資源簡(jiǎn)介

雙曲線
1．
2．標(biāo)準(zhǔn)方程：
3．
4．點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.
5．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).
6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.
7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.
8．設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.
9．雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.
10．若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.
11．若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.
12．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.
13．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.
14．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.
15．若PQ是雙曲線（b＞a ＞0）上對(duì)中心張直角的弦，則.
16．若雙曲線（b＞a ＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).
17．給定雙曲線：（a＞b＞0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)上一定點(diǎn)M(.
(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過(guò)點(diǎn).
18．設(shè)為雙曲線（a＞0,b＞0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)的充要條件是.
19．過(guò)雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.
20．雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為， .
21．若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.
22．雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,
當(dāng)在右支上時(shí)，,.
當(dāng)在左支上時(shí)，,.
23．若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)
1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).
24．P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.
25．雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的充要條件是.
26．過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.
27．過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.
28．P是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.
29．設(shè)A,B為雙曲線（a＞0,b＞0，）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線相交于,則.
30．在雙曲線中，定長(zhǎng)為2m（m）0）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí),.
31．設(shè)S為雙曲線（a＞0,b＞o）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有.
32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.
33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.
34．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.
35．經(jīng)過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.
36．已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.
37．MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過(guò)雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.
38．MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（a＞b＞0）焦點(diǎn)的任一弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線中心O的半弦，則.
39．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：上.
40．設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.
41．過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.
42．設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.
43．設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a＞0,b＞o）上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.
44．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是
().
45．設(shè)△ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).
46．過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
47．設(shè)A（x1 ,y1）是雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離,分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則.
48．已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（ ），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.
49．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則或.
50．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).
51．設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.
52．L是經(jīng)過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
53．L是經(jīng)過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
54．L是雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
55．已知雙曲線（a＞0,b＞0），直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)取等號(hào)）.
56．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
57．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.
58．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域），外部的兩點(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.
59．設(shè)是雙曲線的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
60．過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD,則.
61．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.
62．到雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.
63．到雙曲線（a＞0,b＞0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.
64．已知P是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.
65．雙曲線的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
66．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸的端點(diǎn)為,是雙曲線上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為的直線，過(guò)分別作垂直于實(shí)軸的直線交于,則
（1）.（2）四邊形面積的最小值是.
67．已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).
68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.
69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是
(且).
70．如果一個(gè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在?同側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線?和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和雙曲線相交.
71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的切線與過(guò)A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.
72．設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a＞0,b＞0）的內(nèi)部(（含焦點(diǎn)的區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過(guò)定點(diǎn)的任一弦.
(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí).
(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重合）于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí),.
73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外切.
74．雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端點(diǎn).
75．雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.
76．雙曲線焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.
77．雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).
78．雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.
79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).
80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.
81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.
82．雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.
83．雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實(shí)半軸的長(zhǎng).
84．雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).
85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.
86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的外角平分線.
87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線.
88．雙曲線焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn).
89. 已知雙曲線上有一點(diǎn)，過(guò)分別引其漸近線的平行線，分別交軸于，交軸于，為原點(diǎn)，則：
（1）； （2）.
90. 過(guò)平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.
91. 點(diǎn)為雙曲線在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.
92. 點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是或.

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