資源簡介

事物的本質、關系和規律。
”
這一表述闡明了
數學與大自然及人類社會的天然聯系,數學是
表達宇宙空間本質的工具。同時,數學最本質
的特征是邏輯的嚴密性,其中蘊含著講規則、
重證據、依邏輯、實事求是、嚴謹求實的科學
精神與為人品格。這樣,數學不僅有理解和表
達現實事物的本質、關系和規律以及發展學生
理性思維的工具屬性,也有鮮明的科學精神、
為人品格等價值觀念屬性。所以,數學教育必
然是工具性和價值觀的統一體,體現數學教育
本來面目的數學課堂教學必然是
“
德智融合
”
的,科學精神的培育是自然而然地融人在
“
四
基
”“
四能
”
的教學中的。也就是說,如果課
堂教學沒有把育德和育智緊密結合起來,那么
就沒有完整體現數學教育的真諦.
理性思維得到良好發展的具體表現是:能
抓住紛繁復雜事物中的關鍵要素,善于發現事
物的本質、關系和規律;善于返璞歸真、精中
求簡、以簡馭繁,能在一般觀念指導下思考和
解決問題;對 自己的判斷和選擇有清晰且自覺
的認識,能有理有據、前后一致、邏輯連貫地
闡明觀點;善于透過現象看本質,識破似是而
非的詭辯;形成重論據、有條理、合乎邏輯的
思維品質,養成以理服人的行為習慣。
總之,符合立德樹人要求的數學教育,就
是要充分挖掘和利用數學課程內容所蘊含的育
人資源,發揮數學在形成人的理性思維、科學
精神和促進人的智力發展中的獨特作用,用數
學的方式開展育人活動,使學生在掌握
“
四
基
”
、提高
“
四能
”
的過程中,學會有邏輯地、
創造性地思考,形成數學的思維方式,發展理
性思維,養成科學精神,成為善于認識問題、
解決問題的人才.
=、
理解中學數學
從上所述可見,深化數學課程改革,就是
要以立德樹人為根本,以數學學科核心素養為
目標導向,培養
“
四基
”“
四能
”
為手段,發
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展理性思維和科學精神為落腳點。為了建立數
學學科核心素養與數學課程及其教學的內在聯
系,充分發揮數學課程和教學在全面貫徹黨的
教育方針、落實立德樹人根本任務、發展素質
教育等方面獨特的育人價值 ,《標準 (2017年
版)》 給出了數學學科核心素養,明確了學生
學習數學課程后應達成的正確價值觀、必備品
格和關鍵能力,并圍繞數學學科核心素養的落
實,精選、重組了教學內容,提出了以核心素
養為導向的數學教材編寫、數學教學以及考試
評價的新要求,強調數學教學要更加關注數學
學科思想`數學思維方式等
,要努力克服重教
書輕育人的傾向.因此,落實數學學科核心素
養的前提是教師理解中學數學內容,關鍵是理
解內容所反映的數學思想方法,以及在研究數
學對象中所采用的思維方式.
下面我們以 《標準 (⒛ 17年版)》 必修
和選擇性必修中的內容為主體,將中學數學教
科書中的內容編織成為一個知識圖譜,以便大
家對它有一個脈絡清晰、重點突出的理解。這
里的知識圖譜是顯示數學知識發展進程與結構
關系的一系列圖形,可以幫助大家運用系統思
維,從整體性、聯系性、層次性等角度去分析
和把握中學數學內容。
1.中學數學的研究對象
對于
“
什么是數學
”“
數學的研究對象有
哪些類型
”
等問題的回答,可以有不同觀點 ,
可以從不同角度給出回答。 《標準 (⒛ 17年
版)》 延續了恩格斯的觀點,認為
“
數學是研
究數量關系與空間形式的一門科學
”.這樣 ,
數學的研究對象有的可以納人較單純狀態的
“
數量關系
”
或
“
空間形式
”,有的可以納人兩
者融合狀態的
“
數形結合
”。概率與統計當然
也可以也可以納人上述三條主線中,但概率與
統計是研究不確定現象的,其他中學數學則是
研究確定現象的,若把后者稱為確定性數學 ,
則概率與統計是以確定性數學為工具來研究不
確定現象的數學,所以概率與統計應放在一個
獨立的位置上。在中學階段,集合與常用邏輯
用語都是刻畫事物的語言和工具,因此應該作
為學習所有內容的基礎。
2.集合與常用邏輯用語
曩 只要研究問題,就有研究對象。這
些研究對象都是數學中的元素.一方面把一些
元素放在一起作為一個整體看待,就形成一個
集合。因而元素、集合是處處存在的。另一方
面,從有關自然數的 Peano公理,以及關于歐
氏幾何的公理體系可以看到或感覺到,無論是
“
數量關系
” “
空間形式
”
中涉及的對象和概
念,還是
“
數形結合
”
中遇到的對象和概念 ,
都能用集合論的語言 (元素、集合、屬于、子
集、映射等)給出它們的定義.在這個意義
上,可以說數學研究的很多對象都是元素間具
有某些關系的集合。這樣,集合論的語言就自
攮禹騷鼙 實數及其運算和大小關系。實數
是度量大小的絕好工具,實數系是一切具有運
算的體系的標兵,任何具有運算的體系中的內
容、方法與思想,都能在與實數系的類比中得
到啟發。
攮巍瑙鍪 復數及其運算。復數由實數擴張
而得,是人類能創造出的最大、最佳數系。這
是因為:把復數系再擴張時,就不再存在像復
數系這樣方便而完美的運算了。對復數系,我
然地成為數學的基本語言,并且從這里我們還
會看到和相信,為什么數學的研究成果 ,數學
的研究思想、方法等都有可能在其他理論中派
上用場,得到廣泛應用。
數學的最重要特征是它的
嚴謹性,這種嚴謹性是由一系列表示關系的邏
輯術語把表示概念的名詞連接在一起而體現
的,由此 ,從條件到結論 ,清清楚楚、明明白
白,不會產生歧義,而且能被其他人理解。數
學的表達方式是全世界數學家都認同和遵守
的,數學語言是世界通用的.邏輯用語是數學
語言的重要組成部分 ,是數學表達和交流的工
具 ,是數學嚴謹性與準確性的基本保證 ,是邏
輯思維的基本語言。
3.數量關系
“
數量關系
”
所涉及的內容可概括為如下
結構圖 :
們有代數基本定理 (每一個復系數一元 刀次多
項式至少有一個復數根 ,其中饣為正整數 ).
摺渚豳掣 向量及其運算。直線上向量的坐
標是一個實數,平面中向量的坐標是實數對
(品 ,丿 ),空 間 中向量 的坐標 是 三 實數 組
(J,丿 ,z)。 在這個意義上 ,向量可以看作是
實數 的一種推廣.此外,在歷史上,復 數
(c+ai)曾 被推廣到四元數 (曰 +Ji+yj+
zk),而其中的￡i+歷十zk被發展成現在的向
數
量
關
系
羞·黥
指數函數
對數酹數
函數的導數
|中學數學及其教學| 3
量。從這里看到,向量的確是
“
數
” (即 四元
數)的一部分。當然,在談論向量時永遠記住
它的物理、幾何背景 (位移、力,有 向線段
等)。
在研究幾何時,作為工具,向量系和實數
系有異曲同工之妙。
曩曩曩鱘 用字母代表數,我們有了變量
ε,a,c,J,y,z等。數和變量一起運算的
結果,我們得到代數式,代數式之間也有加、
減、乘、除等運算,這樣就有了代數式及其運
算.代數式及其運算可看作是數及其運算的一
種推廣,它大大拓寬了運算對象的范圍。代數
學的根源在于代數運算,而運算律則是整個代
數學的基礎。在研究代數問題時,我們往往通
過運算來歸納地發現、定義和證明。
曩 令兩個含變數的代數式相等便得到
方程。方程是變量間數量關系的直接體現,而
數和代數式是不可缺少的準備。由算術到代數
的轉化,我們可以看到方程、代數式及其運算
的力量和美妙。
躔蜃鱘鱒 把方程中的
“
=” 換成實數系所
特有的
“
)” (或
“(” )便得到不等式,因
而兩者有類似的地方。如解方程要利用等式的
性質進行等價變換,解不等式也要利用不等式
的性質進行等價變換,而
“
等式的性質
”
和
“
不等式的性質
”
都有
“
可傳遞性
”,都是 “運
算中的不變性、規律性
”。由函數觀點,方程
r(J)=0的 解可以看成函數 丿=∫ (=)的零點 ,
而不等式 ∫(J)>0的解可看成是函數 丿=
∫O)取正值的ε的全體.另外,兩者關系密
切:和函數的零點可看成是函數不等于 0處的
“
邊界點
”
類似,方程 r(=,丿 )=o可設想為不
等式∫(￡ ,丿 )>0的
“
邊界
”。
“
>” 的性質比
“
=” 的性質
“
壞
”
許多,我們應非常小心地
對待不等式.
鱘 函數及函數的運算 (+、 一、×)。
函數源于研究事物運動變化規律的需要.函數
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刻畫了一個變量隨著另一個變量的變化狀態 ,
給出一個數集到另一個數集的對應關系。它是
覆蓋面廣、有統帥作用的概念:數可以看成特
殊函數;數的運算可以看成特殊的二元函數 ;
代數式可以容易地被改造成一個函數;數列是
特殊的函數;解一元方程就是求一個函數的零
點,因而解方程也可納人函數問題的討論中;
平面曲線在歷史上曾為函數概念提供最初的例
子,而今天函數和曲線具有人和影子一樣的密
不可分的關系;解三角形可化歸為一個三角函
數的問題??
這幾類函數都有明確的現實背景,形式簡單、
性質明顯而且應用廣泛。通過對客觀世界中變
量關系和規律的抽象,可以得到這些類型的函
數。另外,令變量 y等于含變量J的代數式p
(￡ ),即 丿=p(￡ ),就得到ε的函數y,這是
人們知道的第一批函數中的一類,其中最簡
單、最基本的就是冪函數、多項式函數、指數
函數及其反函數即對數函數。對于形如 cD=
c,滬 =c的代數等式,讓其中的一個量隨另
一個量的變化而變化,可以得到丿=屁￡,丿 =
蚤
,丿 ==〃 ,γ =cΙ 9y=lo‰ =等基本初等函
數。我們發現,沒有任何現實背景,從純粹的
代數運算,加上量與量之間的對應思想,也可
以拍象出基本初等函數這樣重要的數學研究
對象。
鞫 數列及數列的運算。在中學只討論
最簡單、最基本的兩類數列:等差數列及等比
數列。我們可以把數列想象成數的推廣,也可
以把數列看成是一類特殊的函數,從而可以把
等差數列與一次函數作類比,把等比數列與指
數函數作類比。不可忽略的是數列的
“
影子
”
在中學數學中多次出現:在用有理數逼近無理
數中,在求圓的面積或球的體積中,在指數為
無理數時的指數定義中,在 求函數的導數
中??
霾鰳憩籀黎 描述周期現象的重要數學模
型。為了刻畫一些簡單的周而復始的運動變化
現象 (如勻速圓周運動),我們以單位圓上點
的運動規律為背景引人了任意角的三角函數。
正弦函數、余弦函數是一對起源于圓周運動、
相輔相成的周期函數,它們的基本性質則是圓
的幾何性質 (主要是對稱性)的直接反映。三
角函數是數形結合的產物,在探究三角函數的
性質和各種各樣的三角公式時,借助單位圓的
直觀是非常重要而有效的方法。三角函數是非
常重要的函數,是描述一般周期函數的基石。
鰳蜃憩曩躔驀 雖然函數 ∫(茁 )的導數可以
躔蜃躔躔饔 討論點,直線,直線的位置關
系 (重點是平行與垂直),三 角形、四邊形
(重點是平行四邊形),圓等基本而簡單的平面
圖形的性質,其中尤以三角形為代表。三角形
既簡單而又能充分反映空間的本質,例如三角
形內角和定理所表示的是平面的平行性,而平
行性在平面幾何中所扮演的角色是使定量幾何
中的各種公式都大大簡化;等腰三角形所具有
的軸對稱能具體地反映平面的反射對稱性,所
以它是研究平面幾何對稱性的基本工具;定量
平面幾何中的基本定理,三角形面積公式、相
似三角形定理和勾股定理是首要的。因此,在
幾何的學習中,必須重視對三角形的研究.平
面幾何是進一步用坐標法討論曲線的基礎。平
面幾何在培養學生的直觀想象和邏輯推理等素
養上具有不可替代的作用。
鷹攙酪霾蠡 直線與直線、直線與平面、平
面與平面之間的位置關系,基本立體圖形
(柱 、錐、臺、球)的結構特征。特別重要的
是空間中的平行和垂直以及兩者之間的密切關
用極限概念
“
純數量
”
地去定義,但在中學里
我們強調在實際背景下直觀地、實質地去給出
導數的描述,因而我們愿把導數概念看成是數
形結合的產物。這里,重要的是極限思想,而
導數則是借助于極限的一種運算。
從數及其運算、函數及數形結合等角度來
觀察中學數學,是弄清中學數學脈絡,搞活中
學數學的三個重要觀`點。
4.空間形式
“
空間形式
”
所涉及內容可概括為如下結
構圖 :
聯,因為它們是整個定量立體幾何的基礎所
在。對于空間圖形,只是看看柱面、錐面和球
面,從直觀上去感知它們的結構特征;憑借最
簡單、最基本的直線、平面的位置關系,以及
三視圖、透視圖使我們獲得一定的空間形體的
直觀感覺。
攮蠲霸罅醉 平面解析幾何的主要對象。在
中學,給出它們的幾何定義后,便用數形結合
的代數方法——
“
坐標法
”
來討論它們。這些
基本、簡單而又很有用的平面曲線使我們對平
面曲線有了更多的感性認識,同時
“
坐標法
”
也為用數形結合的微積分方法去研究一般曲線
打下了一個很好的基礎。
=礴
薛櫥面繚 雖然只在最后時刻用微積
分方法專門討論了它,但在整個中學數學中 ,
與函數結伴幾乎出現在所有的地方。想到函數
概念的無比重要性,對幫助我們形象地看到函
數的曲線是非常親切的。
一般地,幾何的研究對象是圖形和圖形之
間的關系,研究主題是幾何對象的性質。定義
空
間
形
式
一般平面曲線
|中學數學及其教學 | 5
某類幾何對象的基本方法是,先通過具體事例
分析組成這類對象的基本元素 (點 、線、面、
體)及其形狀和位置關系,然后歸納共性抽象
出概念.例如;通過觀察具體實物、模型,得
出棱柱表面是由平面圖形圍成的;這些平面圖
形中,有兩個相互平行,其余都是四邊形,而
且相鄰兩個四邊形的交線相互平行;將這些共
性概括到一般去,就抽象出棱柱的概念。所謂
幾何性質,首先是幾何圖形組成元素之間的位
置關系、大小關系。例如,三角形的性質,就
是以三角形的要素 (三邊、三內角)、 相關要
素 (高 、中線、角平分線、外角等)之間的相
互關系以及幾何量 (邊長、角度、面積等)為
基本問題,從
“
形狀、大小和位置關系
”
等角
度展開研究 ;“形狀
”
中,“特例
”
是重點——
等腰三角形和直角三角形,凡 “特例”都有性
質和判定兩個基本問題。顯然,在這樣的一般
觀念指導下展開研究,對發現幾何圖形性質、
建立幾何知識結構大有裨益.
5.數形結臺
∴厴鑲攜躥砩黲醭翮翻搴 參看督巍鱖鑫鞣 .
把幾何中的定性定理轉化為可計算的定量結
果。舉例說,已知三角形的兩鄰邊 夕,b及其
夾角C,依邊角邊定理,第三邊 c完全確定 ,
因而有函數 c=∫ (夕 ,3,C).如何具體給出
這個函數?這里引人三角函數以具體表示這個
函數,編制三角函數值表以使它可計算。
切驁螓鱗軸轡醯剿罄 用向量及其運算為工
具。向量法的本質,首先是讓幾何量帶上符
號。F· 克萊因說:
“
對比把長度、面積、體
積考慮為絕對值的普通初等幾何學,這樣做有
極大的好處。初等幾何必須依照圖形呈現的情
況而區分許多情況,而現在用幾個簡單的一般
定理就可以概括.” 這幾個
“
一般定理
”
就是
向量的加法與減法、數乘、數量積的運算及運
算規則、幾何意義 (物理意義),以及向量基
本定理及坐標表示。用向量方法研究幾何,可
概括為
“
三步曲
”:用 向量表示出問題中關鍵
的點、線、面;進行向量計算得出結果;對所
得結果給予幾何的解釋而將問題解決。需要注
意的是,向量法是非常靈活的,利用
“
基
”
轉
化為坐標運算僅僅是其中的一種方法。
鏖鑫廈曩黲顰 貫穿中學數學的一對孿生
姐妹。
黲 用數及其運算為工具。用代數方法研究
幾何,可概括為
“
三步曲
”:用數 (坐標)、 代
數式、方程表示出問題中關鍵的J點 、距離、直
線、圓錐曲線;對這些數、代數式、方程進行
討論;把討論結果給予幾何的解釋而將問題解
決。值得注意的是,解析幾何研究的是幾何問
題,因此 “先用幾何眼光觀察,再用坐標法解
決
”
是基本原則。對圓錐曲線的基本幾何特征
的認識是有效利用代數法解決問題的基礎。
用導數和積分為工具,用分析方法研究曲線.
在坐標系下,函數對應曲線,導數就是曲線切
線的斜率,積分就是曲線下覆蓋的面積。而微
積分基本定理把這兩個在幾何上看不出有什么
關系的幾何量緊密地聯系起來了。微積分是研
究曲線的強大工具。
為了醒目,把它們放在下面的框圖中 :
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數
形
結
合
6.概率與統計
黠 概率論是研究隨機現象規律的科
學,是統計學的理論基礎。概率是一種度量 ,
用來度量隨機事件發生的可能性大小。這和數
學中其他的度量相類似∴(例如直線的長度、平
面圖形的面積、空間幾何體的體積等),性質
也類似。但是兩種度量之間存在如下區別 :
(1)作為概率的這種度量的值的范圍是
E0,1彐 ,幾何中的度量卻不受這種限制 ;
(2)概率的度量對象是隨機事件,幾何中
的度量對象是幾何圖形,隨機事件的不確定性
使概率的度量難度大大增加。
在中學階段,借助古典概型引人樣本空間
概念。樣本空間是樣本點的集合,它是概率理
論中的最基本而主要的概念,由此可以運用確
定性數學的知識和方法研究隨機現象,例如利
用它可以刻畫隨機事件發生的背景,定義和計
算隨機事件的概率,研究概率的運算法則和性
質等。
黲 統計是研究如何合理收集、整理、
分析數據以及由數據分析結果作出決策的科
學,它的理論基礎是概率論。統計為人們認識
客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的
方法。在義務教育階段主要是學習描述性統
計,它不考數據的隨機性;高中階段主要學習
推斷性統計,通過具體問題背景了解基本的統
計概念與方法,例如隨機抽樣、統計圖表、用
樣本估計'總體、線性相關關系以及基于列聯表
的獨立性檢驗等。
統計學雖然放在數學課程中,但它與數學
是有差別的.首先,數學的研究建立在概念和
定義的基礎上,用公理化方法來構建數學的理
論大廈,而統計學的研究則建立在數據的基礎
上,是通過數據進行推斷的;其次,數學推理
要依據邏輯規則,采用演繹推理得出必然正確
的結論,而統計推理主要依據歷史經驗 (雖然
也要顧及邏輯規則),采用歸納推理進行推斷 ,
其結論具有或然性;最后,數學的結論是確定
性的,其判斷標準是
“
對與錯
”,而統計的結
論是帶有或然性的,所以其判斷標準是
“
好與
壞∴
7.補遺
最后,作為補充,提出幾點想法。它們是
把不同內容串聯起來的一些細線,有了它們 ,
不同內容的類比、聯系就容易了。
(1)數和數的運算是一切運算系統的標
兵。讓任意運算的對象和數類比,讓任意對象
的運算和數的運算對比,不僅能使我們獲得需
要研究的問題,而且能指引我們構建研究的路
徑,使我們產生研究方法的靈感。
(2)函數觀點是把不同對象聯系起來的一
個好觀點。參看鼙躕鑫。
|中學數學及其教學 | 7
(3)把遇到的數量關系設法用幾何圖形表
示出來:函數的曲線,方程與曲線,實數與直
線,復數與平面,向量與有向線段,不等式的
圖象,數據的圖象等.
(4)把定性的結果變成定量的結果,把存
在的東西具體表示出來:參看躞蜃躔躔躔黲躔
鱘曩躞謦。直線用方程表示出來,直線上的點
用滿足方程的有序實數對表示出來,一元二次
方程的根用系數表示出來,曲線的切線斜率用
導數表示出來等。一旦定性的東西得到定量的
表示,操作起來就容易多了。
(5)“恒等
”
變換是只變其形不變其質的
數學推理,目 的是從
“
好〃的形式中看出其本
質。這在數學中經常出現:如一元二次多項式
分解成一次因式的乘積,代數式的恒等變換 ,
三角函數的恒等變換,方程的同解變換,一組
數據的各種不同形式的組合,整數 (或一元多
項式)的帶余除法等。
(6)相等的定義處處都有。我們通過相等
定義說明在所討論的事物中什么是自己最關心
的。例如,如果兩個三角形能夠重合放在一
起,就說它們全等,這表明我們只注意三角形
的形狀和大小而對它的位置不感興趣;兩個有
向線段相等是指它們有相同的起點、相同的長
度和相同的方向,但如果對有向線段引人新的
相等定義:規定有相同長度相同方向的兩個有
向線段是相等的,我 們就將得到一個新對
象——向量;在函數的相等和方程的等價中 ,
我們都清楚地看到,什么是這些概念中我們最
關心的。
(7)邏輯結構編織著中學數學:中學數學
中雖然沒有明確的公理體系形式,但在每一次
推理時,我們都有明確的推理根據.在這個意
義下,我們心目中都有一個
“
公理體系
”,并
在其中進行推理。這種潛移默化的邏輯結構的
熏陶是中學數學的
“
靈魂
”,是培養學生的理
性思維和科學精神的特有載體。如在概率中 ,
根據概率的定義,經實驗、觀察得出概率的一
系列性質,這些就成了我們建立概率理論體系
的經驗基礎,我們借助古典概率模型,在引人
樣本點和樣本空間概念后,經過演繹推理就可
以得出概率計算公式、運算性質;在立體幾何
中,明確了直線與直線、直線與平面、平面與
平面之間的平行和垂直的定義,并歸納出一些
判定定理之后,經推理得出一些性質定理;在
向量中,有了向量的相等定義和運算定義后 ,
根據這些定義推導出了向量運算的運算律 ;
等等。
(8)從數學學習、研究過程來看,經常使
用如下的邏輯思考方法 :
其中突出顯示了聯系的觀點,通過類比、
推廣、特殊化等,可以有力地促進我們的數學
思考,使我們更有效地尋找出自己感興趣的問
題,從中獲得研究方法的啟示。例如,關于平
面幾何中的向量方法,我們可以有如下的
“
聯
系圖
”
:
立∷餓拓鐙中的礴蚤方法∷
幾何中斡绔合方:法仇豳 祗豳
數軸與掬量
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這個圖把一些看似距離甚遠的內容聯系在
一起,不同的方法相互促進,可以使我們提出
更多的問題,在更加廣闊的思維空間中進行思
考。例如,我們非常熟悉用代數方法研究圓錐
曲線,在上述
“
聯系圖
”
的引導下,就會自然
地提出
“
能否用向量方法研究圓錐曲線
” “
能
否用綜合法研究圓錐曲線
”
這樣的問題.
三、核心素養導向的數學教學
下面我們就數學核心素養融人課堂教學的
策略和方法,提出一些想法。
1.數學育人要用數學的方式,要發揮數
學的內在力量
在觀察現象、認識事物或處理問題時 ,
“
數學的方式
”
是與眾不同的。首先,其 目標
取向是
“
追求最大限度的一般性模式特別是一
般性算法
”,而研究的起點是對面臨的具體事
物進行數學抽象;其次,數學的思考結構具有
系統性、普適性,其
“
基本套路
”
大致可以概
括為
“
抽象數學對象一探索數學性質—構建知
識體系
”;再次,數學的思維方式具有結構性、
一致性、連貫性,包括:抽象化、運用符號、
建立模型、邏輯分析、推理、計算,不斷地改
進、推廣,更深人地洞察內在的聯系,在更大
范圍內進行概括,建立更為一般的統一理論
等,這是一套嚴謹的、行之有效的科學方法 ,
是在獲得數學結論、建立數學知識體系的過程
中必須使用的思維方式;最后,數學的表達方
式具有統一性,使用一套世界通用的符號形式
進行交流。數學的思考結構、思維方式和符號
化表達正是數學的力量所在,邏輯性強,簡明
而精確,具有四兩撥千斤的功效。數學育人就
是要發揮數學的這種力量。
2.掌握數學知識是發展數學學科核心素
養的前提
離開知識的理解和應用,核心素養的發展
將成為一句空話。要讓學生真正掌握數學知
識,靠掐頭去尾燒中段、靠大量解題訓練是做
不到的,必須讓他們經歷從數學研究對象的獲
得到研究數學對象再到應用數學知識解決問題
的完整過程.數學對象的獲得,要注重數學與
現實之間的聯系,也要注重數學內在的前后一
致、邏輯連貫性,從
“
事實
”
出發,讓學生經
歷歸納、概括事物本質的過程,提升數學抽
象、直觀想象等素養;對數學對象的研究,要
注重讓學生經歷以
“一般觀念
”(ug dea)為
引導發現規律、獲得猜想,并通過數學的推
理、論證證明結論 (定理、性質等)的過程 ,
提升邏輯推理、數學運算等素養;應用數學知
識解決問題,要注重利用數學概念原理分析問
題,體現數學建模的全過程,使學生學會分析
數據,從數據中挖掘信息等,提升數學建模、
數據分析素養。
以發展學生數學素養為追求,要根據學生的
認知規律,螺旋上升地安排教學內容,特別是要
計重要的 (往往也是難以一次完成的)數學概
念、思想方法得到反復理解的機會;要 以
“
事
實一概念一性質 (關系)—結構 (聯系)一應
用
”
為明線,以
“
事實一方法一方法論一數學學
科本質觀
’
為暗線,并要強調結合明線布暗線 ,
形成基本數學思想和方法的
“
滲透△明確一應
用
”
的有序進程,使學生在掌握
“
四基
”
、發展
“
四能
”
的過程中有效發展核心素養。
要做到
“
兩個過程
”
的合理性,即從數學
知識發生發展過程的合理J跬、學生認知過程的
合理性上加強思考,這是落實數學學科核心素
養的關鍵點。前一個是數學的學科思想問題 ,
后一個是學生的思維規律、認知特點問題。
3.推理是數學的
“
命根子
”,運算是數學
的
“
童子功
”
與其他學科比較,數學學科的育人途徑有
什么獨特J眭呢?陳建功先生說 :“片段的推理 ,
不但見諸任何學科,也可以從日常有條理的談
話得之。但是,推理之成為說理的體系者,限
于數學一科??忽視數學教育論理性的原則 ,
|中學數學及冥教學 丨 9
無異于數學教育的自殺.” 推理和運算是數學
的兩個車輪子。因此,數學育人的基本途徑是
對學生進行系統的 (邏輯)思維訓練,而訓練
的基本手段是讓學生進行邏輯推理和數學運
算,要在推理的嚴謹性和簡潔性、運算的正確
性和算法的有效性上有要求。這樣,學生的理
性思維會得到逐步發展,科學精神也能得到很
好的培養。
4.教好數學就是落實數學學科核心素養
怎樣才是
“
教好數學
”?學生會解各種資
料上的題目、考試成績好就算教好了嗎?是 ,
但又不全是,甚至不是最重要的。從學生的終
身發展需要看,從落實數學學科核心素養的要
求看,更重要的是:要以
“
研究一個數學對象
的基本套路
”
為指導,設計出體現數學的整體
性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普
適性、思維的系統性的系列化數學活動,引導
學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學對
象,構建研究數學對象的基本路徑,發現值得
研究的數學問題,探尋解決問題的數學方法 ,
獲得有價值的數學結論,建立數學模型解決現
實問題。要使學生掌握抽象數學對象、發現和
提出數學問題的方法,要將此作為教學的關鍵
任務,以實現從
“
知其然
”
到
“
知其所以然
”
再到
“
何由以知其所以然
”
的跨越。
一言以蔽之,教好數學就是以數學基礎知
識、基本技能為載體,使學生在領悟數學基本
思想、積累數學基本活動經驗的過程中,學會
思考與發現,培養數學學科核心素養。
5.教師的專業水平和育人能力是落實核
心素蕎的關鍵
理解數學、理解學生、理解教學、理解技
術的水平是教師專業水平和育人能力的集中體
現,是提高數學教學質量和效益的決定性因
素,也是有效提升學生數學核心素養的關鍵。
當前的問題,首先是有些教師在 “理解數學”
上不到位導致教學偏差,機械解題訓練成為課
10 |普通高中教科書教師教學用書 數學 必修 第—冊 |
堂主旋律,而大量題目又不能反映數學內容和
思維的本質,使數學學習越來越枯燥、無趣、
艱澀,大量學生的感受是 “數學不好玩△
理解數學,就是要把握數學內容的本質 ,
特別是對內容所蘊含的數學思想和方法要有深
人理解。要對一些具有統攝性的
“
一般觀念
”
有深人理解并能自覺應用。例如 :數學對象的
定義方式 (如何定議),幾何圖形的性質指什
么,代數性質指什么,函數性質指什么,概率
性質指什么,等等。
理解學生 ,就是要全面了解學生的思維規
律,把握中學生的認知特點。例如,面對一個
數學內容 ,學生會如何想?學生已經具備的認
知基礎有哪些 (包括日常生活經驗、已掌握的
相關知識技能和數學思想方法等)?達成教學
目標所需具備的認知基礎有哪些?“已有的基
礎
”
和
“
需要的基礎
”
之間有怎樣的差距 ,哪
些差距可以由學生通過努力自己消除,哪些差
距需要在教師幫助下消除?學生喜歡怎樣的學
習方式?等等 .
理解教學,就是要把握教學的基本規律 ,
按教學規律辦事.例如,對于教學活動的設
計 ,關鍵詞是:情境一問題一活動一結果。其
中
“
情境
”
是以數學內容的本質和學生的認知
過程為依據設置教學情境 ,包括生活情境、數
學情境、科學情境等。
“
問題
”
是與情境緊密
結合的、從情境中生發的系列化問題,必須滿
足如下標準:①反映內容的本質 ,②在學生思
維最近發展區內,③有可發展性 ,使學生能從
模仿過渡到 自主提問。
“
活動
”
是指在情境與
問題引導下的系列化數學活動,是學生的獨立
思考、自主探究、合作交流等。教學的
“
結
果
”,既要理解知識、掌握技能,也要領悟數
學基本思想、積累數學思維和解決問題的經
驗 ,從而水到渠成地使學生的數學學科核心素
養得到提升與發展。
理解技術 ,就是要懂得如何有效利用技術
幫助學生的學和教師的教。例如,把抽象內容
可視化,靜態內容動態化,繁雜但沒有數學思
維含金量的事情讓信息技術幫忙做等。在人工
智能時代,我們要借助技術改變課堂生態,實
現大面積的個性化教學,實現優質資源共享。
以上我們從幾個方面闡述了數學課堂落實
數學學科核心素養的條件、策略和方法,其最
核心的觀點是數學育人要回歸數學的學科本
質,不搞花架子,實實在在地把數學教好,實
現
“
用數學的方式育人
”。事實上,所有的科
學問題在本質上都是簡單而有序的。人類的智
慧表現在用簡單的概念闡明科學的基本問題 ,
用相似的方法解決不同的問題,而數學的方法
就是這樣的基本方法。中學數學中的研究對象
多種多樣,但研究的內容、過程和方法是一脈
相承的,正所謂
“
研究對象在變,研究套路不
變,思想方法不變
”。因此,每一種數量和數
量關系、圖形和圖形關系的教學,我們都應以
“
研究一個數學對象的基本套路
”
為指導設計
和展開課堂教學,促使學生通過一個個數學對
象的研究,體悟具有普適性的數學思想和方
法,逐步掌握解決數學問題的那個
“
相似的方
法
”,進而逐步形成
“
數學的思維方式
”。在這
樣的過程中,數學學科核心素養就潛移默化、
潤物無聲地得到落實了。
讓我們一起努力 !
|中學數學及其教學 | 11

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