資源簡介

1.1.1 集合的含義與表示
備課資料
1.無限集
在19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家康托系統(tǒng)地描繪了一個(gè)能夠?yàn)槿繑?shù)學(xué)提供基礎(chǔ)的通用數(shù)學(xué)框架.他創(chuàng)立的這個(gè)學(xué)科一直是我們數(shù)學(xué)發(fā)展的根植地.這個(gè)學(xué)科就叫做集合論.它的概念和方法已經(jīng)有效地滲透到所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué).盡管我們生存的世界是有限的，但是，為了研究它，我們卻總是要涉及無限，所有自然數(shù)的集合就是一個(gè)無限集，圓周率的精確值表示需要無限多位小數(shù)，等等.對(duì)于無限集，可以得到一些意想不到的結(jié)論.例如，設(shè)集合A是所有正整數(shù)的集合，集合B是所有正偶數(shù)的集合.直觀地，B中的元素個(gè)數(shù)恰好是A中元素個(gè)數(shù)的一半.但是，根據(jù)集合論的觀點(diǎn)，它們的個(gè)數(shù)是一樣的.這可以用“配對(duì)”的方法來驗(yàn)證：
這里沒有矛盾，如果有的話，也只是出于我們的成見.對(duì)此的闡釋最好莫過于“希爾伯特旅館”，這個(gè)理想化的建筑物有無限多個(gè)房間，以所有正整數(shù)1，2，3……來編號(hào).一天晚上，碰巧所有房間都住滿了（在這個(gè)故事中人數(shù)也是無限多）.這時(shí)新來了一個(gè)客人，正在老板無法安置的時(shí)候，一個(gè)聰明的服務(wù)員想出了一個(gè)辦法，她提出將1號(hào)房的客人安排到2號(hào)房，2號(hào)房的客人安排到3號(hào)房，3號(hào)房的客人安排到4號(hào)房，由此類推……這樣就騰出了1號(hào)房供新客人使用.而且即使來了不止一個(gè)客人，也可以同樣妥善安置，比如說來了新客人10個(gè)，她說：“只需將1號(hào)房的客人安排到11號(hào)房，2號(hào)房的客人安排到12號(hào)房，3號(hào)房的客人安排到13號(hào)房，由此類推……這樣就騰出了前十個(gè)空房供新客人使用.”這時(shí)，有人提出新的問題，如果后來的客人有無數(shù)人怎么辦呢?這難不到我們的這位服務(wù)生，她提出將1號(hào)房的客人安排到2號(hào)房，2號(hào)房的客人安排到4號(hào)房，3號(hào)房的客人安排到6號(hào)房，由此類推……這樣不就騰出了1號(hào)，3號(hào)，5號(hào)……無數(shù)個(gè)房間嗎!
2.設(shè)a、b∈R，ab≠0，集合A={t|t=++}，則card（a）（card（a）表示有限集A的元素個(gè)數(shù)）的值為
A.1 B.2 C.3 D.4
3.集合M=｛（x，y）|y=2x2+x+6，x∈R，x≠0｝，點(diǎn)P（x，y）∈M，則點(diǎn)Q（|x|，－y）是第幾象限的點(diǎn)?
4.設(shè)集合P=｛x|x為有長為1的邊及40°為內(nèi)角的等腰三角形｝，試問P中有多少個(gè)元素?
5.設(shè)M=｛a|a=x2－y2，x，y∈Z｝，求證：
（1）一切奇數(shù)屬于M；
（2）偶數(shù)4k－2（k∈Z）不屬于M；
（3）屬于M的兩個(gè)整數(shù)，其積仍屬于M.
答案：2.B
3.四（點(diǎn)撥：y=2x2+x+6=2（x+）2+＞0，|x|＞0，－y＜0）
4.4（點(diǎn)撥：腰長為1且頂角為40°的三角形、腰長為1且底角為40°的三角形、底邊長為1且頂角為40°的三角形及底邊長為1且底角為40°的三角形）
5.（1）設(shè)a為任意的奇數(shù)，即a=2k－1（k∈Z）.因2k－1=k2－（k－1）2（k，k－1∈Z），故a∈M.由a的任意性知，一切奇數(shù)屬于M.
（2）假設(shè)4k－2∈M，則存在x、y∈Z，使4k－2=x2－y2（x+y）（x－y）=2（2k－1）.
①
①式說明x+y和x－y必有一個(gè)是偶數(shù)，另一個(gè)是奇數(shù)，但是x+y和x－y具有相同的奇偶性，這是一對(duì)矛盾.故①式不成立，所以4k－2M.
（3）設(shè)α、β∈M，則α=x12－y12，β=x22－y22（x1、x2、y1、y2∈Z）.
進(jìn)而αβ=（x12－y12）（x22－y22）=x12x22+y12y22－x12y22－x22y12=（x1x2－y1y2）2－（x1y2－x2y1）2.
而x1x2－y1y2∈Z，x1y2－x2y1∈Z，所以αβ∈M.

展開更多......

收起↑