資源簡介

人教版八年級數學（上冊）通關寶典
第十一章 三角形

一、與三角形有關的線段
1、三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
2、三角形的分類

3、三角形的三邊關系
三角形任意兩邊的和大于第三邊,任意兩邊的差小于第三邊。
4、三角形中的高、中線與角平分線
高 從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
中線 在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
角平分線 三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
線段 線段的位置 交點名稱
中線 三條中線交于三角形的內部 重心
角平分線 三條角平分線交于三角形的內部 內心
高 銳角三角形，三條高線交于三角形的內部 直角三角形，其中兩條恰好是直角邊 鈍角三角形，其中兩條在三角形的外部 垂心
注意： 三角形的中線、高線、角平分線都是線段，而不是直線。
5、三角形的穩定性
三角形的形狀是固定的，三角形具有穩定性，而四邊形容易變形，即四邊形具有不穩定性。
二、與三角形有關的角
1、三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。
2、三角形的外角
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如圖，∠ACD是△ABC的一個外角。
（2）定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
作用：
① 判斷三條已知線段能否組成三角形。
② 當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。
③ 證明線段不等關系。
三、多邊形的內角和
1. 多邊形的有關概念
（1）　 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. 如果一個多邊形由n條線段組成，這個多邊形叫做n多邊形。
注意：
　　①一些線段（多邊形的邊數是大于等于3的正整數）；
　　②首尾順次相連，二者缺一不可;
　　③理解時要特別注意“在同一平面內”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間多邊形。
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
多邊形對角線的條數：①.從邊形的一個頂點出發可以引條對角線，把n邊形分成三角形. ②.邊形共有條對角線.
內角: 多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。
外角：由多邊形的一條邊和它的相鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
（2）正多邊形
在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形。
注意：
各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形。
2. 多邊形的內角和與外角和
（1）多邊形的內角和公式
n邊形的內角和為
注意：
內角和與邊數成正比。邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少. 每增加一條邊，內角的和就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內角和必須是180°的整數倍。
（2）多邊形的外角和
n邊形的n個外角的和為360°
注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關。
正n邊形的每個內角等于，每個外角等于。
四、鑲嵌
1. 平面鑲嵌
用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面.也稱為鑲嵌。也叫平面密鋪。
2. 用一種正多邊形進行鑲嵌
用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形等。每個內角的度數能夠整除360°的正多邊形都能進行鑲嵌。
特別提醒：在進行平面鑲嵌時，要保證鑲嵌必須滿足兩個條件：
（1）拼接在同一頂點處的每個角的和恰好等于360°；
（2）相鄰的多邊形有公共邊。

第十二章 全等三角形
一、 全等三角形
1. 全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
全等變換包括以下三種：
（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。
（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。
（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換。
2. 全等三角形
定義 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形
對應元素 把兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊點叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
表示方法 全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。△ABC與△DEF全等，記作：△ABC≌△DEF，讀作三角形ABC全等于三角形DEF
性質 （1）全等三角形的對應邊相等（2）全等三角形的對應角相等.
二、全等三角形的判定方法
名稱 圖形 內容 適用范圍
邊邊邊 （SSS） 三邊對應相等的兩個三角形全等 所有三角形
邊角邊 （SAS） 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 所有三角形
角邊角 （ASA） 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 所有三角形
角角邊 （AAS） 兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 所有三角形
斜邊、直角邊（HL） 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 直角三角形
知能點拔
證明三角形全等的常見思路



三、角平分線的性質
1. 角平分線性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
如圖，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，∴PD=PE
2. 性質定理的逆定理：角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
如圖，∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，PD=PE，∴ 點P在∠AOB的角平分線上，即OC平分∠AOB。

第十三章 軸對稱
一、軸對稱
1.定義
軸對稱圖形 軸對稱
定義 如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線稱為它的對稱軸。這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。 把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線稱為這兩個圖形的對稱軸。折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。
聯系 如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱。 如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起看成一個整體，那么它就成一個軸對稱圖形。
區別 （1）軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； （2）對稱軸不一定只有一條。 （1）軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形； （2）只有一條對稱軸。
2. 軸對稱的性質
（1） 線段的垂直平分線
① 定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
② 性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
③ 判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
（2）軸對稱的性質：如果兩個圖形關于某一條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點連線段的垂直
平分線。
二、作軸對稱圖形
1. 軸對稱變形的性質
（1）由一個平面圖形可以得到它關于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同。
（2）新圖形上的每一個點都是原圖形上的某一點關于直線L的對稱點。
（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。
2. 作軸對稱的方法
找 在原圖形上找特殊點（如線段的端點）；
作 作各個特殊點關于某對稱軸的對稱點；
連 依次連接各對稱點。
3. 用坐標表示軸對稱
（1）已知關于x軸或y軸對稱的點的坐標規律：
點（x, y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；
點（x, y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）。
注意：
已知關于x=h和y=k對稱的點的坐標規律：
點（x, y）關于x=h對稱的點的坐標為（-x+2h，y）；
點（x, y）關于y=k對稱的點的坐標為（x，-y+2k）。
（2）畫一個圖形關于坐標軸的對稱圖形
只要先求出已知圖形中的一些特殊點（如多邊形的頂點）的對稱點的坐標，描出并連結這些點，就可以得到與這個圖形成軸對稱的圖形。
三、等腰三角形
1. 等腰三角形
定義 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形的性質 （1）性質1，等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）（2）性質2， 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線所在的直線就是它的對稱軸。
等腰三角形的判定 （1）利用定義（2）如果一個三角形的兩角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）
等腰三角形的其他性質：
① 等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
② 等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③ 等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則＜a
④ 等腰三角形的三角關系：設頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2. 等邊三角形
定義 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也是正三角形
等邊三角形的性質 （1）等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°（2）等邊三角形具有三條“三線合一”的線；是軸對稱圖形，共有三條對稱軸，是三條高線、中線、角平分線所在的直線
等邊三角形的判定 （1）利用定義（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形 （3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
3. 直角三角形的性質
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

第十四章 整式乘除與因式分解

一、整式乘法
1. 同底數冪的乘法
一般地，我們有am·an＝am+n （m、n為正整數），即同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
2. 冪的乘方
一般地，我們有（am）n =amn （m、n為正整數），即冪的乘方，底數不變，指數相乘．
3. 積的乘方
一般地，我們有（ab）n =anbn （n為正整數），即積的乘方，等于各因式乘方的積．
4. 整式的乘法法則
單項式乘以單項式 把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
單項式乘以多項式 用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加
多項式乘以多項式 先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
二、乘法公式
1. 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差。
2. 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字語言敘述：兩個數的和（或差）的平方等于這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍．
3. 添括號的法則
a+b+c =a+（b+c） a-b-c =a-（b+c）
三、整式的除法
1. 同底數冪的除法
am＋an =am-n （a≠0，m、n都是正整數，且m＞n）
知能點拔：（1）a0＝1 （a≠0），即任何一個不等于零的數的零指數冪都等于l．
（2）公式可逆用：am-n =am÷an
（3）公式也可推廣到三個或三個以上的同底數冪分別相乘。如am÷an÷ak =am-n-k （a≠0）
2. 整式的除法
（1）單項式除以單項式
法則：把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母。則連同它的指數作為商的一個因式.
實質：把單頂式除法轉化成有理數除法或同底數冪的底數。
（2）多項式除以單項式
法則：多項式除以單項式，先用多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
字母表示： （am+bm）÷m =am÷m +bm÷m =a+b
四、因式分解
1. 因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。分解因式必須進行到每一個多項式中的因式都不能再分解為止。
2. 因式分解的方法
提因式分解法：多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，把多項式中各項的公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積形式，這種因式分解的方法叫提公因式法。用字母表示為：ma+mb+mc = m（a+b+c）
公式法：
① 平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
② 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
十字相乘法：采用畫交叉十字分解系數，把多項式分解成兩個因式的乘積形式。
即：

第十五章 分式
一、分式
1. 定義
一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A為分子，B為分母。
2. 分式有（無）意義的條件以及分式值為0的條件
（1）使分式有意義的條件是B≠0；
（2）使分式無意義的條件是B=0；
（3）使分式為0的條件是A=0且B≠0。
二、分式的基本性質
1. 分式的基本性質
分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變.
用字母表示為：，，其中A、B、C是整式，C≠0。
2. 約分：利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式(不為1的因式），不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。
依據：分式的基本性質
公因式：分式的分子和分母都含有的公共的因式。
最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式。
3. 通分：利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當的整式，不改變分式的值，即把幾個異分母的分式分別化成同分母的分式，這一過程叫做通分。
最簡公分母：各分母所有因式的最高次冪的積。
通分的關鍵：確定各分母的最簡公分母。
三、分式的運算
1. 分式的乘除
（1）乘法法則：
（2）除法法則：
（3）乘方法則：一般地，當n為正整數時，分子、分母分別乘方。用字母表示為：
2. 分式的加減
分式的加減法則
（1） 同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。用字母表示為：
（2）異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。用字母表示為：
3. 分式的混合運算
（1）分式混合運算的順序
先乘方、后乘除、再加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質量。
注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。
（2）運算的結果一定要化成最簡分式（或整式）。
4. 整數指數冪
（1）正整數指數冪的運算性質
① （m，n是正整數）
② （m，n是正整數）
③ （n是正整數）
④ （a≠0，m，n是正整數，m＞n）
⑤ （n是正整數）
（2） 零指數冪：當a≠0時，a0 =1 （任何不等于零的數的零次冪都等于1）
（3） 負整數指數冪
一般地，當n為正整數時，（a≠0），這就是說，a-n （a≠0）是an 的倒數，由此，引入負整數冪后，指數的取值范圍就推廣到全體實數。
（4） 用科學記數法表示負整數指數冪
一個數x是0四、分式方程
1. 分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程
2. 增根：使最簡公分母為0的根
3. 解分式方程的一般步驟
⑴ 去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的原因）
⑵ 解整式方程，得到整式方程的解。
⑶ 檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：
如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。
產生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。
4. 列分式方程解應用題的一般步驟
① 審題，弄清題意；
② 設未知數，根據題意，設未知數；
③ 根據題意列方程；
④ 解方程求出未知數的值；
⑤ 檢驗，看未知數的值是否符合題意，是否符合方程；
⑥ 下結論，寫出方程的解。









八年級數學下冊通關寶典 第 6 頁 共 14 頁

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