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兩角和與差的余弦公式的五種推導方法之對比
兩角和與差的余弦公式是三角函數恒等變換的基礎，其他三角函數公式都是在此公式基礎上變形得到的，因此兩角和與差的余弦公式的推導作為本章要推導的第一個公式，往往得到了廣大教師的關注. 對于不同版本的教材采用的方法往往不同，認真體會各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導方法，對于提高學生的分析問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用.下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導方法歸納如下：
方法一：應用三角函數線推導差角公式的方法
設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．
過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．
綜上所述，.
說明：應用三角函數線推導差角公式這一方法簡單明了，構思巧妙，容易理解. 但這種推導方法對于如何能夠得到解題思路，存在一定的困難. 此種證明方法的另一個問題是公式是在均為銳角的情況下進行的證明，因此還要考慮的角度從銳角向任意角的推廣問題.
方法二：應用三角形全等、兩點間的距離公式推導差角公式的方法
設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則有|P1P2 |= .
在直角坐標系內做單位圓，并做出任意角α，α+β和，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和P4點，單位圓與x軸交于P1，則P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.

∵，且，
∴，∴，
∴
，
∴，
∴，.
說明：該推導方法巧妙的將三角形全等和兩點間的距離結合在一起，利用單位圓上與角有關的四個點，建立起等式關系，通過將等式的化簡、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式. 在此種推導方法中，推導思路的產生是一個難點，另外對于三點在一條直線和三點在一條直線上時這一特殊情況，還需要加以解釋、說明.
方法三：應用余弦定理、兩點間的距離公式推導差角公式的方法
設，
則.
在△OPQ中，∵，

∴，
∴.
說明：此題的解題思路和構想都是容易實現的. 因為要求兩角和與差的三角函數，所以構造出和角和差角是必須實現的. 構造出的和角或差角的余弦函數又需要和這兩個角的三角函數建立起等式關系，因此借助于余弦定理、兩點間的距離公式建立起等式關系容易出現，因此此種方法是推導兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法. 但此種方法必須是在學習完余弦定理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無法使用. 另外也同樣需要考慮三點在一條直線上的情況.
方法四：應用三角形面積公式推導推導差角公式的方法
設α、β是兩個任意角，把α、β兩個角的一條邊拼在一起，頂點為O，過B點作OB的垂線，交α另一邊于A，交β另一邊于C，則有S△OAC=S△OAB+S△OBC..

根據三角形面積公式，有，
∴.
∵，，，
∴，
∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
根據此式和誘導公式，可繼續證出其它和角公式及差角公式.
(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；
(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ；
(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
說明：此種推導方法通過三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數與各個角的三角函數和聯系在一起，體現了數形結合的特點. 缺點是公式還是在兩個角為銳角的情況下進行的證明，因此同樣需要將角的范圍進行拓展.
(五)應用數量積推導余弦的差角公式

在平面直角坐標系xOy內，作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).
由向量數量積的概念，有.
由向量的數量積的坐標表示，有
.
于是，有.
說明：應用數量積推導余弦的差角公式無論是構造兩個角的差，還是得到每個角的三角函數值都是容易實現的，而且從向量的數量積的定義和坐標運算兩種形式求向量的數量積將二者之間結合起來，充分體現了向量在數學中的橋梁作用.
綜上所述，從五種不同的推導兩角和與差的余弦公式的過程可以看出，不同的推導方法體現出不同的數學特點，不同的巧妙構思，相同的結果，也進一步體驗了數學的博大精深.

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