資源簡介

解析幾何——離心率專題
1、 基本概念
類型 橢圓 雙曲線
圖像
關系
計算方法
2、 的基本計算
1. 一個橢圓的長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是　 　．
2. 在平面直角坐標系中，直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為　 ?。?br/>3、 與幾何意義有關的問題
1. 直線過橢圓的左焦點和一個頂點，該橢圓的離心率為　　?。?br/>2. 已知雙曲線的離心率是，則該雙曲線兩漸近線夾角是　 ?。?
3. 過雙曲線的焦點作漸近線垂線，垂足為若的面積為（為坐標原點），則雙曲線離心率為　 ?。?br/>4. 已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點．若，則橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
4、 與橢圓雙曲線定義有關的
（1） 直接應用定義
1. 圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線C的離心率等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2. 設，分別是雙曲的左，右焦點，雙曲線上存在一點使得，則雙曲線C的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
（2） 與三角形有關的
3. 已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是　 ?。?br/>4. （2018廣一模文）在直角坐標系中，設為雙曲線：的右焦點，為雙曲線的右支上一點，且△為正三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5. 點是雙曲線：與圓的一個交點，且，其分別為雙曲線的兩個焦點，由雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6. 設橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點為，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是　 ?。?br/>7. 如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為　 ?。?br/>8. 已知雙曲線的左、右端點分別為兩點，點，若線段的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為　 ?。?br/>9. 橢圓與雙曲線有公共焦點、，它們在第一象限的交點為，且，，則橢圓與雙曲線的離心率的倒數和為　 ?。?br/>10. 設，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
11. 設，分別是雙曲的左，右焦點，點在此雙曲線上，且，則雙曲線C的離心率等于（ ）
A．． B． C． D．
12. 設，是橢圓：=1的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ）
． ． ． ．
13. 已知F是雙曲線的左焦點，是右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為 （ ）
A． B． C． D．
14. ★已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
15. 已知是橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
16. ★設點分別為橢圓的左右焦點，若在橢圓上存在異于點的點，使得，其中為坐標原點，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
17. ★如圖，已知雙曲線上有一點，它關于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設，且，則該雙曲線 離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5、 與通徑、焦半徑有關的
曲線類型 橢圓 雙曲線 拋物線
圖像
長度
1. 設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的倍，則的離心率為　 ?。?br/>2. 雙曲線與拋物線相交于兩點，公共弦恰好過它們的公共焦點，則雙曲線C的離心率等于　 　．
3. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4. 已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6、 綜合問題
1. 已知雙曲線的右焦點為，焦距為，左頂點為，在軸上有一點，滿足，則該雙曲線的離心率的值為　 ?。?br/>2. 已知雙曲線的右焦點為F，過F作斜率為的直線交雙曲線的漸近線于點P，點P在第一象限，O為坐標原點，若△OFP的面積為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3. 已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點．若，則的離心率為　 ?。?br/>4. 若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5. 已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．



解析幾何——離心率專題（解析版）
1、 基本概念
類型 橢圓 雙曲線
圖像
關系
計算方法
2、 的基本計算
1. 一個橢圓的長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是　 ?。敬鸢浮?br/>2. 在平面直角坐標系中，直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為　 ?。敬鸢浮?br/>3、 與幾何意義有關的問題
1. 直線過橢圓的左焦點和一個頂點，該橢圓的離心率為　　?。敬鸢浮?br/>2. 已知雙曲線的離心率是，則該雙曲線兩漸近線夾角是　 ?。?br/>【答案】
3. 過雙曲線的焦點作漸近線垂線，垂足為若的面積為（為坐標原點），則雙曲線離心率為　 ?。敬鸢浮?br/>4. 已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點．若，則橢圓的離心率（ D ）
A． B． C． D．
4、 與橢圓雙曲線定義有關的
（1） 直接應用定義
1. 圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線C的離心率等于（ D ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2. 設，分別是雙曲的左，右焦點，雙曲線上存在一點使得，則雙曲線C的離心率等于（ D ）
A． B． C． D．
（2） 與三角形有關的
3. 已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是　 ?。敬鸢浮?br/>4. （2018廣一模文）在直角坐標系中，設為雙曲線：的右焦點，為雙曲線的右支上一點，且△為正三角形，則雙曲線的離心率為（ A ）
A． B． C． D．
5. 點是雙曲線：與圓的一個交點，且，其分別為雙曲線的兩個焦點，由雙曲線的離心率為（ A ）
A． B． C． D．
6. 設橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點為，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是　 ?。敬鸢浮?br/>7. 如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為　 ?。?br/>【解析】設，則由雙曲線定義可知：
，可得； ，可得，
又，所以，故有
在中，由余弦定理可得：，可得
8. 已知雙曲線的左、右端點分別為兩點，點，若線段的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為　 　．
【解析】由圖可知，，所以是正三角形．
，易得
9. 設，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為（ A ）
A． B． C． D．
【解析】本題存在焦點三角形，由線段的中點在軸上，為中點可得軸，
從而，又因為，則直角三角形中，，
且，，所以，故選A．
10. 橢圓與雙曲線有公共焦點、，它們在第一象限的交點為，且，，則橢圓與雙曲線的離心率的倒數和為( B )
A．2　　　B． C． D．
11. 設，分別是雙曲的左，右焦點，點在此雙曲線上，且，則雙曲線C的離心率等于（ B ）
A．． B． C． D．
【解析】連接，則，故有，
則有，所以，故
12. 設，是橢圓：=1的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的等腰三角形，則的離心率為( C )
． ． ． ．
【解析】在中，，得
13. 已知F是雙曲線的左焦點，是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為 （ B ）
A． B． C． D．
【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角．由對稱性可得只需即可．且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即
14. ★已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ D ）
A. B. C. D.
【解析】為焦點三角形的內角，且對邊為焦半徑，所以利用正弦定理對等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的范圍為可得（由于依題意，非左右頂點，所以焦半徑取不到邊界值）：，解得
15. 已知是橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（ B ）
A. B. C. D.
【解析1】考慮在橢圓上的點與焦點連線所成的角中，當位于橢圓短軸頂點位置時，達到最大值．所以若橢圓上存在的點，則短軸頂點與焦點連線所成的角，考慮該角與的關系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進而即，解得，再由可得
【解析2】由可得，進而想到焦點三角形的面積：，另一方面：，從而，因為在橢圓上，所以，即，再同思路一可解得：
【解析3】可想到，進而通過向量坐標化，將數量積轉為方程．設，則有，則，即點一定在以為圓心，為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點即可，通過作圖可發現只有半徑時才可有交點，所以，同思路一可解得
【解析4】開始同思路三一樣，得到所在圓方程為，因為在橢圓上，所以聯立圓和橢圓方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：
16. ★設點分別為橢圓的左右焦點，若在橢圓上存在異于點的點，使得，其中為坐標原點，則橢圓的離心率的取值范圍是（ D ）
A. B. C. D.
【解析】本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點”，則的橫縱坐標分別位于中，所以致力于計算的坐標，設，題目中，由可得也在以為直徑的圓上．即，所以聯立方程：，即，由已知可得也是圓與橢圓的一個交點，所以由韋達定理可得：，再根據的范圍可得：，解得
17. ★如圖，已知雙曲線上有一點，它關于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設，且，則該雙曲線 離心率的取值范圍為（ B ）
A． B． C． D．
【解析】本題與焦半徑相關，所以考慮的幾何含義，可得為直角三角形，且，結合可得，因為關于原點對稱，所以即為的左焦半徑．所以有，則 ，即關于的函數，，所以
5、 與焦半徑、通徑有關的
曲線類型 橢圓 雙曲線 拋物線
圖像
長度
5. 設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的倍，則的離心率為　 ?。敬鸢浮?br/>6. 雙曲線與拋物線相交于兩點，公共弦恰好過它們的公共焦點，則雙曲線C的離心率等于（ B ）
A． B． C． D．
【解析】由題意可知，在拋物線中，；在雙曲線中，，所以有，可得，選B
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為（ A ）
A． B． C． D．
【解析】由雙曲線可知，所以，因為點，即，所以，即最大值為
8. 已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】為鈍角三角形，且
即，，即
6、 綜合問題
1. 已知雙曲線的右焦點為，焦距為，左頂點為，在軸上有一點，滿足，則該雙曲線的離心率的值為　 ?。敬鸢浮?
2. 已知雙曲線的右焦點為F，過F作斜率為的直線交雙曲線的漸近線于點P，點P在第一象限，O為坐標原點，若△OFP的面積為，則該雙曲線的離心率為(　C　)
A． B． C． D．
3. 已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點．若，則的離心率為　 ?。敬鸢浮?br/>4. 若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ D ）
A． B． C． D．
【解析】雙曲線的漸近線方程為，
由雙曲線與直線有交點，則有，即有，
則雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D．
5. 已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．【答案】
【解析】如圖所示，設雙曲線的另外一個焦點為，
由于的斜率為，所以，且，所以是等邊三角形，所以，所以，，
所以，
所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率為．

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