資源簡介

1.1.1 集合的含義與表示
備課資料
［備選例題］
【例1】判斷下列集合是有限集還是無限集,并用適當的方法表示:
(1)被3除余1的自然數組成的集合;
(2)由所有小于20的既是奇數又是質數的正整數組成的集合;
(3)二次函數y=x2+2x-10的圖象上的所有點組成的集合;
(4)設a、b是非零實數,求y=的所有值組成的集合.
思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類.用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.
解：(1)被3除余1的自然數有無數個,這些自然數可以表示為3n+1(n∈N).用描述法表示為{x|x=3n+1,n∈N}.
(2)由題意得滿足條件的正整數有:3,5,7,11,13,17,19.則此集合中的元素有7個,用列舉法表示為{3,5,7,11,13,17,19}.
(3)滿足條件的點有無數個,則此集合中有無數個元素,可用描述法來表示.通常用有序數對(x,y)表示點,那么滿足條件的點組成的集合表示為{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)當ab<0時,y==-1;當ab>0時,則a>0,b>0或a<0,b<0.
若a>0,b>0,則有y==3;若a<0,b<0,則有y==-1.
∴y=的所有值組成的集合共有兩個元素-1和3.則用列舉法表示為{-1,3}.
【例2】定義A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},試用列舉法表示集合N-M.
分析:應用集合A-B={x|x∈A,xB}與集合A、B的關系來解決.依據定義知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素組成的集合.觀察集合M、N,它們的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3還剩下元素6,則N-M={6}.
答案：{6}.
設計方案（二）
教學過程
導入新課
思路1.在初中代數不等式的解法一節中提到:一般地,一個含有未知數的不等式的所有的解,組成這個不等式的解的集合,簡稱這個不等式的解集.不等式解集的定義中涉及到“集合”,那么,集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內容.今天我們開始學習集合,引出課題.
思路2.開場白:集合是現代數學的基本語言,它可以簡潔、準確地表達數學內容.這個詞聽起來比較陌生,其實在初中我們已經有所接觸,比如自然數集、有理數集,一元一次不等式x-3>5的解集,這些都是集合.還有,我們學過的圓的定義是什么？(提問學生)圓是到一個定點的距離等于定長的點的集合.接著點出課題.
推進新課
新知探究
提出問題
教師利用多媒體設備向學生投影出下面實例,這5個實例的共同特征是什么?
(1)1~20以內的所有質數;
(2)我國古代的四大發明;
(3)所有的安理會常任理事國;
(4)所有的正方形;
(5)北京大學2004年9月入學的全體學生.
活動：教師組織學生分小組討論,每個小組選出一位同學發表本組的討論結果,在此基礎上,師生共同概括出5個實例的特征,并給出集合的含義.
引導過程:
①一般地,指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集),集合中的每個對象叫做這個集合的元素.
②集合常用大寫字母A,B,C,D,…表示,元素常用小寫字母a,b,c,d,…表示.
③集合的表示法:a.自然語言(5個實例);b.字母表示法.
④集合元素的性質:a.確定性:即任給一個元素和一個集合,那么這個元素和這個集合的關系只有兩種:這個元素要么屬于這個集合,要么不屬于這個集合;b.互異性:一個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復出現的;c.無序性:集合中的元素是沒有順序的.
⑤集合相等:如果兩個集合中的元素完全相同,那么這兩個集合是相等的.
⑥元素與集合的關系:“屬于”和“不屬于”分別用“∈”和“”表示.
元素確定性的符號語言表述為:對任意元素a和集合A,要么a∈A,要么aA.
⑦在初中我們學過了一些數的集合,國際標準化組織(ISO)制定了常用數集的記法:
自然數集(包含零):N,正整數集:N*(N+),整數集:Z,有理數集:Q,實數集:R.
因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否則會出現混亂的局面.
提出問題
(1)請列舉出“小于5的所有自然數組成的集合A”.
(2)你能寫出不等式2-x>3的所有解嗎？怎樣表示這個不等式的解集？
活動：學生回答后,教師指出:
①在數學中,為書寫規范,我們把封閉曲線簡化為一個大括號,然后把元素一一列舉出來,元素與元素之間用逗號隔開寫在大括號內來表示這個集合.這種表示集合的方法稱為列舉法.如本例可表示為A={0,1,2,3,4}.
②描述法:將集合的所有元素都具有的性質(滿足的條件)表示出來,寫成{x|p(x)}的形式.其中x為元素的一般特征,p(x)為x滿足的條件.如數集常用{x|p(x)}表示,點集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.
應用示例
思路1
1.課本第3頁例1.
思路分析：用相應的數學知識明確集合中的元素,再寫在大括號內.
點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法.如果一個集合是有限集,并且元素的個數較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“{}”內,并寫成A={……}的形式.
變式訓練
請試一試用列舉法表示下列集合:
(1)A={x∈N|且∈N};
(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
分析:本題考查列舉法與描述法的相互轉化.明確各個集合中的元素后再寫在大括號內.
(1)集合A中元素x滿足均為自然數;
(2)集合B中y值為函數y=-x2+6的函數值的集合;
(3)集合C中元素為點,拋物線上橫、縱坐標均為自然數的點.
答案：(1)A={0,6,8};
(2)B={2,5,6};
(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.
2.課本第4頁例2.
思路分析：本題重點學習用描述法表示集合.用一個小寫英文字母表示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用數學符號來表達,然后寫在大括號“{}”內.
點評：本題主要考查集合的表示方法,以及應用知識解決問題的能力;描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素,(2)用數學符號表達集合元素的共同特征;(3)在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.并寫成A={…|…}的形式;描述法適合表示有無數個元素的集合,當集合中的元素個數較少時,通常用列舉法表示.
變式訓練
課本P5練習2.
思路2
1.下列所給對象不能構成集合的是( )
A.一個平面內的所有點
B.所有大于零的正數
C.某校高一(4)班的高個子學生
D.某一天到商場買過貨物的顧客
思路分析：本題考查集合中元素的確定性.由集合的含義,可知組成集合的元素必須是明確的,不能模棱兩可.在A中對于任何一個點要么在這個平面內,要么不在這個平面內,因而它可以組成一個集合;在B中由于大于零的正數很明確,因此B也能組成一個集合;C中由于“高個子”沒有一個確定的標準,因而不能判定一個學生到底是不是高個子,故它不能組成集合;而D中對于任何一個顧客在這一天是否到過某商場,以及是否買過貨物是非常明確的,因此它也能組成一個集合.
答案：C
變式訓練
下列各組對象中不能構成集合的是( )
A.高一(1)班全體女生
B.高一(1)班全體學生家長
C.高一(1)班開設的所有課程
D.高一(1)班身高較高的男同學
分析:判斷所給對象能否構成集合的問題,只需根據構成集合的條件,即集合中元素的確定性便可以解決.因為A、B、C中所給對象都是確定的,從而可以構成集合;而D中所給對象不確定,原因是找不到衡量學生身高較高的標準,故不能構成集合.若將D中“身高較高的男同學”改為“身高175 cm以上的男同學”,則能構成集合.
答案：D
2.用另一種形式表示下列集合:
(1){絕對值不大于3的整數};
(2){所有被3整除的數};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};
(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
思路分析：用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.
答案：(1){絕對值不大于3的整數}還可以表示為{x||x|≤3,x∈Z},也可表示為{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈Z}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}還可以表示為{0,1,2,3,4}.
(4){-2}.
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
變式訓練
用適當的形式表示下列集合:
(1)絕對值不大于3的整數組成的集合;
(2)所有被3整除的數組成的集合;
(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0實數解組成的集合;
(4)一次函數y=x+6圖象上所有點組成的集合.
分析:元素較少的有限集宜采用列舉法;對無限集或元素較多的有限集宜采用描述法.
答案：(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};
(2){x|x=3n,n∈Z};
(3){,-2};
(4){(x,y)|y=x+6}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一個元素,求a的取值范圍.
思路分析：對于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看這個方程左邊的x2的系數,a=0和a≠0方程的根的情況是不一樣的,則集合A的元素也不相同,所以首先要分類討論.
解：當a=0時,原方程為-3x+2=0x=,符合題意;
當a≠0時,方程ax2-3x+2=0為一元二次方程,則解得a≠0且a≤.
綜上所得a的取值范圍是{a|a≤}.
4.用適當的方法表示下列集合:
(1)方程組的解集;
(2)1000以內被3除余2的正整數所組成的集合;
(3)直角坐標平面上在第二象限內的點所組成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐標平面上在直線x=1和x=-1的兩側的點所組成的集合.
分析:本題考查集合的表示方法.所謂適當的表示方法,就是較簡單、較明了的表示方法.由于方程組的解為x=4,y=-2.故(1)宜用列舉法;(2)中盡管是有限集,但由于它的元素個數較多,所以用列舉法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)則宜用列舉法為好.
解：(1){(4,-2)};
(2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000};
(3){(x,y)|x<0且y>0};
(4){正方形};
(5){(x,y)|x<-1或x>１}.
知能訓練
課本P5練習1、2.
拓展提升
1.已知A={x∈R|x=,abc≠0},用列舉法表示集合A.
分析:解決本題的關鍵是去掉絕對值符號,需分類討論.
解：題目中x的取值取決于a、b、c的正負情況,可分成以下幾種情況討論:
(1)a、b、c全為正時,x=7;
(2)a、b、c兩正一負時,x=-1;
(3)a、b、c一正兩負時,x=-1;
(4)a、b、c全為負時,x=-1.
∴A={7,-1}.
注意：(2)、(3)中又包括多種情況(a、b、c各自的正負情況),解題時應考慮全面.
2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.
(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;
(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},試用代數式表示出集合C中所有元素之和S;
(3)聯系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,試求出(2)中的S.
思路分析：先用列舉法寫出集合C,然后解決各個小題.
答案：(1)列舉法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},進而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.
(2)列舉法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.
(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100時,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,進而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.
本題(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.
課堂小結
在師生互動中,讓學生了解或體會下列問題:
(1)本節課我們學習過哪些知識內容?
(2)你認為學習集合有什么意義？
(3)選擇集合的表示法時應注意些什么?
設計感想
本節課是集合的起始課,采用教師啟發引導,學生探究學習的教學方法,通過創設情境,引導探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.
作業
1.課本P11習題1.1A組4.
2.元素與集合的關系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的關系又有多少種呢？如何表示？請同學們通過預習課本來解答.
(設計者：韓雙影)

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