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橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算及應用

摘要：本文通過類比圓錐曲線內(nèi)接焦點三角形面積的計算,利用代數(shù)方法來探討橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算,主要討論了兩種橢圓內(nèi)接四邊形的面積計算,一種是橢圓內(nèi)接焦點四邊形,另外一種是橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形.
關(guān)鍵詞： 橢圓；焦點； 面積
1.橢圓內(nèi)接焦點四邊形（過一個焦點,以右焦點為例）
1.1定義：在橢圓中,AB,CD為過橢圓一個焦點的兩條弦,故四邊形ACBD為橢圓內(nèi)接焦點四邊形.
1.2性質(zhì)：(1)四邊形ACBD的面積（其中, ）.
證明：如右圖所示,有,并且設(shè)AB,
CD的斜率分別為,,故有：AB: CD：
聯(lián)立方程：及 同理有：
故 （為AB與CD的夾角）,
令 就有： .
（2）推論A: 當時,.
B:當時,,并且有,.
推論證明A：當時,說明AB, CD相互垂直,有,,代入面積公式就有,再利用均值不等式有 .
B : 當時, 有,代入就有成立.以下證明,.
證明：不妨把橢圓的方程化為(與不同是為零),已知有AB,CD與x軸的夾角相等,設(shè)A、B、C、D四個點的坐標為,,,.直線AB、DC、AC、BD的斜率分別為,,,.又點A、C在曲線C上,（1）及（2）,用（2）帶入（1）有,同理可得.
已知有AB,CD與x軸的夾角相等,,
（3）及（4）由這兩個式子得：
（5）
（6）
由（5）及（6）得到：
=0 （7） =0（8）
同理有：
將（8）代入有： （9）
又 再將（8）代入得到：
（10）
用（9）-（10）得到：

若=0 故有：
結(jié)合平行截割線定理有：AB與DC平行,并且都平行于x軸,它與
AB,AC,DC,DB的斜率不為零矛盾,

說明直線AB,DC與x軸的夾角相等.同理可證明AD,BC與x軸的夾角也相等,
有,.

1.3實例應用
已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線L與曲線相交于A、B兩點.當L的斜率為1時,C(0,b)到AB的距離為,延長CF交橢圓于點B,求ACBD的面積.
解：由于e= 并且 、F(c,0)故AB的方程為： 又C(0,b)
所以C到AB 的距離為d= 故橢圓的標準方程為： 又, 即AB與CD垂直,代入公式有：=
2橢圓內(nèi)接焦點四邊形（過兩個焦點）
2.1定義：在橢圓中,AB,CD為過橢圓右左兩焦點的弦,并且交橢圓于四點A、B、C、D.則有四邊形ACBD為過橢圓兩個焦點的內(nèi)接焦點四邊形.
2.2性質(zhì)
(1)面積：四邊形面積 [,]
證明: 如右圖所示,有(-c,0),,并
且設(shè)AB,CD的斜率分別為,,故有
AB: CD： .
聯(lián)立方程：及
同理有：
(為AB與CD的夾角)[,].
（2）推論A: 當時,.
B: 當時,,并且有,.
2.3實例應用
設(shè)橢圓的左右焦點分別為(-1,0),.右準線交x軸于點A,.過,分別作兩條直線與橢圓相交于四個點D、E、M、N.并且DE與x軸的夾角為.MN與直線L交于點G,并且有.求：（1）橢圓的標準方程.(2)四邊形DMEN的面積.
解：（1）由于(-1,0),.又有A,
故有： 同理, 所以橢圓的標準方程為：
(2)由于已知了DE與x軸的夾角為,故有,又, 所以有
設(shè)AN與DE的夾角為,
代入公式有：
3橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形
3.1定義在橢圓 中,,為其左右焦點,A、B為橢圓上任意的兩點.則四邊形稱為雙曲線以焦點為頂點的內(nèi)接四邊形.
3.2性質(zhì)
（1）面積： 四邊形的面積為
證明：由橢圓的定義可知道：
（1）由余弦定理有：
(2)
由（1）與（2）
同理有:
（為與的夾角; 為BF1與BF2的夾角）.
（2）推論：當與互為補角時,有：.
證明：當與互為補角時,,所以有： 將其代入面積公式中就有;
,(當時取到“=”).
3.3實例應用
已知,為橢圓的兩個焦點,A、B為橢圓上任意的兩個焦點,并且與為補角,求：
(1)當時,求的值.
(2)當取得最小值時,與的度數(shù)分別為多少？此時面積的最小值為多少？
解：（1）由已知a=8,b=5,又
,并且與為補角,故有：
所以有：
(2)由推論可以知道:












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