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第十一章 三角形
11.1　與三角形有關的線段
11.1.1三角形的邊

1．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做 三角形 ．
2．三邊都相等的三角形叫做 等邊三角形 ，有兩邊相等的三角形叫做 等腰三角形 ．
3．三角形的分類：
按邊分類：

(2)按角分類：

4．三角形兩邊之和 大于 第三邊，兩邊之差 小于 第三邊．

11.1.2　三角形的高線、中線與角平分線

5．從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的 高 ．
6．在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的 中線 ．
7．三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的 角平分線 .
8．三角形的三條中線相交于一點，這一點叫做三角形的 重心 ．

11.1.3三角形的穩定性

1．三角形具有 穩定性 ，四邊形具有 不穩定性 。
2．橋梁拉桿等都是三角形結構，這是利用三角形的 穩定 性。
3．伸縮門，活動衣架等應用了四邊形的 不穩定性 。

11．2　與三角形有關的角
11.2.1三角形的內角

1．三角形的內角和定理： 三角形的內角和等于180° ．
2．證明三角形內角和定理一般是將三個內角轉化到一個 平角 中去。
3．直角三角形的兩銳角 互余 ．
4．在兩個角互余的三角形是 直角三角形 。

11.2.2三角形的外角

1．三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的 外角 ．
2．三角形的外角等于與它不相鄰的 兩個內角和 ．

11．3　多邊形及其內角和
11.3.1多邊形

1．在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做 多邊形 ．
2．多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的 外角 ．
3．連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的 對角線 ．
4．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做 正多邊形 。
5．從n邊形(n>3)的一個頂點出發可以畫 (n－3) 條對角線．
6．過n邊形的一個頂點畫對角線能得到 (n－2) 個三角形．

11.3.2　多邊形的內角和
1．多邊形的內角和等于 (n－2)·180° ．
2．多邊形的外角和等于 360°．
3．n邊形的邊數每增加1條，它的內角和增加 180°，外角和 不變 。

第十二章 全等三角形
12．1　全等三角形

1．能夠完全 重合 的兩個圖形叫全等形。
2．能夠完全 重合 的兩個三角形叫全等三角形。
3．全等三角形的 對應邊 相等，對應角 相等 。
4．經過平移、翻折、旋轉后的圖形與原圖形 全等 。
方法技能：１．找全等三角形的對應元素的方法：
(1)在兩個全等三角形中，最長邊對最長邊，最短邊對最短邊，最大角對最大角，最小角對最小角；
(2)對應角的對邊為對應邊，對應邊的對角為對應角；
(3)重合的邊(角)是對應邊(角)，公共邊(角)是對應邊(角)，對頂角是對應角．
２．全等三角形性質的應用：
(1)求線段：全等三角形的對應邊相等，可直接確定對應邊的數量關系，也可間接求相關線段的長度等；
(2)求角：全等三角形的對應角相等，可直接確定對應角的數量關系，也可間接求相關角的大小等。

12.2三角形全等的判定

1．三邊對應 相等 的兩個三角形全等，簡寫成“ 邊邊邊 ”或“ SSS ”。
2．三角形三邊的長度確定了，這個三角形的 形狀 和 大小 就
方法技能：1．證全等尋找等邊的方法：
(1)圖形語言中的隱含條件，如公共邊；
(2)利用中點的定義證明兩條線段相等；
(3)多條線段共線時，利用線段的和(差)關系證明兩條線段相等。
2．證明兩個三角形全等書寫的步驟：
(1)準備條件：證全等時要用的間接條件要先證明(公共邊相等可以直接作條件用)；
(2)寫出在哪兩個三角形中；
(3)列出三個條件用大括號括起來；
(4)寫出全等的結論及依據．
3．有兩邊和它們的 夾角 分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“ 邊角邊 ”或“ SAS ”．
4．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形 不一定 全等。
方法技能：
1．SAS的用法：運用SAS判定兩個三角形全等時，一定要按邊→角→邊的順序排列這三個條件．注意屬于一個三角形的邊和角寫在等號的同一邊．
2．證全等尋找等角的方法：
(1)公共角相等，對頂角相等，直角相等；
(2)等角加(減)等角，其和(差)相等；
(3)同角或等角的余(補)角相等；
(4)根據角平分線、平行線得角相等．
5．_兩角__和它們的__夾邊__分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“ ASA_”或“_角邊角__”。
6．兩角和其中一角的_對邊__分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“_AAS___”或“_角角邊_”。
7．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形 全等 ，簡寫成“ 斜邊、直角邊 ”或“ HL ”。
8．直角三角形全等是三角形中的特殊類型，判定兩個直角三角形全等時可用 SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 還可以用 HL 判定。
方法技能：
判定兩個直角三角形全等的思路：
已知條件 尋找條件 判定方法
一銳角對應相等 直角與已知銳角的夾邊對應相等 ASA
對應相等直角或已知銳角的對邊對應相等 AAS
斜邊對應相等 一條直角邊對應相等 HL
一銳角對應相等 AAS
一直角邊對應相等 斜邊對應相等 HL
另一直角邊對應相等 SAS
已知邊相鄰的銳角對應相等 ASA
已知邊所對的銳角對應相等 AAS

12．3　角的平分線的性質

1．角的平分線上的點到角的兩邊的距離__相等__。
2．命題證明的一般步驟為：（1）明確命題中的 已知和求證 ；（2）根據題意畫出圖形并用 數學符號 表示已知求證；（3）寫出 證明 過程。
方法技能：
1．應用角的平分線的性質時，角的平分線、角的平分線上的點到角的兩邊的距離兩個缺一不可，不能錯用為角的平分線上的點到角的兩邊任意點的距離相等．
2．用角的平分線的性質證明線段相等，可以直接得出結論，不需要再證明三角形全等來完成．
易錯提示：
應用角的平分線的性質時，易忽略“到角的兩邊的距離”而出錯．
3．角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的 平分線上 ．
4．三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離 相等 。
方法技能：
1．角的平分線的判定的主要作用是證明一個點在某個角的平分線上或兩個角相等，它與角的平分線的性質恰好是條件和結論的交換，在運用時不要混淆．
2．當遇到“證某線平分某角”時，首先要想到角的平分線的判定，即向角的兩邊作垂線，證明垂線段相等．
3．三角形的三條角平分線相交于一點，這一點到三邊的距離相等．
易錯提示：
忽略角的平分線的判定定理中的條件而出錯．

第十三章 軸對稱
13．1.1　軸對稱

1．如果一個圖形沿著一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做 軸對稱圖形 ，這條直線就是它的 對稱軸 。
2．如果兩個圖形沿著一條直線折疊，一個圖形能夠與另一個圖形重合，則這兩個圖形關于 這條直線 成軸對稱。這條直線叫對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做 對稱點 。
方法技能：
1．軸對稱和軸對稱圖形的區別與聯系：
(1)區別：軸對稱涉及兩個圖形，軸對稱圖形只涉及一個圖形；
(2)聯系：①都有對稱軸；②如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱；③成軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形沿著對稱軸折疊，都能重合，即對稱軸兩旁部分組成的圖形全等．
2．判斷軸對稱圖形的條件：①存在直線(對稱軸)；②沿這條直線折疊，兩旁的部分能夠互相重合．
易錯提示：
1．混淆軸對稱圖形與軸對稱．
2．判斷軸對稱圖形的對稱軸條數易出錯．

13.1.2線段的垂直平分線

1．經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段 垂直平分線 。
2．線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離 相等 。
3．與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的 垂直平分線上。

13．2　畫軸對稱圖形

1．一個平面圖形可以得到它關于一條直線成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形的 大小 、 形狀 完全相同。
2．連接任意一對對應點的線段被對稱軸 垂直平分 ，只要畫出圖形中的一些特殊點的 對稱軸 ，作某些圖形關于某直線對稱的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點的 對稱點 ，再連接這些 對稱點 ，就可以得到原圖形關于某直線對稱的圖形．
方法技能：
畫軸對稱圖形的方法：找出特殊點，作出各特殊點關于對稱軸的對稱點，順次連接各對稱點即可。

13．2　　用坐標表示軸對稱

1．點P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標是 (a，－b) ；點P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標是 (－a，b) ；點P(a，b)關于原點對稱的點的坐標是 (－a，－b) ．
2．在平面直角坐標系中作出一個圖形關于x軸或y軸對稱的圖形，只要找到一些特殊點的對稱點的 坐標 ，描出并連接這些點，就得到這個圖形的軸對稱圖形。
方法技能：
1．關于坐標軸對稱的點的坐標特征：
(1)點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)，即橫坐標相等，縱坐標互為相反數；
(2)點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標為(－x，y)，即橫坐標互為相反數，縱坐標相等．
2．作一個多邊形關于坐標軸對稱的圖形，只需作出多邊形各個頂點關于坐標軸的對稱點，并順次連接這些點即可．
易錯提示：
混淆關于x軸和y軸對稱的點的橫、縱坐標的變化特征而出錯．

13.3.1等腰三角形

1．有兩邊相等的三角形是 等腰 三角形。
2．等腰三角形的性質：
①等腰三角形是 軸對稱 圖形，它的對稱軸是 底邊上的高（頂角的平分線或底邊上的中線）所在的直線 ；
②等腰三角形的兩底角 相等 （簡寫成“ 等邊對等角 ”）；
③等腰三角形的 頂角的平分線 、 底邊上的中線 、底邊上的高線 相互重合（簡寫成“ 三線合一 ”）。
3．一個三角形有兩個角 相等 ，則這兩個角所對的邊也 相等 ，簡稱為“ 等角對等邊 ”。

13.3.2等邊三角形

1．等邊三角形的三個內角都 相等 ，并且每一個角都等于 60°；
2． 三邊 都相等的三角形是等邊三角形； 三個內角 都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。

13．4　課題學習　最短路徑問題

1．兩點的所有連線中， 線段 最短。
2．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中， 垂線段 最短。
3．已知直線l上一動點和直線l外兩定點：(1)當兩定點在l的異側 連接兩點 得最短路徑；
(2)當兩定點在l的同側，作其中一定點 關于直線l 的對稱點可求最短路徑。
方法技能：
解決最短路徑問題的方法：借助軸對稱或平移的知識，化折為直，利用“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”來求線段和的最小值．
易錯提示：
混淆什么情況下用“兩點之間，線段最短”，什么情況下用“垂線段最短”而出錯．

第十四章 整式的乘法與因式分解
14．1　同底數冪的乘法

1．冪的有關概念：an中a叫做__底數__，n叫做_指數___，an是 冪 ，它表示 n個a相乘 。
2．同底數冪相乘，_底數 不變，指數__相加__．用字母表示為am·an＝ am＋n (m，n為正整數)。
3．同底數冪的性質的逆向運用，am＋n＝ am·an (m，n為正整數)。

14.1.2冪的乘方

1．冪的乘方法則：(am)n＝ amn (m，n都是正整數)．即冪的乘方， 底數不變，指數相乘 。
2．在進行冪的乘方與冪的乘法混合運算時,先 乘方 ,后 乘法 ；
3．冪的乘方的運算的逆向應用,即 amn = (am)n (m，n都是正整數)。

14.1.3積的乘方

1．積的乘方，等于把積的 每一個因式分別乘方 ，再把所得的__冪 相乘，用字母表示為(ab)n＝ anbn 。
2．積的乘方的運算的逆向應用，即 anbncn = (abc)n (n為正整數)。

14.1.2整式的乘法

1．單項式乘以單項式：
單項式與單項式相乘，把它們的 系數 、 同底數冪 分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為 積的一個因式 。
2．單項式乘以多項式：
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的 每一項 ，再把 所得的積相加 。
3．多項式乘以多項式：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的 每一項 乘另一個多項式的 每一項 ，再把所得的積 相加 ，即(a＋b)(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn .。

*整式的除法

1．同底數冪的除法法則：am÷an＝ am－n (a≠0，m，n都是正整數，并且m>n)．即同底數冪相除， 底數不變 ， 指數相減 。
2．a0＝ 1 (a≠0)．即任何不等于0的數的0次冪都等于 1 。
3．單項式相除，把 系數 與 同底數冪 分別相除作為商的 因式 ，對于只在被除式里含有的字母，則 連同它的指數 作為商的一個因式。
4．多項式除以單項式，先把這個多項式的 每一項 都除以 這個單項式 ，再把所得的商 相加 。

14.2乘法公式
14.2.1平方差公式

1．兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的 平方差 ，用字母表示為（a+b）（a-b）= a2-b2 。
2．能用平方差公式進行運算的式子特征：①二項式與二項式的積；②有一項相同，另一項 互為相反 。

14.2.2完全平方公式

1．完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，即兩個數的和（或差）的平方，等于它們的 平方和 加上（或減去） 它們的積的2倍 。
2．添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都 不變號 ；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都 改變符號 。
2．添括號與去括號是 互逆 變形，可互相檢驗。

14.3因式分解
14.3.1提公因式法
1．把一個多項式化為幾個 整式 的 積 的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式 分解因式 。
2．多項式的各項中都含有的因式叫做這個多項式的 公因式 ，如果一個多項式的各項含有公因式，把這個公因式提出來，將多項式化成幾個因式積的形式，這種分解因式的方法叫 提公因式法 。

14.3.2公式法

1．平方差公式a2-b2= （a+b）（a-b），即兩個數的平方差等于這兩個數的 和 與這兩個數的 差 的積。
2．有公因式一定要先 提取公因式 ，分解因式必須進行到每一個多項式因式不能 再分解 為止。
3．完全平方公式：a2 ±2ab+b2=（a±b）2，即兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的 積的2倍 ，等于這兩個數 和或差 的平方。
4．象a2 +2ab+b2或a2 -2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。

第十五章 分式
15．1.　分式
15.1.1從分數到分式

1．如果A，B表示兩個整式，并且B中含有 字母 ，那么式子 做分式，其中A叫做 分子，B叫做 分母 ．
2．對于分式 ，當 B≠0 時，分式 有意義 ，當 A＝0，且B≠0 時，分式的值為零。

15.1.2分式的基本性質

1．分式的分子與分母乘(或除以)同一個 不等于0 的整式，分式的值不變。
2．約分是分子、分母同時除以分子、分母的 公因式 ，分子與分母沒有公因式的分式稱為 最簡分式 。
3．分式的通分是根據分式的 基本性質 ，把分式的分子和分母同時乘以 不為0的整式 ，將分式的分母化為 同分母 的過程。
4．把一個分式的分子與分母的 公因式 約去叫做分式的約分。
5．分子與分母沒有 公因式 的分式，叫做最簡分式。
6．不改變分式的值，把異分母分式化成 同分母 的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分，各分母的所有因式的 最高次冪的積 ，叫做最簡公分母。

15.2分式的運算
15.2.1分式的乘除

1．分式乘法：分式乘以分式，用分子的積作為積的 分子 ，分母的積作為積的 分母 ．即= 。
2．分式除法：分式除以分式，把除式的分子、分母 顛倒 位置后，與被除式 相乘 ，即= = 。
3．分式的乘方就是把分子、分母分別 乘方 ，即= ，其中n為正整數。
4．分式的乘、除、乘方混合運算，應先算 乘方 ，再算 乘除 ，再注意先確定運算結果的符號，以及乘除同級運算順序是 從左到右 。

15.2.2分式的加減

1．同分母分式相加減，分母　不變 ，把分子　相加減　，用式子表示為　＝。
2．異分母分式相加減，先　通分　，變為同分母的分式，再　加減　，式子表示為　＝＝　　。
3．分式的混合運算和有理數的混合運算一樣，要按運算順序進行運算，即先 乘方 ，再，乘除 ，最后 加減 ，遇到括號要先算 括號內 的，如果能運用運算律，要盡量運用運算律簡化運算。

15.2.3整數指數冪

1．任何一個不為零的數的負p次冪都等于這個數的 p次冪的倒數 ，即= （a≠0，p為正整數）。
2．整數指數冪的運算性質：= （m、n為整數）；= （m、n為整數）；= （n為整數）。
3． 小于1的正數可以用科學記數法表示為a×10n的形式，其中 1 ≤ a ＜ 10 ，n是正整數，n是小數點后第一個非零的數前面零的個數（包括整數部分的一個零）。

15.3分式方程

1．解分式方程的基本思路是將分式方程化為 整式方程 ，具體做法是 去分母 ，即方程兩邊同乘以 最簡公分母 。
2．解分式方程必須 驗根 ，使 公母 不為0的解才是原方程的解，否則不是分式方程的解。
3．列分式方程解決實際問題的步驟：①審題，找出等量關系；②沒未知數；⑧列出分式方程；④解分式方程并 驗根 ；⑤作答。












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