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分段函數問題的解答方法
所謂分段函數是指函數的定義域分為幾段，且每一段的解析式又不一樣的函數。歸結起來分段函數問題主要包括：①分段函數解析式的求法；②分段函數值的求法；③分段函數值域與最值的求法；④分段函數單調性的判斷（或證明）；⑤分段函數奇偶性的判斷（或證明）。那么在實際解答數學問題中，如何解答與分段函數相關的問題呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、某汽車以52千米/小時的速度從A地到260千米遠處的B地，在B地停留1 小時后，再以65千米/小時的速度返回A地，試將汽車離開A地后行走的路程S表示成時間t的函數；
2、已知f(x)=2x-1， g(x)= ，（x≥0），
-1 ， (x＜0)。
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕；
3、已知f(x)= ln(x+1)，（x＞-1）， g(x)=-x+2。
，（x-1），
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕。
〖解析〗
1、【知識點】①行駛問題的結構特征；②行駛問題中涉及的基本量及其關系；③解答行駛問題的基本思路與方法；
【解題思路】問題是行駛問題，行駛問題的基本量包括行駛速度，行駛時間和行駛路程，這三個基本量的關系為，行駛路程=行駛速度行駛時間；根據題意，問題中包含三個行駛過程：①從A地出發到達B地，S=52t；②在B地停留,S=260；③從B地返回A地,S=65(t-)；
【詳細解答】問題中包含三個行駛過程： 52t， 0①從A地出發到達B地，S=52t；②在B地 S= 260， 5停留,S=260；③從B地返回A地,S=65(t-6)； 65（t-）, 2、【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③分段函數，復合函數求值的基本方法；
【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)又是一個分段函數，從而得到f〔g(x)〕也是一個分段函數，且自變量的分段與g(x)的分段一致，從而得到函數f〔g(x)〕的解析式；
g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由g(x)是分段函數，需先確定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范圍，從而得到函數 g〔f(x)〕的解析式；
【詳細解答】 f(x)=2x-1， f〔g(x)〕= 2-1，（x≥0），g〔f(x)〕= ，x≥，
g(x)= ，（x≥0）， -3， (x＜0)， -1， x＜；
-1 ， (x＜0），
2、【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③分段函數，復合函數求值的基本方法；
【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)的函數值需滿足-x+2＞-1或-x+2-1，從而得到f〔g(x)〕是一個分段函數，且自變量的分段為x＜3或x≥3，從而得到函數 f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由f(x)是分段函數，得到g〔f(x)〕也是一個分段函數，自變量的分段與f(x)的分段一致，從而得到函數 g〔f(x)〕的解析式；
【詳細解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕= ln(-x+3)，（x＜3），
-ln(x+1)+2，（x＞-1）， ，（x-1）， ，（x≥3）；
g〔f(x)〕=- +2，（x-1）；
『思考問題1』
（1）【典例1】的特點是：①已知兩個函數的解析式，其中一個函數是 函數；② 求復合函數的解析式，涉及到自變量確定 的問題；
（2）【典例1】是求復合函數f(g(x))的解析式的問題，解答的基本思路是 代入，由分段函數各段的定義域確定非分段函數中自變量x的取值范圍，再求復合函數的解析式。
〔練習1〕解答下列問題：
1、函數f(x)=〔x〕的函數值表示不超過x的最大整數，例如〔-3.5〕=-4，,〔2.1〕=2，當x∈（-2.5,3〕時，寫出函數f(x)的解析式，并畫出函數的圖像；
2、已知f(x)=3x-6， +x（x≥0）
g(x)=
1 (x＜0)
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕；
3、已知f(x)= 2x-1，g(x)= -3x+2，求f〔g(x)〕。
【典例2】解答下列問題：
1、設函數f(x)= +1，x1，則f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
2、已知函數f(x)= f(x+1) ，x＜4， 3、已知函數f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，
求f(2+3)的值； ，x≥4， 則x= ； -2x，x＜0，
4、已知實數a0，函數f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數a的值為 ；
-x-2a，x≥1，
5、設函數f(x)= 3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))= ，的a的取值范圍是（ ）（2015全國高考山東卷） ，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
6、已知函數f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，設（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的較大值，min{ p，q}表示p，q中的較小值，記（x）的最小值為A，（x）的最大值為B，則A-B=（ ）（2013全國高考遼寧卷）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
7、某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時期段進行分別計價，該地區的電網銷售電價表如下：若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦
高峰時間段用電價格表 低谷時間段用電價格表
高峰月用電量 高峰電價 低谷月用電量 低谷電價
（單位：千瓦時） （單位：元/千瓦時） （單位：千瓦時） （單位：元/千瓦時）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超過50至200的部分 0.598 超過50至200的部分 0.318
超過200的部分 0.668 超過200的部分 0.388
時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為 元（用數字作答）
〖解析〗
1、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數值的定義與求法；
【解題思路】根據自變量3，確定求值的解析式，并求出f(3)的函數值，把求出的結果作為自變量，確定求值的解析式，運用函數值的求法得出結果；
【詳細解答】3>1， f(3)= ， x1， f()=+1=， f(f(3))= ，
D正確，選D。
2、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數值的定義與求法；③對數的定義與性質；
【解題思路】根據對數的性質可知，3<2+3<4，確定求值的解析式，并求出f(2+3)的函數值，把求出的結果作為自變量，由4<3+3<5，確定求值的解析式，運用函數值的求法得出結果；
【詳細解答】3<,2+3<4， f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，4<3+3<5， f(3+3)= = = = ， f(2+3)=f(3+3)= 。
3、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數值的定義與求法；
【解題思路】這里是已知f(x)的值，求自變量的問題，現在是自變量未知，需要從x<0和x≥0兩種情況分別考慮：①當x<0時，由-2x=10，得到x=-5；②當x≥0時，由+1=10，得到x=3；
【詳細解答】①當x<0時， f(x)= -2x=10， x=-5；②當x≥0時， f(x)= +1=10，
x=3；當f(x)=10時，x=-5或x=3。
4、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數值的定義與求法；③參數分類討論的原則與方法；
【解題思路】根據a0，可從a>0和a<0兩種情況考慮：①當a>0時，由自變量1-a和1+a確定各自求值的解析式，從而得到關于參數a的方程，解這個方程就可得到a的值；②當a<0時，由自變量1-a和1+a確定各自求值的解析式，從而得到關于參數a的方程，解這個方程就可得到a的值；
【詳細解答】①當a>0時，1-a<1，1+a>1， f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1，
f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此時無解；②當a<0時，1-a>1，1+a<1， f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=- <0，當a0，f(1-a)=f(1+a)時，a=- 。
5、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數值的定義與求法；③指數函數的定義與性質；④參數分類討論的原則與方法；
【解題思路】根據問題條件，可從a≥1和a<1兩種情況考慮：①當a≥1時，由f(a)= >1，得到f(f(a))= =；②當a<1時，由f(a)=3a-1可知，若3a-1≥1，即a≥時，f(f(a))= =，若3a-1<1，即a<時，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；從而可以得到當f(f(a))= 時，實數a的取值范圍；
【詳細解答】①當a≥1時，f(a)= >1，f(f(a))= =；②當a<1時，f(a)=3a-1，若3a-1≥1，即a≥時，f(f(a))= =，若3a-1<1，即a<時，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；當f(f(a))= 時，實數a的取值范圍是[，+）。
6、【知識點】①函數解析式的定義與求法；②分段函數的定義與性質；③分段函數值的求法；
【解題思路】設該家庭高峰時間段的用電量為千瓦時，應付電費為，低谷時間段的用電量為千瓦時，應付電費為，該家庭本月應付的電費為y元，由題意可得：
0.568， 0＜50， 0.288， 0＜50，
= 28.40+0.598（-50），50＜250， = 14.40+0.318（-50），50＜250，
148.00+0.668（-250），＞250， 78.00+0.3888（-250），＞250，
從而可以求出該家庭本月應付的電費；
【詳細解答】設該家庭高峰時間段的用電量為千瓦時，應付電費為，低谷時間段的用電量為千瓦時，應付電費為，該家庭本月應付的電費為y元，由題意可得：
0.568， 0＜50， 0.288， 0＜50，
= 28.40+0.598（-50），50＜250， = 14.40+0.318（-50），50＜250，
148.00+0.668（-250），＞250， 78.00+0.3888（-250），＞250，
y=+=28.40+0.598150+14.40+0.31850=148.40（元）；
『思考問題2』
（1）【典例2】是分段函數的求值問題，解答這類問題需要理解分段函數的定義，注意分段函數的結構特征，掌握分段函數求值的基本方法；
（2）分段函數求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎上選定函數求值時符合的解析式；②把自變量代入選定的解析式，并通過運算求出結果。
〔練習2〕解答下列各題：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（ ）（2016唐山期末）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
2、根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間（單位：分鐘）為f(x)= ，x＜A，
（A，c為常數），已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品 ，x≥A，用時15分鐘，那么c和A的值分別是（ ）
A 71,25 ，x＜1， B 75,16 C 60,25 D 60，16
3、設函數f(x)= ，x≥1，則使得f(x) 2成立的x的取值范圍是 ；

4、《中華人民共和國個人所得稅》規定，公民全月工資、薪金所得不超過2000的部分不必納稅，超過2000元的部分為全月應納稅所得額。此項稅款按下表分段累計計算：
全月應納稅所得額 稅率（℅）
不超過500元部分 5
超過500元至2000元部分 10
超過2000元至5000部分 15
某人一月份應交納此項稅款為26.78元，那么他當月的工資、薪金所得是多少？
【典例3】解答下列問題；
1、已知函數f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，設（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的較大值，min{ p，q}表示p，q中的較小值，記（x）的最小值為A，（x）的最大值為B，則A-B=（ ）（2013全國高考遼寧卷）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
2、用min｛a,b,c｝表示a、b、c 三個數中的最小值，設f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，則f(x)的最大值為 (2013黑龍江重點中學質檢)
1、【知識點】①函數圖像的定義與作法；②分段函數的定義與性質；③分段函數最值的求法；
④一元二次函數的定義與性質；⑤函數最值的定義與求法；⑥數形結合的數學思想與方法；
【解題思路】在同一直角坐標系中作出函數f(x) y
與g(x)的圖像如圖所示：由函數f(x)圖像的頂點
坐標為（a+2，-4a-4），函數g(x)圖像的頂點坐標 f(x)
為（a-2，-4a+12），且每個函數圖像的頂點都在另 g(x)
一個函數的圖像上，由A，B分別是二次函數f(x)， O x
g(x)的頂點的縱坐標，從而可求出 A-B的值；
【詳細解答】在同一直角坐標系中作出函數f(x)與
g(x)的圖像如圖所示：函數f(x)圖像的頂點坐標為（a+2，-4a-4），g(x)圖像的頂點坐標為（a-2，-4a+12），且每個函數圖像的頂點都在另一個函數的圖像上，由題意可知A，B分別是二次函數f(x)，g(x)的頂點的縱坐標， A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正確，選B。
2、【知識點】①一次函數的定義與性質；②指數函數的定義，圖像與性質；③分段函數的定義與性質；④分段函數最值的求法； y
【解題思路】在同一直角坐標系中作出函數g(x)= ，
h（x）=x+2，u(x)=10-x的圖像如圖所示，由圖可得：
，0x2，根據0x2，f(x)單增，
f(x)= x+2，2＜x4，0x2時，=f（2） 0 x
10-x，x＞4，==4；2＜x4，f(x)單增，2＜x4時，=f（4）=4+2=6；x＞4，f(x)單減， x＞4時，＜f（4）=10-4=6，當x≥0時，=f（4）=4+2=6；
【詳細解答】在同一直角坐標系中作出函數g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的圖像如圖所示，由圖可得：，0x2，當0x2，f(x)單增，0x2時，=f
f(x)= x+2，2＜x4，（2）==4；當2＜x4，f(x)單增，2＜x4時，=f 10-x，x＞4，（4） =4+2=6；當x＞4，f(x)單減， x＞4時，＜
f（4）=10-4=6，當x≥0時，=f（4）=4+2=6。
『思考問題3』
（1）【典例3】是分段函數的值域與最值問題，解答時需注意分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大值，最小值是各段最小值中的最小值；
（2）解答分段函數的值域與最值問題，還要注意數形結合的數學思想和方法的靈活運用，
通過函數的圖像尋找解答問題的突破口，從而達到解決問題的目的。
〔練習3〕解答下列各題：
1、對于每個實數x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三個函數中的最小值，求函數f(x)的最大值； ，x＜1，
2、設函數f(x)= ，x≥1，則使得f(x) 2成立的x的取值范圍是 。
【典例4】解答下列問題：
1、函數f(x)=|x|(1-x)在區間A上是增函數，那么區間A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
2、函數f(x)=- +2|x|+3的單調遞增區間為 ；
3、判斷函數f(x)= +的單調性；
2-1 (x≥0)
4、判斷函數f(x)= 的單調性。
-3x (x＜0)
〖解析〗
1、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③函數單調性判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】根據絕對值的意義把函數化為分段函數，對每一段的函數運用判斷單調性的基本方法判斷其單調性，從而得出結果；
【詳細解答】 f(x)= - +x，x≥0，作出函數f(x)的 y
-x，x<0，圖像如圖所示，由
圖知，函數f(x)在［0，］上單調遞增，B正確， 0 1 x
選B。
2、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③函數單調性判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】根據絕對值的意義把函數化為分段函數，對每一段的函數運用判斷單調性的基本方法判斷其單調性，從而得出結果；
【詳細解答】 f(x)= -+2x+3，x≥0，作出函數f(x)的 y
--2x+3，x<0，圖像如圖所示，
由圖知函數f(x)的單調遞增區間為（-∞，-1），(0，1)， -1 0 1 x
函數f(x)的單調遞增區間是（-∞，-1），(0，1)。
3、【知識點】①二次根式的定義與性質；②分段函數的定義與性質；③函數單調性的定義與性質；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】根據二次根式的定義與性質把函數化為分段函數，對每一段的函數運用判斷單調性的基本方法判斷其單調性，從而得出結果；
【詳細解答】 f(x)= + ①當x≥3時, f(x)=2x，顯然是單調
=|x-3|+|x+3|= 2x，x≥3, 遞增函數；②當-3x<3時，f(x)=6是常值函數，不具有單調性；
6, -3x<3，③當x<-3時，f(x)=-2x，顯然是單調遞減函數；函數f(x)在
-2x，x<-3，〔3，+∞）上單調遞增，在（-∞，-3）上單調遞減。
4、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③函數單調性的判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】根據分段函數的定義與性質，先判斷函數在各段上的單調性，再綜合得出結果；
【詳細解答】①當x≥0時， f(x)= 2-1，作出函數 y
f(x)的圖像如圖所示，由圖知，函數f(x)在〔0，+∞）上
單調遞增；②當x<0時， f(x)= -3x，顯然函數f(x)在
（-∞，0）上單調遞減，函數f(x)在〔0，+∞）上 0 x
單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，
『思考問題4』
（1）【典例4】是分段函數單調性的判斷（或證明）問題，解答時注意分段函數在各段上的解析式不一樣的特征；
（2）分段函數單調性判斷（或證明）的基本方法是：①判斷（或證明）函數在各段上的
性；②綜合得出結果。
〔練習4〕解答下列問題： ， x≥0，
1、判斷分段函數 f(x)= -x+1 ， x＜0 的單調性；
2、判斷函數f(x)= 的單調性。
【典例5】:解答下列問題：
1、判斷下列函數的奇偶性： x+2 ，(x＜-1），
（1）f(x)=+x ，(x＜0) ； （2）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
2、函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，當x∈(0,1〕時，f(x)= (2-x) (a＞0)。
（1）當x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值為，解關于x的不等式f(x)＞。
〖解析〗
1、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數奇偶性的定義與性質；③函數奇偶性判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】根據分段函數的特征，判斷函數在各段上f(-x)與f(x)的關系，結合奇偶性判斷（或證明）的基本方法綜合得出結果；
【詳細解答】（1）從函數的解析式可知，函數的定義域顯然關于原點對稱，①當x＞0時， -x＜0， f(-x)= -x=-x=-（-+x）=- f(x)；②當x<0時， -x>0， f(-x)= --x=--x=-（+x）=- f(x)；函數f(x)是奇函數。
（2）從函數的解析式可知，函數的定義域顯然關于原點對稱，①當x＞1時， -x＜-1， f(-x)=-x+2= f(x)；②當x<-1時， -x>1， f(-x)=-（-x）+2=x+2= f(x)；③當-1≤x≤1時， -1≤-x≤1，， f(-x)= f(x)顯然成立；函數f(x)是偶函數。
2、【知識點】①分段函數的定義與性質；②函數奇偶性的定義與性質；③函數周期性的定義與性質；④對數函數的定義與性質；
【解題思路】（1）根據函數是R上的偶函數和 f(x)在(0,1〕上的解析式，求出函數f(x)在,[-1，0）上的解析式，由f(x+2)=f(x)在R上恒成立可知，函數f(x)是以2為周期的正確函數，從而得到當x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；（2）運用正確函數的性質，只需考慮函數f(x)在[-1，1]的情況，就可解答問題；
【詳細解答】（1）設x∈[-1，0），則-x∈(0,1〕，函數f(x)是R上的偶函數， f(x)= f(-x)= (2+x)， f(x)= (2-x)，x∈(0,1〕，對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，
（2+x）， x∈[-1，0），函數f(x)是以2為周期的正確函數，設
x∈〔2k-1,2k），則x-2k∈〔-1,0），函數f(x)是以2為周期的正確函數， f(x)= f(x-2k)
=(2+x-2k)= (x+2-2k)，設x∈（2k,2k+1]，則x-2k∈（0,1]，函數f(x)是以2為周期的正確函數， f(x)= f(x-2k)=(2-x+2k)= (-x+2+2k)，當x∈〔2k-1,2k+1〕時，f(x)= (x+2-2k)，x∈〔2k-1,2k），
(-x+2+2k)，x∈（2k,2k+1]。 y
（2）作出函數f(x)= (2-x)，x∈(0,1〕，如圖所示，
（2+x）， x∈[-1，0）， -1 0 1 x
由圖知函數f(x)在[-1，0）上單調遞增，在(0,1〕上單調遞減，= f(0)= 2
=，a=4，f(x)＞（2-x）>，x∈(0,1〕， 2-x>，2->x>0,
（2+x）>，x∈[-1，0），2+x>，-2-2『思考問題5』
（1）【典例5】是判斷（或證明）分段函數奇偶性的問題，解答這類問題需要注意分段函數的特征；
（4）分段函數判斷（或證明）奇偶性的基本方法是：①驗證函數的定義域是否敢于原點對稱；②分段驗證f(-x)與f(x)的關系；③綜合得出結果。
〔練習5〕解答下列問題： x+1， (x＞0)
1、判斷函數 f(x)= 1 ， (x=0) ，的奇偶性
-x+1 ，(x＜0），
2、已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)= -x，0x1，若對任意的xR，不等式f(x) ＞f(x-a)恒成立，則實數a的取值范圍是 -1,1＜x＜2 （2018—2019成都市高一上期調研考試） x-3，x≥2

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