圖象是 拋物線 ，它與拋物線y= ax2的 形狀 相同，只是 位置 不同；它的對稱軸為直線 x=h ， 頂點坐標為 (h,0) ．
2．二次函數y= a（x-h）2的圖象可由拋物線y= ax2 平移 得到。當h>0時，拋物線y= ax2向 右 平移h個單位得y= a（x-h）2；當h<0時，拋物線y= ax2向 左 平移個單位得y= a（x-h）2 。

22.1.3二次函數y=a(x-h)2+k的圖像和性質
1．二次函數y=a（x-h）2+k的圖象是 拋物線 ，它與拋物線y= ax2的 形狀 相同，只是 位置 不同；其對稱軸為直線 x=h ，頂點坐標為__(h, k) 。
2．二次函數y=a（x-h）2+k，當a>0時，開口向 上 ，有最 小 值為 k ，在對稱軸的左側，y隨x的增大而 減少 ，右側相反；當a <0時，恰好相反。
3．把拋物線y= ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到拋物線y=a（x-h）2+k，其平移方向和距離由 h ，k 值決定．

22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質
1．二次函數y =ax2 +bx +c(a≠0)通過配方可化為 的形式，它的對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當a>0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而 減小 ，在對稱軸右側y隨x的增大而 增大 ；當a<0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而 增大 ，在對稱軸的右側y隨x的增大而___減小_。
2．二次函數y =ax2+bx+c的圖象與y= ax2的圖象 形狀相同 ，只是 位置 不同；y =ax2+bx+c的圖象可以看成y=ax2的圖象上、下平移或左、右平移得到的。
3． 一般式y =ax2+bx+c：已知圖象上 任意三 點坐標或 三 對x、y值，分別代入一般式，可以求得函數解析式。
4．頂點式y=a（x-h）2+k：已知拋物線 頂點 坐標和另 一 點坐標，可求得解析式。
5．交點式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是圖象與x軸兩交點的橫坐標，適合此特點的拋物線設為交點式。

22.2二次函數與一元二次方程
1．一元二次方程ax2+bx+c=0的實數根，就是二次函數y =ax2+bx+c，當 y=0 時，自變量x的值，它是二次函數的圖象與x軸交點的 橫坐標 。
2．拋物線y =ax2+bx+c與x軸交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式的關系：當b2 -4ac<0時，拋物線與x軸 無 交點；當b2 -4ac =0時，拋物線與x軸有 一 個交點（即頂點在x軸上）；當b2 -4ac >0時，拋物線與x軸有 兩 個交點。
3．拋物線y =ax2+bx+c的圖象與字母系數a、b、c之問的關系：
(1)當a>0時開口 向上 ，當a<0時開口 向下 。
(2)若對稱軸在y軸的左邊，則a、b 同號 ；若對稱軸在y軸的右邊，則a、b 異號 ；
(3)若拋物線與y軸的正半軸相交，則c ＞ 0；若拋物線與y軸的負半軸相交，則c ＜ 0；若拋物線經過原點，則c = 0。

22.3實際問題與二次函數
1．求二次函數y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法將y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，當自變量x= h 時，函數y有最大（小）值為 k ；
(2)用公式法，當x= 時，二次函數y有最大（小）值 ．
2．面積最值問題應設圖形的一邊長為 自變量 ，所求面積為因變量，建立 二次函數 模型，利用二次函數有關知識求得最值，要注意函數自變量的 取值范圍 。
3．建立二次函數模型解決建筑類實際問題的一般步驟：
(1)根據題意建立適當的 平面直角坐標系 ；
(2)把已知條件轉化為 點的坐標 ；
(3)合理設出函數 解析式 ；
(4)利用 待定系數 法求出函數解析式；
(5)根據求出的函數解析式進一步分析、判斷并進行有關的計算。

第23章 旋轉
23.1圖形的旋轉
１．圖形旋轉的定義：把一個圖形繞著平面內某一點O轉動一定的角度就叫做圖形的 旋轉 ，點O叫作 旋轉中心 ，轉動的角度叫作 旋轉角 。
2．圖形旋轉的性質：
(l)對應點到旋轉中心的距離 相等 ；
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于 旋轉角 ；
(3)旋轉前后的圖形 全等(或重合) 。
3．在旋轉的過程中，要確定一個圖形旋轉后的位置，除了應了解圖形原來的位置外，還應了解 旋轉中心 、 旋轉方向 和 旋轉角 。
4．旋轉作圖的步驟：
(1)首先確定 旋轉中心 、旋轉方向和 旋轉角 ；
(2)其次確定圖形的關鍵點；
(3)將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度；
(4)連接 對應點 ，形成相應的圖形。

23.2.1中心對稱
1．把一個圖形繞著點O旋轉180°，能夠與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖形關于點O 對稱 或 中心對稱 ，點O叫作 對稱中心 ，這兩個圖形中的對應點叫作關于中心的 對稱點 。
2．中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線都經過 對稱中心 ，而且被 對稱中心 平分，中心對稱的兩個圖形是 全等圖形 。

23.2.2中心對稱圖形
1．把一個圖形繞著某一個點旋轉 180° ，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形 重合 ，那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點就是它的 對稱中心 。
2．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個圖形的整體就是 中心對稱圖形 ；反過來，如果將一個中心對稱圖形沿過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形，那么這兩個圖形成 中心對稱 。

23.2.3關于原點對稱的點的坐標
1．若P(x，y)與P’關于原點對稱，則P’的坐標為 (-x，-y) ；
2．點P(x，y)，P1( - x，y)，P2(x，- y)，P3( - x，- y)．則點P與點P1的關系是 關于y軸對稱，點P與點P2的關系是 關于x軸對稱 ，點P與點P3的關系是 關于原點對稱 。

第24章 圓
24.1.1圓
1．在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O 旋轉一周 ， 另一端點 所形成的圖形叫作圓。這個固定的端點O叫作 圓心 ，線段OA叫做 半徑 。
2．連接圓上任意兩點間的線段叫作 弦 ，圓上任意兩點間的部分叫作 弧 ，直徑是經過同圓心的弦，是圓中最長的弦。
3．在同圓或等圓中，能夠 互相重合 的弧叫等弧．
4．確定一個圓有兩個要素，一是 圓心 ，二是 半徑 ，圓心確定 位置 ，半徑確定 大小 。

24.1.2垂直于弦的直徑
1．圓是 軸 對稱圖形，它的對稱軸是 經過圓心 的直線；圓又是 中心 對稱圖形，它的對稱中心是 圓心 。
2．垂直于弦的直徑的性質定理是 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧 。
3．平分弦（不是直徑）的直徑 垂直 于弦，并且平分 弦所對的兩條弧 。

24.1.3弧、弦、圓心角
1．頂點在 圓心 的角叫作圓心角．
2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧 相等 ，所對的弦 相等 ；兩個圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么其余各組量也 相等 。

24.1.4圓周角
1．在同圓或 等圓 中，同弧或 等弧 所對的圓周角 相等 ，都等于這條弧所對的 圓心角 的一半。
2．半圓（或 直徑 ）所對的圓周角是 直角 ；90°的圓周角所對的弦是 直徑 。
3．如果一個多邊形的所有頂點都在同一圓上，這個多邊形叫作 圓內接多邊形 ，這個圓叫作 多邊形的外接圓 圓內接四邊形對角 互補 。

24.2.1點和圓的位置關系
1．如圖，⊙O的半徑為r．
(1)點d在⊙O外，則OA ＞ r；點B在⊙O上，則OB = r；點C在⊙O內，則OC ＜__ r。
(2)若OA>r，則點d在⊙O 外 ；若OB =r，則點B在⊙O 上 ；若OC2．在同一平面內，經過一個點能作 無數 個圓；經過兩個點可
作 無數 個圓，經過 不在同一直線上 的三個點只能作一個圓。
3．三角形的外心是三角形外接圓的圓心，此點是 三邊垂直平分線的交點 。
4．反證法首先假設命題的 結論 不成立，經過推理得出矛盾，由此判定假設 錯誤 ，從而得到原命題成立。

24.2.2直線和圓的位置關系
1．直線和圓有 相交 、 相切 、 相離 三種位置關系；
2．直線a與⊙O 有唯一 公共點，則直線a與⊙O相切；直線b與⊙O 有兩個 公共點，則直線b與⊙O相交；直線c與⊙O 沒有 公共點，則直線c與⊙O相離。
3．設⊙O的半徑為r，直線到圓心的距離為d，則：
(1)直線l1與⊙O 相離 ，則d ＞ r；
(2)直線l2與⊙O 相切 ，則d = r；
(3)直線l3與⊙O 相交 ，則d ＜ r。
4．切線的判定定理： 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑 的直線是圓的切線。
5．切線的性質定理：圓的切線 垂直于經過切點的半徑 。
6．經過 圓外 一點作圓的切線，這點和切點之間 線段 的長，叫作這點到圓的切線長。
7．圓的切線長定理：從圓外一點可以引圓的 兩 條切線，它們的切線長 相等 ，這一點和圓心的連線 平分 兩條切線的夾角。
8．與三角形各邊都 相切 的圓叫作三角形的內切圓，圓心叫作三角形的 內 心，它是三角形 三內角平分線 的交點。

＊圓和圓的位置關系
在同一平面內，兩個半徑不同的圓之間有下列五種位置關系：

如果兩圓的半徑分別為r1和r2（r1＜r2），圓心距為d，則:當兩圓外離時_d＞r1+r2 ；當兩圓外切時__d=r1+r2__；當兩圓相交時r2-r1＜d＜r1+r2_；當兩圓內切時_d=r2-r1；當兩圓內含時_0≤d＜r2-r1 。

24.3正多邊形和圓
1．__各邊相等__、__各角相等__ 的多邊形是正多邊形。
2．只要把一個圓分成 相等 的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的 外接 圓。
3．一個正多邊形的外接圓的 圓心 叫作這個正多邊形的中心，外接圓的 半徑 叫作這個正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的 圓心角 叫作正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的 邊心距 。
4． 一股地，正n邊形的一個內角的度數為 ，中心角的度數等于 ，正多邊形的中心角與外角的大小 相等 。

24.4弧長和扇形面積
1．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長是圓周長C= ，所以n°的同心角所對的弧長為l= 。
2．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓的面積s= ，所以圓心角為n°的扇形面積是S扇形= 。
3．用弧長表示扇形面積為 ，其中l為扇形弧長，R為半徑。
4．圓錐是由一個 底 面和一個 側 面圍成的，我們把連接圓錐 頂 點和底面圓周上 任意 一點的線段叫作圓錐的母線。
5．圓錐的側面展開圖是一個 扇 形，圓錐的母線是扇形的 半徑 ，圓錐底面圓的周長是扇形的 弧長 ，圓錐側面積是扇形的 面積 。
6．如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑是 l ，扇形的弧長是 2πr ，因此圓錐的側面積為 πrl ，h、r、l之問滿是的關系式為 。

第25章 概率初步
25.1.1隨機事件
１．在一定條件下，有些事件　必然　 會發生，這樣的事件稱為必然事件。
2．在一定條件下，有些事件必然 　不會　 發生，這樣的事件稱為不可能事件。
3．在一定條件下，可能 　發生　 也可能 　不發生　 的事件，稱為隨機事件。
4．生活中的事件可分為 確定性 事件和 隨機 事件，其中確定性事件又分為 必然 事件和 不可能 事件。

25.1.2概率
1．一般地,對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生_可能性大小_的數值,稱為隨機事件A發生的概率,記為__P(A)__.
2．當試驗具有以下特點時：①每次試驗，可能出現的結果只有__有限__個；②每次試驗，各結果出現的可能性__相等__。可以從事件所包含的___各種可能 的結果數在__全部可能的結果數中所占的_比__，分析出事件發生的概率。
3．一般地，如果在一次試驗中，有_ n _種可能的結果，并且它們發生的可能性都__相等__，事件A包含其中的_m_種結果，那么事件A發生的概率為_ __ 。
4．當A為必然事件時，P（A）=_1_；當A為不可能事件時，P（A）=_0_；當A為隨機事件時，_0_
25.2用列舉法求概率
1．古典概率：即一個實驗有n個結果，而事件A包含了其中的rn個結果，則P(A)= 。
2．用古典概率定義求概率，必須具備兩個條件：
一是一次實驗中，可能出現的結果有 有限 個，各種結果發生的可能性 相等 。二是每個基本事件出現的可能性 相同 。
3．用概率的大小可以判斷游戲是否 公平 。
4．當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出觀的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用 列表 或畫 樹狀 法。
5．對于二元事件（兩次型問題）要分清摸球放回與不放回。
6．若試驗只有兩步，用 列表法 和 樹狀法 都可以．若試驗在三步或三步以上，只能用 畫樹狀圖 來計算。

25.3利用頻率估計概率
1．對一般的隨機事件，在同樣條件下做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的 頻率 總在一個 固定 數的附近擺動，顯示出一定的穩定性。
2．一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率里會穩定在某個常數p附近，那么事件A發生的概率P(A)= P = 。































外離


外切


相交


內切


內含














九年級數學（上）知識要點 第 18 頁 共 18 頁

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