資源簡介

數 學 好 玩
一、繪制校園平面圖
活動的方案:
1.想一想,繪制校園平面圖前,要先做哪些方面的準備?
A.在校園平面圖中需要繪制哪些主要建筑物?
B.需要收集哪些數據?如何收集這些數據呢?
C.如何確定這幅圖的比例尺呢?
2.設計繪制校園平面圖的活動方案,包括主要步驟和分工。
3.實地測量并記錄。
4.繪制校園平面圖。
二、神奇的莫比烏斯帶
意義:把一根紙條扭轉180°后,兩頭再粘接起來做成的紙帶圈,具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),一個正面,一個反面,兩個面可以涂成不同的顏色;而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面),一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”(也就是說,它的曲面只有一個)。
用途:用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀,這樣皮帶可以磨損的面積就變大了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀,就不存在正反兩面的問題了,磁帶就只有一個面了。
三、可愛的小貓
畫小貓的輪廓。
1.根據表格中的表示小貓輪廓的點的數對,在方格中描出各數對表示的點。
2.再按照字母順序依次連接起來。
3.還要畫出眼睛、鼻子和嘴巴。
繪制平面圖時,要根據圖紙的大小確定比例尺。
一些在平面上無法解決的問題,卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得解決。
數對中的兩個數都擴大或縮小相同的倍數,得到的新圖形與原來的圖形相似。
一　圓柱與圓錐
一、面的旋轉
1.點動成線,線動成面,面動成體。
2.將一個長方形以長(寬)為軸,快速旋轉后可以形成一個圓柱。
3.將一個直角三角形沿一條直角邊快速旋轉,會形成一個圓錐。
二、圓柱和圓錐的特征
1.圓柱有兩個面是大小相同的圓,有一個面是曲面;圓錐有一個面是圓,有一個面是曲面。即:
2.圓柱的上、下兩個圓面叫作圓柱的底面,圓柱的曲面叫作圓柱的側面;圓柱的兩個底面之間的距離叫作圓柱的高。即:
3.圓錐的圓面叫作圓錐的底面,圓錐的曲面叫作圓錐的側面;圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高。
4.測量圓錐的高的方法:把圓錐放在水平面上,在圓錐的頂點上放一個平面的東西,比如一塊木板,并與底面平行,測量一下這兩個平面間的距離,這兩個平面間的距離就是圓錐的高。即:
5.測量圓柱的高的方法:把圓柱放在水平面上,選一把直尺和一個直角三角板,使圓柱的底面與直尺的0刻線對齊,使三角板與直尺垂直并靠緊圓柱的底面,此時圓柱的另一個底面對準的刻度值即是圓柱的高。
三、圓柱的表面積
1.圓柱的側面積。
圓柱的側面如果沿高剪開得到一個長方形。
長方形的面積=長方形的長 × 長方形的寬
　　↓　　　　　　 ↓　　　　　　↓
圓柱的側面積=圓柱的底面周長×圓柱的高
用字母表示:S側=Ch
或S側=πdh
或S側=2πrh
2.圓柱的表面積。
圓柱的表面積=側面積+兩個底面積
不同的圓柱形實物,它們的表面積也不相同。比如圓柱形煙囪的表面積等于煙囪的側面積,圓柱形水桶的表面積就是水桶的側面積加上一個底面積。
四、圓柱的體積
1.意義:圓柱形物體所占空間的大小叫作圓柱的體積。
2.圓柱的體積的計算公式。
把一個圓柱的底面平均分成若干個相等的扇形,再把這些扇形按照等分線沿高剪開,等分成若干份,就可以拼成一個近似的長方體。如圖:
長方體的體積=　　長　　×　　 寬×高
　　↓　　　　　　↓　 　　　　↓ 　↓
圓柱的體積 =底面周長的一半×半徑底面積×高
用字母表示:V=S×h
V=πr2×h
3.求不規則物體的體積。
計算不規則物體的體積,可以借助圓柱形容器和水,給圓柱形容器里裝適量的水,量出水的高度,把不規則物體放入容器完全浸入水中,并且水不被溢出,這時測量水的高度,上升的水的體積就是不規則物體的體積。
五、圓錐的體積
1.意義:圓錐形物體所占空間的大小叫作圓錐的體積。
2.圓錐的體積公式。
一個圓錐和一個圓柱的底面積和高都相等,將圓錐形容器裝滿沙子,再倒入圓柱形容器,3次可以倒滿。所以說圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的13。
圓錐的體積=圓柱的體積×13
用字母表示為V=13Sh
V=πr2h×13
面的形狀不同,快速旋轉后形成的立體圖形也不同。
圓柱有無數條高,圓錐只有一條高。
圓柱或圓錐的高都是一條垂直于底面的線段。
易錯點:剪開圓柱的側面時一定要沿高剪開才可以得到一個長方形。
易錯點:在解決圓柱的表面積的問題時,要根據不同實物的表面情況進行計算。
把圓柱剪拼成一個近似的長方體后,它的體積大小不變,表面積增加。
運用轉化的方法把圓柱轉化成長方體,找出圓柱和長方體之間的關系,可以推導出圓柱的體積公式。
解決體積問題時,可以運用轉化的方法把不規則的物體轉化為規則的形體進行計算。
求不規則物體的體積一定要借助規則的容器和水來計算。
計算圓錐的體積要先計算與它等底等高的圓柱的體積,再乘13。
易錯題:只有圓柱和圓錐等底等高時,它們的體積才有可比性。
判斷圓柱和圓錐的關系,一定要在等底等高的條件下。
二　比　　例
一、比例的認識
1.意義:表示兩個比相等的式子,叫作比例。
例如:2∶1=2,6∶3=2;所以2∶1=6∶3。
2.比例的基本性質。
(1)認識比例的項。
在比例里,兩端的兩項叫作比例的外項,中間的兩項叫作比例的內項。
(2)比例的基本性質。
在比例里,兩個內項的積等于兩個外項的積。
例如:由3∶2=6∶4可知3×4=2×6;或者由x×1.5=y×1.2可知x∶y=1.2∶1.5。
3.判斷兩個比能否組成比例。
4. (1)解比例。
根據比例的基本性質,如果已知比例中的任何三項,就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項,叫作解比例。
例如:3∶x=4∶8,內項乘內項,外項乘外項,則4x=3×8,解得x=6。
(2)根據比例的意義和基本性質,設未知數、解比例、解決實際問題。
二、比例尺
1.意義。
圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。
比例尺是一個比,它表示圖上距離和實際距離的倍比關系,因此不能帶有計量單位。
2.比例尺的分類。
比例尺根據實際距離是縮小還是擴大,分為縮小比例尺和放大比例尺。根據表現形式的不同,比例尺還可以分為線段比例尺和數值比例尺。
縮小比例尺:在繪圖時,根據需要把實際距離按一定的比例縮小,在紙上畫出來。為了計算方便,一般把縮小比例尺寫成帶比號的形式時,前一項一般化簡為“1”,若寫成分數的形式,分子應化簡為“1”。
放大比例尺:對于機器零件比較小,有時需要把實際長度擴大一定的倍數以后,再畫在紙上,這樣的比例尺就稱為放大比例尺。如:2∶1。為了計算方便,通常把放大比例尺寫成后項是“1”的形式。
3.比例尺的應用。
(1)圖上距離∶實際距離=比例尺。
例如:圖上距離是2 cm,實際距離是4 km,則比例尺為2 cm∶4 km,最后求得比例尺是1∶200000。
(2)實際距離=圖上距離÷比例尺。
例如:已知圖上距離是2 cm和比例尺為1∶200000,則實際距離為2÷1200000=400000(cm),400000 cm=4 km。
(3)圖上距離=實際距離×比例尺。
例如:已知實際距離是4 km和比例尺為1∶200000,則圖上距離為400000×1200000=2(cm)。
三、圖形的放大和縮小
1.圖形的放大與縮小的意義。
(1)使圖形按一定的比變大,叫作圖形的放大。如:用顯微鏡看細菌。
(2)使圖形按一定的比變小,叫作圖形的縮小。如:建筑物效果圖。
(3)把一個圖形放大或縮小后得到的圖形與原圖形相比,形狀相同,大小不同。
2.圖形放大或縮小的方格。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小,分為三步:
一看:看原圖形每邊各占幾格;
二算:計算按給定的比將圖形的各邊長放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格;
三畫:按計算出的邊長畫出原圖形的放大圖或縮小圖。
組成比例的兩個比的比值一定相等。
用比的前項除以比的后項,所得的商就是比值。
根據比例的基本性質也可以判斷兩個比能否組成比例。
例如:判斷6∶3和3∶1能否組成比例,可以用6×1=6,3×3=9,6和9不相等,所以6∶3和3∶1不能組成比例。
方法:用內項的積(外項的積)除以已知的外項(內項)。
計算時要先統一單位。
數值比例尺的比的前項和后項單位相同,線段比例尺通常用1厘米的線段表示某一個實際距離。
縮小比例尺的比的前項是1,放大比例尺的比的后項是1。
在大小相同的地圖上,比例尺越大,反映的實際范圍越小。運用比例尺、圖上距離和實際距離之間的關系可以解決實際問題。
如果一個長方形的各邊長度擴大到原來長度的n倍或縮小到原來長度的1n,那么它的周長就擴大到原來長度的n倍或縮小到原來長度的1n。
三　圖形的運動
一、圖形的旋轉
1.旋轉的意義。
　圖1
在平面內,將一個圖形繞一個定點O沿某個方向轉動一定的角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,定點O稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角;如果圖形上的點P經過旋轉到點P',那么這兩個點叫作旋轉的對應點。如圖1,線段AB繞點O順時針轉動90°得到A'B',這就是旋轉,點O就是旋轉中心,∠BOB'和∠AOA'都是旋轉角。
2.旋轉的性質。
(1)經過旋轉,圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度,對應點的排列順序相同。
(2)任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角。
(3)對應點到旋轉中心的距離相等。
(4)對應線段相等,對應角相等。
3.旋轉畫圖。
(1)旋轉畫圖的依據:圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度,對應點到旋轉中心的距離相等。
(2)旋轉畫圖的具體步驟:
①分析題目的要求,找出旋轉中心和旋轉角度;
②分析所畫的圖形,找出圍成圖形的關鍵點;
③沿一定的方向,按一定的角度,通過截取線段的方法,旋轉各個關鍵點。
二、圖形的運動
1.平移的概念:在平面內,將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移,平移不改變圖形的形狀和大小。
2.平移的特點。
(1)平移是指整個圖形平行移動,包括圖形的每一條線段,每一個點。經過平移,圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離。
(2)平移不改變圖形的形狀、大小和方向,只改變圖形的位置。
3.平移的基本性質。
經過平移,對應點所連的線段平行且相等,對應線段平行且相等,對應角相等。
4.軸對稱圖形。
意義:把一個圖形沿一條直線對折,兩側的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫作軸對稱圖形。折痕所在的直線叫作軸對稱圖形的對稱軸。
對稱的特點:對稱的兩部分大小相同,方向相反。在軸對稱圖形中,對應點到對稱軸的距離相等。
三、欣賞與設計
1.利用軸對稱、平移、旋轉等方法繪制精美的圖案。
2.在單一圖案花邊的繪制過程中,基本圖形的大小、方向、形狀不會發生變化,基本圖形平移的格數也是不變的。
3.設計步驟:確定要設計的圖案、基本圖形、變換方法;將要設計的圖案在方格紙上畫出來。
旋轉的范圍是在平面內旋轉,否則有可能旋轉為立體圖形,因此“在平面內”這一條件不可忽略。決定旋轉的因素有三個:一是旋轉中心;二是旋轉角度;三是旋轉方向。
旋轉不改變圖形的大小和形狀,這說明旋轉前后的兩個圖形是完全相同的。
旋轉畫圖的條件:
①圖形原來所在的位置;
②圖形的旋轉中心;
③圖形旋轉的方向;
④圖形旋轉的角度。
平移前,先確定一個點,看這個點會平移到哪兒,保證平移的格數正確;注意原來的圖中每條線段各占幾格,保證和原來的圖形一樣;新畫圖形的形狀、大小都不變。
軸對稱也是圖形運動的一種方式。
軸對稱、平移和旋轉等的知識廣泛地應用于平面、立體的建筑藝術和幾何圖像上。
四　正比例與反比例
一、變化的量
生活中存在著大量相互依存的變量,一種量變化,另一種量也隨著變化。
二、正比例
1.正比例的意義:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關系叫作正比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用字母k表示它們的比值(一定),正比例關系可以表示為yx=k(一定)。
2.應用正比例的意義判斷兩種量是否成正比例:有些相關聯的量,雖然也是一種量隨著另一種量的變化而變化,但它們相對應的數的比值不一定,就不成正比例。
3.畫一畫。
正比例的圖像是一條過原點的直線。
三、反比例
1.反比例的意義。
兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關系叫作反比例關系。如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的積(一定),反比例關系可以表示為x·y=k(一定)。
2.判斷兩個量是不是成反比例。
要先想這兩個量是不是相關聯的量;再運用數量關系式進行判斷,看這兩個量的積是否一定;最后作出結論。
3.觀察與探究。
當兩個變量成反比例關系時,所繪成的圖像是一條光滑曲線。
例如:(1)圓的周長和直徑成正比例關系,因為圓的周長÷直徑=圓周率(一定)。(2)圓的面積和半徑不成比例,因為圓的面積÷半徑=圓周率×半徑(不一定)。
例如:(1)路程一定,速度和時間成反比例,因為速度×時間=路程(一定)。
(2)總價一定,單價和數量成反比例,因為單價×數量=總價(一定)。
總 復 習
數 與 代 數
一、整數的范圍
整數包括自然數和負整數,或者說整數由正整數、零和負整數組成。
1.自然數。
自然數的意義:我們在數物體的時候,用來表示物體個數的0,1,2,3,4,5,…叫作自然數.自然數的個數是無限的,沒有最大的自然數。
“0”的含義:“0”表示一個物體也沒有,在計數中起占位作用,表示該數位上沒有計數單位。
2.正數。
正數的定義:以前學過的8,16,200,…這樣的數叫作正數。
正數的寫法和讀法:正數前面也可以加“+”號,例如:
+8讀作:正八。
3.負數。
負數的定義:像-1,-5,-132,…這樣的數叫作負數。“-”叫負號。
負數的寫法和讀法:負數前面加“-”號,例如:
-15讀作:負十五。
4.整數與自然數的聯系及區別。
自然數全是整數,整數不全是自然數,還包括負整數。
5.整數的大小比較:比較兩個整數的大小,要看它們的位數,如果位數不同,那么位數多的數就大;如果位數相同,就從最高位比起,最高位上的數大的就大,如果最高位上的數相同,就比較下一位上的數的大小,直到比出大小為止。
6.因數與倍數。
意義:整數a除以整數b,所得的商是一個整數,而沒有余數,我們就說a叫作b的倍數,b叫作a的因數。
因數與倍數的特點:一個數的因數的個數是有限的,最大的因數是它本身;一個數的倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身。
7.奇數與偶數。
意義:個位上的數是1,3,5,7,9的數叫作奇數;個位上的數是2,4,6,8,0的數叫作偶數。
奇數與偶數的特點:奇數都不能被2整除;偶數都能被2整除。
8.質數與合數。
意義:一個數的因數只有1和它本身兩個因數,這樣的數,叫作質數,也叫作素數;一個數的因數如果除了1和它本身外,還含有其他的因數,這樣的數叫作合數。
質數與合數的特點:一個質數有2個因數;一個合數有3個或3個以上的因數。
分解質因數:一個合數可以用幾個質數相乘的形式表示出來,叫作分解質因數。(分解質因數也可以用短除的方法)
二、小數
1.小數的意義。
把整數“1”平均分成10份,100份,1000份……這樣的1份或幾份是十分之幾,百分之幾,千分之幾……可以用小數來表示。
2.小數大小的比較。
比較兩個小數的大小,先看它們的整數部分,整數部分大的那個數就大;整數部分相同的,十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的,百分位上的數大的那個數就大,直到比較出大小為止。
3.數的改寫與求近似數。
數的改寫與省略這個數某一位后面的尾數改寫近似數的方法:為了讀寫方便,常把較大的數簡寫成用“萬”或“億”作單位的數。例如:2365500=236.55萬(改寫成用“萬”作單位的數);有時還可以根據需要,省略這個數某一位后面的尾數,寫成近似數。例如:2365500≈237萬(省略萬位后面的尾數);有時還要求保留一位小數的近似數。例如:7.62983≈7.6(保留一位小數)。
三、分數
1.分數的意義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。
2.分數單位:把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的分數,叫作分數單位。
3.分數的分類。
(1)真分數:分子比分母小的分數叫作真分數。
(2)假分數:分子比分母大或者與分母相等的分數叫作假分數。
4.分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫作分數的基本性質。
5.分數與除法的關系:(1)分數的分子相當于除法中的被除數,分數的分母相當于除法中的除數,分數線相當于除法中的除號。(2)在除法中,除數不能為0,在分數中分母也不能為0,除數、分母為0沒有意義。
6.約分:把一個分數化成同它相等,且分子、分母都比較小的分數的過程,叫作約分。
7.最簡分數:分子、分母是互質數的分數叫作最簡分數。
8.通分:把異分母的分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫作通分。
9.分數大小的比較:分母相同的兩個分數,分子大的分數大;分子相同的兩個分數,分母小的分數大。
10.把分數轉化成小數:根據分數與除法的關系,把分數轉化為除法算式,然后計算,就可以得到小數。
11.把小數轉化成分數:原來有幾位小數,就在1的后面寫上幾個0作分母,原來的小數去掉小數點作分子,能化簡的要化簡成最簡分數。
12.分數的基本性質與小數的基本性質的關系。
分數的基本性質與小數的基本性質是一致的。小數的末尾添上“0”或者去掉“0”,就相當于把相應的分數的分子、分母同時擴大(或縮小)到原來的10倍(或110)、100倍(或1100)、1000倍(或11000)……
四、百分數
1.百分數的意義。
(1)分母是100的分數叫作百分數。
(2)表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫作百分數。百分數通分時,通常用分母的最小公倍數作公分母。
如:0.03=3100
分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外)后,分數的大小不變。
百分數通常不寫成分數的形式,而采用符號“%”來表示,叫作百分號。
求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾。
分數又叫百分比或百分率。
2.百分數應用題知識點歸納:
(1)求常見的百分率,如:達標率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等。
(2)求一個數比另一個數多(或少)百分之幾。實際生活中,人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節約了百分之幾等來表示增加或減少的幅度。
求甲比乙多百分之幾:(甲-乙)÷乙。
求乙比甲少百分之幾:(甲-乙)÷甲。
(3)求一個數的百分之幾是多少。
一個數(單位“1”)×百分率
(4)已知一個數的百分之幾是多少,求這個數。基本公式:部分量÷百分率
(5)折扣:幾折就是十分之幾也就是百分之幾十。
五、運算的意義
(一)四則運算
1.加法:把兩個數合并成一個數的運算叫作加法。在加法里,相加的數叫作加數,加得的數叫作和。加數是部分數,和是總數。
2.減法:已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算叫作減法。
在減法里,已知的和叫作被減數,已知的加數叫作減數,未知的加數叫作差。被減數是總數,減數和差分別是部分數。
3.乘法:求幾個相同加數的和的簡便運算叫作乘法。在乘法里,相同的加數和相同加數的個數都叫作因數。相同加數的和叫作積。在乘法里,0和任何數相乘都得0。1和任何數相乘都等于任何數。
4.除法:已知兩個因數的積與其中一個因數,求另一個因數的運算叫作除法。在除法里,已知的積叫作被除數,已知的一個因數叫作除數,所求的因數叫作商。乘法和除法互為逆運算。在除法里,0不能作除數。因為0和任何數相乘都得0,所以任何一個數除以0,均得不到一個確定的商。
(二)四則運算法則
1.加減法的計算法則。
(1)計算整數的加減法時,把相同數位對齊。
(2)計算小數的加減法時,把小數點對齊。
(3)計算分數的加減法時,當分母相同時,分母不變,分子相加減。
2.乘法的計算法則。
(1)整數乘法的計算法則。
一位數乘一位數:用口訣計算。
多位數乘一位數:用這個一位數依次去乘多位數每一位上的數,哪一位上乘得的積滿幾十,就向前一位進幾。
多位數乘多位數:先用其中一個多位數每一位上的數分別去乘另一個多位數,用哪一位上的數去乘,乘得的數的末位就要和哪一位對齊。然后把每次乘得的數相加。
(2)小數乘法的計算法則:先按照整數乘法的計算法則計算出積,再看兩個因數中共有幾位小數,就從積的右邊起向左邊數出幾位,點上小數點。
(3)分數乘法的計算法則:用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母,能約分的要約分。
3.除法的計算法則。
(1)整數除法的計算法則:從被除數的高位起,除到被除數的哪一位,就把商寫在那一位上。
(2)小數除法的計算法則:除數是整數時,按整數除法的計算法則計算,商的小數點要和被除數的小數點對齊。除數是小數時,先移動除數的小數點,使它變成整數,除數的小數點向右移幾位,被除數的小數點也向右移幾位(位數不夠添“0”補足),然后按照除數是整數的小數除法進行計算。
(3)分數除法的計算法則:甲數除以乙數(0除外),等于甲數乘以乙數的倒數。
4.估算的意義和方法。
(1)估算的意義:依據實際問題的需要,按照取近似值的方法,粗略地口算出結果。
(2)加、減法的估算:用“四舍五入”法取近似值,估成幾百或幾百幾十的數,口算和或差。
(3)估算的用處。
①計算前的估算:有利于人們對運算結果有大致了解。
②計算后的估算:有利于人們對運算結果進行檢驗。
5.取近似值的方法。
(1)“四舍五入”法。
要保留到哪一位,就看那一位的下一位上的數,下一位上是5或者比5大,就向前一位進1;如果是4,或者比4小,就舍去。
(2)“進一”法。
在取近似值的時候,把舍去的部分去掉后,用所得的數加上1,這種取近似值的方法叫作“進一”法。例如:媽媽買3袋鹽,每袋1.1元錢,帶3元錢夠嗎?有26個蘋果,每個箱子裝5個,需要多少個箱子?
(3)“去尾”法。
在取數的近似值時,把舍去的部分去掉后,所保留的數不變,這種取數的近似值的方法叫作“去尾法”。例如:用3米長的布料做衣服,每件衣服需要1.2米,能做多少件衣服?
(三)計算與運用
1.四則混合運算的順序。
在沒有括號的算式里,如果只含有加減法或乘除法,要從左往右依次計算;如果既含有加減法,又含有乘除法,要先算乘除法,后算加減法。
2.在有括號的算式里,要先算括號里面的,如果既有小括號,又有中括號,要先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。
(四)運算律
1.加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,它們的和不變。
2.加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加,再加上第三個數;或者先把后兩個數相加,再和第一個數相加,它們的和不變。
3.乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置它們的積不變,即a×b=b×a。
4.乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,再乘以第三個數;或者先把后兩個數相乘,再和第一個數相乘,它們的積不變。
5.乘法分配律:兩個數的和與一個數相乘,可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加。乘法分配律可以逆用:a×c+b×c=(a+b)×c。
6.減法的性質。
(1)從一個數里連續減去幾個數,可以從這個數里減去所有減數的和,差不變,即a-b-c=a-(b+c)。
(2)a-b-c=a-(b+c)可以逆用:a-(b+c)=a-b-c,如,15.6-(5.6+3.8)=15.6-5.6-3.8=10-3.8=6.2。
7.除法的性質:(1)一個數里連續除以幾個數,可以用這個數除以所有除數的積,結果不變,即a÷b÷c=a÷(b×c)。如,32.5÷4÷2.5=32.5÷(4×2.5)=32.5÷10=3.25;(2)a÷b÷c=a÷(b×c)可以逆用:a÷(b×c)=a÷b÷c。
(五)式與方程
1.用字母表示數。
用字母表示常見的數量關系、運算律和運算性質、幾何形體的計算公式。
(1)用字母表示數量關系。
路程用s表示,速度用v表示,時間用t表示,三者之間的關系:s=vt,v=st,t=sv;總價用a表示,單價用b表示,數量用c表示,三者之間的關系:a=bc,b=ac,c=ab。
(2)運算律和運算性質。
加法交換律:a+b=b+a,加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c),乘法交換律:ab=ba,乘法結合律:(ab)c=a(bc),乘法分配律:(a+b)c=ac+bc,減法的性質:a-(b+c)=a-b-c。
(3)表示幾何形體的公式。
長方形的長用a表示,寬用b表示,周長用C表示,面積用S表示,C=2(a+b),S=ab。
正方形的邊長用a表示,周長用C表示,面積用S表示,C=4a,S=a2。
2.用字母表示數的寫法:(1)數字和字母,字母和字母相乘時,乘號可以記作“·”,或者省略不寫,數字要寫在字母的前面。　(2)當“1”與任何字母相乘時,“1”省略不寫。
(3)將數值代入式子求值:把具體的數代入式子求值時,要注意書寫格式:先寫出字母等于幾,然后寫出原式,再把數代入式子求值。字母表示的是數,后面不寫單位名稱。
2.簡易方程。
(1)方程:含有未知數的等式叫作方程。注意方程是等式,又含有未知數,兩者缺一不可。
(2)方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫作方程的解。
六、列方程解應用題
1.列方程解應用題的意義。
用方程式去解答應用題,求得應用題的未知量的方法。
2.列方程解答應用題的步驟。
(1)弄清題意,確定未知數并用x表示;
(2)找出題中的數量之間的等量關系;
(3)列方程,解方程;
(4)檢查或驗算,寫出答案。
3.列方程解應用題的方法。
(1)說出等量關系式;
(2)設未知量為x;
(3)根據等量關系式列出方程并求解;
(4)檢驗,寫答。
4.小學范圍內常用方程解的應用題:
(1)一般應用題;
(2)和倍、差倍問題;
(3)幾何形體的周長、面積、體積的計算;
(4)分數、百分數應用題;
(5)比和比例應用題。
七、比和比例
意義:比表示兩個數相除;比例表示兩個比相等的式子。
比的性質:比的前項和比的后項同時乘或除以相同的數(0除外),比值不變。
比例的基本性質:在比例里,兩個內項的積等于兩個外項的積。
八、正比例與反比例
意義:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關系叫作正比例關系;兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關系叫作反比例關系。
用字母表示正比例:yx=k(一定);反比例:xy=k(一定)。
九、常見的量
(1)長度單位:千米(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)。
1厘米=10毫米　1分米=10厘米　1米=10分米　1米=100厘米　1千米=1000米
(2)面積單位:平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2)、平方千米(km2)、公頃。
1平方米=100平方分米　1平方分米=100平方厘米　1公頃=10000平方米　1平方千米=100公頃
(3)體積單位:立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)。1立方米=1000立方分米　1立方分米=1000立方厘米
(4)容積單位:升(L)、毫升(mL)。
1升=1000毫升　1升=1立方分米　1毫升=1立方厘米
(5)質量單位:噸(t)、千克(kg)、克(g)。
1噸=1000千克　1千克=1000克
(6)時間單位:世紀、年、月、日、時、分、秒。
1世紀=100年
1年=365天(平年)　一年=366天(閏年)　一、三、五、七、八、十、十二月是大月,大月有31天;四、六、九、十一是小月,小月有30天,平年2月有28天,閏年2月有29天。1天=24時　1時=60分　1分=60秒
(7)貨幣單位:元、角、分。
1元=10角　1角=10分　1元=100分
用字母表示為(a+b)×c=a×c+b×c。
“0”還可以表示起點、分界點等。“0”是最小的自然數。
“+”號一般可以省略不寫。
數字越大的負數反而越小;“0”既不是正數,也不是負數。
比較整數的方法根據整數的位數選擇。
因數和倍數是相互依存的,不能單獨存在。
判斷一個數是奇數還是偶數,就看這個數能否被2整除。
1既不是質數,也不是合數。
一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……
取近似數時,常用“四舍五入”法或“進一”法或“去尾”法把一個數某一位后面的尾數省略。
只有把單位“1”平均分才能用分數表示。
用字母表示:a÷b=ab(b≠0)
　　
部分量÷百分率=一個數(單位“1”)
加數+加數=和;一個加數=和-另一個加數
加法和減法互為逆運算。
一個因數×一個因數=積
一個因數=積÷另一個因數
被除數÷除數=商　除數=被除數÷商　被除數=商×除數
分母不同時,要先通分,再相加減。
多位數相乘,從個位乘起。
如果小數的位數不夠,要在前面添“0”補足。
每次除后余下的數必須比除數小。
計算小數除法,先移動除數的小數點,變成除數是整數的除法再計算。
例如:9873-3522≈9900-3500=6400
在實際生活中,一般情況下用“四舍五入”法取近似數,當計算所用材料時用“進一”法,當計算容納物品的體積時用“去尾”法。
加法和減法叫作一級運算,乘法和除法叫作二級運算。
用字母表示為a+b=b+a。
用字母表示為(a+b)+c=a+(b+c)。
用字母表示為(a×b)×c=a×(b×c)。
如,10-2.3-7.7=10-(2.3+7.7)=10-10=0。
如,18.3÷(1.83×50)=18.3÷1.83÷50=10÷50=0.2。
用字母表示數量關系、公式等更簡單。
通常情況下一個數量關系中的字母有規定。
用字母表示運算律比用文字表達更直觀。
一般用a表示長,用b表示寬,用h表示高,用S表示面積,用V表示體積,用r表示半徑,用d表示直徑,用π表示圓周率。
具備方程的條件:含有未知數,是等式,二者缺一不可。
用方程解決問題和用算式解決問題的區別:用方程解決問題是根據等量關系,未知量用x表示,未知數參與列式;用算式解決問題是根據題目中的等量關系,用已知量求出未知量,未知量不參與列式。
比表示兩個數的關系,也可以用分數表示;比例表示兩個比的關系,也可以寫成分數的形式。
判斷兩種量成什么比例,就看這兩種量的比值一定還是積一定。
每相鄰的兩個體積(容積)單位之間的進率是1000;每相鄰的兩個質量單位之間的進率是1000。
一般年份除以4,沒有余數的便是閏年;遇到整百年份要除以400沒有余數才是閏年。
圖形與幾何
一、平面圖形的分類及概念
直線:沒有端點,它的長度是無限的。
線段:有兩個端點,它的長度是有限的。
射線:有一個端點,它的長度是無限的。
弧線:圓上A、B兩點間的部分叫作弧。
角是由一點引出的兩條射線所圍成的圖形。
銳角:大于0°,小于90°的角。
鈍角:大于90°,小于180°的角。
直角:等于90°的角。
平角:等180°的角。
周角:等于360°的角。
垂直:在同一平面內相交成直角的兩條直線。
平行:在同一平面內不相交的兩條直線。
三角形是由三條邊圍成的平面圖形。
按邊分:不等邊三角形(三條邊都不相等)、等腰三角形(有兩條邊相等)、等邊三角形(三條邊都相等)。
按角分:銳角三角形(三個角都是銳角)、直角三角形(有一個角是直角)、鈍角三角形(有一個角是鈍角)。
四邊形是由四條邊圍成的平面圖形。
平行四邊形(兩組對邊平行)→長方形(有一個角是直角)
梯形(只有一組對邊平行)
直角梯形:有一個角是直角的梯形。等腰梯形:兩條腰相等。
圓:一條線段圍繞其中一個端點旋轉一周,就形成一個圓。
扇形:由兩條半徑和弧AB所圍成的圖形叫扇形。
二、立體圖形的分類及概念
1.圖形的特點。
正方體:由6個正方形圍成的立體圖形,有8個頂點,12條棱。
長方體:由6個長方形圍成的立體圖形,有8個頂點,12條棱。
圓柱:由完全相同的兩個圓和一個曲面組成。
圓錐:由一個圓和一個曲面組成。
2.平面圖形的周長和面積。
長方形的周長=(長+寬)×2,即C=(a+b)×2;面積=長×寬,即S=a×b,用字母“a”“b”分別表示長方形的長和寬。
正方形的周長=邊長×4,即C=a×4;面積=邊長×邊長,即S=a2,用字母“a”表示正方形的邊長。
平行四邊形的面積=底×高,即S=a×h用字母“a”“h”分別表示平行四邊形的底和高。
梯形的面積=(上底長+下底長)×高÷2,即S=(a+b)×h÷2,用字母“a”“b”“h”分別表示梯形的上底長、下底長和高。
三角形的面積=底×高÷2,即S=ah÷2,用字母“a”“h”分別表示三角形的底和高。
圓的周長=π×直徑=2π×半徑,即C=π×d=2π×r,圓形的面積:S=π×(半徑)2=π×r2,用字母“r”、“d”分別表示圓的半徑和直徑。
3.立體圖形的表面積、體積。
長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2,用字母表示為S=(a×b+a×h+b×h)×2;長方形的體積=長×寬×高,用字母表示為V=a×b×h,用字母“a”“b”“h”分別表示長方體的長、寬、高。
正方體的表面積=棱長×棱長×6,即C=a×a×6,正方體的體積=棱長×棱長×棱長,用字母表示為V=a×a×a,用字母“a”表示正方體的棱長。
圓柱的表面積=底面積×2+側面積,S=2×π×r2+2π×r×h,圓柱的體積=底面積×高,V=S×h=π×r2×h,用字母“r”“h”分別表示圓的半徑和高。
圓錐的體積=13×底面積×高,即V=13Sh,用字母“S”“h”分別表示圓錐的底面積和高。
三、關于幾何的一些操作知識
1.畫一個角的步驟如下:
(1)先畫一條射線,使量角器的中心點和射線的端點重合,零刻度線和射線重合;
(2)在量角器所取刻度線的地方點一個點;
(3)以畫出的射線的端點為端點,通過剛畫的點,再畫一條射線。
2.垂線的畫法:
(1)過直線上一點畫這條直線的垂線。
①把三角板的一條直角邊與已知直線重合。②沿著直線移動三角板,使三角板的直角頂點與直線上的點重合。③沿三角板的另一條直角邊畫一條直線,所畫的直線就是過已知直線上的一點的直線的垂線。
(2)過直線外一點畫這條直線的垂線。
①把三角板的一條直角邊與已知直線重合。②沿著直線移動三角板,使三角板的另一條直角邊經過已知點。③沿三角板的另一條直角邊畫一條直線,所畫直線就是已知直線的垂線。
3.畫平行線的步驟:
(1)固定三角板,沿一條直角邊先畫一條直線;
(2)用直尺緊靠三角板的另一條直線邊,固定直尺然后平移三角板;
(3)再沿三角板的這條直角邊畫出另一條直線。
4.畫一個長是2.5厘米,寬是2厘米的長方形的步驟如下:
(1)畫一條2.5厘米長的線段;
(2)從畫出的線段兩端,在同側畫兩條與這條線段垂直的線段,使它們分別長2厘米;
(3)把這兩條線段另外的端點連接起來。
5.圓的畫法:
(1)分開圓規的兩腳,在直線上確定半徑;
(2)固定圓規有針尖的腳,確定圓心;
(3)旋轉有鉛筆尖的一只腳畫出一個圓。
四、圖形的運動
圖形的運動方式:軸對稱、平移和旋轉。
　 意義:一個圖形沿一條直線對折后,兩側的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫作軸對稱圖形;一個圖形如果沿著一條直線平行移動,這種現象叫作平移;一個物體如果能夠沿著一個軸轉動,這種現象叫作旋轉。
特點:軸對稱圖形的對稱軸相對的部分到對稱軸的距離相等,方向相反;平移后的圖形大小、形狀和方向都不變;旋轉后的圖形形狀和大小不變,方向改變。
五、圖形與位置
表示方法:可以用方向、角度和路程來描述物體的位置;還可以用數對來表示物體的位置;可以用方向,角度和路程描述行駛的路線。
用數對表示物體的位置:第一個數表示列,第二個數表示行。
點組成線,線組成面。
線段是構成圖形的基本圖形。
三角形、四邊形、梯形、平行四邊形等都是平面上的線段圖形,各條線段首尾順次連接;圓是平面上的曲線圖形。
正方體是長、寬、高都相等的長方體。
圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的13。
圍成一個圖形的所有邊長的總和叫作這個圖形的周長。
物體的表面或圍成的平面圖形的大小,叫作它的面積。
一個立體圖形所有的面的面積總和,叫作它的表面積;
一個立體圖形所占空間的大小,叫作它的體積。
角的兩邊張口越大,這個角就越大。
兩條垂線的夾角是90°。
互相平行的兩條直線間的距離相等。
長方形的對邊相等,鄰邊互相垂直。
圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小。
　
　
　運用圖形的軸對稱、平移和旋轉可以設計出美麗的圖案。
在平面圖上,通常用上北、下南、左西、右東表示方位;用數對表示位置時豎為列,橫為行。
統計與概率
一、數據的收集和整理
1.數據的收集。
為了研究某一對象,要先收集與之相關的數據。
2.數據的整理。
根據數據的特點和統計的需要,把收集到的數據歸類、分組,按一定的順序重新排列,編制成統計表或統計圖。
二、統計圖表和統計特征量
1.統計表:分為單式縱向(或橫向)統計表和復式縱向(或橫向)統計表。表內一般包括表頭、橫標目、縱標目和數據四個方面,表外一般包括總標題、單位說明和制表日期三個方面。
2.統計圖。
(1)條形統計圖:特點是容易反映出各種數量的多少(如各班人數統計圖)。分為單式條形統計圖和復式條形統計圖兩種。
(2)折線統計圖:特點是不僅可以表示數量的多少,而且能清楚地表示數量的增減變化情況(如各月銷售量統計圖)。分為單式折線統計圖和復式折線統計圖兩種。
(3)扇形統計圖:特點是能清楚地看出各部分與總數的關系(如各品牌銷量占總量百分比統計圖)。
三、可能性
1.事件:分為確定事件(描述詞:一定、不可能)和不確定事件(描述詞:可能)。
2.可能會發生的事件:有的事件發生的可能性大,有的事件發生的可能性小。
四、平均數
1.平均數:一般指算術平均數。求幾個數的平均數就是用這幾個數的和除以這些數的個數。
平均數的適用范圍:應用廣泛,與每個數據都有關,另受極端數據影響。
統計圖比統計表更加形象具體,使人一目了然。
制作復式統計圖時一定要注明圖例。
平均數代表一組數的整體水平。

解決問題的策略
要解決的問題不同,用的策略就不同。
策略一:畫圖。
1.星期五菜譜。葷菜:肉丸子、蝦。素菜:白菜、豆腐和冬瓜。要求一份盒飯含有一個葷菜和一個素菜,一共有幾種配菜方法。比較常見的是用畫圖的方法來解決。通過畫圖比較形象、直觀地將幾種方法呈現出來。
2.在第一學段學習數的認識時,個、十、百、千等用方塊圖來呈現更容易接受,且比較形象直觀,記得深,記得牢。第二學段數的運算,利用陰影圖形的疊放次序將分數乘法的意義和計算法則的推導比較直觀地呈現出來。同樣的第二學段用折線圖來表現變化的量之間的關系將汽車行駛的速度與時間之間的關系形象的表示出來,簡單、易懂。
3.畫線段圖分析問題中的數量關系。
策略二:列表。
1.列表可以幫助我們整理信息,進行推理。
2.列表能幫助我們分析兩個量之間的關系,尋找規律。教材中列舉的兩個實例一個是根據提供的信息選擇笑笑和淘氣各喜歡什么項目的興趣小組,另一個是根據提供的妙想的體重變化情況來分析妙想10歲以前,體重是如何隨年齡增長而變化的。
策略三:猜想與嘗試。
雞兔同籠問題,有20個頭,54條腿,問雞兔各有多少只。以前我們經常用假設法來解題,重點是放在了具體的解上,現在我們的重點是放在了解決問題策略的學習上,體現了“猜想與嘗試”的解決問題的重要策略。可以用不同的方法來得到答案,同時在學生列舉、檢驗的過程中不斷調整,使對數的感覺估計的能力、判斷能力都得到了發展。第二個例子是通過長方體、正方體的體積等于底面積乘高,來類比猜想圓柱的體積的計算方法。
策略四:從特例開始尋找規律。
這種策略體現了數學中把復雜問題轉化為簡單問題的“退”的思路。在問題比較復雜時,我們可以退一步去考查它最簡單的情形,由最簡單問題解決的方法推廣至較復雜的問題的情形,最終總結出規律,使復雜的問題得以解決。教材選取的例子是10名同學參加乒乓球比賽,如果每2名同學之間都進行一場比賽,一共要比賽多少場?由參加較少的人數和比賽場次增加的規律可以明顯地看出它們之間的變化規律來,n個人參加比賽,將有1+2+……+n-1場比賽。
畫圖解決問題的優點:畫圖有助于我們對問題的直觀理解,可以幫助我們找到解決問題的思路。
統計與概率單元中大量的一手材料都可以用列表的方法進行整理和推理。
提出你的猜想并驗證實施,驗證起來就有了目標和方向。
比較具有代表性的,像計算握手次數、按規律填數等題目均可按這一策略來進行解決。

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