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北師版八年級數學第1章勾股定理
一.知識歸納
1.勾股定理
內容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2
勾股定理的由來:勾股定理也叫商高定理,在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直
角邊稱為勾,較長的直角邊稱為股,斜邊稱為弦.早在三干多年前,周朝數學家商高就提出了“勾三,股四,弦
五”形式的勾股定理,后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為:兩直角邊的平方和等于斜邊的平
方
2.勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理
常見方法如下
方法一:4S△+S正方形=S方,4x-ab+(b-a)2=c2,化簡可證
B
方法二:
b
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4
大正方形面積為S=(a+b)2=a2+2ab+b2
所以a2+b2=c2
方法三:Ss=-1(a+b)(a+b),S=2+=2.1mb+12,化簡得證
B
3.勾股定理的適用范圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系,它只適用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角三角
形的三邊就不具有這特征,因而在應用勾股定理時,必須明了所考察的對象是直角三角形
4勾股定理的應用
①已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊
在ABC中,∠C=90°,則c=√a2+b2,b=82-a2,a=-b2
②知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數量關系
③可運用勾股定理解決一些實際問題
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形,其中c為斜邊
①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過“數轉化為形”來確定三角
形的可能形狀,在運用這一定理時,可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較,若它們相等時,以a,
b,c為三邊的三角形是直角三角形;若a2+b2c2
時,以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形
②定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現形式,不可認為是唯一的,如若三角形三邊長a,b,c滿足
a2+c2=b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形,但是b為斜邊
③勾股定理的逆定理在用問題描述時,不能說成:當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時,這個三角形是直
角三角形
6勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數,即a2+b2=c2中,a,b,c為正整數時,稱a,b,
c為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度,如34,5;68,10;5,1213;7,24,25等
③用含字母的代數式表示n組勾股數
n2-12n,n2+1(n≥2,n為正整數)
2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n為正整數)
m2-n2,2mnm2+n2(m>n,m,n為正整數)
7.勾股定理的應用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題.在使用勾股
定理時,必須把握直角三角形的前提條件,了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么,以便運用勾股定理進行
計算,應設法添加輔助線(通常作垂線),構造直角三角形,以便正確使用勾股定理進行求解
8勾股定理逆定理的應用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形,在具體推算過

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