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1.1.2 集合間的基本關系
備課資料
［備選例題］
【例1】下面的Venn圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關系,問集合A、B、C、D、E分別是哪種圖形的集合？
圖1-1-2-6
思路分析：結合Venn圖,利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定.
解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形,故A={四邊形};梯形不是平行四邊形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四邊形,故B={梯形},C={平行四邊形};正方形是菱形,故E={正方形},
即A={四邊形},B={梯形},C={平行四邊形},D={菱形},E={正方形}.
【例2】2006全國高中數學聯賽山東賽區預賽,3設集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},則滿足BA的a的值共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
分析:由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B是關于x的方程(a-2)x=2的解集,
∵BA,∴B=或B≠.
當B=時,關于x的方程(a-2)x=2無解,∴a-2=0.
∴a=2.當B≠時,關于x的方程(a-2)x=2的解x=∈A,
∴=-2或=-1或=1或=2.
解得a=1或0或4或3,綜上所得,a的值共有5個.
答案：D
【例3】集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的個數是( )
A.16 B.8 C.7 D.4
分析:A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},則A的真子集有23-1=7個.
答案：C
【例4】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},試判斷集合B是不是集合A的子集？是否存在實數a使A=B成立？
解析:先在數軸上表示集合A,然后化簡集合B,由集合元素的互異性,可知此時應考慮a的取值是否為1,要使集合B成為集合A的子集,集合B的元素在數軸上的對應點必須在集合A對應的線段上,從而確定字母a的分類標準.
當a=1時,B={1},所以B是A的子集;當13時,B不是A的子集.綜上可知,當1≤a≤3時,B是A的子集.
由于集合B最多只有兩個元素,而集合A有無數個元素,故不存在實數a,使B=A.
點評：分類討論思想,就是科學合理地劃分類別,通過“各個擊破”,再求整體解決(即先化整為零,再聚零為整)的策略思想.類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求,探索劃分的數量界限是分類討論的關鍵.
［思考］
(1)空集中沒有元素,怎么還是集合?
(2)符號“∈”和“”有什么區別?
剖析:(1)疑點是總是對空集這個概念迷惑不解,并產生懷疑的想法.產生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景,其突破方法是通過實例來體會.例如,根據集合元素的性質,方程的解能夠組成集合,這個集合叫做方程的解集.對于=0,x2+4=0等方程來說,它們的解集中沒有元素.也就是說確實存在沒有任何元素的集合,那么如何用數學符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.這就是建立空集這個概念的背景.由此看出,空集的概念是一個規定.又例如,不等式|x|<0的解集也是不含任何元素,就稱不等式|x|<0的解集是空集.
(2)難點是經常把這兩個符號混淆,其突破方法是準確把握這兩個符號的含義及其應用范圍,并加以對比.符號∈只能適用于元素與集合之間,其左邊只能寫元素,其右邊只能寫集合,說明左邊的元素屬于右邊的集合,表示元素與集合之間的關系,如-1∈Z,Z;符號只能適用于集合與集合之間,其左右兩邊都必須寫集合,說明左邊的集合是右邊集合的子集,表示集合與集合之間的關系,如{1}{1,0},{x|x<0}.

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