資源簡介

三角函數(shù)與解三角形
任意角的三角函數(shù)定義
若角終邊上任意一點P(x，y), 則
sin α=
2.任意角的三角函數(shù)單位圓定義
設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則

3.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.變形及逆用：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，
(2)商數(shù)關系：＝tanα. 及變形
常用結論：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
4.三角函數(shù)的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變，符號看象限


5.特殊角的三角函數(shù)值 6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
α
sin α
cos α
tan α 1

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α?β)＝cosαcos±sinαsinβ.

變形tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

7.輔助角公式：asin αbcos α＝sin(αφ)

8.二倍角公式
sin 2α＝2sinαcosα， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
9.降冪公式：
cos2α＝； sin2α＝； sin αcos α＝sin 2α.

10.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
遞增區(qū)間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區(qū)間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無

常見結論：
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是
(2)奇函數(shù): y＝Asin ωx或y＝Atan ωx 偶函數(shù): y＝Acos ωx＋b的形式.
(3)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).

第九章 解析幾何
1.直線的傾斜角與斜率
(1)定義：在平面直角坐標系中，當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角.當直線l和x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為0°.
(2)范圍：傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.
(3)定義：一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫作這條直線的斜率，該直線的斜率k＝tan__α；當直線的傾斜角α＝90°時，直線的斜率不存在.
(4)過兩點的直線的斜率公式：過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.
2.直線方程的五種形式
名稱 幾何條件 方程 適用范圍
點斜式 斜率k與點(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 斜率k與截距b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 兩點(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)
截距式 在x軸和y軸的截距分別為a與b ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 適用于平面直角坐標系內的所有直線

3.兩直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1或k1＝－ A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1＝A2，B1＝B2，C1＝C2當A2B2C2

4.幾種距離
(1)兩點距離
兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝.
(2)點線距離
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離d＝.
(3)線線距離
兩平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝
5.圓的定義和圓的方程
定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要條件：D2＋E2－4F＞0
圓心坐標：
半徑r＝

6.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)d＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；
(2)d＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)d＜r?M在圓內，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內.
[常用結論與易錯提醒]
圓的三個性質
(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；
(2)圓心在任一弦的中垂線上；
(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線.
7.直線與圓的位置關系
設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由

消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
關系 方法位置 幾何法 代數(shù)法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相離 d>r Δ<0

8.圓與圓的位置關系
設兩個圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代數(shù)特征 無實數(shù)解 一組實數(shù)解 兩組實數(shù)解 一組實數(shù)解 無實數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0

[常用結論與易錯提醒]
1.關注一個直角三角形
當直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成一個直角三角形.
2.兩圓相交時公共弦的方程
設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
9.橢圓的定義
在平面內與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
其數(shù)學表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，
|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
10.橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
圖形
性質 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
軸 長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的關系 c2＝a2－b2

11.點與橢圓的位置關系：設M(x0，y0)，橢圓標準方程為：＋＝1(a>b>0)，
當＋<1?點在橢圓內， 當＋＝1?點在橢圓上 ； 當＋>1?點在橢圓外.

12.直線與橢圓的位置關系：將直線方程y＝kx＋b(或x＝my＋n)代入橢圓方程＋＝1(a>b>0)，整理得到關于x(或y)的一個一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)
當B2－4AC>0?直線與橢圓相交； 當B2－4AC＝0?直線與橢圓相切； 當B2－4AC<0?直線與橢圓相離.
13.若直線l：y＝kx＋b與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，弦長公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.
焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦.
14.雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c＞0)的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)，則點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.其數(shù)學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，
|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：
(1)若ac時，則集合P為空集.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖　形
性　質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2

[常用結論與易錯提醒]
1.拋物線的定義
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
(2)其數(shù)學表達式：(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質
圖形
標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
性 質 頂點 O(0，0)
對稱軸 y＝0 x＝0
焦點 F F F F
離心率 e＝1
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下

焦半徑公式
(1)若點P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝x0＋.
(2)若點P(x0，y0)是拋物線y2＝－2px(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝－x0＋.
(3)若點P(x0，y0)是拋物線x2＝2py(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝y(tǒng)0＋.
(4)若點P(x0，y0)是拋物線x2＝－2py(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝－y0＋.

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