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抽象函數問題的解答方法
所謂抽象函數是指沒有確定的解析式，但已知在R上滿足的一個恒等式的函數；這種函數具有兩個特征：①函數沒有確定的解析式；②函數在R上滿足一個恒等式。在實際的數學問題中，歸結起來抽象函數問題主要包括：①抽象函數解析式的求法；②抽象函數函數值的求法；③抽象函數單調性的判斷（或證明）方法；④抽象函數奇偶性的判斷（或證明）方法。那么在數學問題的解答過程中，到底如何解答抽象函數問題呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列各題：
1、已知f(0)=1，對任意的實數x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求函數f(x)的解析式（2013山西高三診斷）
2、已知函數y=f(x)對任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=3f（xy）-2x(x-y+1),且f(1)=2，求函數f(x)的解析式；
3、定義在R上的函數y=f(x)，對任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a)-b(a-2b-2)，且f(0)=-1,求函數f(x)的解析式。
〖解析〗
1、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②解析式的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數解析式的求法；
【解題思路】根據問題條件可知是求抽象函數的解析式的問題，運用抽象函數求值的基本方法—賦值法，這里已知f(0)的值，針對恒等式x，y中需賦一個0，另一個賦x，結合恒等式只能賦x=0,y=-x， f(0+x)=f(0)+x(0+x+1)，從而得到函數f(x)的解析式；
【詳細解答】對任意的實數x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令x=0，y=-x可得f(0+x)=
f(0)+x(0+x+1)， f(x)= +x+1；
2、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②解析式的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數解析式的求法；
【解題思路】根據問題條件可知是求抽象函數的解析式的問題，運用抽象函數求值的基本方法—賦值法，這里已知f(1)的值，針對恒等式x，y中需賦一個1，另一個賦x，結合恒等式可賦x=x,y=1， f(x)+f(1)=3f(x)-2x(x-1+1)，從而得到函數f(x)的解析式；
【詳細解答】對任意的實數x，y都有f(x)+f(y)=3f(xy)-2x(x-y+1)，令x=x，y=-1可得f(x)+f(1)=3f(x)-2x(x-1+1)， f(x)= +1；
3、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②解析式的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數解析式的求法；
【解題思路】根據問題條件可知是求抽象函數的解析式的問題，運用抽象函數求值的基本方法—賦值法，這里已知f(0)的值，針對恒等式a，b中需賦一個0，另一個賦x，結合恒等式只能賦a=0,b=x， f(0+x)=f(0)-x(0-2x-2)，從而得到函數f(x)的解析式；
【詳細解答】對任意的實數a，b都有f(a+b)=f(a)-b(a-2b-2)，令a=0，b =x可得f(0+x)=
f(0)-x(0-2x-2)， f(x)= 2+2x-1；
『思考問題1』
（1）【典例1】的共同特點是：①函數的 為R；②已知函數f(x) 在R上滿足的一個 等式；
（2）【典例1】是已知 在R上滿足的一個恒等式，求f(x)的解析式的問題，解答這種問題的基本方法是 法。
〔練習1〕解答下列問題：
1、定義在R上的函數f(x)滿足：f(xy)=2f(x)+f(y)-x(x-2y+3)（x、y∈R），且f(1)=1，求函數f(x)的解析式；
2、定義在R上的函數f(x)滿足：對任意的x，y∈R，都有f(xy)=2f(x)+f(y)-x(x-y-2),且f(1)=-1, 求函數f(x)的解析式；
3、設f(x)是R上的函數，且滿足f(0)=1，對任意實數x，y都有f(x+y)=f(x)-y(2x+y-1),則f(x)的解析式為 。
【典例2】解答下列問題：
1、定義在R上的函數f(x)滿足：f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x、y∈R），且f(1)=2，求f(-2).
2、已知函數y=f(x)對任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且f(1)=- ，求f(3)和f(-3)的值。
『解析』
1、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②抽象函數求值的基本方法；③賦值法的基本方法；
【解題思路】由問題條件已知f(1)=2，可運用恒等式求出f(2)的值，根據2+（-2）=0，從而想到求出f(0)的值，有了f(0)的值，就可以求出f(-2)的值；
【詳細解答】1+（-1）=0，令x=y=0，f(0+0)=f(0)+f(0)+0， f(0)=0，令x=1，y=-1，f(1-1)=f(1)+f(-1)+21（-1）， f(-1)=0，令 x=y=-1，f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+ 2（-1）（-1）， f(-2)=2；
2、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②抽象函數求值的基本方法；③賦值法的基本方法；
【解題思路】由問題條件已知f(1)=- ，可運用恒等式求出f(2)的值，再運用恒等式可求出f(3)的值，根據3+（-3）=0，從而想到要求f(-3)的值，需要先求出f(0)的值，有了f(0)的值，就可以求出f(-3)的值；
【詳細解答】1+1=2，令x=y=1，f(1)+f(1)=f(1+1)， f(2)=- ，令x=1，y=2，f(1)+f(2)+=f(1+2)， f(3)=- -=-2，0+0=0，令 x=y=0，f(0)+f(0)=f(0+0)， f(0)=0，；令x=3，y=-3，f(3)+f(-3)=f(3-3)= f(0)=0，， f(-3)=- f(3)=2；
『思考問題2』
（1）【典例2】是抽象函數的求值問題，解答這類問題需要理解抽象函數的定義，注意抽象函數的結構特征，掌握抽象函數求值的基本方法；
（2）抽象函數求值的基本方法是 法，具體步驟為：①確定求所求函數值需要求出哪些自變量的函數值；②確定求各個自變量函數值時需要賦的值；③求出所求自變量的函數值。
〔練習2〕解答下列各題：
1、定義在R上的函數f(x)滿足：f(xy)=f(x)+f(y)（x、y∈R），且f(2)=1，求f(-4)；
2、定義在R上的函數f(x)滿足：對任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,求f(-3)的值。
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數y=f(x)對任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- （2012云南大理二模）
（1）判斷并證明函數f(x)在R上的單調性；
（2）求f(x)在區間〔-3，3〕上的最大值和最小值。
2、定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0,當x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）證明：f(0)=1；
（2）證明：對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）證明：函數f(x)是R上的增函數；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范圍。
〖解析〗
1、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】（1）根據問題條件可知，判斷（或證明）函數的單調性，只能用定義法，這里比較f()， f()的大小可借助于恒等式運用賦值法進行，怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題中當x＞0時，f(x)＜0的條件，現在已經有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦，代入恒等式就可以得到結論；（2）根據（1）的結論，可得f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，從而得到= f(-3)，
= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出結果；
【詳細解答】（1）設，∈R ，且>，->0，當x＞0時，f(x)＜0， f(-)<0，
令x=-，y=，函數y=f(x)對任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+
f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函數f(x)在R上單調遞減；（2）由（1）可知函數f(x)在R上單調遞減，函數f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，
= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)，
f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 當x∈〔-3，3〕時，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
1、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法；⑤不等式的解法；
【解題思路】（1）根據問題條件可知，f(0)≠0,令a=b=0，得到f(0+0)=f(0).f(0)，從而可以得到f(0)=1證明結論成立；（2）由（1）可得f(0)=1>0，問題條件已知當x＞0時，f(x)＞1>0，現在只需證明當x<0時，f(x)＞0就可得到結論，設x<0，則-x>0，令a=x,b=-x,依據對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),可以證明f(x)>0；（3）根據問題條件可知，判斷（或證明）函數的單調性，只能用定義法，這里比較f()， f()的大小可借助于恒等式運用賦值法進行，怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題中當x＞0時，f(x)>1的條件，現在已經有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦，代入恒等式就可以得到結論；（4）根據（3）的結論，可得f(x)在R上單調遞增，根據f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0)
.f(3x-)> f(0) 3x->0，解這個不等式即可得到結果；
【詳細解答】（1）令a=b=0，對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)， f(0+0)=f(0).f(0)， f(0)（f(0)-1）=0， f(0)≠0, f(0)-1=0， f(0),=1；（2）設x<0，則-x>0，令a=x,b=-x, 對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x), f(x)= >0， f(0)=1>0，當x＞0時，f(x)＞1>0，對任意的 x∈R，恒有f(x)＞0；（3）設，∈R ，且>，->0，當x＞0時，f(x)>1， f(-)>1，令a=-，b=，函數y=f(x)對任意的a、b∈R, 均有f(a+b)=f(a).f(b), f(-+)=f().f(-)， f()=f().f(-)，
= f(-)>1，函數f(x)是R上的增函數；（4）根據（3）的結論，可得f(x)在R上單調遞增，f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，0『思考問題3』
（1）【典例3】中的函數的共同特點是：①函數沒有 的解析式；②已知函數在R上滿足的一個 等式；具有這種特點的函數稱為 函數；
（2）抽象函數單調性的判斷（或證明）的方法仍然是 法；其基本方法是：①在R上任取，，且 ；②通過賦值法比較函數值f()，f()的大小；③ 得出結果；
（3）在抽象函數單調性的判斷（或證明）中，比較函數值f()，f()的大小是采用的
法，具體賦什么值應該從已知 來 考慮。
〔練習3〕解答下列問題：
1、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
2、設函數f(x)是定義在R上的函數，且對任意的實數m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，當x＜0時，f(x)＞1.
①證明：f(0)=1；
②證明：當x＞0時，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的減函數。
3、已知函數f(x)是定義在R上的函數，對任意的實數x、y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當x＞0時，f(x)＞0.
證明：函數f(x)是R上的增函數。
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)對任意的x，y∈R都成立，且f(0) ≠0,則函數f(x)是 函數（填“奇”或“偶”）；
2、已知函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求證：函數f(x)是奇函數；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12)。
〖解析〗
1、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②函數奇偶性的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數奇偶性的判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】（1）根據問題條件可知，函數的定義域為R關于原點對稱，判斷（或證明）函數的奇偶性，只需驗證f(-x)與 f(x)的關系，這里怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題的條件f(0) ≠0, f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），令x=0，y=x，可以得到f(0+x)+f(0-x)=2f(0).f(x)，只要求出f(0)的值問題就可解決，令x=y=0，得到f(0+0)+f(0-0)=2f(0).f(0)，由f(0) ≠0,得出f(0) =1；
【詳細解答】函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），令x=y=0，f(0+0)+f(0-0)=2f(0).f(0)，2f(0)（f(0)-1）=0， f(0) ≠0, f(0)-1=0， f(0) =1，令令x=0，y=x， f(0+x)+f(0-x)=2f(0).f(x)， f(x)+f(-x)=2f(x)， f(-x)= f(x)，
函數f(x)是偶函數。
2、【知識點】①抽象函數的定義與性質；②函數奇偶性的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數奇偶性的判斷（或證明）的基本方法；
【解題思路】（1）根據問題條件可知，函數的定義域為R關于原點對稱，判斷（或證明）函數的奇偶性，只需驗證f(-x)與 f(x)的關系，這里怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題的條件函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),從而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是問題得到解決；（2）由（1）知函數f(x)是奇函數，從而得到f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【詳細解答】（1）函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函數f(x)是奇函數；（2）由（1）知函數f(x)是奇函數，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
『思考問題4』
（1）【典例4】中的函數的共同特點是：①函數沒有 的解析式；②已知函數在R上滿足的一個 等式；具有這種特點的函數稱為 函數；
（2）抽象函數奇偶性的判斷（或證明）的方法是 法；其基本方法是：①確定函數的定義域是否關于原點對稱；②通過賦值法驗證f(-x)與f(x)的關系；③ 得出結果；
（3）在抽象函數奇偶性的判斷（或證明）中，驗證f(-x)與f(x)的關系是采用的 法，具體賦什么值應該從已知 來 考慮。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，試證明函數f(x)是偶函數；
2、已知函數f(x)是等腰在R上的不恒為0的函數，且對任意的a，b∈R，都有f(a.b)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判斷函數f(x)的奇偶性，并證明你的結論。

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