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第5章《走進圖形世界》考點歸納
知識梳理

重難點分類解析
考點1　認識常見幾何體
【考點解讀】了解常見幾何體(圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等)的基本特征，能對這些幾何體進行正確地識別和簡單的分類.
例1　用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為三角形，則這個幾何體可能為　　　　.(填序號)
方體;②圓柱;③圓錐;④正三棱柱.
分析:①正方體被截掉一個三棱錐時得到的截面是三角形;②圓柱的截面不可能是三角形;③圓錐沿著母線截得的截面是三角形;④正三棱柱截掉一個三棱錐時得到的截面是三角形. 答案:①③④
【規律·技法】本題考查幾何體截面的判斷，截面的形狀既與被截的幾何體有關，又與截面的角度和方向有關.
【反饋練習】
1.下列幾何體中，有四個面的是(　　) A.三棱錐　　　B.三棱柱　　　C.四棱錐　　D.四棱柱
考點2　圖形的變換
【考點解讀】在操作中積累數學活動的經驗，深刻領會所學的知識，提倡邊觀察邊思考，將思考與操作緊密地聯系在一起.
例2 一張菱形(四邊都相等的四邊形)紙片按如圖①、圖②依次對折后，再按如圖③打出一個圓形小孔，則展開鋪平后的圖案是 ( )

分析:嚴格按照圖中的順序先向右翻折，再向右上角翻折，打出一個圈形小孔，展開得到結論.答案:C
【規律·技法】通過圖形的平移、旋轉、翻折等活動，探索圖形之間的變換關系，能利用這些變換進行簡單的圖案設計.
【反饋練習】2.如圖，把一張正方形紙片三次對折后沿虛線剪開，則所得圖形大致是( )

考點3　圖形的展開與折疊
【考點解讀】本考點解題時要抓住以下兩點:①記住立體圖形的展開圖是一個平面圖形;②解答時需要展開想象或動手操作探索答案.
例3　將圖①的正四棱錐沿著其中的四條邊剪開后，形成的展開圖為圖②.下列各組邊中，可以為剪開的四條邊的是( )

A. B. C. D.
分析:根據平面圖形的折疊及正四棱錐的展開圖解答. 答案:A
【規律·技法】本題考查的是正四棱錐的展開圖，考法較新穎，需要對正四棱錐有充分的理解.
【反饋練習】
3.如圖是一個紙盒的外表面展開圖，下面能由它折疊而成的是( )

4.如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是( )
5.一個圓柱的底面圓直徑為6 cm，高為10 cm，這個圓柱的側面積是 cm2.(結果保留)
考點4　從不同方向看幾何體
【考點解讀】本考點解題時要抓住以下幾點:①掌握從正面看、從左面看、從上面看幾何體的方法;②會判斷從不同的方向看常見幾何體得到的圖形;③畫從不同的方向看幾何體得到的圖形時，看得見的棱要畫成實線，看不見的棱要畫成虛線.
例4　某商品的外包裝盒的三視圖如圖所示，則這個包裝盒的體積是(　　)
第6題圖
A. 200cm3 B. 500 cm3 C. 1000 cm3 D. 2000cm3
分析:根據圖示，可得商品的外包裝盒是底面圓直徑是10 cm，高是20 cm的圓柱，所以這個包裝盒的體
積是X(10÷2)2X20=X 25 X 20=500 (cm3 ). 答案:B
【規律·技法】首先根據三視圖確定物體的形狀，再從圖中明確解題所需數據，如:高、底面團半徑等.
【反饋練習】6.如圖是一個幾何體的三視圖.
(1)寫出這個幾何體的名稱;(2)畫出它的一種表面展開圖;
(3)若主視圖的長為10 cm，俯視圖中等邊三角形的邊長為4 cm，求這個幾何體的側面積.

點撥:三棱柱的側面展開圖是一個長方形，長是底面三角形的周長，寬是三棱柱的高.
易錯題辨析
易錯點1　圖形的變換與實際生活的聯系
例1　下列現象不屬于平移的是(　　)
A.滑雪運動員在白茫茫的平坦雪地上滑行 B.大樓電樣上上下下迎送客人
C.山倒映在湖中 D.火車在筆直的鐵軌上飛馳而過
錯誤解答:A或D錯因分析:缺乏對實際生活現象的理解，如“滑行”“飛馳”等. 正確解答:C
易錯辨析:解答此類題型時，首先要對平移等基本變換的概念有深刻的理解，其次要聯系實際生活，知道各種生活現象中所包含的基本圖形變換.
易錯點2　判斷圖形的變換方式
例2 圖中由①到②所進行的變換是( )
A.平移 B.旋轉C.翻折D.平移、旋轉或翻折
錯誤解答:A或B或C
錯因分析:誤以為圖形的變換方式唯一.正確解答:D
易錯辨析:首先要理解平移、旋轉、翻折的概念，其次要知道圖形的變換方式不唯一，不同的變換方式得到的結果可能相同.
易錯點3　平面圖形與立體圖形的轉換
例3 下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，沿虛線折疊，可以圍成一個封閉的長方體紙盒的是( )

錯誤解答:A或B或D
錯因分析:對表面展開圖到折疊后的立體圖形之間的轉換無想象能力，分不清底面和側面. 正確解答:C
易錯辨析:根據長方體的結構，通過立體圖形與平面圖形的轉換，逐項分析即可.選項A中可折成無蓋正方體紙盒，選項B,D無法折成長方體紙盒.解答此類問題時，還可以動手操作，尋求答案.
易錯點4　判斷正方體相對面的數字
例4 正方體的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6六個數字，如圖①~③是其三種不同的放置方式，則與數字6相對的面上的數字是( ) A. 1 B. 5 C. 4 D. 3
錯誤解答:C錯因分析:對數字相對或相鄰關系分析錯誤，沒有把三個圖結合在一起分析.正確解答:B
易錯辨析:有的同學不能綜合考慮問題條件，顧此失彼，導致不能正確應用推理確定幾何體的相對面上的數字.由于正方體的每個面都有四個都面和一個對面，所以通過圖示所給的三種不同的放置方式可知:與3相鄰的有2,4,5,6，則其對面為1;通過圖①②可知與4相鄰的有1,3,5,6，則其對面為2;那么與6相對的是5.
易錯點5　利用三視圖求物體表面積
例5 李強同學用棱長為1的小正方體在桌面上堆成如圖所示的圖形，然后把露出的表面都涂成紅色，則表面被他涂成紅色的面積為( ) A. 37 B. 33 C. 24 D. 42
錯誤解答:D


錯因分析:沒有考慮到底面無需涂色，把俯視圖面積多算了一次.
正確解答:B
易錯辨析:讀懂題意，看清題目要求，注意涂色的只是露在外面的面.
【反饋練習】
1.不透明袋子中裝有一個幾何體模型，兩名同學摸該模型并描述它的特征.甲同學:它有四個面是三角形;乙同學:它有六條棱.該模型的形狀可能是( ) A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱錐 D.四棱錐
2. 如圖是正方體的表面展開圖，則原正方體相對兩個面上的數字之和的最大值是 .


3.如圖，正方體的六個面上標著連續的整數，若相對的兩個面上數字的和相等，則這六個數字的和為 .
4. 一個幾何體，其主視圖和左視圖如圖①所示，其側面展開圖如圖②所示，根據圖中信息回答下列問題:(1)在虛線框中畫出該幾何體的俯視圖; (2)用含有的代數式表示該幾何體的體積.

5.如圖，正方形硬紙板的邊長為，其4個角上剪去的小正方形的邊長為 ,這樣可制作一個無蓋的長方體紙盒. (1)這個紙盒的容積為 ;
(2)畫出這個長方體紙盒的三視圖.(在圖中用含的式子標明視圖的長和寬)
探究與應用
探究1 正方體的堆放與三視圖
例1 如圖是由4個小正方體搭成的幾何體從上面看到的圖形，小正方形中的數字表示該位
置上小正方體的個數，則從正面看到的是( )

點撥:根據各列小正方體的個數及擺放，想象出從正面看到的形狀，即可得出答案.因為從正面看這個幾何體，左邊一列可看到2個小正方體，右邊一列可看到1個小正方體，所以從正面看到的圖形是.解答:D
規律·提示
從正面看，每行從左到右的小正方形個數即立體圖形中每層從左到右的小正方體的總列數，從正面看到的每列從上到下的小正方形個數即立體圖形中每列從上到下的小正方體的總層數.
【舉一反三】
1.一個物體由多個完全相同的小正方體組成，從不同方向看到的圖形如右上圖所示，那么組成這個物體的小正方體的個數是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
探究2 利用圖形的變換來設計圖案
例2 如圖是一個4X4的正方形網格，每個小正方形的邊長為1.請你在網格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、對稱或旋轉變換，設計一個精美圖案，使其滿足:
①過點的豎直直線兩旁的圖形完全相同;
②所畫圖案用陰影標識，且陰影部分面積為4.

點撥:根據軸對稱圖形的性質以及陰影部分面積的求法設計圖案，本題答案不唯一只要滿足題目要求的兩個條件即可.解答:如圖所示:(答案不唯一)
【舉一反三】
2.國慶節前，市園林部門準備在文化廣場特設直徑長度均為4m的八個圓形花壇，在花壇內
放置面積相同的兩種顏色的盆栽花草，要求各個花壇內兩種花草的擺設不能相同，如下圖
中的①和②，請你至少再設計出四種方案.

探究3　正方體的展開與折疊
例3 如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是( )
點撥:由表面展開圖可知，“●”所在的正方形和“○”所在的正方形是相對的兩個面，因此選項A,B都不正確.“◣”所在的正方形和“◢”所在的正方形是相鄰的兩個面(注意“◣”與“◢”的位置)，且“●”所在的正方形應和“◢”所在的正方形是相鄰的兩個面，因此選項C不正確. 解答:D
規律·提示
解答這類題目，一要動手操作，仔細觀察;二要善于想象，把平面圖形按想象的樣子折一折;三要總結規律，從而提高自身的識圖能力.
【舉一反三】
3.如圖，小麗制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，則這個正方體禮品盒的展開圖可
能是( )

探究4　立體圖形中最短距離問題
例4 如圖①，一只蟲子從圓柱上點A處，繞圓柱一圈爬到點B處，請畫出它爬行的最短路線.
點撥:解決立體圖形中兩點間的最短距離問題，通常將立體圖形展開成平面圖形，轉化為平面上兩點間的距離問題.
解答:如圖②，將圓柱的側面沿著線段剪開得到一個長方形，點與點是圓柱側面上同一個點，連接，線段即為蟲子爬行的最短路線.
規律·提示
有關幾何體的最短距離問題可以通過它的表面展開圖來解決，這是解決有關幾何體最短距離問題的一種常用方法.
【舉一反三】
4.如圖，一只蟲子從圓錐底面點處沿著側面爬行一圈到點處，請畫出它爬行的最短路線.
參考答案
知識梳理
面 棱柱 正方體 平移 左 上
重難點分類解析
【反饋練習】
1.A 2.C 3.B 4.C
5.
6.(1)這個幾何體的名稱是三棱柱;
(2)如圖所示;

(3)這個幾何體的側面積為120cm2.
易錯題辨析
【反饋練習】
1.C 2. 1 3. 39
4.(1)如圖所示

(2)該幾何體的體積為.
5.(1) ;
(2)

探究與應用
【舉一反三】
1.C
2.利用平移、旋轉、翻折來設計圖案即可，如圖所示，答案不唯一.

3.A
4.如圖，把圓錐側面展開，連接AO，則線段AO即為蟲子爬行的最短路線.









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