資源簡介

六年級數學上冊知識點歸納與整理
第一單元 分數乘法
（一）、分數乘法的意義。
1、分數乘整數：分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和得簡便運算。
例如：×6，表示：6個相加是多少，還表示的6倍是多少。
2、一個數（小數、分數、整數）乘分數：一個數乘分數的意義與整數乘法的意義不相同，是表示這個數的幾分之幾是多少。
例如：6×，表示：6的是多少。 ×，表示：的是多少。
（二）、分數乘法的計算法則：
1、整數和分數相乘：整數和分子相乘的積作分子，分母不變。
2、分數和分數相乘：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
3、注意：能約分的先約分，然后再乘，得數必須是最簡分數。當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
?。ㄈ?、分數大小的比較：
1、一個數（0除外）乘以一個真分數，所得的積小于它本身。一個數（0除外）乘以一個假分數，所得的積等于或大于它本身。一個數（0除外）乘以一個帶分數，所得的積大于它本身。
2、如果幾個不為0的數與不同分數相乘的積相等，那么與大分數相乘的因數反而小，與小分數相乘的因數反而大。
（四）、解決實際問題。
1分數應用題一般解題步行驟。
（1）找出含有分率的關鍵句。
（2）找出單位“1”的量
（3）根據線段圖寫出等量關系式：單位“1”的量×對應分率=對應量。
（4）根據已知條件和問題列式解答。
2．乘法應用題有關注意概念。
（1）乘法應用題的解題思路：已知一個數，求這個數的幾分之幾是多少？
（2）找單位“1”的方法：從含有分數的關鍵句中找，注意“的”前“比”后的規(guī)則。當句子中的單位“1”不明顯時，把原來的量看做單位“1”。
（3）甲比乙多幾分之幾表示甲比乙多的數占乙的幾分之幾，甲比乙少幾分之幾表示甲比乙少數占乙的幾分之幾。
（5）“增加”、“提高”、“增產”等蘊含“多”的意思，“減少”、“下降”、“裁員” 等蘊含“少”的意思，“相當于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。
（8）單位“1”不同的兩個分率不能相加減，加減屬相差比，始終遵循“凡是比較，單位一致”的規(guī)則。
（9）找到單位“1”后，分析問題，已知單位“1”用乘法，未知單位“1”用除法（注意：求單位“1”是最后一步用除法，其余計算應在前）。 單位“1”×分率=比較量 ； 比較量÷分率=單位“1”
（10）單位“1”不同的兩個分率不能相加減，解應用題時應把題中的不變量做為單位“1”，統(tǒng)一分率的單位“1”，然后再相加減。
（11）單位“1”的特點： ①單位“1”為分母； ②單位“1”為不變量。
（12）分率與量要對應。
①多的對應量對多的分率；
②少的對應量對少的分率；
③增加的對應量對增加的分率；
④減少的對應量對減少的分率；
⑤提高的對應量對提高的分率；
⑥降低的對應量對降低的分率；
⑦工作總量的對應量對工作總量的分率；?
⑧工作效率的對應量對工作效率的分率；
⑨部分的對應量對部分的分率；
⑩總量的對應量對總量的分率；
例如：1、求一個數的幾分之幾是多少？（求一個數的幾分之幾用乘法計算）
方法：單位“1”的數量×對應分率=對應數量。
2、分數的連乘。找到每一個分率的單位“1”。
　（五）、倒數
1、倒數：乘積是1的兩個數互為倒數。
2、求倒數的方法：把這個數寫成分數形式，然后將分子和分母交換位置。
3、0沒有倒數，1的倒數是它本身。
4、真分數的倒數都大于它本身，假分數的倒數等于或小于它本身。
注意：倒數必須是成對的兩個數，單獨的一個數不能稱做倒數。
（一）分數乘法意義：
1、分數乘整數的意義：（與整數乘法的意義相同） 就是求幾個相同加數的和的簡便運算。 ◆“分數乘整數”指的是第二個因數必須是整數，不能是分數。
例如：×7表示: 求7個的和是多少？ 或表示：的7倍是多少？
2、一個數乘分數的意義：就是求一個數的幾分之幾是多少。
◆“一個數乘分數”指的是第二個因數必須是分數，不能是整數。第一個因數是什么都可以。 例如：×表示: 求的是多少？ A× 表示: 求A的是多少？
（二）分數乘法計算法則：
1、分數乘整數的運算法則是：分子與整數相乘，分母不變。
2、分數乘分數的運算法則是：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
◆為了計算簡便,能約分的先約分再計算。
3、分數的基本性質：分子、分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。
（三）積與因數的關系：
1、一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。a×b=c,當b >1時，c>a.
2、一個數（0除外）乘小于1的數，積小于這個數。a×b=c,當b <1時，c3、一個數（0除外）乘等于1的數，積等于這個數。a×b=c,當b =1時，c=a .
◆在進行因數與積的大小比較時，要注意因數為0時的特殊情況。
（四）分數混合運算
1、分數合運算順序：(與整數相同)，先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面的。
2、整數乘法運算定律對分數乘法同樣適用；運算定律可以使一些計算簡便。
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
（五）分數乘法應用題 ——用分數乘法解決問題
◆已知單位“1”的量，求它的幾分之幾是多少，用單位“1”的量與分數相乘。
1、求一個數的幾分之幾是多少？（用乘法）
例如：求25的是多少？ 列式：25×=15
甲數的等于乙數，已知甲數是25，求乙數是多少？ 列式：25×=15
2、求比一個數多（少）幾分之幾的數是多少？
例如：甲數比乙數多（少），乙數是25，求甲數是多少？
甲數＝乙數＋乙數× 即25＋25×=25×（1＋）＝40（或10）
◆巧找單位“1”的量：“的” 前 “比” 后，“的”字相當于“×”，“是”字相當于“＝”
3、求甲比乙多（少）幾分之幾？
多：（甲－乙）÷乙
少：（乙－甲）÷乙

第二單元 位置與方向
一、確定物體位置的方法：
1、先找觀測點；
2、再定方向（看方向夾角的度數）；
3、最后確定距離（看比例尺）
二、描繪路線圖的關鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。
三、位置關系的相對性：
兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關系時，觀測點不同，敘述的方向正好相反，而度數和距離正好相等。
四、相對位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西。
1、確定位置的條件：
當觀測點（中心）確定以后，確定物體位置是條件是（方向）和（距離）。
2、在平面圖上標出物體位置的方法：
先確定（中心或觀測點），然后確定（方向），再以圖例選定的單位長度為基準來確定（距離）；最后在具體位置標出（名稱）。
3、描述并繪制簡單的路線圖：
先按路線確定每一個觀測點，然后以每一個觀測點建立（方向標），描述到下一個目的地的（方向）和（距離）。
4、位置關系的相對性;
（1）描述物體的位置與（觀測點）有關系，觀測點不同，物體位置的描述就（不同）。
（2）兩地的位置具有（相對性），觀測點不同，敘述的（方向）正好相反，（角度）和（距離）不變。
第三單元 分數除法
（一）、分數除法的意義：
分數除法的意義：分數除法的意義與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
例如：?? 表示：已知兩個數的積是 ,與其中一個因數 ，求另一個因數是多少。
÷4表示已知兩個數的積是 ,與其中一個因數4，求另一個因數是多少。還表示把平均分成4份，每份是多少。
（二）、分數除法的計算：
分數除法的計算法則：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。
（三）比和比的應用：
1．比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。比的后項不能為0。
2. 比值的意義：比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
3．比值的表示方式：通常用分數、小數和整數表示。
4．比同除法的關系：比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商.
5．比同分數的關系：比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比值相當于分數的值。
6．比的基本性質：比的前項和后項同時乘上或者同時除以相同的數（0除外），比值不變。
7. 化簡比的方法：根據比的基本性質，把兩個數的比化成最簡單的整數比，叫做化簡比，比的前項和后項必須是互質的整數。
例如：16﹕20=（16÷4）﹕（20÷4）=4﹕5　
8．在工農業(yè)生產中和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
9．按比例分配的解題方法：
（1）先求出總的份數，再求出各部分數量占總數的幾分之幾。
（2）用總數乘各部分的分率求出各部分的數量。
10．分數除法中，被除數與商的大小關系：
一個數（0除外）除以一個真分數，所得的商大于它本身。
一個數（0除外）除以一個假分數，所得的商小于或等于它本身。
一個數（0除外）除以一個帶分數，所得的商小于它本身。
（四）解分數應用題注意事項：
1．找單位“1”的方法：從含有分率的句子中找，“的”前或“比”后的規(guī)則。當句子中的單位“1”不明顯時，把原來的量看做單位“1”。
2．找到單位“1”后，分析問題，已知單位“1”用乘法，未知單位“1”用除法（注意：求單位“1”是最后一步用除法，其余計算應在前）。?
數量關系： 單位“1”×對應分率=對應數量；?
對應量÷對應分率=單位“1”的量
3．單位“1”不同的兩個分率不能相加減，解應用題時應把題中的不變量做為單位“1”，統(tǒng)一分率的單位“1”，然后再相加減。
4．單位“1”的特點：?①單位“1”為分母；?②單位“1”為不變量。
5.“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的解題方法：
（1）設單位“1”的量為x，列方程解答。
（2）對應數量÷對應分率=單位“1”的總數量。
6．工程問題：把工作總量看作單位“1”，
工作效率=?
工作時間=1÷工作效率??
合作時間?=?工作總量÷工作效率之和
（一）倒數
1、意義：乘積為1的兩個數互為倒數。
◆倒數是兩個數的關系，它們互相依存，不能單獨存在。單獨一個數不能稱為倒數。（必須說清誰是誰的倒數）
2、判斷兩個數是否互為倒數的唯一標準是：兩數相乘的積是否為“1”。
例如：a×b＝1則a、b互為倒數。
3、求倒數的方法：
①求分數的倒數：交換分子、分母的位置。（的倒數是）
②求整數的倒數：整數分之一。（非零整數a(a≠0)，它的倒數為）
③求帶分數的倒數：先化成假分數，再交換分子和分母的位置。
④求小數的倒數：先化成分數再求倒數。
4、特殊數的倒數：
①1的倒數是它本身，因為1×1=1
②0沒有倒數，因為任何數乘0積都是0，且0不能作分母。
◆真分數的倒數是假分數，真分數的倒數大于1，也大于它本身。
假分數的倒數小于或等于1；帶分數的倒數小于1。
（二）分數除法
1、意義：（分數除法是分數乘法的逆運算），已知兩個數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算?；蚴乔笠粋€數中包含了幾個另一個數。
2、計算法則：除以一個數（0除外），等于乘上這個數的倒數。
被除數÷除數=被除數×除數的倒數。例 ÷3＝×＝ 3÷＝3×＝5
◆除法轉化成乘法時，被除數一定不能變，“÷”變成“×”，除數變成它的倒數。
3、分數除法算式中出現(xiàn)小數、帶分數時要先化成分數、假分數再計算。
4、被除數與商的變化規(guī)律：
①除以大于1的數，商小于被除數：a÷b=c 當b>1時，c②除以小于1的數，商大于被除數：a÷b=c 當b<1時，c>a (a≠0 b≠0)
③除以等于1的數，商等于被除數：a÷b=c 當b=1時，c=a
（三）分數混合運算：同整數。
（四）分數除法應用題
1、分數乘除法應用題的對比
①已知單位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少？
即：甲＝乙× —→ 25×=15
②未知單位“1”的量用除法（或方程）。例: 甲是乙的，甲是15，求乙是多少？
即：甲＝乙× —→ 15÷＝25 （建議列方程答） x＝25
2、分數應用題基本數量關系
（1）甲是乙的幾分之幾？
甲＝乙×幾分之幾 （例：甲是15的，求甲是多少？15×＝9）
乙＝甲÷幾分之幾 （例：9是乙的，求乙是多少？9÷＝15）
幾分之幾＝甲÷乙 （例：9是15的幾分之幾？9÷15＝）
（2）甲比乙多（少）幾分之幾？
A.方法1：差÷乙＝（例：9比15少幾分之幾？（15－9）÷15＝＝＝）
B.方法2：先求甲是乙的幾分之幾，再與1相比。
①多幾分之幾是：－1 （例： 15比9多幾分之幾？15÷9＝－1＝－1＝）
②少幾分之幾是：1－ （例：9比15少幾分之幾？1－9÷15＝1－＝1－＝）
（3）甲比乙多（少）幾分之幾，求乙是多少？
乙=甲÷(1＋ )
例：9比乙少，求乙是多少？9÷（1－）＝9÷＝15
例：15比乙多，求乙是多少？15÷（1＋）＝15÷＝9
◆畫線段圖：
（1）找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。
（2）分析數量關系。
（3）找等量關系。
（4）列方程。
兩個量的關系畫兩條線段圖，部分和整體的關系畫一條線段圖。

第四單元 比
1、兩個數相除又叫做兩個數的比。在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。比的后項不能為0. 例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示)
2、比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例： 路程÷速度=時間。
3、區(qū)分比和比值
比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。
比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。
4、比和除法、分數的聯(lián)系與區(qū)別：（區(qū)別）除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關系。 比的前項相當與除法中的被除數，分數中的分子；比的后項相當與除法中的除數，分數中的分母；比號相當于除法中的除號，分數中的分數線；比值相當于除法的商，分數的分數值。
注意：體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。
(二)、比的基本性質
1、根據比、除法、分數的關系：
商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外)，商不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時(0除外)，分數值不變。
比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。
2、比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。根據比的基本性質，把比化成最簡整數比。
按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配.
（一）比的意義：兩個數的比表示兩個數相除。
1、比式中，比號（∶）前面的數叫比的前項，比號后面的項叫做比的后項，比號相當于除號，比的前項除以后項的商叫做比值。
◆連比如：3：4：5讀作：3比4比5
2、比表示的是兩個數的關系，可以用分數表示，寫成分數的形式，讀作幾比幾。
例：12 ∶ 20 ＝ ＝ 12÷20＝ ＝0.6 12∶20讀作：12比20

3、區(qū)分比和比值：
（1）比值是一個數，通常用分數表示，也可以是整數、小數。
（2）比是一個式子，表示兩個數的關系，可以寫成比，也可以寫成分數的形式。
4、比和除法、分數的區(qū)別：
除法 被除數 除號 除數（不能為0） 商不變性質 是一種運算
分數 分子 分數線 分母（不能為0） 基本性質 是一個數
比 前項 比號 后項（不能為0） 基本性質 兩個數的關系
（二）比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。
（三）化簡比：化簡之后結果還是一個比，不是一個數。
1、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。
2、方法：
（1）整數比：用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數。
（2）分數比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。
（3）小數比：向右移動小數點的位置，把小數比先化成整數比,再化簡。
◆也可以先求出比的比值，再將結果寫成比的形式。
（四）按比例分配：把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分別是多少？
方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21 乙：5×7＝35
方法二：甲：56×＝21 乙：56×＝35
例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35
方法二：甲乙的和21÷＝56 乙：56×＝35
方法三：甲÷乙＝ 乙＝甲÷＝21÷＝35


第五單元 圓
1、圓心：圓中心一點叫做圓心。用字母“O”來表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑，用字母“r”來表示。
直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母“d”表示。
2．圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
3．在同一個圓內，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。在同一個圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。在同一個圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。用字母表示為：
d＝２r r ＝d
4．圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。
5．圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。我們把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率，用字母表示。圓周率是一個無限不循環(huán)小數。在計算時，取3.14。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。
6．圓的周長公式：C=d 或C=2r
7、圓的面積：圓所占平面的大小叫圓的面積。
8．把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，因為長方形面積=長×寬，所以圓的面積= r×r＝ｒ?
9．圓的面積公式：Ｓ＝ｒ?　或者S=（d2）? 或者S=（C 2）?
10．在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。圓的面積和正方形面積的比是：4。
在一個圓里畫一個最大正方形的，圓的直徑的長度等于正方形的對角線的長度，正方形的面積=對角線×對角線÷2=直徑×直徑÷2 。
11．在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的短邊。
12．一個環(huán)形，外圓的半徑是R，內圓的半徑是r，它的面積是S=R?－ｒ?　或　S=（R?－ｒ?）。
（其中R＝r＋環(huán)的寬度．）
13．環(huán)形的周長＝外圓周長＋內圓周長
14．半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。
半圓周長公式：Ｃ＝d2＋d　或Ｃ＝r＋2r
15．半圓面積＝圓面積2　　公式為：Ｓ＝ｒ?2
46．在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍數的平方倍。
例如：在同一個圓里，半徑擴大４倍，那么直徑和周長就都擴大４倍，而面積擴大１６倍。
17．兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。
例如：兩個圓的半徑比是２：３，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是２：３，而面積比是４：９。
18．當一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２ａ厘米；
當一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加ａ厘米。
19．在同一圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積就占圓面積的幾分之幾；所對的弧就占圓周長的幾分之幾．
20．當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓的面積最大，長方形的面積最?。?br/>當長方形，正方形，圓的面積相等時，長方形的周長最大，圓的周長最小。
21．扇形弧長公式：Ｌ＝
　扇形的面積公式：　S=ｒ? （n為扇形的圓心角度數，r為扇形所在圓的半徑）
22．軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。
23．有1一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
有2條對稱軸的圖形是：長方形
有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形
有4條對稱軸的圖形是：正方形
有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環(huán)。
24．直徑所在的直線是圓的對稱軸。
1π 3.14 11π 34.54 21π 65.94 62π 113.04 162π 803.84
2π 6.28 12π 37.68 22π 69.08 72π 153.86 172π 907.46
3π 9.42 13π 40.82 23π 72.22 82π 200.96 182π 1017.36
4π 12.56 14π 43.96 24π 75.36 92π 254.34 192π 1133.54
5π 15.7 15π 47.1 25π 78.5 102π 314 202π 1256
6π 18.84 16π 50.24 26π 81.64 112π 379.94 212π 1384.74
7π 21.98 17π 53.38 27π 84.78 122π 452.16 222π 1519.76
8π 25.12 18π 56.52 28π 87.92 132π 530.66 232π 1661.06
9π 28.26 19π 59.66 29π 91.06 142π 615.44 242π 1808.64
10π 31.4 20π 62.8 30π 94.2 152π 706.5 252π 1962.5

（一）圓的認識
1、定義：圓是平面內封閉曲線圍成的平面圖形。
2、相關概念：
（1）圓心O：圓中心的點叫做圓心。圓心一般用字母O表示。圓多次對折之后，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。
（2）半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。
（3）直徑d: 通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內最長的線段。
◆同圓或等圓內直徑是半徑的2倍：d＝2r 或 r＝d÷2＝d＝
（4）等圓：半徑相等的圓叫做等圓，等圓通過平移可以完全重合。
（5）同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
3、圓是軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做對稱軸。
◆有1條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有2條對稱軸的圖形：長方形
有3條對稱軸的圖形：等邊三角形
有4條對稱軸的圖形：正方形
有無數條對稱軸的圖形：圓，圓環(huán)
4、畫圓
（1）圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑。
（2）畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉一周。
（二）圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表示。
1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。
2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母π表示。
即：圓周率π＝＝周長÷直徑≈3.14
所以,圓的周長(c)=直徑(d)×圓周率(π) ——周長公式： C＝πd 或 C＝2πr
◆圓周率π是一個無限不循環(huán)小數，3.14是近似值，π＞3.14。
3、周長的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍，直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數與半徑、直徑擴大的倍數相同。 如果r1∶r2∶r3＝d1∶d2∶d3＝C1∶C2∶C3
4、半圓周長＝圓周長一半＋直徑＝×2πr ＝ πr＋d
（三）圓的面積
1、圓面積公式的推導
把一個圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長方形，份數越多拼成的圖像越接近長方形。
◆圓與拼成的長方形有如下關系：
圓的半徑＝長方形的寬 圓的周長的一半＝長方形的長
長方形面積＝長 ×寬
圓的面積＝圓的周長的一半（πr）×圓的半徑（r）
S圓＝πd× r S圓＝πr×r ＝πr2
2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。
周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，蒙古包、籃子、盤子等做成圓形。
3、圓面積的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍，直徑、周長也同時擴大多少倍；圓面積擴大的倍數是半徑、直徑擴大的倍數的平方倍。
如果: r1∶r2∶r3＝d1∶d2∶d3＝C1∶C2∶C3＝2∶3∶4
則：S1∶S2∶S3＝4∶9∶16
4、環(huán)形面積 ＝ 大圓面積－小圓面積＝πr大2 －πr小2＝π（R大2 - r小2）
（四）扇形
1、定義：圓上任意兩點（如點A、B）之間的部分叫做弧（讀作弧AB），一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
2、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。（在同一圓內，扇形的大小與圓心角的大小有關）
3、扇形面積 ＝ πr2×（n表示扇形圓心角的度數）
特殊扇形的面積（90?、180?）：S＝πr2 S＝πr2
（五）圓周長與圓面積的實際應用
1、跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。
2、任意一個正方形的內切圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π即4∶3.14。
3、外方內圓的間隙面積＝正方形的面積－圓的面積 S＝0.86 r2
外圓內方的間隙面積＝圓的面積－正方形的面積 S＝1.14 r2
4、常用數據
π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7
6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26
12π＝3.14 22π＝12.56 32π＝28.26 42π＝50.24 52π＝78.5
62π＝113.04 72π＝153.86 82π＝200.96 92π＝254.34

第六單元 百分數
1．百分數的定義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。
?? 百分數表示兩個數之間的比率關系，不表示具體的數量，無單位名稱。
?? 例如：25％的意義：表示一個數是另一個數的25％。
2．百分數通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“％”來表示。分子部分可為小數、整數，可以大于100，小于100或等于100。
3．小數與百分數互化的規(guī)則：
? 把小數化成百分數，只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號；（加向右）
? 把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。（去向左）
4．百分數與分數互化的規(guī)則：
? 把分數化成百分數，通常先把分數化成小數（除不盡的保留三位小數），再把小數化成百分數；
? 把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
5、常用的分數、小數及百分數的互化
=0.5=50% =0.25=25% =0.75=75% =0.2=20%
=0.4=40% =0.6=60% =0.8=80% =0.125=12.5%
=0.375=37.5% =0.625=62.5% =0.875=87.5% =0.1=10%
=0.0625=6.25% =0.05=5% =0.04=4% =0.025=2.5%
=0.02=2% =0.01=1%
6．百分率公式：求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾。（算式要加×100%，包括濃度、利潤率）
?





7. 求一個數比另一個數多（或少）百分之幾（另一個數是單位“1”）??
實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。
求甲比乙多百分之幾?? （甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之幾??? （甲-乙）÷甲
8．求一個數的百分之幾是多少
一個數（單位“1”） ×百分率
9． 已知一個數的百分之幾是多少，求這個數?？
? 部分量÷百分率=一個數（單位“1”）
10、濃度問題
溶質（鹽）的重量＋溶劑（水）的重量＝溶液（鹽水）的重量
溶質(鹽)的重量÷溶液（鹽水）的重量×100%＝濃度
溶液（鹽水）的重量×濃度＝溶質（鹽）的重量
溶質（鹽）的重量÷濃度＝溶液（鹽水）的重量
最常用的是用方程解濃度問題
比如兩種不同濃度的溶液混合，最常用的數量關系是
甲溶液質量×甲的濃度+乙溶液質量×乙的濃度
=總溶液質量×總的濃度
（一）百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。
◆百分數是專門用來表示一種特殊的倍比關系的，表示兩個數的比，所以，百分數又叫百分比或百分率，百分數不能帶單位。
1、百分數和分數的區(qū)別和聯(lián)系：
（1）聯(lián)系：都可以用來表示兩個量的倍比關系。
（2）區(qū)別：意義不同：百分數只表示倍比關系，不表示具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表示倍比關系，還能帶單位表示具體數量。
百分數的分子可以是小數，分數的分子只以是整數。
◆百分數在生活中應用廣泛，所涉及問題基本和分數問題相同，分母是100的分數并不是百分數，必須把分母寫成“%”才是百分數，所以“分母是100的分數就是百分數”這句話是錯誤的。一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。
2、小數、分數、百分數之間的互化
（1）百分數化小數：小數點向左移動兩位，去掉“%”。
（2）小數化百分數：小數點向右移動兩位，添上“%”。
（3）百分數化分數：先把百分數寫成分母是100的分數，然后再化簡成最簡分數。
（4）分數化百分數：分子除以分母得到小數，（除不盡的保留三位小數）然后化成百分數。
（5）小數化分數：把小數成分母是10、100、1000等的分數再化簡。
（6）分數化小數：分子除以分母。
（二）百分數應用題
1、求常見的百分率 如：達標率、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾。
◆由于求率的特殊要求，不要忘記在算式后面“×100%”
2、 求一個數比另一個數多（或少）百分之幾，實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。
◆方法同求一個數比另一個數多（少）幾分之幾，只不過結果用百分數表示而已。
求甲比乙多百分之幾 （甲－乙）÷乙
求乙比甲少百分之幾 （甲－乙）÷甲
3、 求一個數的百分之幾是多少 一個數（單位“1”） ×百分率
4、 已知一個數的百分之幾是多少，求這個數 對應量÷百分率＝一個數（單位“1”）
5、百分數應用題型分類
（1）一個數是另一個數的百分之幾
①甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50÷40＝125%
②甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40÷50＝80%
③乙是40，甲是乙的125%，甲數是多少？（40的125%是多少？）40×125%＝50
④甲是50，乙是甲的80%，乙數是多少？（50的80%是多少？）50×80%＝40
⑤乙是40，乙是甲的80%，甲數是多少？（一個數的80%是40，這個數是多少？）40÷80%＝50
⑥甲是50，甲是乙的125%，乙數是多少？（一個數的125%是50，這個數是多少？）50÷125%＝40
（2）一個數比另一個數多（少）百分之幾
①甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾？）(50-40)÷40＝25%
②甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾？（40比50少百分之幾？）(50-40)÷50＝20%
③甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%＝40
④甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10＝50
⑤乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%＝50
⑥乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10＝40
（3）比一個數多（少）百分之幾的數
①乙是40，甲比乙多25%，甲數是多少？（什么數比40多25%？）40×（1+25%）＝50
②甲是50，乙比甲少20%，乙數是多少？（什么數比50多25%？）50×（1-20%）＝40
③乙是40，比甲少20%，甲數是多少？（40比什么數少20%？）40÷（1-20%）＝50
④甲是50，比乙多25%，乙數是多少？（50比什么數多25%？）40÷（1+25%）＝40
第七單元 統(tǒng)計
扇形統(tǒng)計圖的特點：可以清楚直觀地反映各部份數量同總量之間的關系。
折線統(tǒng)計圖的特點：不但能夠看出數量的多少，還可以反映出數量增減變化的情況。
條形統(tǒng)計圖的特點：能夠清楚的看出數量的多少。
第八單元?:??數學廣角
1、要看到圖形，借助數看圖形！??2、要看到數，借助圖形看數！?
?3、把數學畫出來！?? 4、?把事物量出來！



相差數÷單位“1”

后項

比值

比號


前項

相差數÷單位“1”



PAGE



1