資源簡介

1
結論 1：過圓 222 2ayx ?? 上任意點 P作圓 222 ayx ?? 的兩條切線，則兩條切線垂直．
結論 2：過圓 2222 bayx ??? 上任意點 P作橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的兩條切線，
則兩條切線垂直．
結論 3：過圓 2222 bayx ??? （ 0?? ba ）上任意點P作雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
的兩條切
線，則兩條切線垂直．
結論 4：過圓 222 ayx ?? 上任意不同兩點 A，B作圓的切線，如果切線垂直且相交于 P，
則動點 P的軌跡為圓： 222 2ayx ?? ．
結論 5：過橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上任意不同兩點 A， B作橢圓的切線，如果切
線垂直且相交于 P，則動點 P的軌跡為圓 2222 bayx ??? ．
結論 6：過雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上任意不同兩點 A， B作雙曲線的切線，如
果切線垂直且相交于 P，則動點 P的軌跡為圓 2222 bayx ??? ．
結論 7：點M （ 0x ， 0y ）在橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上，過點M 作橢圓的切線方
程為 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
結論 8：點M （ 0x ， 0y ）在橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）外，過點M 作橢圓的兩條切
線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
結論 8：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）內，過點M 作橢圓
的弦 AB（不過橢圓中心），分別過 BA、 作橢圓的切線，則兩條切線的交點 P的軌跡方程
為直線： 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
2
結論 9：點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）上，過點M 作雙曲線的
切線方程為 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
結論 10：點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）外，過點M 作雙曲線
的兩條切線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
結論 10：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）內，過點M 作
雙曲線的弦 AB（不過雙曲線中心），分別過 BA、 作雙曲線的切線，則兩條切線的交點 P
的軌跡方程為直線： 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
結論 11：點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 pxy 2
2 ? （ 0?p ）上，過點M 作拋物線的切線方
程為 )( 00 xxpyy ?? ．
結論 12：點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 pxy 2
2 ? （ 0?p ）外，過點M 作拋物線的兩條切
線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為 )( 00 xxpyy ?? ．
結論 12：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 pxy 2
2 ? （ 0?p ）內，過點M 作拋物線的
弦 AB ，分別過 BA、 作拋物線的切線，則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直線：
)( 00 xxpyy ?? ．
結論 13：點M （ 0x ， 0y ）在橢圓
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
上，過點M 作橢圓的切線方程
為 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
結論 14：點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
上，過點M 作雙曲線的切線
方程為
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
3
結論 15：點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 ? ? ? ?mxpny ??? 22 上，過點M 作拋物線的切線方
程為 ? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
結論 16：點M（ 0x ， 0y ）在橢圓
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
外，過點M 作橢圓的兩條切線，
切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
結論 17：點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
外，過點M 作雙曲線的兩條
切線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
結論 18：點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 ? ? ? ?mxpny ??? 22 外，過點M 作拋物線的兩條切
線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB的直線方程為
? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
結論 16：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在橢圓
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
內，過點M 作橢圓的
弦 AB（不過橢圓中心），分別過 BA、 作橢圓的切線，則兩條切線的交點 P的軌跡方程為
直線： 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
結論 17：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在雙曲線
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
內，過點M 作雙曲
線的弦 AB（不過雙曲線中心），分別過 BA、 作雙曲線的切線，則兩條切線的交點 P的軌
跡方程為直線：
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
結論 18：（補充）點M （ 0x ， 0y ）在拋物線 ? ? ? ?mxpny ??? 22 內，過點M 作拋物線
的弦 AB，分別過 BA、 作拋物線的切線，則兩條切線的交點 P的軌跡方程為直線：
? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
結論 19：過橢圓準線上一點M 作橢圓的兩條切線，切點分別為 A，B，則切點弦 AB的直
線必過相應的焦點 F ，且MF垂直切點弦 AB．
結論 20：過雙曲線準線上一點M 作雙曲線的兩條切線，切點分別為 A，B，則切點弦 AB
4
的直線必過相應的焦點F ，且MF垂直切點弦 AB．
結論 21：過拋物線準線上一點M 作拋物線的兩條切線，切點分別為 A，B，則切點弦 AB
的直線必過焦點 F ，且MF垂直切點弦 AB．
結論 22: AB為橢圓的焦點弦，則過 A， B的切線的交點M 必在相應的準線上．
結論 23: AB為雙曲線的焦點弦，則過 A， B的切線的交點M 必在相應的準線上．
結論 24: AB為拋物線的焦點弦，則過 A， B的切線的交點M 必在準線上．
結論 25:點M 是橢圓準線與長軸的交點，過點M 作橢圓的兩條切線，切點分別為 A，B，
則切點弦 AB就是通徑．
結論 26: 點M 是雙曲線準線與實軸的交點，過點M 作雙曲線的兩條切線，切點分別為 A，
B，則切點弦 AB就是通徑．
結論 27:M 為拋物線的準線與其對稱軸的交點，過點M 作拋物線的兩條切線，切點分別為
A， B，則切點弦 AB就是其通徑．
結論 28：過拋物線 pxy 22 ? （ 0?p ）的對稱軸上任意一點 )0,( mM ? （ 0?m ）作拋物
線的兩條切線，切點分別為 A， B，則切點弦 AB所在的直線必過點 )0,(mN ．
結論 29：過橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的對稱軸上任意一點 ),( nmM 作橢圓的兩條切
線，切點分別為 A， B．
（1）當 0?n ， am ? 時，則切點弦 AB所在的直線必過點 )0,(
2
m
aP ；
（2）當 0?m ， bn ? 時，則切點弦 AB所在的直線必過點 ),0(
2
n
bQ ．
結論 30：過雙曲線 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）的實軸上任意一點 )0,(mM （ am ? ）作
雙曲線（單支）的兩條切線，切點分別為 A，B，則切點弦 AB所在的直線必過點 )0,(
2
m
aP ．
結論 31：過拋物線 pxy 22 ? （ 0?p ）外任意一點M 作拋物線的兩條切線，切點分別為 A，
B，弦 AB的中點為 N ，則直線MN 必與其對稱軸平行．
結論 32：若橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）與雙曲線 12
2
2
2
??
n
y
m
x
（ 0?m ， 0?n ）共
焦點，則在它們交點處的切線相互垂直．
結論 33：過橢圓外一定點P作其一條割線，交點為 A，B，則滿足 BPAQBQAP ???
的動點Q的軌跡就是過 P作橢圓兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 34：過雙曲線外一定點 P作其一條割線，交點為 A，B，則滿足 BPAQBQAP ???
5
的動點Q的軌跡就是過 P作雙曲線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 35：過拋物線外一定點 P作其一條割線，交點為 A，B，則滿足 BPAQBQAP ???
的動點Q的軌跡就是過 P作拋物線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 36：過雙曲線外一點P作其一條割線，交點為 A，B，過 A，B分別作雙曲線的切線
相交于點Q，則動點Q的軌跡就是過P作雙曲線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 37：過橢圓外一點 P作其一條割線，交點為 A，B，過 A，B分別作橢圓的切線相交
于點Q，則動點Q的軌跡就是過 P作橢圓兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 38：過拋物線外一點P作其一條割線，交點為 A，B，過 A，B分別作拋物線的切線
相交于點Q，則動點Q的軌跡就是過P作拋物線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上．
結論 39：從橢圓 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的右焦點向橢圓的動切線引垂線，則垂足的軌
跡為圓： 222 ayx ?? ．
結論 40：從 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 00 ?? ba ， ）的右焦點向雙曲線的動切線引垂線，則垂足的
軌跡為圓： 222 ayx ?? ．
結論 41： 是橢圓 （ ）的一個焦點， 是橢圓上任意一點，則焦
半徑 ．
結論 42： 是雙曲線 （ ）的右焦點， 是雙曲線上任意一點．
（1）當點 在雙曲線右支上，則焦半徑 ；
（2）當點 在雙曲線左支上，則焦半徑 ．
結論 43： 是拋物線 （ ）的焦點， 是拋物線上任意一點，則焦半徑
= ．
結論 44：橢圓上任一點 處的法線平分過該點的兩條焦半徑的夾角（或者說 處的切線
6
平分過該點的兩條焦半徑的夾角的外角），亦即橢圓的光學性質．
結論 45：雙曲線上任一點 處的切線平分過該點的兩條焦半徑的夾角（或者說 處的法
線平分過該點的兩條焦半徑的夾角的外角），亦即雙曲線的光學性質．
結論 46：拋物線上任一點 處的切線平分該點的焦半徑與該點向準線所作的垂線的夾角，
亦即拋物線的光學性質．
結論 47：橢圓的準線上任一點 處的切點弦 過其相應的焦點 ，且 ⊥ ．
結論 48：雙曲線的準線上任一點 處的切點弦 過其相應的焦點 ，且 ⊥ ．
結論 49：拋物線的準線上任一點 處的切點弦 過其焦點 ，且 ⊥ ．
結論 50：橢圓上任一點 處的切線交準線于 ， 與相應的焦點 的連線交橢圓于 ，
則 必與該橢圓相切，且 ⊥ ．
結論 51：雙曲線上任一點 處的切線交準線于 ， 與相應的焦點 的連線交雙曲線于
，則 必與該雙曲線相切，且 ⊥ ．
結論 52：拋物線上任一點 處的切線交準線于 ， 與焦點 的連線交拋物線于 ，則
必與該拋物線相切，且 ⊥ ．
結論 53：焦點在 軸上的橢圓（或焦點在 軸）上三點 ， ， 的焦半徑成等差數列
的充要條件為 ， ， 的橫坐標（縱坐標）成等差數列．
結論 54：焦點在 軸上的雙曲線（或焦點在 軸）上三點 ， ， 的焦半徑成等差數
列的充要條件為 ， ， 的橫坐標（縱坐標）成等差數列．
結論 55：焦點在 軸上的拋物線（或焦點在 軸）上三點 ， ， 的焦半徑成等差數
列的充要條件為 ， ， 的橫坐標（縱坐標）成等差數列．
結論 56：橢圓上一個焦點 關于橢圓上任一點 處的切線的對稱點為 ，則直線 必過
該橢圓的另一個焦點 ．
結論 57：雙曲線上一個焦點 關于雙曲線上任一點 處的切線的對稱點為 ，則直線
必過該雙曲線的另一個焦點 ．
7
結論 58：橢圓上任一點 （非頂點），過 的切線和法線分別與短軸相交于 ， ，則有 ，
， 及兩個焦點共于一圓上．
結論 59：雙曲線上任一點 （非頂點），過 的切線和法線分別與短軸相交于 ， ，則
有 ， ， 及兩個焦點共于一圓上．
結論 60：橢圓上任一點 （非頂點）處的切線與過長軸兩個頂點 ， 的切線相交于 ，
，則必得到以 為直徑的圓經過該橢圓的兩個焦點．
結論 61：雙曲線上任一點 （非頂點）處的切線與過實軸兩個頂點 ， 的切線相交于 ，
，則必得到以 為直徑的圓經過該雙曲線的兩個焦點．
結論 62：以橢圓的任一焦半徑為直徑的圓內切于以長軸為直徑的圓．
結論 63：以雙曲線的任一焦半徑為直徑的圓外切于以實軸為直徑的圓．
結論 64：以拋物線的任一焦半徑為直徑的圓與非對稱軸的軸相切．
結論 65：焦點在 軸上的橢圓（或焦點在 軸上）上任一點 （非短軸頂點）與短軸的兩
個頂點 ， 的連線分別交 軸（或 軸）于 ， ，則 （或 ）．
結論 66：焦點在 軸上的雙曲線（或焦點在 軸上）上任一點 （非頂點）與實軸的兩個
頂點 ， 的連線分別交 軸（或 軸）于 ， ，則 （或 ）．
結論 67： 為焦點在 軸上的橢圓上任一點（非長軸頂點），則 與邊 （或 ）
相切的旁切圓與 軸相切于右頂點 （或左頂點 ）．
結論 68： 為焦點在 軸上的雙曲線右支（或左支）上任一點，則 的內切圓與 軸
相切于右頂點 （或左頂點 ）．
結論 69： 是過橢圓 （ ）的焦點 的一條弦（非通徑），弦 的
中垂線交 軸于 ，則 = ．
結論 70： 是過雙曲線 （ ）的焦點 的一條弦（非通徑，且為
8
單支弦），弦 的中垂線交 軸于 ，則 = ．
結論 71： 是過拋物線 （ ）的焦點 的一條弦（非通徑），弦 的中
垂線交 軸于 ，則 = ．
結論 72： 為拋物線的焦點弦，分別過 ， 作拋物線的切線，則兩條切線的交點 在
其準線上．
結論 73： 為橢圓的焦點弦，分別過 ， 作橢圓的切線，則兩條切線的交點 在其相
應的準線上．
結論 74： 為雙曲線的焦點弦，分別過 ， 作雙曲線的切線，則兩條切線的交點 在
其相應的準線上．
結論 75： 為過拋物線焦點 的焦點弦，以 為直徑的圓必與其準線相切．
結論 76： 為過橢圓焦點 的焦點弦，以 為直徑的圓必與其相應的準線相離（當然
與另一條準線更相離）．
結論 77： 為過雙曲線焦點 的焦點弦，以 為直徑的圓必與其相應的準線相交，截
得的圓弧度數為定值，且為 ．
結論 78：以圓錐曲線的焦點弦 為直徑作圓，若該圓與其相應的準線相切，則該曲線必
為拋物線．
結論 79：以圓錐曲線的焦點弦 為直徑作圓，若該圓與其相應的準線相離，則該曲線必
為橢圓．
結論 80：以圓錐曲線的焦點弦 為直徑作圓，若該圓與其相應的準線相交，則該曲線必
為雙曲線，此時截得的圓弧度數為定值，且為 ．
結論 81： 為過拋物線 （ ）焦點 的焦點弦， （ ， ）， （ ，
），則 = ．
結論 82： 為過橢圓 （ ）焦點 的焦點弦， （ ， ）， （ ，
9
），則 = ．
結論 83： 為過雙曲線 （ ）焦點 的焦點弦， （ ， ），
（ ， ）．若 為單支弦，則 = ；若 為雙支弦，則
=
結論 84： 為拋物線的焦點， ， 是拋物線上不同的兩點，直線 交其準線 于 ，
則 平分 的外角．
結論 85： 為橢圓的一個焦點， ， 是橢圓上不同的兩點，直線 交其相應的準線 于
，則 平分 的外角．
結論 86： 為雙曲線的一個焦點， ， 是雙曲線上不同的兩點（同一支上），直線 交
其相應的準線 于 ，則 平分 的外角．
結論 87： 為雙曲線的一個焦點， ， 是雙曲線上不同的兩點（左右支各一點），直線
交其相應的準線 于 ，則 平分 ．
結論 88： 是橢圓 （ ）過焦點 的弦，點 是橢圓上異于
的任一點，直線 、 分別交相應于焦點 的準線 于 、 ，則點 與點 的縱
坐標之積為定值，且為 ．
結論 89： 是雙曲線 （ ）過焦點 的弦，點 是雙曲線上異
于 的任一點，直線 、 分別交相應于焦點 的準線 于 、 ，則點 與
點 的縱坐標之積為定值，且為 ．
結論 90： 是拋物線 （ ）過焦點 的弦，點 是拋物線上異于 的
任一點，直線 、 分別交準線 于 、 ，則點 與點 的縱坐標之積為定值，
10
且為 ．
結論 91： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， 為橢圓任一點（非長
軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，則 為
定值，且有 ．
結論 92： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 93： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 94： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 95： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
11
，則 為定值，且有 = ．
結論 96： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 97： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 98： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 99： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 ．
結論 100： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
12
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 101： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 102： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 103： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 104： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 105： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
13
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 106： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 107： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， 為橢圓任一點（非長
軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ， ，則 為定值，且有
= = ．
結論 108： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， 為橢圓任一點（非長
軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ， ，則 為定值，且有
= = ．
結論 109： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， 為橢圓任一點（非長
軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ， ，則 為定值，且有
= ．
結論 110： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， 為橢圓任一點（非長
軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ， ，則 為定值，且有
14
= ．
結論 111： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 112： ， 為橢圓 （ ）的長軸頂點， ， ，
（ ）， 為橢圓任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ，
，則 為定值，且有 = ．
結論 113： ， 為橢圓 （ ）的任一直徑（中心弦）， 為橢圓上任
一點（不與 ， 點重合），則 為定值，且有 = = ．
結論 114： ， 為橢圓 （ ）的任一弦（不過原點且不與對稱軸平
行）， 為弦 的中點，若 與 均存在，則 為定值，且有
= = ．
結論 115： 為橢圓 （ ）的任一弦（不與對稱軸平行），若平行于
的弦的中點的軌跡為直線 ，則有 = = ．
結論 116：過橢圓 （ ）上任意一點 (不是其頂點)作橢圓的切線 ，
15
則有 = = ．
結論 117：橢圓 （ ）及定點 ，（ ），過 的弦的
端點為 ， ，過點 ， 分別作直線 的垂線，垂足分別為 ， ，直線
與 軸相交于 ，則直線 與 恒過 的中點，且有 ．
結論 118：橢圓 （ ）及定點 ，（ ± ），過 任作一條
弦 ， 為橢圓上任一點，連接 ， ，且分別與準線 相交于 ， ，則有
= ．
結論 119：橢圓 （ ）及定點 ，（ ， ），過
任作一條弦 ， 為橢圓上任一點，連接 ， ，且分別與直線 相交于 ，
，則有 = ．
結論 120： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， 為雙曲線上任一點（非
實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，則 為定
值，且有 = = ．
結論 121： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， 為雙曲線上任一點（非
實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，則 為定
值，且有 = ．
16
結論 122： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， 為雙曲線上任一點（非
實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，則 為定
值，且有 = ．
結論 123： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， 為雙曲線上任一點（非
實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，則 為定
值，且有 = ．
結論 124： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 125： ， 為雙曲線 （ ）的頂點， ， ，
（ ）， 為雙曲線上任一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于
， ，則 為定值，且有 = ．
結論 126： 為雙曲線 （ ）的任一直徑， 為雙曲線上任一點
（不與 ， 點重合），則 為定值，且有 = = ．
結論 127： 為雙曲線 （ ）的任一弦（不過原點且不與對稱軸
17
平行）， 為弦 的中點，若 與 均存在，則 為定值，且有 = ．
結論 128： 為雙曲線 （ ）的任一弦（不與對稱軸平行），若平
行于 的弦的中點的軌跡為直線 ，則有 = = ．
結論 129：過雙曲線 （ ）上任意一點 (不是其頂點)作雙曲線的切
線 ，則有 = = ．
結論 130：雙曲線 （ ）及定點 ，（ 或 ），過
的弦的端點為 ， ，過 ， 分別作直線 的垂線，垂足分別為 ， ，直線
與 軸相交于 ，則直線 與 恒過 的中點，且有 ．
結論 131：雙曲線 （ ）及定點 ，（ ± ），過 任作一
條弦 ， 為雙曲線上任一點，連接 ， ，且分別與準線 相交于 ， ，
則有 = ．
結論 132：雙曲線 （ ）及定點 ，（ 或 ），過
任作一條弦 ， 為雙曲線上任一點，連接 ， ，且分別與直線 相交于 ，
，則有 = ．
結論 133：拋物線 （ ）及定點 ，（ ），過 的弦的端點為 ，
，過 ， 分別作直線 的垂線，垂足分別為 ， ，直線 與 軸相交
18
于 ，則直線 與 恒過 的中點，且有 ．
結論 134：拋物線 （ ）及定點 ，（ ），過 任作一條弦 ，
為拋物線上任一點，連接 ， ，分別與準線 相交 ， ，則 = ．
結論 135：拋物線 （ ）及定點 ，（ ），過 任作一條弦 ，
為拋物線上任一點，連 ， ，分別與直線 相交 ， ，則 = ．
結論 136：過拋物線 （ ）的焦點 （ ，0）的弦（焦點弦）與拋物線相
交于 ， ，過 作直線 與 軸平行，且交準線于 ，則直線 必過原點（即其準
線與 軸交點 與焦點 的線段的中點）．
結論 137： 為橢圓 （ ）的焦點 的弦，其相應的準線與 軸交
點為 ，過 ， 作 軸的平行線與其相應的準線分別相交于 ， ，則直線 ，
均過線段 的中點．
結論 138： 為雙曲線 （ ）的焦點 的弦，其相應的準線與
軸交點為 ，過 ， 作 軸的平行線與其相應的準線分別相交于 ， ，則直線 ，
均過線段 的中點．
結論 139：過圓錐曲線（可以是非標準狀態下）焦點弦的一個端點向其相應的準線作垂線，
垂足與另一個端點的連線必經過焦點到相應的準線的垂線段的中點．
結論 140： AB 為垂直于橢圓 長軸上的動弦，其準線與 軸
相交于 ，則直線 AF與 BQ（或直線 BF與 AQ）的交點M必在該橢圓上．
結論 141： AB 為垂直于雙曲線 實軸的動弦，其準線與 軸相交于 ，
則直線 AF與 BQ（直線 BF與 AQ）的交點M也恒在該雙曲線上．
19
結論 142： AB 為垂直于拋物線 對稱軸的動弦，其準線與 軸相
交于 ，則直線 AF與 BQ（直線 BF與 AQ）的交點M也恒在該拋物線上．
結論 143：AB 為垂直于圓錐曲線的長軸（橢圓）（或實軸（雙曲線）或對稱軸（拋物線））
的動弦，其準線與 軸相交于 ，則直線 AF與 BQ（直線 BF與 AQ）的交點M也恒在該
圓錐曲線上．
結論 144：圓錐曲線的焦點弦 AM（不為通徑，若雙曲線則為單支弦），則在 x軸上有且只
有一點 Q使 ．
結論 145：過 F任作圓錐曲線的一條弦 AB（若是雙曲線則為單支弦），分別過 A B 作準線
l的垂線（ 是其相應準線與 軸的交點），垂足為 ，則直線 與直線 都經過
QF的中點 K，即 及 三點共線．
結論 146：若 AM、BM是圓錐曲線過點 F且關于長軸（橢圓）對稱的兩條動弦(或實軸（雙
曲線）或對稱軸（拋物線）)，如圖 5，則四線 共點于 K．
結論 147： ， 分別為橢圓 （ ）的右頂點和左頂點， 為橢圓任
一點（非長軸頂點），若直線 ， 分別交直線 于 ， ，則以線段 為直
徑的圓必過二個定點，且橢圓外定點為 （ ，0）及橢圓內定點為
（ ，0）．
結論 148： ， 分別為雙曲線 （ ）的右頂點和左頂點， 為雙
曲線上任一點（非實軸頂點），若直線 ， 分別交直線 （ ）于 ， ，
則以線段 為直徑的圓必過二個定點，且雙曲線內定點為 （ ，0）及
雙曲線外定點為 （ ，0）．
20
結論 149：過直線 （ ）上但在橢圓 （ ）外一點 向橢
圓引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點 ，且有
．
結論 150：過直線 （ ）上但在雙曲線 （ ）外（即雙曲
線中心所在區域）一點 向雙曲線引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點
，且有 ．
結論 151：過直線 （ ）上但在拋物線 （ ）外（即拋物線準線
所在區域）一點 向拋物線引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點
，且有 ．
結論 152：設點 是圓錐曲線的準線上一點（不在雙曲線的漸近線上），過點 向圓錐曲
線引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過準線對應的焦點 ，且 ⊥ ．
結論 153：過直線 上但在橢圓 （ ）外一點 向橢圓引
兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點 ．
結論 154：過直線 上但在雙曲線 （ ）外（即雙曲線中
心所在區域）一點 向雙曲線引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點
．
結論 155：過直線 （ ）上但在拋物線 （ ）外（即拋物線
準線所在區域）一點 向拋物線引兩條切線，切點分別為 ， ，則直線 必過定點
21
．
結論 156： ， 是橢圓 （ ）的左右頂點，點 是直線 （ ，
）上的一個動點（ 不在橢圓上），直線 及 分別與橢圓相交于 ， ，則直
線 必與 軸相交于定點 ．
結論 157： ， 是在雙曲線 （ ）的頂點，點 是直線 （ ，
）上的一個動點（ 不在雙曲線上），直線 及 分別與雙曲線相交于 ， ，
則直線 必與 軸相交于定點 ．
結論 158： ， 是拋物線 （ ）上異于頂點 的兩個動點，若直線 過
定點 （ ，0），則 ⊥ ，且 ， 的橫坐標之積及縱坐標之積均為定值．
結論 159： ， 是拋物線 （ ）上異于頂點 的兩個動點，若 ⊥ ，
則直線 必過定點 （ ，0），且 ， 的橫坐標之積及縱坐標之積均為定值．
結論 160： ， 是拋物線 （ ）上異于頂點 的兩個動點，若 ⊥ ，
過 作 ⊥ ，則動點 的軌跡方程為 （ ）．
結論 161： ， 是拋物線 （ ）上異于頂點 的兩個動點，若 ⊥ ，
則 = ．
結論 162：過拋物線 （ ）上任一點 （ ， ）作兩條弦 ， ，
則
⊥ 的充要條件是直線 過定點 （ ， ）．
結論 163：過拋物線 （ ）上任一點 （ ， ）作兩條弦 ， ，
則 = （ ）的充要條件是直線 過定點 （ ， ）．
22
結論 164：過橢圓 （ ）上任一點 （ ， ）作兩條弦 ， ，
則 ⊥ 的充要條件是直線 過定點 （ ， ）．
特別地，（1）當 為左、右頂點時，即 = ， =0 時， ⊥ 的充要條件是
直線 過定點 （ ， ）．
（2）當 為上、下頂點時，即 =0， = 時， ⊥ 的充要條件是直線
過定點 （0， ）．
結論 165：過雙曲線 （ ， ）上任一點 （ ， ）作兩條弦 ，
，則 ⊥ 的充要條件是直線 過定點 （ ， ）．
特別地，當 為左、右頂點時，即 = ， =0時， ⊥ 的充要條件是直線
過定點 （ ，0）．
結論 166：過二次曲線： （ ， ， ， ， 為常數， ）
上任一點 （ ， ）作兩條弦 ， ，若 ⊥ ，則直線 恒過定點
．
值得注意的是：在結論 166中
（1）令 ， ， ， 就是結論 159；
（2）令 ， ， 就是結論 162；
（3）令 ， ， 就得到結論 164；
（4）令 ， ， 就得到結論 165．
23
結論 167： ， 是橢圓 （ ）上不同的兩個動點，若 ⊥ ，
則
+ = ．
結論 168： ， 是橢圓 （ ）上不同的兩個動點，若 ⊥ ，
則有 + = ， + = ．
結論 169： ， 是雙曲線 （ ）上不同的兩個動點（在同一支上），
若 ⊥ ，則有 + = ．
結論 170：在拋物線 （ ）的對稱軸上存在一個定點 ，使得過該點
的任意弦 恒有 ．
結論 171：在橢圓 （ ）的長軸上存在定點 ，使得
過該點的任意弦 恒有 = ．
結論 172：在雙曲線 （ ）的實軸上存在定點 ，使
得過該點的任意弦 恒有 = ．
結論 173：過橢圓 （ ）的焦點 作一條直線與橢圓相交于 ， ，
與 軸相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 174：過雙曲線 （ ）的焦點 作一條直線與雙曲線相交于 ，
24
，與 軸相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 175：過拋物線 （ ）的焦點 作一條直線與拋物線相交于 ， ，
與 軸相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 176：過橢圓 （ ）的焦點 作一條直線與橢圓相交于 ， ，
與相應準線相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 177：過雙曲線 （ ）的焦點 作一條直線與雙曲線相交于 ，
，與相應準線相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 178：過拋物線 （ ）的焦點 作一條直線與拋物線相交于 ， ，
與準線相交于 ，若 ， ，則 為定值，且 ．
結論 179： 是垂直橢圓 （ ）長軸的動弦， 是橢圓上異于頂點
的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ，若 ， ，則
為定值，且 ．
結論 180： 是垂直雙曲線 （ ）實軸的動弦， 是雙曲線上
異于頂點的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ，若 ， ，
則 為定值，且 ．
結論 181： 是垂直拋物線 （ ）對稱軸的動弦， 是拋物線上異于頂點
的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ，若 ， ，則
為定值，且 ．
結論 182： 是垂直橢圓 （ ）長軸的動弦， 是橢圓上異于頂點
25
的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ， 為長軸頂點，若 ， ，
則 為定值，且 ．
結論 183： 是垂直雙曲線 （ ）實軸的動弦， 是雙曲線上
異于頂點的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ， 為實軸頂點，若 ，
，則 為定值，且 ．
結論 184： 是垂直拋物線 （ ）對稱軸的動弦， 是拋物線上異于頂點
的動點，直線 ， 分別交 軸于 ， ， 為拋物線焦點，若 ，
，則 為定值，且 ．
結論 185（補充）：點 是橢圓 （ ）上任意一點，弦 、 分別
過定點 、 ，（ ），且 ， ，則 為
定值，且 ．
結論 186（補充）：點 是雙曲線 （ ， ）上任意一點，弦 、
分別過定點 、 ，（ ），且 ， ，則
為定值，且 ．
結論 187：（補充）： 、 是圓 ： （ ）上任意兩點，點 關于 軸
對稱點為 ，若直線 、 與 軸分別相交于點 、 ，則 為定值，
且 ．
結論 188：（補充）： 、 是橢圓 ： （ ）上任意兩點，點 關
于 軸對稱點為 ，若直線 、 與 軸分別相交于點 、 ，則 為
26
定值，且 ．
結論 189：（補充）： 、 是雙曲線 ： （ ， ）上任意兩點，點
關于 軸對稱點為 ，若直線 、 與 軸分別相交于點 、 ，則
為定值，且 ．
結論 190（補充）： 、 是橢圓 ： （ ）上關于 軸對稱的任意
兩個不同的點，點 是 軸上的定點，直線 交橢圓 于另一點 ，則直線 恒
過 軸上的定點，且定點為 ．
結論 191（補充）： 、 是雙曲線 ： （ ， ）上關于 軸對稱
的任意兩個不同的點，點 是 軸上的定點，直線 交雙曲線一點 ，則直線
恒過 軸上的定點，且定點為 ．
結論 192（補充）： 、 是拋物線 ： （ ）上關于 軸對稱的任意兩個
不同的點，點 是 軸上的定點，直線 交拋物線一點 ，則直線 恒過 軸上
的定點，且定點為 ．

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