資源簡介

九年級數學上冊《圓》易錯點提示與技巧分類梳理
(本資料所選用例題均來自各地歷年中考試卷，例題不拘難易，只求闡述相關知識點)
一、圓的定義
1.易錯提示：
? 圓是圓周，是曲線，而不是指圓面。
2.技巧：
（1）圓心和半徑是構成圓的兩個重要元素，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
（2）圓上各點到圓心的距離都等于半徑；在平面內，到圓心距離等于半徑的點都在同一個圓上。
二、弦與直徑

易錯提示：
? 弦與直徑的關系：直徑是過圓心的弦，凡是直徑都是弦，但弦不一定是直徑，因此，在提到“弦”時，如果沒有特殊說明，不要忘記直徑這種特殊的弦。（直徑是圓中最長的弦）
三、弧和半圓

1.易錯提示：
? 半圓是弧，但弧不一定是半圓。
2.技巧：
（1）優弧和半圓通常用三個字母表示，劣弧通常用兩個字母表示。
（2）知道弧的兩個端點，不能判斷它是優弧還是劣弧，需分情況討論。
（3）由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。同一條弦分別與所對的優弧、劣弧組成兩個不同的弓形。
四、等圓、等弧
易錯提示：
? 等弧只能出現在同圓或等圓之中，等弧的長度相等，但長度相等的弧不一定是等弧。
五、圓的對稱性
1.易錯提示：
? 不能說“圓的對稱軸是直徑”，因為直徑是線段，對稱軸是直線。（圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸。）
2.技巧：
圓有無數條對稱軸；圓是旋轉對稱圖形，它關于圓心有任意角的旋轉對稱性。
六、垂徑定理及其推論
技巧：
一條直線如果具有：（1）經過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優弧；（5）平分弦所對的劣弧。這五條中的任意兩條，則必然具備其余的三條，簡稱“知二推三”。
典例：如圖，在⊙O中，OC弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是 。

解析：由已知，AB=4，OC=1，
結合垂徑定理得：BC=AB=2
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2=12+22=52
則OB=
七、圓心角及圓心角定理

1.易錯提示：
? 運用圓心角定理時，應注意其成立的條件是“在同圓或等圓中”。
? 由弦相等推出弧相等時，這里的弧要求同是優弧或同是劣弧，一般選劣弧。
2.技巧：
圓心角、弧、弦直接的關系可歸納為：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么所對應的其余各組量也分別相等。
八、圓周角及圓周角定理
1.易錯提示：
? 圓周角必須具備兩個特征：第一，頂點在圓上；第二，兩邊都與圓相交，如圖，只有③是圓周角。切記，同一條弧所對的圓周角有無數個。

2.技巧：
（1）在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。
（2）圓周角定理成立的前提條件是“在同圓或等圓中”。
（3）同弧指同一條弧，同一條會所對的圓周角有無數個，它們的度數都相等；等弧是指同一個圓中能重合的弧或等圓中能重合的弧。
典例：如圖，在⊙O中，圓心角∠BOC=78°，則圓周角∠BAC的大小為 。

解析：根據圓周角定理，得∠BAC=∠BOC=×78°=39°
九、圓內接四邊形
易錯提示：
? 并不是所有的四邊形都存在外接圓，只有對角互補的四邊形才存在外接圓。（圓內接四邊形的對角互補）
典例：如圖，梯形ABCD內接于圓⊙O，AD∥BC，∠BAD=49°，則∠AOC的度數為

解析：由AD∥BC，∠BAD=49°知∠B=180°—49°=131°
由圓內接四邊形的性質知∠D+∠B=180°
∴∠D=180°—∠B=180°—131°=49°
由圓周角定理知∠AOC-2∠D=2×49°=98°
十、點和圓的位置關系
判斷技巧：半徑r，點到圓心的距離d
(1)點C在圓外←→d＞r
(2)點B在圓上←→d=r
(3)點A在圓內←→d＜r

十一、確定圓的條件和三角形的外接圓
1.易錯提示1：
? “不在同一條直線上的三個點確定一個圓”，切記這里的“不在同一條直線上”是前提，“確定一個圓”即應理解為“有且只有一個圓”。
2.技巧：
過不在一條直線上的三個點作圓時，只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，事實上，三條線段的垂直平分線交于一點。
3. 易錯提示2：
? 任意一個三角形都有外接圓，而且有且只有一個外接圓。
典例：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點P，OP=2，則⊙O的半徑為（ ）

A. 4 B.6 C.8 D.12
解析：∵∠B=60°∴∠AOC=2∠B=120°
又∵OP⊥AC，∴∠POC=∠AOC=60°
∴∠OCP=30°，∴OC=2OP= 4。故選A
十二、直線與圓的位置關系
技巧：
判斷直線和圓的位置關系的方法：
（1）根據直線和圓的公共點個數。
（2）根據圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系。
①直線l和⊙O相交←→d＜r；如圖1
②直線l和⊙O相切←→d=r；如圖2
③直線l和⊙O相離←→d＞r；如圖3

典例：直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是
解析：當直線l和⊙O相交時，圓心到直線的距離d＜r，
因為d=6，所以r＞6
十三、切線的判定定理
1.易錯提示：
? 判定圓的切線時，必須有兩個條件：（1）經過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑。兩者缺一不可。
2.方法技巧：
要判定直線是圓的切線，常見的判定方法：
方法一：如果已知直線過圓上一點，那么連接這點和圓心，得到一條半徑，證明這條半徑與已知直線垂直即可，可記做：“連半徑，證垂直”。
方法二：如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點，那么過圓心作直線的垂線段，證明垂線段等于半徑即可，可記做：“作垂直，證半徑”。
典例：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點，且∠A=2∠DCB，E是BC上的一點，以EC為直徑的⊙O經過D點。
（1）求證：AB是⊙O的切線
（2）若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長。

解析：（1）證明：如圖，連接OD,
由圓周角定理，得∠DOB=2∠DCB
∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB
又∵∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°
∴∠DBO=90°，∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切線。
（2）如圖，過點O作OM⊥CD于點M，連接DE，
∵OM⊥CD，∴CM=DM
又∵OC=OE，∴DE=2OM=2
∵Rt△BDO中，BE=EO，
∴DE=BO，∴BO=4，∴OD=OE=2
由勾股定理得BD=2
十四、切線的性質定理
1.易錯提示：
? 切線的判定定理與切線的性質定理的區別：切線的判定定理是在未知相切而要證明相切的情況下使用的；切線的性質定理是在已知相切而要推得一些其他結論時使用的，兩者在使用時不要混淆。
2.技巧：
有圓的切線時，常常連接圓心和切點得到切線垂直于半徑，這是圓中常作的輔助線。
典例：如圖，P是⊙O外的一點，PA是⊙O的切線，PO=26cm，PA=24cm，則⊙O的周長為（ ）

A.18πcm B. 16πcm C. 20πcm D. 24πcm
解析：連接AO，∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，∴AO2+PA2=PO2，
∴AO===10（cm）
∴⊙O的周長為2π×AO=20πcm。
故選C。
十五、切線長和切線長定理
定理應用技巧：如圖,

P為⊙O外的一點，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，由切線長定理可得兩個結論：PA=PB；∠APO=∠BPO。
典例：如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40°，則
∠BAC= 。

解析：由切線長定理知PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA,
∴∠PBA= =70°，
∴∠BAC=90°—70°=20°。
十六、三角形的內切圓
易錯提示：
? 三角形的內切圓的圓心是三角形的內心，所以無論鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的內心都在三角形的內部。
十七、圓和圓的位置關系
1.判斷方法：如果兩圓的半徑分別為r1和r2（r1＜r2），圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則兩圓的位置關系如下表：
兩圓的位置關系 d與r1和r2之間的關系
外離 d＞r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 r2-r1＜d＜r1+r2
內切 d= r2-r1
內含 d＜r2-r1

2.技巧：

十八、正多邊形和圓

1.易錯提示：
? 各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形；但是各角相等的圓內接多邊形不一定是正多邊形，如矩形。
2.技巧：
在解決正多邊形的有關計算時，通過作正n邊形的半徑和邊心距，把正多邊形的有關計算轉化到直角三角形中進行，利用勾股定理如R2=r2+(a)2，其中正多邊形的半徑為R，邊心距為r，邊長為a，即可完成一些特殊的正多邊形的計算。
典例：已知正六邊形的邊心距為，則它的周長是（ ）
A.6 B.12 C.6 D.12

解析：如圖，在Rt△AOG中，OG=.∠AOG=30°
∴AG=OA
由勾股定理，得OA2=OG2+AG2
即OA2=3+OA2，解得OA=2，
∴AG=OA=1，
∴AB=2AG=2，
∴正六邊形的周長為6AB=12
十九、弧長公式
方法技巧：
（1）在弧長公式l=中有三個量l、n、R，已知其中的任意兩個量，可求出第三個量。
（2）若題目中沒有明確給出精確度，可用含“π”的數表示弧長。
典例：如圖，AB切⊙O于點B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧長 （結果保留π）

解析：連接OB，OC，如圖，

∵AB切⊙O于點B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°
∵∠OAB=30°，OA=2，
∴OB=OA=1，∠AOB=60°
∵BC∥OA，∴∠AOB=∠OBC=60°.
又∵OC=OB，
∴△OBC為等邊三角形，∴∠COB=60°.
∴的弧長l= = 。
二十、扇形面積公式
方法點撥：
（1）S扇形 =和S扇形 =lR（l為弧長，R為半徑），兩個扇形面積公式在運用時，要根據題目條件靈活運用，無論選用哪個公式，R必須已知。
（2）扇形的周長為l+2R。
（3）弓形的面積：如圖，S弓形= S扇形 —S△AOB

典例：一個扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為 。
解析：由扇形面積公式S扇形 =得S扇形 = =3π。
二十一、圓錐的側面積和全面積

公式梳理：
圓錐的側面積為πrl，圓錐的全面積為πr(r+l)
典例：已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側面積為 。
解析：根據圓錐的側面積公式，得S側=πrl=π×3×5=15πcm2

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