資源簡介

第10講 對數運算和對數函數
[玩前必備]
1．對數的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數的底數，__N__叫做真數．
2．對數的性質與運算法則
(1)對數的運算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④＝logaM.
(2)對數的性質
①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)對數的重要公式
①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad.
3．對數函數的圖象與性質
a>1
0圖象
/
/
性質
(1)定義域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
(4)當x>1時，y>0
當0(5)當x>1時，y<0
當00
(6)在(0，＋∞)上是增函數
(7)在(0，＋∞)上是減函數
[玩轉典例]
題型一 指數式與對數式的互化
例1　將下列指數式與對數式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)64＝；(5)log39＝2；(6)logxy＝z.
[玩轉跟蹤]
1.下列指數式與對數式互化不正確的一組是(　　)
A.e0＝1與loge1＝0 B.8＝2與log82＝
C.log24＝2與4＝2 D.log33＝1與31＝3
題型二 對數運算性質的應用
例2　計算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3－2＋103lg3＋.
[玩轉跟蹤]
1.計算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)
(3)1)9+5.
題型三 換底公式的應用
例3　已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.
[玩轉跟蹤]
1.(1)(log29)·(log34)等于(　　)
A. B.
C.2 D.4
(2)log2·log3·log5＝________.
題型四 對數函數的概念
例4　指出下列函數哪些是對數函數？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1
[玩轉跟蹤]
1.若某對數函數的圖象過點(4,2)，則該對數函數的解析式為(　　)
A.y＝log2x B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不確定
題型五 對數函數的圖象
例5　如圖所示，曲線是對數函數y＝logax的圖象，已知a取，，，，則相應于c1、c2、c3、c4的a值依次為(　　)
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
[玩轉跟蹤]
1.(1)函數y＝loga(x＋2)＋1的圖象過定點(　　)
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
(2)如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則(　　)
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
題型六 對數函數的性質和應用
角度一:對數函數的定義域
例6　(1)函數f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是(　　)
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
(2)若f(x)＝，則f(x)的定義域為(　　)
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
角度二:對數函數單調性的應用
例7　求函數y＝log(1－x2)的單調增區間，并求函數的最小值.
例8　比較下列各組中兩個值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
角度三:對數函數的綜合應用
例9　已知函數f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性和單調性.
[玩轉練習]
1.2－3＝化為對數式為(　　)
A.log2＝－3 B.log(－3)＝2
C.log2＝－3 D.log2(－3)＝
2.若loga＝c，則下列關系式中正確的是(　　)
A.b＝a5c B.b5＝ac
C.b＝5ac D.b＝c5a
3.方程2＝的解是(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝9
4.已知loga 2＝m，loga 3＝n，則a2m＋n等于(　　)
A.5 B.7
C.10 D.12
5.log242＋log243＋log244等于(　　)
A.1 B.2
C.24 D.
6.化簡log612－2log6的結果為(　　)
A.6 B.12
C.log63 D.
7.計算log916·log881的值為(　　)
A.18 B.
C. D.
8.計算下列各式的值：
(1)；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 )2＋lg ＋lg 0.06.
9.下列函數是對數函數的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
10.函數f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　)
A.(－，＋∞) B.(－∞，－)
C.(－，) D.(－，1)
11.函數y＝ax與y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐標系中的圖象形狀可能是(　　)
/
12.若a＞0且a≠1，則函數y＝loga(x－1)＋1的圖象恒過定點________.
13.比較下列各組數的大小：
(1)log2________log2；
(2)log32________1；
(3)log4________0.
14.若集合A＝，則?RA等于(　　)
A.(－∞，0]∪
B.
C.(－∞，0]∪
D.
15.函數f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.a
16.函數f(x)＝lg()的奇偶性是(　　)
A.奇函數 B.偶函數
C.即奇又偶函數 D.非奇非偶函數
17.函數y＝log(－x2＋4x＋12)的單調遞減區間是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－2,2) D.(－2,6)
18.已知定義域為R的偶函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，且f()＝0，則不等式f(log4x)＜0的解集是________.
19.已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2,4].試求f(x)的最大值與最小值.
第11講 函數的零點
[玩前必備]
1．函數的零點
(1)函數零點的定義
對于函數y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x) (x∈D)的零點．
(2)幾個等價關系
方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
/
/
/
與x軸的交點
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
無交點
零點個數
2
1
0
3.二分法
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
[玩轉典例]
題型一 求函數的零點
例1　求下列函數的零點：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
(3)函數f(x)＝(lg x)2－lg x的零點為________
[玩轉跟蹤]
1.已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A.，0 B．－2,0 C. D．0
2.求函數y＝(ax－1)(x＋2)的零點.
題型二 函數零點個數或所在區間的判斷
例2　(1)設x0是方程ln x＋x＝4的解，則x0屬于(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)函數f(x)＝的零點個數是________．
[玩轉跟蹤]
1.(1)函數f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點個數是(　　)
A．多于4個 B．4個
C．3個 D．2個
題型三 參數范圍問題
例3　(1)函數f (x)＝∣4x－x2∣－a的零點的個數為3，則a＝ ．
(2) 函數y＝－m有兩個零點，則m的取值范圍是________．
例4　已知關于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有兩個根，且一個根大于2，另一個根小于2，試求實數a的取值范圍.
[玩轉跟蹤]
1.設方程|x2－3|＝a的解的個數為m，則m不可能等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有兩根，其中一根在區間(－1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的取值范圍.
題型四 用二分法求方程的近似解
例5　設??
??
=
3
??
+3???8，用二分法求方程
3
??
+3???8=0在區間(1，2)上近似解的過程中，計算得到??
1
<0，??
1.25
<0，??
1.5
>0，??
1.75
>0，則方程的根落在區間( )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5) C. (1.5，1.75) D. (1.75，2)
[玩轉跟蹤]
1.用二分法研究函數f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈______，第二次應計算_____．以上橫線上應填的內容為(　　)
A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.05)，f(0.125)
[玩轉練習]
1.函數f(x)＝2x2－3x＋1的零點是(　　)
A.－，－1 B.，1
C.，－1 D.－，1
2.函數f(x)＝x3－2x2＋2x的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函數y＝x2－bx＋1有一個零點，則b的值為(　　)
A.2 B.－2 C.±2 D.不存在
4.已知f(x)是定義域為R的奇函數，且在(0，＋∞)內的零點有1 007個，則f(x)的零點個數為(　　)
A.1 007 B.1 008
C.2 014 D.2 015
5.函數f(x)＝的零點為________.
6.若函數f(x)＝2x2－ax＋3有一個零點為，則f(1)＝________.
7．若函數f(x)＝bx＋2有一個零點為，則g(x)＝x2＋5x＋b的零點是(　　)
A. －　　　 B. 1或－6 C. －1或6　 　D. 1或6
8．函數f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
9．方程log3x＋x－3＝0的解所在的區間是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
10．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x2－3x.則函數g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
12．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數m的取值范圍是________．
13．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在區間[1,2]上零點的近似值，先取區間中點c＝，則下一個含根的區間是________．
第12講 函數應用
[玩前必備]
1.幾類已知函數模型
函數模型
函數解析式
一次函數模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
反比例函數模型
f(x)＝＋b(k，b為常數且k≠0)
二次函數模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數型函數模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
對數型函數模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數型模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
2.應用函數模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；
2．建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型；
3．求模——求解數學模型，得出數學模型；
4．還原——將數學結論還原為實際問題．
3.三種函數的增長速度比較
(1)在區間(0，＋∞)上，函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數，但增長速度不同，且不在同一個“檔次”上.
(2)在區間(0，＋∞)上隨著x的增大，y＝ax(a＞1)增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢.
(3)存在一個x0，使得當x＞x0時，有logax＜xn＜ax.
[玩轉典例]
題型一　一次函數模型
例1　大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據實測的結果上升到12 km為止，溫度的降低大體上與升高的距離成正比，在12 km以上溫度一定，保持在－55 ℃.
(1)當地球表面大氣的溫度是a ℃時，在x km的上空為y ℃，求0≤x≤12時，a，x，y間的函數關系式；
(2)當地球表面大氣的溫度是29 ℃時，3 km上空的溫度是多少？
[玩轉跟蹤]
1.如圖所示，這是某電信局規定的打長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系圖象，根據圖象填空：
/
(1)通話2分鐘，需要付電話費________元；
(2)通話5分鐘，需要付電話費________元；
(3)如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系式為________.
題型二　二次函數模型
例2　某公司通過報紙和電視兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據統計資料，銷售收入R(萬元)與報紙廣告費用x1(萬元)及電視廣告費用x2(萬元)之間的關系有如下經驗公式：
R＝－2x－x＋13x1＋11x2－28.
(1)若提供的廣告費用共為5萬元，求最優廣告策略；(即收益最大的策略，其中收益＝銷售收入－廣告費用)
(2)在廣告費用不限的情況下，求最優廣告策略(其中x1，x2∈N).
[玩轉跟蹤]
1.心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數關系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越強.
(1)x在什么范圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內，學生的接受能力逐步降低？
(2)第10分鐘時，學生的接受能力是多少？
(3)第幾分鐘時，學生的接受能力最強？
題型三　分段函數模型
例3　某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購1個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元.
(1)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？
(2)設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數P＝f(x)的表達式；
(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1 000個，利潤又是多少元？
(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)
[玩轉跟蹤]
1.某公司生產一種產品，每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投資0.25萬元，經預測可知，市場對這種產品的年需求量為500件，當出售的這種產品的數量為t(單位：百件)時，銷售所得的收入約為5t－t2(萬元).
(1)若該公司的年產量為x(單位：百件)，試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量x的函數；
(2)當這種產品的年產量為多少時，當年所得利潤最大？
題型四　指數型函數模型
例4　目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年)．
[玩轉跟蹤]
1.一種放射性元素，最初的質量為500 g，按每年10%衰減．(已知：lg 0.5≈0.301 0，
lg 0.9≈0.045 8)
(1)求t年后，這種射放性元素的質量ω的表達式；
(2)由求出的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期(結果精確到0.1)．
題型五　對數型函數模型
例5　我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v＝5log2，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？
[玩轉跟蹤]
1.“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度，假設函數t＝－144lg中，t表示達到某一英文打字水平所需的學習時間，N表示每分鐘打出的字數．則當N＝40時，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
題型六　建立擬合函數模型解決實際問題
例6　某紀念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每枚的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數據如下：
上市時間x天
4
10
36
市場價y元
90
51
90
(1)根據上表數據結合散點圖，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格．
[玩轉跟蹤]
1.蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10 kg)與上市時間t(單位：天)的數據情況如表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根據表中數據，從下列函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并說明理由；
(2)利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．
[玩轉練習]
1.在自然界中，某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函數關系式中，能表達這種關系的是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x＋1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
2.一等腰三角形的周長為20，底邊y是關于腰長x的函數，則它的解析式為(　　)
A.y＝20－2x(x≤10) B.y＝20－2x(x＜10)
C.y＝20－2x(5≤x≤10) D.y＝20－2x(5＜x＜10)
3.某廠日產手套的總成本y(元)與日產量x(雙)之間的關系為y＝5x＋40 000.而手套出廠價格為每雙10元，要使該廠不虧本至少日產手套(　　)
A.2 000雙 B.4 000雙
C.6 000雙 D.8 000雙
4.某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為：
y＝
其中，x代表擬錄用人數，y代表面試人數.若應聘的面試人數為60，則該公司擬錄用人數為(　　)
A.15 B.40 C.25 D.130
5.某工廠的大門是一拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，兩側距地面3 m高處各有一個壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6 m，如圖所示，則廠門的高為(水泥建筑物厚度忽略不計，精確到0.1 m)(　　)
A.6.9 m B.7.0 m C.7.1 m D.6.8 m
6.某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品最佳售價應為每個________元.
7.北京市的一家報攤主從報社買進《北京晚報》的價格是每份0.40元，賣出的價格是每份0.50元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數必須相同，他應該每天從報社買進多少份，才能使每月所獲得的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？
8.下列函數中，增長速度最慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x
9.甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1＜v2)，則甲從A地到B地走過的路程s與時間t的關系圖示為(　　)
/
10.據報道，某淡水湖的湖水在50年內減少了10%，若按此規律，設2013年的湖水量為m，從2013年起，經過x年后湖水量y與x的函數關系為(　　)
A.y＝0.9 B.y＝(1－0.1)m
C.y＝0.9m D.y＝(1－0.150x)m
11.某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數y(萬公頃)關于年數x(年)的函數關系較為近似的是(　　)
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
12.已知某工廠生產某種產品的月產量y(萬件)與月份x滿足關系y＝a·(0.5)x＋b，現已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件.則此廠3月份該產品產量為________.
13.我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強度有關系.聲音的強度用瓦/米2(W/m2)表示，但在實際測量時，聲音的強度水平常用L1表示，它們滿足以下公式：L1＝10 lg(單位為分貝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人們平均能聽到的最小強度，是聽覺的開端).回答下列問題：
(1)樹葉沙沙聲的強度是1×10－12 W/m2，耳語的強度是1×10－10 W/m2，恬靜的無線電廣播的強度是1×10－8 W/m2，試分別求出它們的強度水平；
(2)某一新建的安靜小區規定：小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下，試求聲音強度I的范圍為多少？
第13講 三角函數概念和誘導公式
[玩前必備]
1．角的概念
(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限．
2．弧度制
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函數
任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三個三角函數的初步性質如下表：
三角函數
定義域
第一象限符號
第二象限符號
第三象限符號
第四象限符號
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－
4．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數關系：＝tan α.
5．下列各角的終邊與角α的終邊的關系
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
圖示
/
/
/
與角α終邊的關系
相同
關于原點對稱
關于x軸對稱
角
π－α
－α
＋α
圖示
/
/
/
與角α終邊的關系
關于y軸對稱
關于直線y＝x對稱
6.六組誘導公式
組數
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口訣
函數名不變
符號看象限
函數名改變
符號看象限
[玩轉典例]
題型一　終邊相同的角和區域角
例1　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合是________．
(2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在________．
例2 寫出終邊落在陰影部分的角的集合．
/
[玩轉跟蹤]
1.　(1)設集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M∩N＝?
(2)已知角α＝45°，在區間[－720°，0°]內與角α有相同終邊的角β＝________.
2.已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α求：(1)A∩B；(2)A∪B.
題型二　弧度制的應用
例3　已知一扇形的圓心角為α (α>0)，所在圓的半徑為R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C (C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？
[玩轉跟蹤]
1.已知扇形的周長為4 cm，當它的半徑為________和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________．
題型三　三角函數的概念
例4　(1)(課標全國，7)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
(2)(江西，14)已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________．
[玩轉跟蹤]
1．(大綱全國，2)已知角α的終邊經過點(－4，3)，則cos α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
2.已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
題型四 同角三角函數關系的應用
例5 (福建，6)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
例6 (四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________．
[玩轉跟蹤]
1．(新課標全國Ⅰ，2)若tan α＞0，則(　　)
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
2．(廣東，4)已知sin(＋α)＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
3.已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
題型五　誘導公式的應用
例7　(1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
例8　已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若角A是△ABC的內角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
[玩轉跟蹤]
1.(1)已知sin＝，則cos的值為________．
(2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則·tan2(π－α)＝__________________________________.
[玩轉練習]
1．若點(4，a)在y＝x的圖象上，則tan π的值為(　　)
A．0 B. C．1 D.
2．若點P在－角的終邊上，且P的坐標為(－1，y)，則y等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知α是第四象限角，且sin α＝－，則tan α＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．設α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cos α＝x，則tan α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
5．已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
6．已知角α的終邊經過點P(2，－1)，則＝(　　)
A．3 B. C．－ D．－3
7．已知△ABC為銳角三角形，且A為最小角，則點P(sin A－cos B，3cos A－1)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若cos α＝，且α是第四象限角，則cos＝________.
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．化簡＝________.
11．已知角α的終邊經過點P(－4,3)，求
的值．
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α與cos α的值．
第14講 三角函數圖像與性質
[玩前必備]
1．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質
函數
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象
/
/
/
定義域
R
R
{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
單調性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞減
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上遞增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上遞減
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上遞增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)時，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
對稱中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
對稱軸
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
2．五點法作y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖
用“五點法”作圖，就是令ωx＋φ取下列5個特殊值：0, , π, , 2π，通過列表，計算五點的坐標，描點得到圖象.
3．三角函數圖象變換
/
[玩轉典例]
題型一 三角函數的定義域和值域
例1 （1）求函數f(x)＝lg sin x＋的定義域．
(2)y＝lg(－tan x)．
例2 求下列函數的最大值和最小值和值域．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
[玩轉跟蹤]
1.　求函數y＝＋lg(1－tan x)的定義域．
2.求函數y＝ 的定義域．
3.函數y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域為____________．
題型二　三角函數的單調性
例3　求函數y＝3cos的單調遞增區間．
[玩轉跟蹤]
1.求函數y＝cos的單調遞增區間．
2.求函數y＝tan的單調區間．
題型三　三角函數的周期性對稱性和奇偶性
例4　已知函數y＝2cos.
(1)在該函數的對稱軸中，求離y軸距離最近的那條對稱軸的方程；
(2)把該函數的圖象向右平移φ個單位長度后，圖象關于原點對稱，求φ的最小正值．
[玩轉跟蹤]
1．把函數y＝cos的圖象向右平移φ個單位長度，正好關于y軸對稱，求φ的最小正值．
2.已知函數f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則函數f(x)的圖象的一條對稱軸方程是(　　)
3.在函數①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數為(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
題型四 三角函數的圖像變換
例5 把函數y＝sin x(x∈R)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數是(　　)
A．y＝sin，x∈R B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R D．y＝sin，x∈R
[玩轉跟蹤]
1．把函數y＝f(x)的圖象上的各點向右平移個單位，再把橫坐標伸長到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來的倍，所得圖象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
題型五　由圖象求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例6　如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，求A，ω，φ的值，并確定其函數解析式．
/
[玩轉跟蹤]
1.函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)
/
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
類型六　函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用
例7　已知函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象過點P，圖象上與P點最近的一個最高點的坐標為.
(1)求函數解析式；
(2)指出函數的增區間；
(3)求使y≤0的x的取值范圍．
[玩轉跟蹤]
1.設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函數y＝f(x)的圖象的一條對稱軸是直線x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函數y＝f(x)的單調區間及最值．
[玩轉練習]
1．下列函數中，最小正周期為4π的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin  D．y＝cos 2x
2．已知函數f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，為了得到函數g(x)＝cos ωx的圖象，只需將y＝f(x)的圖象上所有的點(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
3．函數y＝|sin x|的一個單調遞增區間是(　　)
A. B.
C. D.
4．若f(x)＝tan，則(　　)
A．f(0)>f(－1)>f(1)
B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1)
D．f(－1)>f(0)>f(1)
5.函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分圖象如圖，則其解析式為(　　)
/
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
6．當x∈時，函數y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
7．函數f(x)＝cos的單調遞減區間是________．
8.設偶函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，則f的值為________．
/
9.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最小正周期為T，且在一個周期內的圖象如圖所示．
/
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若函數g(x)＝f(mx)＋1(m>0)的圖象關于點M對稱，且在區間上不是單調函數，求m的取值所構成的集合．
10．已知函數f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數，且|φ|<π.若f(x)≤對x∈R 恒成立．且f>f(π)，求f(x)的單調遞增區間．
第15講 三角函數恒等變換
[玩前必備]
1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(3)tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)，
2．二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα．
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)tan 2α＝(α≠kπ＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
3．輔助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
4．公式的常見變形
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2)sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
[玩轉典例]
題型一　兩角和與差公式
例1　(1) 計算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值為________．
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
例2　設cos (α－)＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos .
例3　化簡下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
例4　若α，β均為鈍角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
[玩轉跟蹤]
1．(重慶，6)若tan α＝，tan(α＋β)＝，則tan β＝(　　)
A. B. C. D.
2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cos β的值．
3.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α、β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
4.已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，試判斷△ABC的形狀．
題型二　二倍角和輔助角公式
例5　已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.
例6　在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值.
例7　將下列各式寫成Asin(ωx＋φ)的形式．
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋cos.
[玩轉跟蹤]
1.(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
(2)tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1).
2.已知sin＝，03.已知函數f(x)＝cos 2x－sin 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期與值域；
(2)求f(x)的單調遞增區間．
題型三　三角函數化簡綜合應用
例8　(廣東，16)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[玩轉跟蹤]
1．(廣東，16)已知函數f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[玩轉練習]
1．已知α∈，cos α＝－，則tan等于(　　)
A．7 B. C．－ D．－7
2．已知sin α＝，則sin2α－cos2α的值為(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是銳角，則cos β等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cos C的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
5．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α、β均為銳角，則β等于(　　)
A. B.
C. D.
6．若＝，則tan 2α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
7．函數y＝sin x(3sin x＋4cos x)(x∈R)的最大值為M，最小正周期為T，則有序數對(M，T)為(　　)
A．(5，π) B．(4，π)
C．(－1，2π) D．(4，2π)
8．如果tan α、tan β是方程x2－3x－3＝0的兩根，則＝________．
9．已知cos＋sin α＝，則sin的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
10．已知＝，tan(α－β)＝，則tan β＝________．
11．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
第16講 三角函數綜合
[玩轉典例]
題型一 三角函數的性質及其應用
例1　已知函數f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin x cos x＋1.
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)當x∈時，求函數f(x)的最大值及最小值；
(3)寫出函數f(x)的單調遞增區間．
(4)寫出函數f(x)的對稱軸和對稱中心.
(5)函數f(x)向右平移t個單位為偶函數，求t的最小正值。
[玩轉跟蹤]
1．(安徽高考)已知函數f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值．
2.(新課標全國Ⅰ，8)函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3.【2017課標II，理14】函數（）的最大值是 .
4.（2019天津理7）已知函數/是奇函數，將/的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數為/.若/的最小正周期為/，且/，則/
A./ B./ C./ D./
題型二 三角函數的圖像和圖像變換
例2　（2017山東）設函數/，其中/．
已知/．
（Ⅰ）求/；
（Ⅱ）將函數/的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移/個單位，得到函數/的圖象，求/在/上的最小值．
[玩轉跟蹤]
1．(遼寧卷) 將函數y＝3sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　)
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞增
C．在區間上單調遞減 D．在區間上單調遞增
2.【2017課標1，9】已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．/把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
題型三 由圖象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3　(1)若函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則y＝ .
/
(2)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則y＝f取得最小值時x的集合為 ．
/
[玩轉跟蹤]
1．(四川，6)函數f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是(　　)
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
2.(2018·石家莊質檢)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，得到函數g(x)的圖象關于點對稱，則m的值可能為(　　)
/
A. B.
C. D.
題型三　三角函數大題
例4　已知函數f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區間[0，π]上的最大值和最小值．
[玩轉跟蹤]
1．(北京，16)函數f(x)＝3sin的部分圖象如下圖所示．
(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；
(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值．
2．(山東，18)設函數f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在區間[π，]上的最大值和最小值．
[玩轉練習]
1．為了得到函數y＝sin的圖象，可以將函數y＝sin 2x的圖象(　　)
A．向右平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向左平移個單位長度
2．(2018·洛陽統考)若將函數f(x)＝sin 2x＋cos 2x的圖象向右平移φ個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2018·合肥模擬)函數f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，則其圖象向右平移個單位長度后對應函數的單調遞減區間是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4．函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞增區間為(　　)
/
A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)
B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z)
D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)
5．將函數f(x)＝sin x－cos x的圖象沿著x軸向右平移a(a>0)個單位長度，所得函數圖象關于y軸對稱，則a的最小值是(　　)
A. B. C. D.
6．(2018·云南11校跨區調研)函數f(x)＝sin ωx(ω>0)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象經過點，則ω的最小值是(　　)
A. B．2 C．1 D.
7．已知函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f＝ .
/
8.已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝ .
/
9．(2018·濟南模擬)已知函數f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，則m的取值范圍是 ．
10．(2018·長春調研)已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函數f(x)在區間(－ω，ω)內單調遞增，且函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝ω對稱，則ω的值為 ．
11．已知函數f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若點是函數f(x)圖象的一個對稱中心．
(1)求ω的值，并求出函數f(x)的單調遞增區間；
(2)先列表，再作出函數f(x)在區間[－π，π]上的圖象．
12．(2017·山東)設函數f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)將函數y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值．
第1講 集合的概念與運算
[玩前必備]
1.元素與集合的概念
(1)集合：研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫作集合.
(2)集合元素的特性：確定性、互異性.
2.元素與集合的關系
關系
概念
記法
讀法
屬于
如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A
a∈A
a屬于集合A
不屬于
如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A
a?A
a不屬于集合A
3.集合的分類
(1)空集：不含任何元素的集合，記作?.
(2)非空集合：
①有限集：含有有限個元素的集合.
②無限集：含有無限個元素的集合.
4.常用數集的表示符號
名稱
自然數集
正整數集
整數集
有理數集
實數集
符號
N
N＋或N*
Z
Q
R
5.列舉法
把有限集合中的所有元素都列舉出來，寫在花括號“{__}”內表示這個集合的方法.
6.描述法
(1)集合的特征性質
如果在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都具有性質p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有性質p(x)，則性質p(x)叫做集合A的一個特征性質.
(2)特征性質描述法
集合A可以用它的特征性質p(x)描述為{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性質p(x)的所有元素構成的.這種表示集合的方法，叫做特征性質描述法，簡稱描述法.
7.集合間的基本關系
關系
自然語言
符號語言
Venn圖
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)
A?B
(或B?A)
/
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中
A?B
(或B?A)
/
集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集
A＝B
/
子集與真子集的區別與聯系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
8.集合的運算
(1)如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集
集合的交集
集合的補集
圖形
/
/
/
符號
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
[玩轉典例]
題型一 集合的基本概念
例1　(大綱全國，1) 設集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數為(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．
[玩轉跟蹤]
1.(新課標全國，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數為(　　)
A.3 B.6 C.8 D.10
2.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三個元素組成的，且－3∈A，求實數a.
3.(探究與創新)設A為實數集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1).求證：
(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；
(2)集合A不可能是單元素集.
題型二 集合的表示方法
例3 下面三個集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
問：(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義是什么？
例4 已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一個元素，請用列舉法表示集合A.
[玩轉跟蹤]
1.已知x，y為非零實數，則集合M＝＋為(　　)
A.{0,3} B.{1,3}
C.{－1,3} D.{1，－3}
2.(探究與創新)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有兩個元素，求實數a的取值范圍；
(2)若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍.
題型三 集合間的基本關系
例5　(2013·江蘇，4)集合{－1，0，1}共有________個子集.
例6 設集合，，則( )
A． B．/ C．/ D．/
例7 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.
求實數m的取值范圍.
[玩轉跟蹤]
1.設M為非空的數集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數元素，則這樣的集合M共有(　　)
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
2.(2016·山東北鎮中學、萊蕪一中、德州一中4月聯考)定義集合A－B＝{x|x∈A且x?B},若集合M＝{1,2,3,4,5},集合N＝{x|x＝2k－1,k∈Z},則集合M－N的子集個數為(　　)
A.2 B.3 C.4 D.無數個
3.已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求實數m的集合.
題型四 集合的基本運算
例8 (2016·全國Ⅰ,1)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0},B＝{x|2x－3>0},則A∩B＝(　　)
A. B. C. D.
例9 (2015·四川,1)設集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},則A∪B＝(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
例10 (1)設全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　)
/
A．{x|－3C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3}
(2).(2011·江西，2)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，則A∩B＝(　　)
A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}
例11　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求實數a的取值范圍.
[玩轉跟蹤]
1.(2016·安徽安慶市第二次模擬)若集合P＝{x||x|＜3,且x∈Z},Q＝{x|x(x－3)≤0,且x∈N},則P∩Q等于(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}
2.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是(　　)
/
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS) D.(M∩P)∪(?IS)
3.(探究與創新)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求實數a的取值范圍.
[玩轉練習]
1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結論正確的是(　　)
A．－3∈A B．3?B
C．A∩B＝B D．A∪B＝B
2．設集合M＝{－1,1}，N＝，則下列結論中正確的是(　　)
A．N?M B．M?N
C．N∩M＝? D．M∪N＝R
3．(2018·全國Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
4.(2018·濟南模擬)設全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，則右圖中陰影部分表示的集合為(　　)
/
A．{x|x<3} B．{x|－3C．{x|x<2} D．{x|－25．(2018·濰坊模擬)設集合A＝N，B＝，則A∩B等于(　　)
A．[0,3) B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}
6．(2017·全國Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B等于(　　)
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
7．已知集合A＝{x|－1A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
8.滿足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的個數是________.
9.設集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數a的值為________.
10.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，則滿足條件的實數x組成的集合為________.
11.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?IA＝{5}，求實數a，b.
12.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求實數a組成的集合C.
13.設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.
(1)分別求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C?B，求實數a的取值構成的集合.
14.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－＜x≤6}.
(1)若A∩B＝A，求a的取值范圍；
(2)若A∪B＝A，求a的取值范圍.
第2講 充分必要條件和命題
[玩前必備]
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且q?p
p是q的必要不充分條件
p?q且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
p?q且q?p
2.全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．
3．全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定
命題名稱
語言表示
符號表示
命題的否定
全稱命題
對M中任意一個x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x0∈M，綈p(x0)
特稱命題
存在M中的一個x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，綈p(x)
[玩轉典例]
題型一 充分條件與必要條件的判斷
例1　（湖南高考）設集合則 “”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
例2　設 ??∈?? ，則“
??
2
?5??<0”是“ |???1|<1 ”的（ ? ?）
A．充分而不必要條件???????????/ B．必要而不充分條件?
C．充要條件???????????/ D．既不充分也不必要條件
【玩轉跟蹤】
1．設 ??∈?? ，則“|???2|<1”是“
??+2
???1
>0 ”的（???? ）
A．充分而不必要條件???????????/ B．必要而不充分條件?
C．充要條件???????????/ D．既不充分也不必要條件
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的（ ）
A．充分而不必要條件???????????/ B．必要而不充分條件?
C．充要條件???????????/ D．既不充分也不必要條件
題型二 根據充要條件求解參數的取值范圍
例3　已知全集U＝R，非空集合 ??={??|
???2
???3
<0},??={??|(?????)(???
??
2
?2)<0}
（1）當時，求；
（2）命題：，命題：，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．
【玩轉跟蹤】
1．設p：－2 A．(4，＋∞) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
2．設p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是（ ）
A．[0，] B．(0，)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
題型三　含有一個量詞的命題
命題點1　全稱命題、特稱命題的真假
例4　(1)(2018·沈陽模擬)下列四個命題中真命題是(　　)
A．?n∈R，n2≥n
B．?n0∈R，?m∈R，m·n0＝m
C．?n∈R，?m0∈R，mD．?n∈R，n2(2)給出下列四個命題：
①有理數是實數；②有些平行四邊形不是菱形；
③?x∈R，x2﹣2x＞0； ④?x∈R，2x+1為奇數；
以上命題的否定為真命題的序號依次是 （ ）
A．①④ B．②④ C．①②③④ D．③
命題點2　含一個量詞的命題的否定
例5　(1)命題p：/，/的否定是/　　/
A．/：/，/ B．/：/，/
C．/：/，/ D．/：/，/
(2)命題/，/的否定/是（ ）[來源:學。科。網]
A．/ B．/
C．/ D．/
[玩轉跟蹤]
1.寫出下列命題的否定并判斷真假：
(1)不論m取何實數，方程x2＋x＋m＝0必有實數根；
(2)所有末位數字是0或5的整數都能被5整除；
(3)某些梯形的對角線互相/平分；
(4)被8整除的數能被4整除．
2.寫出命題“/，使得/”的否定_______．
題型四　全稱和特稱命題中參數的取值范圍
例6 已知命題“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定為假命題，則實數a的取值范圍是______________．
[玩轉跟蹤]
1. 若?x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命題，則實數λ的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
[玩轉練習]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，a，b}，則“a＝2”是“A?B”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．條件“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設??∈??，則“2???≥0”是“|??+1|≤1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．使不等式
x
2
?x?6<0 成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．?2 C．?25．設集合 ??={??|
??
2
≤4} ， ??={??|?3≤??≤2} ，則“??∈??” 是“??∈??”的（? ）
A．充分而不必要條件???????????/ B．必要而不充分條件?
C．充要條件???????????/ D．既不充分也不必要條件
6．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是________．
7．已知條件p：
??
2
?3???4≤0 ；條件q：
??
2
?6??+9?
??
2
≤0 ，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是________．
8．若“/，/”為真命題，則實數/的取值范圍是 （ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
9．將“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是（ ）
A．任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．存在x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
C．任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy D．存在x＜0，y＜0，都有x2＋y2≤2xy
10．命題“存在實數x，使x>1”的否定是（ ）
A．對任意實數x，都有x>1 B．不存在實數x，使x≤1
C．對任意實數x，都有x≤1 D．存在實數x，使x≤1
11．命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（ ）
A．對任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0
12．寫出下列命題的否定形式，并判斷其真假
（1）?x∈R，x2－x＋≥0； （2）對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3；
第3講 不等式的性質和基本不等式
[玩前必備]
1．不等式的基本性質
性質
性質內容
特別提醒
對稱性
a>b?b?
傳遞性
a>b，b>c?a>c
?
可加性
a>b?a＋c>b＋c
?
可乘性
?ac>bc
注意c的符號
?ac同向可加性
?a＋c>b＋d
?
同向同正可乘性
?ac>bd
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N＋，n>1)
a，b同為正數
可開方性
a>b>0?>(n∈N＋，n>1)
2．兩個實數比較大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
3．基本(均值)不等式≤
(1)基本(均值)不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
4．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．
5．算術平均數與幾何平均數
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本(均值)不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
6．利用基本(均值)不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
[玩轉典例]
題型一 不等式的性質應用
例1　(1)給出下列命題：
①若ab>0，a>b，則<；
②若a>b，c>d，則a－c>b－d；
③對于正數a，b，m，若a（2）已知a，b，c為不全相等的實數，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P與Q的大小關系是(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P（3）已知12【玩轉跟蹤】
1．下列命題中一定正確的是(　　)
A．若a>b，且>，則a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，則>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，則c>d
D．若a>b，且ac>bd，則c>d
2．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范圍．
3.已知實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
題型二 基本不等式求最值
角度一：通過配湊法利用基本(均值)不等式求最值
例2　(1)已知0A. B. C. D.
(2)若函數f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
(3)①已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值；
②已知x為正實數且x2＋＝1，求x的最大值；
③求函數y＝的最大值．
角度二：通過常數代換法利用基本(均值)不等式求最值
例3　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為________．
[探究1]　本例的條件不變，則的最小值為________．
[探究2]　本例的條件和結論互換即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，則a＋b的最小值為________．
[探究3]　若將本例中的“a＋b＝1”換為“a＋2b＝3”，如何求解？
題型三 均值不等式實際應用
例4　某車間分批生產某種產品，每批產品的生產準備費用為800元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
[玩轉跟蹤]
1.某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則該公司年平均利潤的最大值是________萬元．
[玩轉練習]
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正確的是(　　)
A.< B.<
C．a2|b|
2．若a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c B．ac>bc
C.>0 D．(a－b)c2≥0
3．給出下列條件：
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
其中可使＋≥2成立的個數是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
5．設x>0，則3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
6．已知(x>1)在x＝t時取得最小值，則t等于(　　)
A．1＋ B．2
C．3 D．4
7．已知正數a，b滿足a＋2b＝2，則＋的最小值為________．
8．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的最大值為(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
9．設a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小順序是________．
10.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.
/
11．若－112．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.
(1)求xy的最大值；
(2)求＋的最小值．
13．某人準備租一輛車從孝感出發去武漢，已知從出發點到目的地的距離為100 km，按交通法規定：這段公路車速限制在40～100(單位：km/h)之間．假設目前油價為7.2元/L，汽車的耗油率為L/h，其中x(單位：km/h)為汽車的行駛速度，耗油率指汽車每小時的耗油量．租車需付給司機每小時的工資為76.4元，不考慮其他費用，這次租車的總費用最少是多少？此時的車速x是多少？(注：租車總費用＝耗油費＋司機的工資)
第4講 一元二次不等式
[玩前必備]
1.一元二次不等式的概念
定義
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數
2.一元二次函數的零點
一般地，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做二次函數y＝ax2＋bx＋c的零點．
3.二次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
/
/
/
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有兩個不相等的實數根x1，x2(x1有兩個相等的實數根x1＝x2＝－
沒有實數根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
[玩轉典例]
題型一 解不含參的一元二次不等式
例1　解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
【玩轉跟蹤】
1解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
題型二 解含參的一元二次不等式
例2　設a∈R，解關于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
【玩轉跟蹤】
1．若a>0，求關于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
2．設p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是（ ）
A．[0，] B．(0，)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
題型三　三個“二次”間的關系及應用
例3　已知二次函數y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集為{x|－3(1)求二次函數的解析式；
(2)當關于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為R時，求c的取值范圍．
例4　若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則實數k的取值范圍是________．
[玩轉跟蹤]
1.已知關于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集為.
(1)求a，c的值；
(2)解關于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
題型四　不等式恒成立、能成立問題
例5 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求實數k的取值范圍；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍．
例6 當1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范圍．
例7 已知函數y＝mx2－mx－6＋m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，求實數x的取值范圍．
[玩轉跟蹤]
1. 設函數y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
2.若存在x∈R，使得≥2成立，求實數m的取值范圍．
題型五　不等式恒成立、能成立問題
例8　某農貿公司按每擔200元的價格收購某農產品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔．政府為了鼓勵收購公司多收購這種農產品，決定將征稅率降低x(x>0)個百分點，預測收購量可增加2x個百分點．
(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的關系式；
(2)要使此項稅收在稅率調節后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．
[玩轉跟蹤]
1.北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？此時該商品每件定價多少元？
[玩轉練習]
1．(2019·全國Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－22．若0A. B.
C. D.
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集為{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
5．與不等式≥0同解的不等式是(　　)
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C.≥0 D．(x－3)(2－x)>0
6．若關于x的不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，則關于x的不等式>0的解集為(　　)
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－17．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實數a的取值范圍為(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
8．某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是(　　)
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|159．不等式x2＋3x－4<0的解集為________．
10．關于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集為，則m的取值范圍是________．
11．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集為B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
12．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b為何值時，ax2＋bx＋3≥0的解集為R?
第5講 函數的概念
[玩前必備]
1.函數
(1)函數的定義：設集合A是一個非空的數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數.記作y＝f(x)，x∈A.
(2)函數的定義域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，自變量取值的范圍(數集A)叫做這個函數的定義域.
(3)函數的值域：所有函數值構成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做這個函數的值域.
2.區間
設a，b∈R，且a＜b.
定義
名稱
符號
數軸表示
{x|a≤x≤b}
閉區間
[a，b]
/
{x|a＜x＜b}
開區間
(a，b)
/
{x|a≤x＜b}
半開半
閉區間
[a，b)
/
{x|a＜x≤b}
半開半
閉區間
(a，b]
/
3.無窮區間的表示
定義
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x＜a}
{x|x≤a}
R
符號
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a)
(－∞，a]
(－∞，＋∞)
4.函數的常用表示方法
表示方法
定義
列表法
通過列出自變量與對應函數值的表來表示函數關系的方法叫做列表法.
圖象法
用“圖形”表示函數的方法叫做圖象法.
解析法
(公式法)
如果在函數y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代數式(或解析式)來表達的，則這種表示函數的方法叫做解析法(也稱為公式法).
5.分段函數定義
在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數.
[玩轉典例]
題型一 函數的概念和判斷
例1　下列對應或關系式中是A到B的函數的是(　　)
A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應關系如圖：
/
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
[玩轉跟蹤]
1.下列圖形中，不可能是函數y＝f(x)的圖象的是(　　)
/
2.在圖(1)(2)(3)(4)中用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則，是不是函數關系？
/
題型二 同一函數的判斷
例2 下列各組函數中，表示同一個函數的是(　　)
A.y＝x－1和y＝
B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D.f(x)＝和g(x)＝
[玩轉跟蹤]
1.下列函數完全相同的是(　　)
A.f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B.f(x)＝|x|，g(x)＝
C.f(x)＝|x|，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x＋3
2.下列各組函數中，f(x)與g(x)表示同一函數的是(　　)
A.f(x)＝x－1與g(x)＝
B.f(x)＝x與g(x)＝
C.f(x)＝x與g(x)＝
D.f(x)＝與g(x)＝x＋2
題型三 函數的定義域
例3　(1)函數f(x)＝ln＋的定義域為(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)(2013·大綱全國)已知函數f(x)的定義域為(－1,0)，則函數f(2x＋1)的定義域為(　　)
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
[玩轉跟蹤]
1. 已知函數的定義域為[－2，2]，則的定義域為(　　)
A．[－1，1] B．[－2，2] C．[1，3] D．[－1，5]
2.(1)已知函數f(x)的定義域是[0,2]，則函數g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定義域是________．
(2)函數y＝的定義域為__________________________________．
題型四 求函數的解析式
例4 (1)已知f(＋1)＝lg x，則f(x)＝________.
(2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.
(3)已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，則f(x)＝________.
(4)已知/，對于任意實數x、y，等式/恒成立，求/．
[玩轉跟蹤]
1.(1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________.
(2)(2013·安徽)定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________.
(3)已知f(x)滿足2f(x)＋f()＝3x，則f(x)＝________.
題型五 分段函數
例5　已知函數f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求實數a的值.
[玩轉跟蹤]
1.已知函數f(x)＝則f[f()]＝________；
2.已知函數f(x)＝若f(x)＝2，則x＝________.
[玩轉練習]
1.函數y＝＋的定義域是(　　)
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1，或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
2.已知函數f(x)＝2x－1，則f(x＋1)等于(　　)
A.2x－1 B.x＋1
C.2x＋1 D.1
3.設函數f(x)＝，若f(a)＝2，則實數a＝________.
4.求下列函數的定義域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝＋；
(3)y＝2x＋3；
(4)y＝.
5.已知函數f(x)＝則f(2)等于(　　)
A.0 B.
C.1 D.2
6.已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g(1)]＝______；(2)若g[f(x)]＝2，則x＝______.
7.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，則a的值為________.
8.已知函數f(x)＝
(1)求f(2)，f[f(2)]的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值.
9. 如果f＝，則當x≠0,1時，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
10.設函數f(x)＝則f的值是________.
11.已知二次函數f(x)滿足f(0)＝0，且對任意x∈R總有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).
12.求下列函數的解析式：
(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.
第6講 函數的單調性
[玩前必備]
1．函數的單調性
(1)單調函數的定義
增函數
減函數
定義
一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A，區間M?A.如果取區間M中的任意兩個值x1，x2，
改變量 Δx＝x2－x1＞0，則當Δy＝f(x2)－f(x1)＞0時，就稱函數y＝f(x)在區間M上是增函數
改變量 Δx＝x2－x1＞0，當Δy＝f(x2)－f(x1)＜0時，就稱函數y＝f(x)在區間M上是減函數
增函數
減函數
圖象描述
/
自左向右看圖象是上升的
/
自左向右看圖象是下降的
(2)單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數y＝f(x)的單調區間．
2．函數的最值
前 提
設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條 件
(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結 論
M為最大值
M為最小值
[玩轉典例]
題型一 函數單調性的判斷和證明
例1　判斷并證明函數y＝在(－1，＋∞)上的單調性．
例2.設函數f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數g(x)的遞減區間是________．
例3. 函數/的單調遞增區間為 .
[玩轉跟蹤]
1.已知函數f(x)＝，證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為減函數.
2.定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0，則必有(　　)
A.函數f(x)先增后減
B.f(x)是R上的增函數
C.函數f(x)先減后增
D.函數f(x)是R上的減函數
3.畫出函數y＝－x2＋2|x|＋1的圖象并寫出函數的單調區間.
題型二 函數單調性的應用
角度一：利用函數的單調性求最值
例4　　(1)函數f(x)＝的最大值為________．
(2)已知函數f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a)，求g(a)的最大值．
角度二：利用函數的單調性求解不等式
例5　1.(1)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數，且f(1－a)(2) 已知函數f(x)為(0，＋∞)上的增函數，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實數a的取值范圍為________．
探究與創新
設f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數，滿足條件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函數.
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范圍.
角度三：利用函數的單調性求參數
例6 (1)如果函數f(x)＝ax2＋2x－3在區間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
(2).已知f(x)＝是定義在R上的減函數，那么a的取值范圍是________.
題型三 分類討論二次函數單調性和最值
例7 求函數在閉區間上的單調性和最小值．
【玩轉跟蹤】
1．已知函數，求在上的最大值與最小值．
2．已知函數，當，時，求的最大值與最小值．
題型四 抽象函數單調性和最值
例8 已知函數對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－.
（1）求證：在R上是減函數；
（2）求在[－3,3]上的最大值和最小值．
【玩轉跟蹤】
1.已知函數的定義域為，，且當時，且．
求的值；
證明在定義域上的增函數；
解不等式．
[玩轉練習]
1.下列說法中，正確的有(　　)
①若任意x1，x2∈I，當x1＜x2時，＞0，則y＝f(x)在I上是增函數；
②函數y＝x2在R上是增函數；
③函數y＝－在定義域上是增函數；
④函數y＝的單調區間是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.下列函數中，在區間(0,1)上是增函數的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
3.若函數f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是單調函數，則k的取值范圍是(　　)
A.(－∞，40) B.[40,64]
C.(－∞，40]∪[64，＋∞) D.[64，＋∞)
4.若f(x)為R上的增函數，kf(x)為R上的減函數，則實數k的取值范圍是(　　)
A.k為任意實數 B.k＞0
C.k＜0 D.k≤0
5.函數y＝x|x－1|的單調遞增區間是________.
6. 函數f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[2，＋∞)時是增函數，當x∈(－∞，2]時是減函數，則f(1)＝________.
7.求證：函數f(x)＝－－1在區間(－∞，0)上是增函數.
8.如果函數f(x)＝ax2＋2x－3在區間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是(　　)
A.a＞－ B.a≥－
C.－≤a＜0 D.－≤a≤0
9.已知函數f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對稱軸為直線x＝1，則(　　)
A.f(－1)C.f(2)10.討論函數y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的單調性.
11.已知函數f(x)在實數集中滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定義域內是減函數.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2a－3)＜0，試確定a的取值范圍.
第7講 函數的奇偶性
[玩前必備]
1.函數奇偶性的定義
(1)奇函數：設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個函數叫做奇函數.
(2)設函數y＝g(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，則這個函數叫做偶函數.
2.奇、偶函數圖象的對稱性
(1)奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
(2)偶函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.
3.判斷奇偶性的步驟
./
4.奇偶性的有關結論
(1)若奇函數在處有意義，則有.
(2)奇函數在定義域內的對稱區間上單調性相同;
偶函數在定義域內的對稱區間上單調性相反。
[玩轉典例]
題型一 判斷函數的奇偶性
例1 判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
[玩轉跟蹤]
1.判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
2.判斷函數的奇偶性：；
例2 判斷函數的奇偶性.
[玩轉跟蹤]
1.判斷函數的奇偶性，并指出它的單調區間.
題型二 已知函數奇偶性求參數值
例3 (1)若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，
b＝________.
(2)設函數為奇函數，則a＝________.
[玩轉跟蹤]
1.若函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，則實數a＝________.
2.定義在上的奇函數，則常數____,_____
題型三 奇偶性求解析式或函數值
例4 已知是R上的偶函數，且當x>0時，，則當時，＝________.
思考：如果改為是R上的奇函數，則當時，＝ ________.
例5 設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝，求函數f(x)，g(x)的解析式
[玩轉跟蹤]
1.已知函數f(x)(x∈R)是奇函數，且當x＞0時，f(x)＝2x－1，求函數f(x)的解析式.
2.設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數f(x)，g(x)的解析式．
題型四 函數奇偶性與單調性的綜合應用
例6 設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)例7 已知偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)A. B.
C. D.
[玩轉跟蹤]
1.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間[0，＋∞)上的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序號)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
2.設定義在[－2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上是減函數，若f(1－m)[玩轉練習]
1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(　　)
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數
2.若函數f(x)＝為奇函數，則a等于(　　)
A. B. C. D.1
3.設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
4.已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
5.偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上的圖象如圖，則函數f(x)的增區間為________.
6.已知f(x)是R上的偶函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x2＋x－1，
求x∈(－∞，0)時，f(x)的解析式.
7.已知偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)A. B.
C. D.
8.已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
9.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，則實數a的取值范圍是________.
10.設定義在[－2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上單調遞減，若f(m)＋f(m－1)＞0，求實數m的取值范圍.
第8講 冪函數與函數應用
[玩前必備]
1.冪函數
(1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)冪函數的圖象比較
/
(3)冪函數的性質比較
函數
特征
性質
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
非奇非偶函數
奇函數
單調性
增
x∈[0，＋∞)時，增；
x∈(－∞，0]時，減
增
增
x∈(0，＋∞) 時，減；
x∈(－∞，0)時，減
(4)冪函數的共性
α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降.
冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.
[玩轉典例]
題型一 冪函數的概念
例1　函數f(x)＝(m2－m－1)x是冪函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數，求f(x)的解析式.
[玩轉跟蹤]
1.已知函數/為偶函數，且在/上為增函數.
題型二 冪函數的圖像
例2　如圖所示，圖中的曲線是冪函數y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應于c1，c2，c3，c4的n依次為(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2,2， D.2，，－2，－
[玩轉跟蹤]
1.如圖是冪函數y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象，則(　　)
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
題型三 冪函數的性質
例3　若(2m＋1) >(m2＋m－1) ，則實數m的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(－1,2) D.
例4　比較下列各組數中兩個數的大小：
(1)與；(2)－1與－1；
(3)0.25與6.25；(4)0.20.6與0.30.4.
[玩轉跟蹤]
1.若(a＋1)<(3－2a)，則實數a的取值范圍是________．
2．比較下列各組數的大小：
(1)0.5與0.5；(2)－3.143與－π3；
(3)與.
3.下列函數中，既是偶函數，又在區間(0，＋∞)上單調遞減的函數是(　　)
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝x
題型四 函數應用
例5　經市場調查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數，且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天價格為g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系；
(2)求日銷售額S的最大值．
[玩轉跟蹤]
1.手機上網每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計費，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計費，假如上網時間過短，使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計費，手機上網不收通話費和漫游費．
①12月份小王手機上網使用量20小時，要付多少錢？
②小舟10月份付了90元的手機上網費，那么他上網時間是多少？
③電腦上網費包月60元/月，根據時間長短，你會選擇哪種方式上網呢？
[玩轉練習]
1．下列函數中是冪函數的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
2．下列冪函數中，既是偶函數，又在區間(0，＋∞)上單調遞減的是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
3．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．f C．f(a)D．f 4．已知y＝(m2＋m－5)xm是冪函數，且在第一象限內是單調遞減的，則m的值為(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
5.如圖所示曲線是冪函數y＝xα在第一象限內的圖象，已知α取±2，±四個值，則對應于曲線C1，C2，C3，C4的指數α依次為(　　)
/
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
6．已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是________．
7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，則m與n的大小關系為________．
8．已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為________．
9．已知函數f(x)＝(m2＋2m)·，m為何值時，函數f(x)是：(1)正比例函數；(2)反比例函數；(3)冪函數．
10．點(，3)與點分別在冪函數f(x)，g(x)的圖象上，問當x分別為何值時，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)11．某游樂場每天的盈利額y元與售出的門票張數x之間的函數關系如圖所示，試由圖象解決下列問題：
/
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)要使該游樂場每天的盈利額超過1 000元，每天至少賣出多少張門票？
12．某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司有電腦6臺，乙分公司現有同一型號的電腦12臺．現A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺．已知從甲地運往A，B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元，從乙地運往A，B兩地每臺電腦的運費分別是80元和50元．
(1)設甲地調運x臺至B地，該公司運往A，B兩地的總運費為y元，求y關于x的函數解析式；
(2)若總運費不超過1 000元，問能有幾種調運方案？
第9講 指數運算和指數函數
[玩前必備]
1.基本概念
整數指數
n次方根
分數指數
an＝/
a0＝1(a≠0)
a－n＝(a≠0)
如果存在實數x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，則x叫做a的n次方根，叫做把a開n次方，稱作開方運算.
＝；
＝；
＝
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性質
(1)()n＝a(n＞1且n∈N＋)；
(2)＝
3.有理指數冪的運算法則
若a>0，b>0，則有任意有理數α，β有如下運算法則：
(1)aαaβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aα·β；
(3)(ab)α＝aα·bα.
4.指數函數的定義
函數y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.
5.指數函數的圖象與性質
底數
a＞1
0＜a＜1
圖象
/
/
性質
定義域R，值域(0，＋∞)
圖象過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
當x＞0時，y＞1；
當x＜0時，0＜y＜1
當x＞0時，0＜y＜1；
當x＜0時，y＞1
在R上是增函數
在R上是減函數
[玩轉典例]
題型一 根式的運算
例1　求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) － ，x∈(－3,3)
[玩轉跟蹤]
1.化簡下列各式：
(1) ；(2) ；(3) .
題型二 分數指數冪的運算
例2　(1)計算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化簡： ÷(a＞0).
(3)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
[玩轉跟蹤]
1.計算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a·b)·÷(a＞0，b＞0).
2.已知x＋y＝12，xy＝9且x題型三 指數函數的概念
例3　(1)下列函數中是指數函數的是________．(填序號)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤
(2)若函數y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則實數a＝________.
[玩轉跟蹤]
1.若函數y＝a2(2－a)x是指數函數，則(　　)
A．a＝1或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0且a≠1
2.若函數y＝(2a－3)x是指數函數，則實數a的取值范圍是________________．
題型四 指數函數的圖象
例4　（1））如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是(　　)
/
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
(2)函數f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過定點________．
(3)已知函數y＝3x的圖象，怎樣變換得到y＝x＋1＋2的圖象？并畫出相應圖象．
[玩轉跟蹤]
1.(1)函數y＝|2x－2|的圖象是(　　)
/
(2)直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________.
題型五 指數函數的性質和應用
角度一:指數型函數的定義域、值域
例5　求下列函數的定義域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
[玩轉跟蹤]
1.函數f(x)＝＋的定義域為(　　)
A.(－3,0]
B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0]
D.(－∞，－3)∪(－3,1]
2.函數f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域為________.
角度二:指數型函數的單調性
例6　判斷f(x)＝的單調性，并求其值域.
[玩轉跟蹤]
1.求函數y＝的單調區間.
例7　比較下列各組數的大小：
(1)1.9－π與1.9－3；(2)與0.70.3；
(3)0.60.4與0.40.6.
[玩轉跟蹤]
1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關系是(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
角度三:指數函數的綜合應用
例8　已知函數f(x)＝.
(1)證明f(x)為奇函數.
(2)判斷f(x)的單調性，并用定義加以證明.
(3)求f(x)的值域.
[玩轉跟蹤]
1.設a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函數.
(1)求a的值；
(2)求證f(x)在(0，＋∞)上是增函數.
[玩轉練習]
1.下列各式正確的是(　　)
A.()3＝a B.()4＝－7
C.()5＝|a| D.＝a
2.＋的值是(　　)
A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
3.計算[(－)2]的結果是(　　)
A. B.－
C. D.－
4.下列各式運算錯誤的是(　　)
A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18.
5.2＋＋－·＝________.
6.下列各函數中，是指數函數的是(　　)
A.y＝(－3)x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝x
7.y＝x的圖象可能是(　　)
/
8.y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是(　　)
A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
9.指數函數f(x)＝ax的圖象經過點(2,4)，則f(－3)的值是________.
10.函數y＝的值域是________.
11.函數y＝1－x的單調遞增區間為(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
12.若2a＋1＜3－2a，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(1，＋∞) B.
C.(－∞，1) D.
13.設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　)
A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2
14.某種細菌在培養過程中，每20 min分裂一次，即由1個細菌分裂成2個細菌，經過3 h，這種細菌由1個可繁殖成________個.
15.已知函數f(x)＝a－，若f(x)為奇函數，則a＝________.

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