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求數(shù)列的通項(xiàng)公式專題訓(xùn)練
1.歸納法（數(shù)學(xué)歸納法）
例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）
（4）（5），，，…
解：（1）變形為：101－1，1021，103―1，104―1，…… ∴通項(xiàng)公式為：
（2） （3）
（4）. （5）
點(diǎn)評：關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。
例2. 已知數(shù)列滿足,.
(1).計(jì)算 ,,,的值;
(2).根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜想的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
答案：(1)由 和,得.
(2)由以上結(jié)果猜測:
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),左邊,右邊,等式成立.
②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即成立.
那么,當(dāng)時(shí),
這就是說,當(dāng)時(shí)等式成立.
由①和②,可知猜測對于任意正整數(shù)都成立.
針對性訓(xùn)練：① 3 33 333 333 3333 … （）
②… （）
2. 公式法
直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目，也是最基本的方法之一。
例1. 已知數(shù)列中，，且是等比數(shù)列．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解：∵是等比數(shù)列且，
，，
∴，∴
例2 ：等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
　　 解：設(shè)數(shù)列公差為d(d>0)　　
∵成等比數(shù)列，


3. 與的關(guān)系
，即已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)。
例3：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求的通項(xiàng)公式。
（1）。 （2）
解： （1）=1
===3
此時(shí)，?！?3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2），
當(dāng)時(shí)
由于不適合于此等式 。 ∴
點(diǎn)評：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。
針對訓(xùn)練:
1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解析：由已知條件可得, 則,
所以當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),, ? ?
故.
2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若且當(dāng)時(shí),,則的通項(xiàng)公式為_______________.

解析：當(dāng)時(shí),由可得，
∴,即,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
∴.
當(dāng)時(shí),,
又,∴.
4.疊加法
遞推公式為=+f(n)或=+f(n)，通常把原遞推公式轉(zhuǎn)化為-=f(n) 或-=f(n)，利用逐差相加法求解。
例4. 若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)。
解析：由得，
所以，
，
…，
，
將以上各式相加得：，
又所以 =
針對性訓(xùn)練：已知數(shù)列中，求的通向公式
解： 由已知得，，
令，代入個(gè)等式累加，即



5.疊乘法
遞推公式為=f(n)或=f(n)，通常把原遞推公式轉(zhuǎn)化為=f(n) 或=f(n)，利用逐商相乘法求解。
例5 .已知數(shù)列滿足，求的通向公式。
　　 解：由條件知，分別令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)個(gè)等式累乘之，即
　　
針對性訓(xùn)練：設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.
解：已知等式可化為：
()(n+1), 即
時(shí)，
==

6.構(gòu)造法
1)構(gòu)造等比數(shù)列
若有遞推關(guān)系（其中p，q均為常數(shù)，），一般采用待定系數(shù)法將原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，構(gòu)造等比數(shù)列求解。
例.已知數(shù)列滿足,且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解析：∵,
∴.
由,知,可得.
∴.
∴數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
∴
即.
針對訓(xùn)練：已知數(shù)列中，，．求的通項(xiàng)公式；
解：由，
得，
，
數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
從而，


2)構(gòu)造等差數(shù)列
作除法：
例1.在數(shù)列中,, .求:數(shù)列的通項(xiàng)公式;
解：(1)將,兩邊同除以,
得.
∴,即數(shù)列｛｝是等差數(shù)列
則.
∴.
取倒法：
例2. 已知數(shù)列滿足,且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式
解：∵,
∴, 即
∴數(shù)列是等差數(shù)列
則,所以
針對訓(xùn)練. 已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解析：(1)證明 由得：，
由及逆推式，，
兩邊同除以，得，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列
則 ，
所以=
作差法
例1.已知數(shù)列滿足:.求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解：(1)因?yàn)?.
所以 ，
兩式相減得：
當(dāng)，時(shí)也符合上式，所以通項(xiàng)公式為：

針對訓(xùn)練.設(shè)數(shù)列滿足．求的通項(xiàng)公式；
解：數(shù)列滿足．
時(shí)，．
兩式相減得，．
當(dāng)時(shí)，，上式也成立．
．

待定系數(shù)法
例. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).
解：原遞推式可化為
比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.
即：
故.

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