資源簡介

3.2.1 幾類不同增長的函數模型
備課資料
1.一種放射性元素的最初質量為500 g，按每年10%衰減.
（1）求t年后，這種放射性元素質量ω的表達式.
（2）由求出的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期（精確到0.1）.
（半衰期指的是剩流量為原來的一半所需要的時間）
2.從盛有鹽的質量分數為20%的鹽水2 kg的容器中，倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg的水.
（1）第5次倒出的1 kg鹽水中含鹽為多少？
（2）經6次倒出后，一共倒出多少千克鹽？此時加入1 kg水后容器內鹽水的質量分數為多少？
3.假設A型進口汽車關稅率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型進口車每輛價格為64萬元（其中含32萬元關稅稅款）
（1）已知A型車性能相近的B型國產車2001年每輛價格為46萬元，若A型車的價格只受關稅降低的影響，為了保證2006年B型車的價格不高于A型車價格的90%，B型車價格要逐年降低，問平均每年至少下降多少萬元？
（2）某人將33萬元存入銀行，假設該銀行扣利息稅后的年利率為1.8%（五年內不變），且每年按復利計算，那么五年到期時這筆錢連本帶息是否能購買一輛按（1）中所述降價后的B型汽車？
答案：
1.（1）最初的質量為500 g，
經過1年，w=500（1－10%）=500×0.91，
經過2年，w=500×0.92.
由此類推，可知t年后，ω=500×0.9t.
（2）解方程500×0.9t=250，0.9t=0.5，
兩邊取常用對數lg0.9t=lg0.5.
所以tlg0.9=lg0.5，即t=≈6.6，
即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.
2.（1）設第x次倒出的鹽的質量為y，
則當x=1時，y=0.4×=0.2（kg）；
當x=2時，y=0.4×（）2=0.1（kg）.
所以y=0.4×（）x（kg）.
故當x=5時，y=0.4×（）5=0.0125（kg）.
（2）設第x次倒出后容器中的鹽的質量為y，
則當x=1時，y=0.4×=0.2（kg），
當x=2時，y=0.4×（）2=0.1（kg）.
所以y=0.4×（）x（kg），
故當x=6時，y=0.4×（）6=0.00625（kg）.
所以經六次倒出后，一共倒出鹽0.4－0.00625=0.39375（kg）.
此時加入1 kg水后，容器內鹽水的質量分數為=0.3125%.
3.（1）設B型車平均每年下降x萬元，那么46－5x≤（32+32×25%）90%.
解得x=2，所以B型車平均每年至少下降2萬元.
（2）五年后，B型車價格不高于46－5·2=36（萬元）.
五年后的本息合計為33（1+1.8%）5≈36.079＞36.
所以能夠買到降價后的B型車.

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