資源簡介

2
高中數學知識歸納匯總
目錄
第一部分 集合 ................................................................................................................... 3
第二部分 函數與導數 ......................................................................................................... 4
第三部分 三角函數、三角恒等變換與解三角形 ............................................................. 8
第四部分 立體幾何 ......................................................................................................... 10
第五部分 直線與圓 ......................................................................................................... 12
第六部分 圓錐曲線 ......................................................................................................... 14
第七部分 平面向量 ....................................................................................................... 16
第八部分 數列 ............................................................................................................... 17
第九部分 不等式 ............................................................................................................... 19
第十部分 復數 ................................................................................................................. 20
第十一部分 概率 ............................................................................................................. 21
第十二部分 統計與統計案例 ........................................................................................... 22
第十三部分 算法初步 ....................................................................................................... 23
第十四部分 常用邏輯用語與推理證明 ........................................................................... 24
第十五部分 推理與證明 ................................................................................................... 25
第十六部分 理科選修部分 ............................................................................................. 26






3
第一部分 集合
1．N，Z，Q，R 分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集；
2．交集， }.{ BxAxxBA ??? 且? 并集， }.{ BxAxxBA ??? 或? 符號區分；
3．（1）含 n 個元素的集合的子集數為 2n,非空子集數為 2n－1；真子集數為 2n－1；非
空真子集的數為 2n-2；
（2） ;BBAABABA ????? ?? 注意：討論的時候不要遺忘了 ??A 的情
況。
（3） );()()();()()( BCACBACBCACBAC IIIIII ???? ??
4．? 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
























4
第二部分 函數與導數
1．定義域：①抽象函數；已知 [k(x)]f 定義域，求 [g(x)]f 定義域， (x)k 與 (x)g 值
域相同。（具體可以參考本節第 4點復合函數定義域求法）。
②具體函數。分母不為 0，偶次根號下不為負數，
0a 中 a不為 0， tan? ，
loga x 中的 x為正數。
2．值域：①一元二次方程配方法 ；②換元法；③分離參數法 ；
3．解析式：①配方法 ；②換元法；③待定系數和；④消去法。
4．復合函數的有關問題
（1）復合函數定義域求法：
① 若 f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數 f[g(x)]的定義域由不等式 a≤g(x)≤b
解出；
② 若 f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于 x∈[a,b]時，求 g(x)的值
域。
（2）復合函數單調性的判定：
①首先將原函數 )]([ xgfy ? 分解為基本函數：內函數 )(xgu ? 與外函數
)(ufy ? ；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；
③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性。
注意：外函數 )(ufy ? 的定義域是內函數 )(xgu ? 的值域。
5．函數的奇偶性
⑴函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．．．．；
⑵ )(xf 是奇函數? 1
)(
)(
0)()()()( ??
?
????????
xf
xf
xfxfxfxf ；
⑶ )(xf 是偶函數 1
)(
)(
0)()()()( ?
?
????????
xf
xf
xfxfxfxf ；
⑷奇函數 )(xf 在原點有定義，則 0)0( ?f ；
⑸在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；
6．函數的單調性
⑴單調性的定義：
① )(xf 在 區 間 M 上 是 增 函 數 ,, 21 Mxx ??? 當 21 xx ? 時 有

5
0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0
)()(
21
21 ?
?
?
?
xx
xfxf
；
② )(xf 在 區 間 M 上 是 減 函 數 ,, 21 Mxx ??? 當 21 xx ? 時 有
0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0
)()(
21
21 ?
?
?
?
xx
xfxf
；
⑵單調性的判定
① 定義法：一般要將式子 )()( 21 xfxf ? 化為幾個因式作積或作商的形式，以利于
判斷符號；
② 導數法（見導數部分）；
③ 復合函數法；
④ 圖像法。
注：證明單調性主要用定義法和導數法。
7．函數的周期性
(1)周期性的定義：
對定義域內的任意 x ，若有 )()( xfTxf ?? （其中T 為非零常數），則稱函數
)(xf 為周期函數，T 為它的一個周期。
所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指
最小正周期。
（2）三角函數的周期
① ?2:sin ?? Txy ；② ?2:cos ?? Txy ；③ ??? Txy :tan ；
④
||
2
:)cos(),sin(
?
?
???? ????? TxAyxAy ；⑤
||
:tan
?
?
? ?? Txy ；
⑶ 與周期有關的結論
① )()( axfaxf ??? 或 )0)(()2( ??? axfaxf ? )(xf 的周期為 a2 ；
② )(xfy ? 的圖象關于點 )0,(),0,( ba 中心對稱? )(xf 周期為 2 ba ? ；
③ )(xfy ? 的圖象關于直線 bxax ?? , 軸對稱? )(xf 周期為 2 ba ? ；
④ )(xfy ? 的圖象關于點 )0,(a 中心對稱，直線 bx ? 軸對稱? )(xf 周期為

6
4 ba ? ；
8．基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數：
?xy ? （ )R?? ；⑵指數函數： )1,0( ??? aaay x ；
⑶對數函數: )1,0(log ??? aaxy a ；⑷正弦函數: xy sin? ；
⑸余弦函數： xy cos? ；（6）正切函數： xy tan? ；⑺一元二次函數： 02 ??? cbxax ；
⑻其它常用函數：
① 正比例函數： )0( ?? kkxy ；②反比例函數： )0( ?? k
x
k
y ；特別的
x
y
1
?
② 函數 )0( ??? a
x
a
xy ；
9．二次函數：
⑴解析式：
①一般式： cbxaxxf ??? 2)( ；②頂點式： khxaxf ??? 2)()( ， ),( kh 為頂點；
③零點式： ))(()( 21 xxxxaxf ??? 。
⑵二次函數問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。
⑶二次函數問題解決方法：①數形結合；②分類討論。
10．函數圖象：
⑴圖象作法 ：①描點法 （特別注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法
⑵圖象變換：
① 平移變換：ⅰ )()( axfyxfy ???? ， )0( ?a ———左“+”右“-”；
ⅱ )0(,)()( ????? kkxfyxfy ———上“+”下“-”；
② 伸縮變換：
ⅰ )()( xfyxfy ???? ， （ )0?? ———縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的
?
1

倍；
ⅱ )()( xAfyxfy ??? ， （ )0?A ———橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的 A倍；
③ 對稱變換：ⅰ )(xfy ? ???
)0,0(
)( xfy ??? ；ⅱ )(xfy ? ???
?0y
)(xfy ?? ；

7
ⅲ )(xfy ? ???
?0x
)( xfy ?? ；
④ 翻轉變換：
ⅰ |)(|)( xfyxfy ??? ———右不動，右向左翻（ )(xf 在 y 左側圖象去掉）；
ⅱ |)(|)( xfyxfy ??? ———上不動，下向上翻（| )(xf |在 x 下面無圖象）；
11．函數圖象（曲線）對稱性的證明
(1)證明函數 )(xfy ? 圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）
的對稱點仍在圖像上；
（2）證明函數 )(xfy ? 與 )(xgy ? 圖象的對稱性，即證明 )(xfy ? 圖象上任意
點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在 )(xgy ? 的圖象上，反之亦然；
（注意上述兩點的區別?。?
注：
①曲線 C1:f(x,y)=0 關于點（a,b）的對稱曲線 C2 方程為：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲線 C1:f(x,y)=0 關于直線 x=a 的對稱曲線 C2方程為：f(2a－x, y)=0;
③曲線 C1：f(x,y)=0,關于 y=x+a(或 y=－x+a)的對稱曲線 C2的方程為 f(y－
a,x+a)=0(或 f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） ??y=f(x)圖像關于直線 x=
2
ba ?
對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） ??y=f(x)圖像關于直線 x=a 對稱；
⑤函數 y=f(x－a)與 y=f(b－x)的圖像關于直線 x=
2
ba ?
對稱；
12．函數零點的求法：
⑴直接法（求 0)( ?xf 的根）；⑵圖象法；.
13．導數
⑴導數定義：f(x)在點 x0處的導數記作
x
xfxxf
xfy
x
xx
?
???
????
??
?
)()(
lim)( 00
0
00
；
⑵常見函數的導數公式: ①
'C 0? ；② 1')( ?? nn nxx ；③ xx cos)(sin ' ? ；
④ xx sin)(cos ' ?? ；⑤ aaa xx ln)( ' ? ；⑥ xx ee ?')( ；⑦
ax
xa
ln
1
)(log ' ? ；
⑧
x
x
1
)(ln ' ? 。

8
⑶導數的四則運算法則： ;)(;)(;)(
2v
vuvu
v
u
vuvuuvvuvu
???
?????????????
⑷（理科）復合函數的導數： ;xux uyy ?????
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：?。┧o點是切點嗎？ⅱ）所求的是“在”還是“過”
該點的切線？
②利用導數判斷函數單調性：
ⅰ )(0)( xfxf ??? 是增函數；ⅱ )(0)( xfxf ??? 為減函數；
ⅲ )(0)( xfxf ??? 為常數；
③利用導數求極值：ⅰ求導數 )(xf ? ；ⅱ求方程 0)( ?? xf 的根；ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
14．（理科）定積分
⑴定積分的定義： )(lim)(
1
i
n
i
b
a n
f
n
ab
dxxf ???
?
??
?
?
⑵定積分的性質：① ? ??
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ k 常數）；
② ?? ? ???
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([ 2121 ；
③ ?? ? ??
b
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()( （其中 )bca ?? 。
⑶微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）：? ???
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()(|)()(
⑷定積分的應用：①求曲邊梯形的面積： dxxgxfS
b
a
|)()(|? ?? ；
③ 求變速直線運動的路程： ??
b
a
dttvS )( ；③求變力做功： ??
b
a
dxxFW )( 。




第三部分 三角函數、三角恒等變換與解三角形

9
1．⑴角度制與弧度制的互化：? 弧度 ?180? ，
180
1
?
?? 弧度，1弧度 ?)
180
(
?
? '1857??
⑵弧長公式： Rl ?? ；扇形面積公式： RlRS
2
1
2
1 2 ?? ? 。
2．三角函數定義：角? 中邊上任意一點P 為 ),( yx ，設 rOP ?|| 則：
,cos,sin
r
x
r
y
?? ??
x
y
??tan
3．三角函數符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；
4．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”；
5．⑴ )sin( ?? ?? xAy 對稱軸：
?
?
?
? ??
? 2
k
x ；對稱中心： ))(0,( Zk
k
?
?
?
??
；
⑵ )cos( ?? ?? xAy 對稱軸：
?
?? ?
?
k
x ；對稱中心： ))(0,
2( Zk
k
?
??
?
?
?
?
；
6．同角三角函數的基本關系： x
x
x
xx tan
cos
sin
;1cossin 22 ??? ；
7. 三角函數的單調區間
xy s i n? 的遞增區間是 )](
2
2,
2
2[ Zkkk ???
?
?
?
? ，遞減區間是
)](
2
3
2,
2
2[ Zkkk ???
?
?
?
? ；
xy cos? 的遞增區間是 )](2,2[ Zkkk ?? ??? ，遞減區間是
)](2,2[ Zkkk ?????
xy tan? 的遞增區間是 )
2
,
2
(
?
?
?
? ?? kk )( Zk?
xy cot? 的遞減區間是 ))(,( Zkkk ?????
8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：① ;sincoscossin)sin( ?????? ???
② ;sinsincoscos)cos( ?????? ??? ③
??
??
??
tantan1
tantan
)tan(
?
?
?? 。．二
9. 倍角公式：① ??? cossin22sin ? ；
② ????? 2222 sin211cos2sincos2cos ?????? ；③
?
?
?
2tan1
tan2
2tan
?
? 。

10
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
??? （ R2 是 ABC? 外接圓直徑 ）
注：① CBAcba sin:sin:sin:: ? ；② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ??? ；
③
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin ??
??
??? 。
⑵余弦定理： Abccba cos2222 ??? 等三個；注：
bc
acb
A
2
cos
222 ??
? 等三個。
11。幾個公式:
⑴三角形面積公式： CabahS ABC sin
2
1
2
1
??? ；
⑵內切圓半徑 r=
cba
S ABC
??
?2 ；外接圓直徑 2R= ;
sinsinsin C
c
B
b
A
a
??

11．已知 Aba ,, 時三角形解的個數的判定：









第四部分 立體幾何
1．三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為 1:22 。
A
b
a
C
h
其中 h=bsinA,⑴A 為銳角時：①a②a=h 時，一解（直角）；③h一鈍角）；④a? b 時，一解（一銳角）。
⑵A 為直角或鈍角時：①a? b 時，無解；②a>b 時，
一解（銳角）。

11
2．表（側）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S 側+2S 底；②側面積：S 側= rh?2 ；③體積：V=S 底h
⑵錐體：①表面積：S=S 側+S 底；②側面積：S 側= rl? ；③體積：V=
3
1
S 底h：
⑶臺體：①表面積：S=S 側+S 上底S 下底；②側面積：S 側= lrr )(
'?? ；
③體積：V=
3
1
（S+
'' SSS ? ）h；
⑷球體：①表面積：S=
24 R? ；②體積：V= 3
3
4
R? 。
3．位置關系的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①公理 4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行?線面平行。
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面
平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科還可用向量法。
4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴異面直線所成角的求法：
① 平移法：平移直線，構造三角形；
② 補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發現兩條異面直線間的關系。
注：理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點到平面距離 h，與斜線段長度作
比，得 sin? 。
注：理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
5．結論：
⑴ 長方體從一個頂點出發地三條棱長分別為 a，b，c，則對角線長為
222 cba ?? ，
全面積為 2ab+2bc+2ca；
長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為 ,,, ??? 則：
cos
2? +cos2? +cos2? =1；sin2? +sin2 ? +sin2? =2
⑵ 正方體的棱長為 a，則對角線長為 a3 ，全面積為 6 2a ，體積為 3a
⑶ 長方體或正方體的外接球直徑 2R 等于長方體或正方體的對角線長；
(4) 正四面體的性質：設棱長為a ，則正四面體的： A

12
① 高： ah
3
6
? ；②對棱間距離： a
2
2
；
② 內切球半徑： a
12
6
；外接球半徑： a
4
6
；



























第五部分 直線與圓
1．直線方程
⑴點斜式： )( ?? xxkyy ??? ；⑵斜截式： bkxy ?? ；⑶截距式： 1??
b
y
a
x
；

13
⑷兩點式：
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
?
?
?
?
?
；⑸一般式： 0??? CByAx ，（A，B 不全為 0）。
（直線的方向向量：（ ), AB ? ，法向量（ ), BA
2．求解線性規劃問題的步驟是：
（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數；（3）確定目標函數的最優解。
3．兩條直線的位置關系：









4．直線系：

5．幾個公式
⑴設 A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC 的重心 G：（
3
,
3
321321 yyyxxx ???? ）；
⑵點 P（x0,y0）到直線 Ax+By+C=0 的距離：
22
00
BA
CByAx
d
?
??
? ；
⑶兩條平行線 Ax+By+C1=0 與 Ax+By+C2=0 的距離是
22
21
BA
CC
d
?
?
? ；
6．圓的方程：
直線方程 bkxy ?? 0??? CByAx
平行直線系 mkxy ?? 0??? mByAx
垂直直線系 mx
k
y ???
1
0??? mAyBx
相交直線系 0)( 222111 ?????? CyBxACyBxA ?
直線方程 平行的充要條件 垂直的充要條件 備注
222
111
:
:
bxkyl
bxkyl
??
??
21,21 bbkk ?? 121 ??? kk 21 , ll 有斜率
0: 1111 ??? CyBxAl ,1221 BABA ? 且 02121 ?? BBAA 不可寫成
0: 2222 ??? CyBxAl 1221 CBCB ? （驗證） 分式

14
⑴標準方程：①
222 )()( rbyax ???? ；② 222 ryx ?? 。
⑵一般方程： 022 ????? FEyDxyx （ )0422 ??? FED
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圓? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2－4AF>0；
7．圓的方程的求法：⑴待定系數法；⑵幾何法；⑶圓系法。
8．圓系：
⑴ )1(,0)( 222
22
111
22 ???????????? ?? FyExDyxFyExDyx ；
注：當 1??? 時表示兩圓交線。
⑵ )1(,0)(22 ?????????? ?? CByAxFEyDxyx 。
9．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）
⑴點與圓的位置關系：（d 表示點到圓心的距離）
① ?? Rd 點在圓上；② ?? Rd 點在圓內；③ ?? Rd 點在圓外。
⑵直線與圓的位置關系：（d 表示圓心到直線的距離）
① ?? Rd 相切；② ?? Rd 相交；（直線與圓相交所得的弦長
22 drAB ?? ）
③ ?? Rd 相離。
⑶圓與圓的位置關系：（d 表示圓心距， rR, 表示兩圓半徑，且 rR ? ）
① ??? rRd 相離；② ??? rRd 外切；③ ????? rRdrR 相交；
④ ??? rRd 內切；⑤ ???? rRd0 內含。
10．與圓有關的結論：
⑴過圓 x2+y2=r2 上的點 M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r
2；
過圓(x-a)2+(y-b)2=r2 上的點 M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r
2；
⑵以 A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。






第六部分 圓錐曲線
（此部分重點內容為三種圓錐曲線的方程、幾何性質，下面所列可能是你

15
會疏忽的一些內容）
1．定義：⑴橢圓： |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF ??? ；
⑵雙曲線： |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF ??? ；
⑶拋物線： dMF ?
2．結論
⑴焦半徑：①橢圓： 0201 , exaPFexaPF ???? （e 為離心率）； （左“+”右
“-”）；
②拋物線 pxy 22 ? ：
2
0
p
xPF ?? （ 0?p ）
⑵弦長公式： ]4))[(1(1 21
2
21
2
12
2 xxxxkxxkAB ????????
]4)[()
1
1(
1
1 21
2
212122
yyyy
k
yy
k
????????? ；
注：（Ⅰ）拋物線焦點弦長： AB ＝x1+x2+p
（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：
a
b 22 ；②拋物線：2p。
⑶ 過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為： 122 ?? nymx （ nm, 同時大于 0
時表示橢圓， 0?mn 時表示雙曲線）；
(4) 雙曲線中的結論：
①雙曲線 1
2
2
2
2
??
b
y
a
x （a>0,b>0）的漸近線： 0
2
2
2
2
??
b
y
a
x ；
②共漸進線 x
a
b
y ?? 的雙曲線標準方程為 ??(
2
2
2
2
??
b
y
a
x 為參數，? ≠0）；
③雙曲線為等軸雙曲線? ?? 2e 漸近線為 xy ?? ?漸近線互相垂直；
3．直線與圓錐曲線問題解法：
⑴直接法（通法）：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。
注意以下問題：
①聯立的關于“ x ”還是關于“ y ”的一元二次方程？
②直線斜率不存在時考慮了嗎？
③判別式驗證了嗎？
⑵設而不求（代點相減法或叫點差法）：--------處理弦中點問題

16
步驟如下：①設點 A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得 ???
?
?
?
21
21
xx
yy
kAB ；③解
決問題。
4．求軌跡的常用方法：
（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關
點法或轉移法）；⑷待定系數法；（5）參數法；（6）交軌法。

























第七部分 平面向量
⑴設 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：
① a∥b(b≠0)? a=? b （ )R?? ? x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0)? a·b=0? x1x2+y1y2=0 .

17
⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投
影；
③ a·b 的幾何意義：a·b 等于|a|與|b|在 a 方向上的投影|b|cos
的乘積。
⑶cos=
|||| ba
ba ?
；
（4）
22
222
yxaaaaaa ???????
⑷三點共線的充要條件
P，A，B三點共線? )1yx( ???? 且OByOAxOP ；
附：（理科）P，A，B，C四點共面? )1zyx( ?????? 且OCzOByOAxOP 。















第八部分 數列
1．定義：
⑴等差數列 *),2(2( 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn ???????? ??? 為常數）｝｛
BnAnsbkna nn ??????
2 ；

18
⑵等比數列 N)n2,(n)0(} 1n1-n
2
n
1n
n ???????? ?
? aaaqq
a
a
a
n
｛
)0k,1q,0q(kqkSn0,( n ???????? 的常數）均為不為qccqa nn ；
2．等差、等比數列性質
等差數列 等比數列
通項公式 dnaan )1(1 ???
1
1
?? nn qaa
前 n 項和 d
nn
na
aan
S nn
2
)1(
2
)(
1
1 ???
?
?
q
qaa
q
qa
Sq
naSq
n
n
n
n
?
?
?
?
?
??
??
1
1
)1(
1.2
;1.1
1
1
1
時，
時，

性質 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amq
n-m
;
②m+n=p+q 時 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 時 aman=apaq
③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 AP ③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 GP
④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 AP, mdd ?' ④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 GP,
mqq ?'
3．數列通項的求法：
⑴定義法（利用 AP,GP 的定義）；（2）累加法（ 型nnn caa ???1 ；

（3）公式法：

⑷累乘法（ n
n
n c
a
a
??1 型）；⑸變形構造法（ bkaa nn ???1 、
4
11
4
1
11 ?????
?
??
nn
nnnn
aa
aaaa 等類型）；
4．前n 項和的求法：
（1）倒序相加法；（2）錯位相減法。（3）裂項相消法；（4）分組求和法
5．等差數列前 n 項和最值的求法：
⑴（數列思想）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 0
0
0
0
11 n
n
n
n
a
a
a
a
或 ；⑵（函數思想）利用二次函數的圖象
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)

19
與性質。



























第九部分 不等式
1．均值不等式：
22
22 baba
ab
?
?
?
?
注意：①一正二定三相等；②變形，
2
)
2
(
22
2 babaab
?
?
?
? 。
2．不等式的性質：
⑴ abba ??? ；⑵ cacbba ???? , ；

20
⑶ cbcaba ????? ； dcba ?? , dbca ???? ；
⑷ bdaccba ???? 0, ； bcaccba ???? 0, ； ,0?? ba
bdacdc ???? 0 ；
⑸ )(00 ??????? Nnbaba nn ；（6） ??? 0ba )( ??? Nnba nn 。
4．不等式等證明（主要）方法：
⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。


















第十部分 復數
1．概念：
⑴z=a+bi∈R? b=0 (a,b∈R)? z= z ? z2≥0；
⑵z=a+bi 是虛數? b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi 是純虛數? a=0 且 b≠0(a,b∈R)? z＋ z ＝0（z≠0）? z2<0；
⑷a+bi=c+di? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R)；
2．復數的代數形式及其運算：設 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，則：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
⑶ z1÷z2 (z2≠0) （方法：分子分母同時乘以分母的共軛復數）;

21
3．共軛的性質：⑴ 2121 )( zzzz ??? ；⑵ 2121 zzzz ?? ；⑶
2
1
2
1 )(
z
z
z
z
? ；⑷ zz ? 。
4．模的性質：（1） |||||| 2121 zzzz ? ；（2）
||
||
||
2
1
2
1
z
z
z
z
? ；（3） nn zz |||| ? ；





















第十一部分 概率
1．事件的關系：
（1）事件 A 與事件 B 互斥：不可能同時發生的兩個事件 A 和 B 叫做互斥事件；
﹙2﹚對立事件：兩個互斥事件 A、B 必有一個發生，則這兩個事件叫做對立事件
2．概率公式：
（1） 互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
（2）對立事件概率公式： )(1)( APAP ??

22
（3） 古典概型：
基本事件的總數
包含的基本事件的個數A
AP ?)( ；
（4） 幾何概型：
等）區域長度（面積或體積試驗的全部結果構成的
積等）的區域長度（面積或體構成事件A
AP ?)(
=
D
d
；




















第十二部分 統計與統計案例
1．抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為 N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個
容量為 n 的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
注：①每個個體被抽到的概率為
N
n
；
②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數法。
⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的
規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。

23
注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號 l ；
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的
情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數?
N
n

2．總體特征數的估計：
⑴樣本平均數 ?
?
????????
n
i
in x
n
xxx
n
x
1
21
1
)(
1 ；
⑵樣本方差 ])()()[(
1 22
2
2
1
2 xxxxxx
n
S n ??????????
2
1
)(
1
xx
n
n
i
i ?? ?
?
；
⑶樣本標準差 ])()()[(
1 22
2
2
1 xxxxxx
n
S n ??????????
= 2
1
)(
1
xx
n
n
i
i ??
?
；
3．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：
? ?
?
? ?
?
??
??
?
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1 1
22
1
)()(
))((

注：⑴ r >0 時，變量 yx, 正相關； r <0 時，變量 yx, 負相關；
⑵ ① || r 越接近于 1，兩個變量的線性相關性越強；
② || r 接近于 0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。
（3）判斷兩個變量線性相關性還可以通過畫出散點圖進行分析
4．獨立性檢驗（分類變量關系）：
隨機變量
2K 越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。
第十三部分 算法初步
1．程序框圖：
⑴圖形符號：
① 終端框（起止況）；② 輸入、輸出框；⑥ 連接點。

③
處理框（執行框）；④ 判斷框；⑤ 流程線 ；

⑵程序框圖分類:
①順序結構： ②條件結構： ③循環結構：

24
r=0? 否 求 n 除以 i 的余數
輸入 n 是
n 不是質素 n 是質數 i=i+1
i=2
i? n或 r=0?否
是




















第十四部分 常用邏輯用語與推理證明
1． 四種命題：
⑴原命題：若 p 則 q； ⑵逆命題：若 q 則 p；
⑶否命題：若?p 則?q；⑷逆否命題：若?q 則?p
注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。
2．充要條件的判斷：
（1）定義法----正、反方向推理；
（2）利用集合間的包含關系：例如：若 BA? ，則 A 是 B 的充分條件或 B 是 A
的必要條件；若 A=B，則 A 是 B 的充要條件；
3．邏輯連接詞：
⑴且(and) ：命題形式 p? q； p q p? q p? q ?p

25
⑵或（or）：命題形式 p? q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命題形式?p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全稱量詞與存在量詞
⑴ 全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用?表示；
全稱命題 p： )(, xpMx?? ；
全稱命題 p 的否定?p： )(, xpMx ??? 。
⑵ 存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用?表示；
特稱命題 p： )(, xpMx?? ；
特稱命題 p 的否定?p： )(, xpMx ??? ；










第十五部分 推理與證明
數學歸納法（僅限理科）
一般的證明一個與正整數n 有關的一個命題，可按以下步驟進行：
⑴證明當n 取第一個值 0n 是命題成立；
⑵假設當 ),( 0
???? Nknkkn 命題成立，證明當 1?? kn 時命題也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命題對從 0n 開始所有的正整數都成立。
這種證明方法叫數學歸納法。
注：①數學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行；

26
④ 0n 的取值視題目而定，可能是 1，也可能是 2 等。























第十六部分 理科選修部分
1． 排列、組合和二項式定理
⑴排列數公式:
m
nA =n(n-1)(n-2)?(n-m＋1)= )!(
!
mn
n
? (m≤n,m、n∈N*),當 m=n 時為全排
列
n
nA =n(n-1)(n-2)?3.2.1=n!;
⑵組合數公式：
123)2()1(
)1()1(
! ?????????
???????
??
mmm
mnnn
m
A
C
m
nm
n
（m≤n）, 10 ?? nnn CC ；
⑶組合數性質：
m
n
m
n
m
n
mn
n
m
n CCCCC 1
1; ?
?? ??? ；
⑷二項式定理： )()( 1110 ??? ???????? NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ??

27
①通項： );,...,2,1,0(1 nrbaCT
rrnr
nr ??
?
? ②注意二項式系數與系數的區別；
⑸二項式系數的性質：
①與首末兩端等距離的二項式系數相等；②若 n 為偶數，中間一項（第
2
n
＋1 項）二
項式系數最大；若 n 為奇數，中間兩項（第
2
1?n
和
2
1?n
＋1 項）二項式系數最大；
③ ;2;2 13120210 ????????????????????? nnnnn
nn
nnnn CCCCCCCC
(6)求二項展開式各項系數和或奇（偶）數項系數和時，注意運用賦值法。

2. 概率與統計
⑴隨機變量的分布列：
①隨機變量分布列的性質：pi≥0,i=1,2,?； p1+p2+?=1;
②離散型隨機變量：
X x1 X2 ? xn ?
P P1 P2 ? Pn ?
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ;
方差：DX＝ ????????????? nn pEXxpEXxpEXx
2
2
2
21
2
1 )()()( ;
注： DXabaXDbaEXbaXE 2)(;)( ????? ；


③兩點分布：
X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).
P 1－p p

① 超幾何分布：
一般地，在含有 M 件次品的 N 件產品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，則
},,min{,,1,0,)( nMmmk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M ????
?
? ? 其中， NMNn ?? , 。
稱分布列

X 0 1 ? m

28
P
n
N
n
MNM
C
CC 00 ??

n
N
n
MNM
C
CC 11 ??
?
n
N
mn
MN
m
M
C
CC ??

為超幾何分布列， 稱 X 服從超幾何分布。
⑤二項分布（獨立重復試驗）：
若 X～B（n,p）,則 EX＝np, DX＝np（1- p）;注：
knkk
n ppCkXP
???? )1()( 。
⑵條件概率：稱
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP ? 為在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的概率。
注：①0? P（B|A）? 1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶獨立事件同時發生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正態總體的概率密度函數： ,,
2
1
)(
2
2
2
)(
Rxexf
x
??
?
?
?
?
??
式中 ??, 是參數，分別表
示總體的平均數（期望值）與標準差；
（6）正態曲線的性質：
①曲線位于 x 軸上方，與 x 軸不相交；②曲線是單峰的，關于直線 x＝? 對稱；
③曲線在 x＝? 處達到峰值
?? 2
1
；④曲線與 x 軸之間的面積為 1；
② 當? 一定時，曲線隨? 質的變化沿 x 軸平移；
③ 當? 一定時，曲線形狀由? 確定：? 越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越集
中；
? 越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越分散。
注：P )( ???? ???? x =0.6826；P )22( ???? ???? x =0.9544
P )33( ???? ???? x =0.9974

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