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七年級上
第二章有理數
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相反意義的量 向東和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，買進和賣出。
正數和負數
像+，+12，1.3，258等大于0的數（“+”通常不寫）叫正數。
像-5，-2.8，-等在正數前面加“—”（讀負）的數叫負數。
【注】0既不是正數也不是負數。
有理數
整數：正整數、零和負整數統稱為整數。
分數：正分數和負分數統稱為分數。
有理數：整數和分數統稱為有理數。
有理數分類
按有理數的定義分類 2）按正負分類
正整數 正整數
整數 0 正有理數
有理數 負整數 有理數 正分數
正分數 0 負整數
分數 負有理數
負分數 負分數
【注】有限循環小數叫做分數。
數集 把一些數組合在一起，就組成了一個數的集合，簡稱數集。所有的有理數組成的數集叫做有理數集，類似的，有整數集，正數集，負數集，所有的正整數和零組成的數集叫做自然數集或叫做非負整數集，所有負數和零組成的數集叫做非負數集。
數軸
（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。
【注】1）數軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可。
2）數軸能形象地表示數，所有的有理數都可用數軸上的點表示，但數軸上的點所表示的數并不都是有理數．
（2）在數軸上比較有理數的大小? 1）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。? 2）由正、負數在數軸上的位置可知：正數都有大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。?
相反數
（1）只有符號不同的兩個數稱互為相反數，如－5與5互為相反數。?
（2）從數軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數叫做互為相反數。（幾何意義）?
（3）0的相反數是0。也只有0的相反數是它的本身。?
（4）相反數是表示兩個數的相互關系，不能單獨存在。?
（5）數a的相反數是—a。
（6）多重符號化簡?? 多重符號化簡的結果是由“－”號的個數決定的。如果“－”號是奇數個，則結果為負； 如果是偶數個，則結果為正。可簡寫為“奇負偶正”。?
絕對值
在數軸上表示數a的點離開原點的距離，叫做數a的絕對值。
一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零．?
絕對值的主要性質?
一個數的絕對值是一個非負數，即a≥0，因此，在實數范圍內，絕對值最小的數是零．?
兩個相反數的絕對值相等．?
運用絕對值比較有理數的大小? 兩個負數，絕對值大的反而小.?
比較兩個負數的方法步驟是：? 1）先分別求出兩個負數的絕對值；? 2）比較這兩個絕對值的大小；? 3）根據“兩個負數，絕對值大的反而小”作出正確的判斷．?
有理數的加法
有理數加法法則
1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
3）互為相反數的兩個數相加得零。
4）一個數與0相加，仍得這個數。
有理數加法的運算律
加法交換律：a＋b＝b＋a
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
有理數的減法減去一個數等于加上這個數的相反數。
a-b=a+(-b)
有理數的加減混合運算
（1）省略加號和的形式：在一個和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）寫成省略加號和的形式為-8+10-6-4。讀作“負8，正10，負6，負4的和”也可讀作“負8加10減6減4。
（2）適當的應用加法運算律。
有理數的乘法
（1）有理數的乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與零相乘都得零。
（2）幾個不等于零的數相乘，積的正負號由負因數的個數決定，當負號的個數為奇數時，積為負；當負號的個數為偶數時，積為正。
幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。
（3）乘法運算律
乘法交換律： ab=ba
乘法結合律：(ab)c=a(bc)
乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac
有理數的除法
（1）倒數：乘積為1的兩個數互為倒數。
【注】0沒有倒數。
（2）有理數除法法則1：除以一個數等于乘以這個數的倒數。
【注】0不能做除數。
（3）有理數的除法法則2：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。
零除以任何一個不等于的數，都得零。
有理數的乘方
（1）求幾個相同因數積的運算，叫做乘方。
個
（2）乘方的結果叫做冪，a叫做底數，n叫做指數。
（3）有理數乘方法則：
正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，0的任何非0次冪都是零。
科學記數法
（1）一般的，10的n次冪，在1的后面有n的0。
（2）一個大于0的數就記成的形式。其中n是正整數。像這樣的記數法叫做科學記數法。
（3）用科學記數法表示一個數時，10的指數等于原數的整數位數減1。（或等于小數點向右移動的位數。
有理數的混合運算
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減。
（2）同級運算，按照從左至右的順序進行。
（3）如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，然后算大括號里的。
近似數和有效數字
（1）準確數：完全符合實際的數。
（2）近似數：和準確數非常接近的數。近似數和準確數接近的程度叫做精確度。
（3）一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的數字起到精確到的位數止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。
（4）近似數的精確度有兩種形式：1）精確到哪一位，2）保留幾個有效數字。
第三章 整式的加減
1．用字母表示數

2．代數式
（1）由數和字母用運算符號連接起所成的式子叫做代數式，單獨的一個數或一個字母也叫代數式。
【注】運算符號指加、減、乘、除、乘方、開方。代數式中不可含有“>”、“<”、“=”、“”、“”、“”等表示相等或不等關系的符號。
（2）代數式書寫要求
代數式中出現的乘號，通常寫作“”或省略不寫。但數字與數字相乘時，要用“”。
數字與字母相乘時，數字寫在字母的前面。
除法運算寫成分數形式。
帶分數與字母相乘時，要把帶分數寫成假分數。
在一些實際問題中，有時表示數量的代數式有單位名稱，若代數式是積或商的形式，則單位直接寫在后面，若代數式是和或差的形式，則必須先把代數式用括號括起來，再將單位名稱寫在后面。
（3）解釋簡單代數式表示的實際背景
（4）列代數式
在解決實際問題時，常常先把問題中與數量有關的詞語用代數式表示出來，即列代數式。
【注】抓住題中表示運算關系的關鍵詞：如和、差、積、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、減少、幾分之幾等。
（5）代數式的值
一般的，用數值代替代數式里的字母，按照代數式中運算計算得出的結果叫做代數式的值。
【注】1)代數式中的值隨著代數式中字母取值的變化而變化。所以求代數式值時，在代入前必須寫出“當……時”。
2）代數式里字母的取值必須確保代數式有意義。
3．單項式
（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它們都是數或字母的積，像這樣的式子叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式。
（2）單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。
（3）單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。
【注】1）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫。
2）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數。
4．多項式
幾個單項式的和，叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。
一個多項式含有幾項，就叫幾項式；例如：x+2x+18是一個二次三項式。
【注】1）多項式的次數不是所有項的次數和。
2）多項式的每一項都包括它前面的正負號。
5．整式 單項式與多項式統稱為整式。
6．升冪排列與降冪排列
為便于多項式的運算，可以用加法交換律將多項式各項的位置按某個字母的指數的大小順序重新排列。
若按某個字母的指數從大到小的順序排列，叫做這個多項式按這個字母降冪排列。
若按某個字母的指數從小到大的順序排列，叫做這個多項式按這個字母升冪排列。
【注】重新排列的多項式，每一項一定要連同它的正負號一起移動。
含有兩個或兩個以上字母的多項式，常常按照其中某一個字母升冪排列或降冪排列。
7．整式的加減
（1）同類項：所含字母相同，并且相同字母指數也相同的項叫做同類項，所有的常數項都是同類項。
（2）合并同類項：根據乘法對加法的分配律把多項式中同類項合并成一項叫做合并同類項。
合并同類項法則：在合并同類項時，把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數保持不變。
(3)去括號與添括號
1）去括號法則：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變正負號；括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項都改變正負號。
a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c
2）添括號法則：所添括號前面是“十”號，括到括號里的各項都不改變正負號；所添括h號前是“一”號，括到括號里的各項都改變正負號。
a+b+c= a+(b+c) a-b-c= a-(b+c)
（4）整式的加減 先去括號，再合并同類項。
第四章圖形的初步認識

1．生活中常見的立體圖形
（1）球體
（2）柱體：包括圓柱和棱柱。
1）圓柱：有兩個底面是圓，側面是曲面。
2）棱柱：上下兩個底面是兩個平行且相同的多邊形，側面是平行四邊形。
棱柱可按底面多邊形邊數分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
（3）椎體：包括圓錐和棱錐。
1）圓錐：有一個底面是圓，側面是曲面。
2）棱錐：底面是多邊形，側面是三角形。
棱錐可按底面多邊形邊數分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。
（4）多面體：由平的面圍成的立體圖形。
2．畫立體圖形
（1）視圖：就是從正面、上面、和側面（左面或右面）三個不同的方向看一個物體，然后描繪三張所看到的圖，即視圖。
正視圖：從正面看到的圖形。
俯視圖：從上面看到的圖形。
側視圖：從側面看到的圖形。依觀看方向不同，有左視圖、右視圖。
三視圖：通常把正視圖、俯視圖、與左（或右）視圖稱作一個物體的三視圖。
（2）球體的三視圖都是圓。
正方體的三視圖都是正方形
圓柱體的正視圖和左視圖都是長方體，俯視圖是圓。
圓錐體的正視圖和左視圖都是三角形，俯視圖是圓，中心有一個點。
3．由視圖到立體圖形
主視圖：可分清物體的長與高。
俯視圖：可分清物體的長與寬。
左視圖：可分清物體的寬與高。
口訣：主俯長對正，主左高齊平，俯左寬相等。
4．立體圖形的表面展開圖
多面體是由平面圖形圍成的的立體圖形，沿著多面體的一些棱將它剪開，可以把多面體的表面展開成一個平面圖形，這個平面圖形叫做多面體的表面展開圖。
正方體的表面展開圖：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型”
口訣：一行不過四，“田”“凹”應棄之，相間、Z端是對面。
5．平面圖形
（1）圓是由曲線圍成的封閉圖形。
（2）多邊形：由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的線段首尾順次連結所組成的封閉圖形叫做多邊形。
按照組成多邊形的邊的個數，多邊形可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……
在多邊形里，三角形是最基本的圖形，每個n邊形都可以分割成(n-2)個三角形。
6．最基本的圖形——點和線
（1）點：通常表示一個物體的位置。
（2）線段、射線、直線
線段：有兩個端點，不向任何一方延伸，可度量。有兩種表示方法線段AB（BA），或線段a。
射線：有一個端點，向一方無限延伸，不可度量。有一種表示方法射線OA.。
直線：沒有端點，向兩方限延伸，不可度量。有兩種表示方法直線AB(BA)，直線l。
（3）兩點之間，線段最短。
經過兩點有且只有一條直線。
（4）線段長短的比較
1) 度量法
2）疊合法，就是把其中一條線段移到另一條線段上，使其一個端點重合，然后去加以比較。
（5）畫一條線段等于已知線段。
已知：線段MN,
求作：一條線段AC，使AC=MN。
做法：1）畫一條射線AB
2)用圓規量出線段MN的長
3）在射線AB上截取AC=MN，則線段AC就是要畫的線段。
（6）線段中點 把一條線段分成相等的點，叫做這條線段的中點。
7．角
（1）角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。
（2）角也可以看成是有一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形。射線的端點叫做角的頂點，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的中邊。
【注】角的大小只與開口大小有關，與角的邊的長短無關。
（3）角的表示方法
1）用數字表示單獨的一個角。如∠1，∠2等
2）用小寫的希臘字母表示單獨的一個角。如∠，∠等
3）用一個大寫的英文字母表示獨立（在一個頂點處只有一個角）的角。如∠O，∠A等。
4）用三個大寫的英文字母表示任意一個角，但必須把表示角的頂點的字母寫在中間。如 ∠AOB，∠BOC等。
（4）角的分類
銳角 < ∠<
直角 ∠=
鈍角 <∠<
平角 角的一條邊繞著端點旋轉到角的終邊和始邊成一直線，這時所成的角叫做平角。
∠=
周角 角的一條邊繞著端點旋轉到角的終邊和始邊再次重合，這時所成的角叫做周角。

（5）角的度量
1周角= 1平角= 。
（6）用角表示方向
一般以正北、正南為基準，向東或向西旋轉的角度表示方向。例如，北偏東。
（7）角的比較
1）度量法
2）疊合法 把一個角放在另一個角上，使它們的頂點重合，其中的一邊也重合，并使兩個角的另一邊都在這一條邊的同側。
（8）畫一個角等于已知的角
已知：∠AOB
求作：∠CDE=∠AOB
作法：1）畫射線DE
2）以點O為圓心，以適當長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N。
3）以點D為圓心，以OM長為半徑作弧，交DE于P。
4）以點P為圓心，以MN長為半徑作弧，交前一條弧于Q。
5）經過點Q畫射線DC。
則∠CDE為所求。
（9）角的平分線
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
（10）角的特殊關系
1）互為余角：兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角，簡稱互余。
互為補角：：兩個角的和等于（平角），就說這兩個角互為補角，簡稱互補。
2）等角或同角的余角相等。
等角或同角的補角相等。
3）對頂角 兩條直線相交得到的，有公共的頂點，沒有公共邊的兩個角。
4）對頂角相等
第五章相交線與平行線
兩條直線相交所構成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
若直線AB、CD互相垂直。記作“”
（2）垂線的性質
在同一平面內，經過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直。
由直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡述為“垂線段最短”。
（3）點到直線的距離
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
相交線中的角
直線l截直線a、b得到八個角。
同位角：在截線l的同一側，被截直線a、b的同一方，這樣位置的一對角叫做同位角。如∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。
內錯角：在截線l的兩側，被截直線a、b的內部，這樣位置的一對角叫做內錯角。如∠5與∠3，∠6與∠4。
同旁內角：在截線l的同一側，被截直線a、b的內部，這樣位置的一對角叫做同旁內角。如∠3與∠6，∠4與∠5。
平行線
（1）在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。若直線a與直線b互相平行，記作“//b”。
【注】1）在同一平面內兩條直線的位置關系只有平行與相交。
2）線段、射線平行是指它們本身所在的直線平行。
（2）平行公理：經過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。
推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
（3）畫一條直線與已知直線平行 一貼二靠三推四畫
（4）平行線的判定
同位角相等，兩直線平行
內錯角相等，兩直線平行
同旁內角互補，兩直線平行
垂直于同一條直線的兩條直線平行
（5）平行線的性質
兩直線平行，同位角相等
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，同旁內角互補

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