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函數定義域相關問題的解答方法
函數的定義域是指自變量的所有取值組成的集合，它包括：①自然定義域（使函數解析式有意義的所有自變量組成的集合）和實際定義域（是指自然定義域中使實際問題有意義的自變量組成的集合）兩種類型。與函數定義域相關的問題歸結起來分為兩種題型：①求函數的定義域；②已知函數的定義域求解析式中參數的值（或潛在范圍）。那么在函數的學習過程中，如何才能準確，快捷的解答此類問題呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題：
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、函數f(x)= +的定義域為（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
2、若函數f(x)= ，則f(x)的定義域為（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
3、函數f(x)= 的定義域為 （2012全國高考江蘇卷）
4、一個矩形的周長是40cm，則矩形的長y關于寬x的函數解析式為 ，定義域為
5、求下列函數的定義域：
（1）y=； （2）y=2x-1+； （3）y=-1；
（4）y=；（5）；（6）y= (a＞0且a≠1)；
（7）y=； （8）y=；

（9）y=； （10）y=。
〖解析〗
1、【知識點】①二次根式的定義與性質；②分式的定義與性質；③指數函數的定義與性質；④不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據二次根式和分式有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組就可求出函數的定義域； x+3>0，
【詳細解答】函數f(x)有意義，必有1-0，-32、【知識點】①二次根式的定義與性質；②分式的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據二次根式，分式和對數有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；

【詳細解答】函數f(x)有意義，必有（2x+1）>0，- 2x+1>0，
3、【知識點】①二次根式的定義與性質；②對數函數的定義與性質；③不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據二次根式和對數有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域； x>0，
【詳細解答】函數f(x)有意義，必有1-2x0，04、【知識點】①矩形的定義與性質；②函數解析式的求法；③函數的定義域的求法；④不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據矩形周長的定義求出函數的解析式，由解析式可知函數的自然定義域為R，
但結合矩形的特征，x的取值必須小于周長的，從而求出函數的實際定義域；
詳細解答】根據矩形周長的定義可得，2（x+y）=40，y=20-x；由矩形的性質得到05、【知識點】①二次根式的定義與性質；②分式的定義與性質；③指數函數的定義與性質；
④對數函數的定義與性質；⑤余弦函數的圖像與性質；⑥不等式或不等式組的解法；
【解題思路】（1）根據分式有意義的條件得到關于x的不等式，然后求解不等式，就可得到函數的定義域；（2）根據二次根式有意義的條件得到關于x的不等式，然后求解不等式，從而得到函數的定義域；（3）根據二次根式有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（4）根據分式，二次根式有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（5）根據二次根式，對數函數，三角函數有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（6）根據二次根式，對數函數有意義的條件結合底數a的取值分兩種情況得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（7）根據分式，二次根式有意義的條件結合絕對值的意得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（8）根據分式，對數函數，零指數冪有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（9）根據分式，二次根式，對數函數有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；（10）根據分式，對數函數，二次根式有意義的條件得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數的定義域；
【詳細解答】（1）函數f(x)有意義，必有-x+10，由-x+1=+可知在R上恒不為0，函數f(x)的定義域為R；（2）函數f(x)有意義，必有13-4x0，x，函數f(x)的定義域為（-，]；（3）函數f(x)有意義，必有1-x0， x1，
x+30， x-3，
- 3x1，函數f(x)的定義域為[-3，1]；
（4）函數f(x)有意義，必有 x+30， x-3，-3x<-2或-2 x+2≠0, x≠2, 定義域為[-3，-2） （-2 ，+）；
（5）函數f(x)有意義，必有25-0，-5x5， -5x<-或- cosx>0， 2k-函數f(x)的定義域為[-5，-）（-，）（，5]；（6）函數f(x)有意義，
必有 （x-1）0，①當a>1時， x-11， x2， x2，②當0x-1>0, x-1>0, x>1， 0①當a>1時，函數f(x)的定義域為[2，+）， x-1>0,
②當0x≠2， -10，
x-1或x1，x<-2或-22，函數f(x)的定義域為（-，-2）（-2，-1] [1，2）（2，+）； （8）函數f(x)有意義，必有 ln（4x+3）≠0，
4x+3≠1, 4x+3>0,
x>-， 5x-4≠0,
x≠，-，函數f(x)的定義域為（-，-）（-，）
（，+）；
（9）函數f(x) 有意義， 必有 |x-2|-10， x-21或x-2-1，
（x-1）≠0， x-1≠1, x3，函數f(x)
x-1>0， x>1，的定義域為[3，+）；
（10）函數f(x) 有意義，必有，--3x+4>0，-4x+1>0， x>-1，的定義域為（-1，1）；
『思考問題1』
（1）【典例1】是已知；解決這類問題的基本方法是：①根據函數解析式有意義的 列出不等式（或不等式組函數的解析式求函數定義域的問題，函數的定義域包括：① 定義域；② 定義域）（注意解析式有意義的所有條件）；②求解不等式（或不等式組）；③得出結果；
（2）函數解析式有意義的基本準則是：①偶次方根的被開方數為 數；②分式的分母不能為 ；③零次冪的底數不能為 ；④對數的真數必需 0，底數必須 0且不等于 ；⑤指數的底數必需 0且不等于 ；⑥實際問題還要考慮實際問題本身有意義。
〔練習1〕解答下列問題：
1、函數f(x)=（+2x-3）的定義域是（ ）（2015全國高考重慶卷）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函數f(x)= + 的定義域為（ ）（2013全國高考山東卷）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、設函數f(x)=ln ，則函數g(x)= f()+ f()的定義域是 ；
4、求下列函數的定義域：
①f(x)= ②f(x)= ③f(x)=
④f(x)= ⑤y=； ⑥y=；
⑦y=； ⑧y=(a＞0且a≠1).
【典例2】解答下列問題：
1、若函數y=f(x)的定義域是［0,2］，則函數g(x)= 的定義域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
2、設函數f(x)的定義域為（0,1〕，求下列函數的定義域：
①y=f(3x)； ②y=f()；
③y=f(x+) +f(x-)； ④y=f(x+a)+f(x-a)。
3、已知函數f(x)的定義域為［0,2］，求函數f(+1)的定義域；
〖解析〗
1、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②分式的定義與性質；③不等式或不等式組的解法；④復合函數的定義與性質；
【解題思路】根據函數g(x)有意義的條件和函數y=f(x)的定義域，2x為整體未知數得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數g(x)的定義域；
【詳細解答】函數g(x)有意義，必有02x2， 0x1，0x<1，函數g(x) x-1≠0， x≠1, 的定義域為[0，1）；B
正確，選B；
2、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③不等式或不等式組的解法；
【解題思路】（1）根據函數f(x)的定義域，把3x視為整體未知數，得到關于x的不等式組，
然后求解不等式組，從而得到函數f(3x)的定義域；（2）根據函數f(x)的定義域，把 視
為整體未知數，得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數f()的定義域；
（3）根據函數f(x)的定義域，把 x+和x-分別視為整體未知數，得到關于x的不等式
組，然后求解不等式組，從而得到函數y=f(x+) +f(x-)的定義域；（4）根據函數f(x)的
定義域，把 x+a和 x-a分別視為整體未知數，得到關于x的不等式組，然后求解不等式組
（注意對參數a進行分類考慮），從而得到函數y=f(x+a)+f(x-a)的定義域為；
【詳細解答】（1）函數f(x)的定義域為（0,1〕，0<3x1，0的定義域為（0，]；（2）函數f(x)的定義域為（0,1〕，0<1，x1，函數 y=f()
的定義域為[1，+）；（3）函數f(x)的定義域為（0,1〕，0函數y=f(x+) +f(x-)的定義域為（，]；（4）函數f(x)的定義域為（0,1〕，
0< x+a1， -a0時，不等式組的解集為，①當03、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據函數f(x)的定義域，把 +1視為整體未知數，得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數f(+1)的定義域；
【詳細解答】函數f(x)的定義域為[0,2]，0+12--11-1x1，
函數f(+1)的定義域為[-1，1]；
『思考問題2』
（1）【典例2】是已知函數f(x)的定義域求函數f〔g(x)〕的定義域的問題，解決這類問題的基本思路是將函數f(x)的定義域 函數g(x)的值域；
（2）如果已知函數f(x)的定義域，求函數f〔g(x)〕的定義域的基本方法是：①將函數f(x)的定義域視為函數g(x)的值域得到不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出結果。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)的定義域是（0,2〕，求下列函數的定義域：
①y=f() ②y=f(2x+3)
③y=f(x+)+f(x-) ④y=f()
2、已知函數f(x)的定義域為［0,1］，求函數f(-1)的定義域；
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數f(2x+1)的定義域為[-1，5]，求函數f(x)的定義域；
2、已知f()的定義域是〔-1,1〕，求f(x)的定義域；
3、已知函數f(2x-1)的定義域是〔0,1〕,求函數f(1-3x)的定義域；
4、已知函數y=f（）的定義域是〔，4〕，求函數f(x)的定義域；
〖解析〗
1、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③函數值域的求法；
【解題思路】根據函數f(2x+1)的定義域，求出函數g(x)=2x+1的值域，從而得到函數f(x)的定義域；
【詳細解答】函數f(2x+1)的定義域為[-1，5]，設g(x)=2x+1，-1g(x) 11，
函數f(x)的定義域為[-1，11]；
2、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③指數函數的定義與性質；④函數值域的求法；
【解題思路】根據函數f()的定義域，求出函數g(x)= 的值域，從而得到函數f(x)的定義域；
【詳細解答】函數f()的定義域為[-1，1]，設g(x)= ，g(x) 2，
函數f(x)的定義域為[，2]；
3、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③函數值域的求法；④不等式或不等式組的解法；
【解題思路】根據函數f(2x-1)的定義域為[0，1]，求出函數g(x)=2x-1的值域，從而得到函數f(x)的定義域，在把 1-3x視為整體未知數，得到關于x的不等式組，然后求解不等式組，從而得到函數f(1-3x)的定義域；
【詳細解答】函數f(2x-1)的定義域為[0，1]，設g(x)=2x+1，-1g(x) 1，
函數f(x)的定義域為[-1，1] -11-3x1，0x，函數f(1-3x)的定義域為[0，]；
4、【知識點】①函數y=f(x)的意義；②復合函數的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④函數值域的求法；
【解題思路】根據函數f()的定義域，求出函數g(x)= 的值域，從而得到函數f(x)的定義域；
【詳細解答】函數f()的定義域為[，4]，設g(x)= ，-1g(x) 2，
函數f(x)的定義域為[-1，2]；
『思考問題3』
（1）【典例3】是已知函數f〔g(x)〕的定義域求函數f(x)的定義域的問題，解決這類問題的基本思路是根據函數f〔g(x)〕的定義域求出函數g(x)的值域；
（2）已知函數f〔g(x)〕的定義域，求函數f(x)的定義域的基本方法是：①根據函數f〔g(x)〕的定義域求出函數g(x)的值域；②將函數g(x)視為 未知數；③得出結果。。
〔練習3〕解答下列問題：
1、已知函數f(x+3)的定義域是〔-4,5〕,求函數f(x)的定義域；
2、已知函數f（2x-3）的定義域是〔-5,1〕，求函數f(x)的定義域；
3、已知函數f()的定義域是〔-1,1〕，求函數f(x)的定義域；
4、已知函數y=f（）的定義域是〔1,2〕，求函數f(x)的定義域；
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍；
2、若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 ；
3、已知函數y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定義域為R，求實數a的取值范圍。
〖解析〗
1、【知識點】①三次根式的定義與性質；②分式的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式；
【解題思路】根據函數f(x)的定義域為R，得到 a+ax-3≠0在R上恒成立，進一步得到方程a+ax-3=0無實數解，從而可得 =+12a<0，求解這個不等式就可得到實數a的取值范圍；
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R，a+ax-3≠0在R上恒成立，方程a+ax-3=0無實數解，=+12a<0，-122、【知識點】①二次根式的定義與性質；②指數函數的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式；
【解題思路】根據函數f(x)的定義域為R，得到 -10在R上恒成立，進一步得到 1在R上恒成立，從而得到 -2ax-a0在R上恒成立，由此得到=4+4a0，求解這個不等式，就可得到實數a的取值范圍是；
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R，-10在R上恒成立，1在R上恒成立，-2ax-a0在R上恒成立，=4+4a0，-1a0，函數f(x)的定義域為R，實數a的取值范圍是[-1，0]；
3、【知識點】①對數函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式；⑤分類討論的數學思想與方法；
【解題思路】根據函數f(x)的定義域為R，得到 (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，結合a的不同求證對不等式的影響，對各種情況分別考慮，就可求出實數a的取值范圍是；
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R， (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，①當a=-1時，(-1)+(a+1)x+1>01>0成立；②當a=1時，(-1)+(a+1)x+1>02x+1>0，x（-，-）時，2x+1<0與題意不符；③當a≠1時，由(-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，-1>0， a>1或a<-1，a>或a<-1，綜上所述，當
=-4(-1)< 0， a>或a<-1，函數f(x)的定義域為R時，實數a的取值范圍是（-，-1]（，+）；
『思考問題4』
（1）求實際問題或幾何問題涉及的函數的定義域時，既要考慮函數的 有意義又要考慮實際問題或幾何問題有意義；
（2）【典例4】是已知函數的定義域，求函數解析式中參數的取值范圍的問題，解決這類問題的基本方法是：①根據函數的解析式和定義域得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍；
2、若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 。

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